2025年山東濟南中考數學一輪復習教材考點復習

二次函數的圖象與性質

知識清單梳理

知識點一二次函數的概念及表達式

1.一般地，若兩個變量X,y之間的對應關系可以表示成丁=依2+6%

+c(a,b,c是常數，QWO)的形式，則稱y是％的二次函數.

2.二次函數表達式的三種形式

(1)一般式：y=ax2-\-bxJrc(a,b,c為常數，aWO).

(2)頂點式：y=a(x—/z)2+k(a,h,左為常數，aWO),頂點坐

標是(h,k).

(3)交點式：y=a(%—Xl)(%—%2),其中X1,%2是二次函數的圖

象與入軸交點的橫坐標，QWO.

3.二次函數表達式的確定

(1)拋物線過原點，可設為y=o?+法，再代入圖象上任意兩點坐

標求解；

(2)已知頂點(/z,k)時，可設為頂點式y=a(%—人)2+左，再代

入圖象上另一點坐標求解；

(3)已知拋物線與％軸的兩交點坐標為(xi,0),(乃，0)時，或

已知對稱軸及與％軸的一個交點(xi,0),利用對稱軸可求出另外

一個交點的坐標(%2,0),可設為交點式y=a(x—xi)(%—檢)，

再代入圖象上另一點坐標求解.

知識點二二次函數的圖象與性質

4.二次函數丁=依2+"+。(a,b,c為常數，aWO)的圖象和性質

開口a>0,開口向上|a<0,開口向下

方向

圖象

(草

圖)

開口

a>0,開口向上?a<0,開口向下

方向

pi)直接運用公式五=京福

(2)配方法：將一般式化為頂點式y=a(%—//)2-\~k,則對

對稱稱軸為直線％="

軸

注：還可利用％=安這(其中XI,%2為關于對稱軸對稱的兩點

的橫坐標)求解

(1)直接運用頂點坐標公式(_____，_________)求解；

頂點(2)運用配方法將一般式轉化為頂點式(x—h)2+k,

坐標則頂點坐標為(h,左)；

(3)將對稱軸％=配代入函數表達式求得對應”

a>0時，在對

稱軸左側，y隨

%的增大時，在對稱軸左側，y隨％的增大

增減

而________；而_________；在對稱軸右側，y隨工的增大

性

在對稱軸右側，而____________,

y隨％的增大

而__________

。>0時,y有最時，y有最大值；當％=—二時，y的最

最值2a

小值；當％=一大值為__________

/時，y的最小

值為_________

5.二次函數圖象的特征與a,6，c關系

a的a>0開口_______________

正負a<0開口_______________

Z?=0對稱軸為y軸

a,b

a,b同號對稱軸在y軸______________

的值

a,b異號對稱軸在y軸______________

c=0拋物線過原點

拋物線與y軸交于

C的c>0

____________半軸

正負

拋物線與y軸交于

c<0

_______________半軸

b2—4ac

與％軸有唯一的交點（頂點）

=0

Z?2—

b2—4ac

4ac與％軸有_______________交點

>0

的值

b2—4ac

與入軸沒有交點

<0

【技法總結】代數式的計算或判斷

代數式解題思路

—9與1比較

2a

2a—b一?與一1比較

2a

令％=1,看縱坐標

a—b~\-c令％=—1,看縱坐標

4Q+2Z7+C令％=2,看縱坐標

4a—2Z?+c令％=—2,看縱坐標

9Q+3Z?+C令％=3,看縱坐標

9Q—30+C令％=—3,看縱坐標

知識點三二次函數圖象的平移

6.從圖象上考慮：二次函數圖象平移的實質是圖象上點坐標的整體平

移（以研究頂點坐標為主），平移過程中。不變，因此可先求出其頂

點坐標，根據頂點坐標的平移求解即可.

7.從表達式上考慮：二次函數圖象平移規律如下表：

平移II

前平移方向（”平移后

表達>0）表達式

式11

國左平移n，

_單位

Y向右平移n個

a（%

_單位

向上平移〃個

h）2

單位

~\~k

向下平移〃個

單位

【簡記】二次函數圖象要平移，先化頂點式；上加下減，左加右減.

知識點四二次函數與方程、不等式的關系

8.與方程的關系

方程a￥2+Z?x+c=0(QWO)的解是拋物線y=ax2+bx+c(aWO)

與工軸的交點的橫坐標(以。>0為例)：

當4ac>0時，方程aF+bx+cuO(qWO)有兩個不相

\_等的實數根：xi=m,%2="T^物線》=渥+人%+。(aWO)

人。披J

▼與％軸有個交點，橫坐標分別是

當Z?2—4ac=0時，方程aY2+b%+c=0(aWO)有兩個相等

\L/的實數根：%i=%2=zTfe物線法+c(aWO)與工

'力『軸有一個交點,橫坐標為z

\一，/一^當Z?2—4ac<0時，方程a%2+b%+c=0(QWO)實數

?根物線y=a%2+b%+c(aWO)與入軸交點

9.與不等式的關系

(1)不等式Q%2+bx+c>0的解集物線位于％軸上方對應的點的

橫坐標的取值范圍.

(2)不等式QX2+A；+C<()的解集Tfe物線位于入軸下方對應的點的

橫坐標的取值范圍.

高頻考點過關

考點一二次函數的圖象與性質

1.(2024商河一模)設二次函數y=o?+c(a,c是常數，a<0),

已知函數值y和自變量x的三對對應值如表所示，若方程ax2+c—m

=0的一個正實數根為5.則下列結論正確的是()

??????

X-324

y???0Pq???

A.m>p>0B.m〈q〈0

C.p>m>0D.^<m<0

2.(2022濟南)拋物線y=一r+2如一加2+2與y軸交于點C,過點

C作直線I垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線I翻折，

其余部分保持不變，組成圖形G,MCm-l,以)，N(m+L”)

為圖形G上兩點.若yi</2,則根的取值范圍是()

或機11

A.7"<—1>0B.—-2<m<-2

C.0<m<V2D.-l<m<l

考點二確定二次函數的表達式

3.若二次函數y=a%2+2的圖象經過尸(1,3),Q(m,n)兩點，

則代數式?2—4m2—4n+9的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數>=。%2+法+。的圖象過點

A(-1,0),B(0,-V3),C(2,0),其對稱軸與入軸交于點

D.求二次函數的表達式及其頂點坐標.

考點三二次函數與方程、不等式的關系

5.如圖，拋物線—2與X軸交于A,5兩點，點尸（機，八）

,22

（n<0）為拋物線上一個動點，當NAP5為鈍角時，則加的取值范

圍（）

A.—1<m<0

B.—1<7%<0或3<機<4

C.0<加<3或機>4

D.m<-1或0<根<3

6.（2022槐蔭一模）二次函數y=af+2a%+3（a為常數，aWO）,

當a—1W%W2時二次函數的函數值y恒小于4,則a的取值范圍為

（）

A.a<-

8

B.Q>一1

C.O<aV三或a<0

8

D.O<a<2或一1<。<0

8

考點四二次函數的平移

2

7.（2023高新二模）已知拋物線產%2+m+三與y軸交于點4,將

該拋物線平移，使平移后的拋物線經過點4且與％軸交于5（一

0）,。兩點.若線段。4—5。=1,那么根的值為（）

A.-1B.—1或2C.1D.2或一2

考點五二次函數的圖象與系數a,b,c的關系

8.（2024商河清華園模擬）約定：若函數圖象上至少存在不同的兩

點關于原點對稱，則把該函數稱為“黃金函數”，其圖象上關于原點

對稱的兩點叫作一對“黃金點”.若點A（1,m）,B（n,—4）是

關于%的"黃金函數"y=ax1-\-bxJr-c（aWO）上的一對"黃金點”，

且該函數的對稱軸始終位于直線％=2的右側，有結論①a+c=O；②b

=4；③Lz+Z+c<0；④一l<a<0.則正確的有（）

42

A.1個8.2個仁3個D.4個

9.（2024平陰一模）已知二次函數2%+]（a為常數，且a

>0）,下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數

圖象一定不經過第三象限；③當％<0時，y隨％的增大而減小；④當

%>0時，y隨X的增大而增大.其中所有正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

達標演練檢測

1.（2024平陰二模）二次函數y=a%2+b%+c的圖象如圖所示，則一

次函數y=ax+c與反比例函數在同一平面直角坐標系中的大致

圖象為（）

A.B.

2.已知二次函數丁=依2+法+c(q>0)的圖象過點A(1,n),B(3,

“)，若點。(一1,”)，D(0,以)，E(6,”)也在該二次函數

圖象上，則下列結論正確的是()

A.》1<》2<丁3B.y2<yi</3

C.yi<y\<yiD.yi<y?,<y2

3.已知二次函數y=(x—h)2+1(人為常數)，在自變量％的值滿足

的情況下，與其對應的函數值y的最小值為5,則"的值是

()

A.1或一5B.1或3

C.1或一3D.—1或5

4.如圖，反比例函數的圖象經過二次函數y=aX2+云圖象的頂

點(一號,租)(m>0),則有()

A.a=b+2kB.a—b—2k

C.k<b<0D.a<k<0

5.(2024萊蕪實驗模擬)在平面直角坐標系中，已知點A(—3,1),

B(1,5),若二次函數丁=m2+3%—2(加W0)與線段A5無交點,

則機的取值范圍是()

141根

A.2-<m<4B.m3<-JtWO

1A._（V4

m>4或

C.-2^m3<-D.m3<-

6.（2023長清一模）已知拋物線C：>二加+版+^?經過點（機，yi）,

（772+I,>2）,yi—yi=—2機+1,當一2W%W2時，在拋物線。上任

取一點"，設點V的縱坐標為力若一5W/W5,則c的取值范圍是

（）

A.0<c<V2B.W

22

C.c25或cW—1D.3<c<4

7.（2024長清一模）定義：在平面直角坐標系中，點尸（％,y）的橫、

縱坐標的絕對值之和叫作點尸G,y）的勾股值，記[P]=lxl+1

yI.若拋物線y=ax2-\-bx-\-l與直線y=%只有一個交點C,已知點C

在第一象限，且2W[C]W4,令/=2〃-4Q+2024,則彳的取值范圍

為（）

A.2023&W2024B.2020<?<2021

C.2021—022D.2022—023

8.已知二次函數y=a?+陵+c（qWO）的部分圖象如圖所示，圖象

經過點（0,2）,其對稱軸為直線％=—1.下列結論：①3a+c>0；

②若點（一4,約），（3,以）均在二次函數圖象上，則③

關于"的一元二次方程QT+桁+C：—1有兩個相等的實數根；④滿

足ax1-\-bx-\-c>2的x的取值范圍為-2<%<0.其中正確結論的個數

為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=—法+c的圖象與

坐標軸交于A,B,。三點，其中點A的坐標為（0,8）,點5的坐

標為（一4,0）.

求該二次函數的表達式及點C的坐標.

2025年山東濟南中考數學一輪復習教材考點復習

二次函數的圖象與性質教師版

知識清單梳理

知識點一二次函數的概念及表達式

1.一般地，若兩個變量X,y之間的對應關系可以表示成丁二④^十8%

+c（a,b,c是常數，QWO）的形式，則稱y是％的二次函數.

2.二次函數表達式的三種形式

（1）一般式：y=ar2+Z?x+c（a,b,c為常數，aWO）.

(2)頂點式：y=a(x—/z)2+k(.a,h,左為常數，aWO),頂點坐

標是(h,k).

(3)交點式：y=a(x—xi)(%—檢)，其中Xi,%2是二次函數的圖

象與入軸交點的橫坐標，QWO.

3.二次函數表達式的確定

(1)拋物線過原點，可設為y=o?+法，再代入圖象上任意兩點坐

標求解；

(2)已知頂點(加k)時，可設為頂點式y="G—h)2+k,再代

入圖象上另一點坐標求解；

(3)已知拋物線與％軸的兩交點坐標為(％i,0),(改,0)時，或

已知對稱軸及與％軸的一個交點(為，0),利用對稱軸可求出另外

一個交點的坐標(%2,0),可設為交點式y=a(x—xi)(%—檢)，

再代入圖象上另一點坐標求解.

知識點二二次函數的圖象與性質

4.二次函數(a,b,c為常數，QWO)的圖象和性質

開口方a>0,開口

a<Q,開口向下

向向上

圖象7■

(草匕M

圖)o|Wx*V*

開口方a>0,開口

a<0,開口向下

向向上

⑴直接運用公式尸一,求解；

對稱軸

(2)配方法：將一般式化為頂點式y=a(xf)2+左，則

對稱軸為直線x=h.

注：還可利用％=寧(其中%1，%2為關于對稱軸對稱的兩

點的橫坐標)求解

(1)直接運用頂點坐標公式(￡，)求

頂點坐解；

(2)運用配方法將一般式轉化為頂點式y=aCx-h)2+k,

標

則頂點坐標為(h,k)；

(3)將對稱軸為=配代入函數表達式求得對應州

Q>0時,

在對稱軸

左側，y隨

%的增大而_

。<0時，在對稱軸左側，y隨％的增大而增

增減性減小；在

_；在對稱軸右側，y隨工的增大而減小

對稱軸右

側，》隨五

的增大而—

增大

a>0時,y

有最小值；

當％=—2。<0時，y有最大值；當％=一/時，V的最大

2a

最值

時，y的最值為生”

小值為—

4ac-b2

5.二次函數圖象的特征與a,b,C關系

。的Q>0開口向上

正負a<0開口

b=0對稱軸為y軸

a,b

a,8同號對稱軸在y軸左側

的值

a,b異號對稱軸在y軸右側

物線過原點

拋物線與y軸交于

c的c>0

正半軸

正負"、.

拋物線與y軸交于

c<0

負半軸

〃一4QC

一與％軸有唯一的交點（頂點）

=0

b2一

b2—4ac

4ac與％軸有兩個交點

>0

的值

b2—4ac

與入軸沒有交點

<0

【技法總結】代數式的計算或判斷

無數式解題思路

2a~\~b—9與1比較

2a

2a—b

一2?a與一1比較

Q+/7+C令％=1,看縱坐標

a—b-\-c令％=—1,看縱坐標

4Q+2Z7+C令％=2,看縱坐標

4a—2b-\-c令％=—2,看縱坐標

9a+3Z?+c令％=3,看縱坐標

9a—3Z?+c令％=—3,看縱坐標

知識點三二次函數囪象白笄/

6.從圖象上考慮：二次函數圖象平移的實質是圖象上點坐標的整體平

移（以研究頂點坐標為主），平移過程中Q不變，因此可先求出其頂

點坐標，根據頂點坐標的平移求解即可.

7.從表達式上考慮：二次函數圖象平移規律如下表:

平移

前平移方向（?平移后

表達>0）表達式

式

向左平移八個

y=a（%一力+八）2+左

_單位

y向右平移幾個

a（%y=a(x—h—n)2+左

單位

向上平移〃個

h）2y=q(%—/7)左+〃

單位

+左

向下平移〃個

y=a(%——/1)2+左一八

單位

【簡記】二次函數圖象要平移，先化頂點式；上加下減，左加右減.

知識點四二次函數與方程、不等式的關系

8.與方程的關系

方程ax2+Z?x+c=0(aWO)的解是拋物線y=ax1+bx+c(aWO)

與工軸的交點的橫坐標（以。>0為例）：

當Z?2—4QC>0時，方程Q%2+b%+c=0(aWO)有兩個不相

_等的實數根：xi—m,物線yuQp+bx+c(aWO)

與x軸有個交點，橫坐標分別是tn,n

當加一4比=0時，方程依2+Z?%+c=0(aWO)有兩個相等

\y的實數根：%I=%2=ZT^物線y=a%2+b%+c(aWO)與工

『軸有一個交點,橫坐標為z

\，|/當廿一4。(?<0時，方程(°。0)無實數

演根Tfe物線y=a%2+b%+c(aWO)與X軸無交點

9.與不等式的關系

(1)不等式a/+b%+c>0的解集物線位于入軸上方對應的點的

橫坐標的取值范圍.

(2)不等式Q%2+bx+c<0的解集Tte物線位于％軸下方對應的點的

橫坐標的取值范圍.

高頻考點過關

考點一二次函數的圖象與性質

1.(2024商河一模)設二次函數y=af+c(a,c是常數，a<0),

已知函數值y和自變量％的三對對應值如表所示，若方程ax2Jrc-m

=0的一個正實數根為5.則下列結論正確的是(B)

??????

X-324

y???0Pq???

A.m>p>0B.m〈q〈0

C./?>m>0D.q<.m<.0

2.(2022濟南)拋物線y=—f+2mx—病+2與y軸交于點C,過點

C作直線/垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線/翻折，

其余部分保持不變，組成圖形G,M(m-1,竺)，N(m+1,?)

為圖形G上兩點.若》1<m，則機的取值范圍是(D)

機<一或機

A.1>0B.--2</w<-2

C.0<m<V2D.-l<m<l

考點二確定二次函數的表達式

3.若二次函數y=af+2的圖象經過尸(1,3),Q(m,n)兩點，

則代數式?2—4/w2—4?+9的最小值為(A)

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=a%2+"+c的圖象過點

A(-1,0),B(0,-V3),C(2,0),其對稱軸與入軸交于點

D.求二次函數的表達式及其頂點坐標.

解：設二次函數的表達式為y=a(x+1)(%—2),將5(0,f)

代入得°=手，.??二次函數的表達式為尸*%+1)G—2)=畀%—

1\2_9V3

2)8'

考點三二次函數與方程、不等式的關系

5.如圖，拋物線y=：%2—9―2與％軸交于A,5兩點，點尸(加，n)

-22

(?<0)為拋物線上一個動點，當NAP5為鈍角時，則冽的取值范

圍(B)

A.—1＜m＜0

B.—1＜加＜0或3＜加＜4

C.0＜加＜3或加＞4

D.m＜-1或0＜機＜3

6.（2022槐蔭一模）二次函數丁=0?+2依+3（a為常數，aWO）,

當時二次函數的函數值y恒小于4,則a的取值范圍為

（D）

A.a＜-

8

B.Q＞一1

-1

C.O＜a＜上或Q＜0

8

D.O＜a＜工或一1＜。＜0

8

考點四二次函數的平移

2

7.（2023高新二模）已知拋物線y=X2+mx+?與丁軸交于點A,將

該拋物線平移，使平移后的拋物線經過點A,且與％軸交于5（一

0）,。兩點.若線段。4—5。=1,那么根的值為（D）

A.-1B.—1或2C.1D.2或一2

考點五二次函數的圖象與系數a,江c的關系

8.（2024商河清華園模擬）約定：若函數圖象上至少存在不同的兩

點關于原點對稱，則把該函數稱為“黃金函數”，其圖象上關于原點

對稱的兩點叫作一對“黃金點”.若點A（1,m）,B（n,—4）是

關于%的"黃金函數"y—a^+bx+c（aWO）上的一對"黃金點”，

且該函數的對稱軸始終位于直線％=2的右側，有結論①a+c=O；②b

=4；③工a+U+c<0；④一1<Q<0.則正確的有（C）

42

A.1個8.2個仁3個D.4個

9.（2024平陰一模）已知二次函數y=ap—2%+1（Q為常數，且a

>0）,下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數

圖象一定不經過第三象限；③當％<0時，y隨％的增大而減小；④當

%>0時，y隨％的增大而增大.其中所有正確結論的序號是（B）

A.①②B.②③C.②D.③④

達標演練檢測

1.（2024平陰二模）二次函數的圖象如圖所示，則一

次函數y=ax+c與反比例函數在同一平面直角坐標系中的大致

圖象為（A）

2.已知二次函數丁=依2+法+c（a>0）的圖象過點A（1,n）,B（3,

“），若點。（一1,”），D（0,以），E（6,”）也在該二次函數

圖象上，則下列結論正確的是（B）

A.y\<yi<y3B.y2<yi<ys

C.y3<yi<yiD."</3<》2

3.已知二次函數y=（x—h）2+l（h為常數），在自變量％的值滿足

的情況下，與其對應的函數值y的最小值為5,則"的值是

（D）

A.1或一5