熱點題型?解答題攻略

專題03三角函數與解三角形(十一大題型)

o-----------題型歸納?定方向-----------<>

題型01求值域、最值...........................................................................2

題型02三角函數中解不等式.....................................................................2

題型03零點問題...............................................................................3

題型04實數解、方程根等問題...................................................................4

題型05導數與三角形函數.......................................................................4

題型06解三角形，周長、面積問題..............................................................5

題型07最值問題...............................................................................5

題型08取值范圍問題...........................................................................6

題型09解三角形與數列.........................................................................6

題型10平面向量、三角函數、解三角形綜合......................................................7

題型11三角函數的實際應用.....................................................................8

o-----------題型探析?明規律-----------?>

【解題規律?提分快招】

i「巨如三聲函雙麓柝式親朝海瓦商廠一一

求形如y=Asin?x+(p^y=Acos?x+cp)(其中a>>0)的單調區間時，要視“(ox+cp”為一個整體，通過解不等

式求解.但如果sO,可借助誘導公式將co化為正數，防止把單調性弄錯.

2、奇偶性的判斷方法：三角函數中奇函數一般可化為丫=人$擊0?或丫=人12110?的形式，而偶函數一般可

化為y=Acosft)x的形式.

3、周期的計算方法：利用函數y=Asin((ox+<p),y=Acos(cox+(p)(co>0)的周期為，函數y=Atan((ox+<p)(?)>0)

的周期為求解.

4、確定y=/sin@x+9)+6(/>0,。>0)的步驟和方法

M-TYlV+YYl

(1)求4,b.確定函數的最大值M和最小值冽，貝Ij4=--—,b=---.

2兀

(2)求0.確定函數的最小正周期T,則.

(3)求(p,常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把

圖象的最高點或最低點代入.

5、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或

邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，

「核三鬲形其青示碓二桂廠通南根據三鬲面藪面i有窠桂布夫揚兩天吊兔踵迸行碗面:

L一麗o「錄值域，最值

【典例1-1].(24-25高三上?上海寶山?階段練習)已知〃x)=2cos2x+6sin2x,

⑴求函數N=〃x)的單調遞減區間；

⑵若xe[0申,求函數y=/⑺的值域

【變式1-1].(23-24高三上?上海靜安?期末)iB/(x)=sin2x-cos2x+2A/3sinxcosx+^(xeR),其中2為

實常數.

⑴求函數V=/(x)的最小正周期；

⑵若函數了=/(x)的圖像經過點[],()),求該函數在區間0,：兀上的最大值和最小值.

【變式1-2】.(2024?上海長寧?二模)某同學用“五點法”畫函數/(x)=sin(s+e)(0>O)在某一個周期內的

圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

713兀

cox+（p0712兀

2~2

715712兀11兀

XA

6nT12

sin（Gx+e）01A-i0

(1)請在答題卷上將上表△處的數據補充完整，并直接寫出函數N=/(x)的解析式；

⑵設0=l,°=0,g(x)=/2(x)+/(x)/g_x]xe。弓;求函數y=g(x)的值域；

【變式1-3】.(24-25高三上?上海?階段練習)已知函數/(x)=2&cos^x+Z&sinxcosx.

⑴將〃x)化成的形式，并寫出/(x)的最小正周期及對稱軸方

程；

⑵若“X)在卜?+：]上的值域為[。,可，求6-。的取值范圍.

題型02三角函數中解不等式

【典例2-1].(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知函數y=/(x)是定義在(一1,1)上的奇函數，并且當x>0

⑴求函數y=/(X)的表達式;

⑵求關于x的不等式〃10g2x+l)+/［x-gj<〃0)的解集.

【變式2-1］.(23-24高三上?上海嘉定?期中)已知函數〃x)=sin2x+2cos2x+l,xw0,^.

⑴求函數V=〃x)的嚴格減區間；

(2)若不等式可■(x)+2m2/(x)恒成立，求實數比的取值范圍.

題型03零點問題

【典例3-11?(24-25高三上?上海閔行?期中)已知函數/(x)=g'sin20x+2cos2(yx-l(其中常數。>0).

(1)若函數f(x)的最小正周期是］，求。的值及函數/(x)的單調遞增區間；

TT

(2)若。=1,xe0,-,求函數/(x)的值域及零點.

【典例3-2】.(2024?上海?模擬預測)已知函數［(x)=2cos2x+cos(2x-10-l.

⑴求函數“X)的在［0,兀］上單調遞減區間；

⑵若函數“X)在區間［0,刈上有且只有兩個零點，求機的取值范圍.

【變式3-1］.(2024?上海徐匯?一模)已知/(x)=asin0x+6cos0x(o>O),若定義在R上的函數y=/(x)

的最小正周期為無，且對任意的xeR,都有y(x)wy^|1=4.

⑴求實數。力的值；

(2)設X”%?0,兀),當了產々時，f(xI)=f(x2)=-2,求再+馬的值.

【變式3-2］.(24-25高三上?上海?期中)已知/(x)=sinox+cosox,。>0,

(1)若。=2,求函數y=/(x),xe0看的值域;

(2)已知a>0,且函數V=/(x)的最小正周期為兀，若函數》=/在［兀㈤上恰有3個零點，求實數。

的取值范圍.

【變式3-3].(2024?上海金山?二模)已知函數＞=/(x),記〃x)=sin(0x+°),＜y＞0,0＜。＜兀，

XGR.

⑴若函數丁=/(無)的最小正周期為n,當/弓)=1時，求。和。的值;

?JT

(2)若@=1,(p=z函數y=嚴0)-2/(%)-。有零點，求實數。的取值范圍.

6

【變式3-4】.(24-25高三上?上海?開學考試)已知函數N=〃x)的表達式為〃x)=sin+1,。>0

⑴設0=1,求函數＞=/(x),x?0,可的單調增區間；

⑵設實數”兀，"X)的最小正周期為兀，若在xe[7i,a]上恰有3個零點，求。的取值范圍.

題型04實數解、方程根等問題

【典例4-1].(24-25高三上?上海?期中)已知函數y=/(x)的表達式為〃X)=2COS2X+COS12X-]，1.

⑴求函數N=〃x)的單調增區間；

(2)求方程/⑺美在xe[0,可上的解.

【變式4-1].(2023?上海寶山?二模)已知函數/(x)=sinxcosx-6cos2x+1.

(1)求函數/=/(x)的最小正周期和單調區間；

⑵若關于x的方程/(耳-防=0在xe0,j上有兩個不同的實數解，求實數他的取值范圍.

【變式4-2].(23-24高三下?上海浦東新?期中)己知函數y=/(x),其中/(x)=sinx.

⑴求/上一￡|=等在xe[0,可上的解；

⑵已知g(x)=6/(x)/\+/(村/仁+兀)，若關于x的方程g(x)-機=g在xe0,|時有解，求實數加

的取值范圍.

【變式4-3].(24-25高三上?上海?階段練習)已知函數〃x)=Gsin(0x+o)+2sin21個辿[-1(0＜。＜兀)

為奇函數，且/(x)圖像的相鄰兩條對稱軸間的距離為

⑴求/(x)的解析式與單調遞減區間；

⑵已知“X)在xe時，求方程小⑴+遮外)-3=0的所有根的和.

題型05導數與三角形函數

3冗

【典例5-11.(2024?上海嘉定?一模)已知〃X)=2COS(5+下)，其中?！?.

4

TT7T

⑴若。=2,求函數y=f(x),xe[一若]的值域;

⑵若〃；)=0,且函數y=〃x)在(：,$內有極小值，但無極大值，求。的值.

【變式5-1].(24-25高三上?上海松江?期中)已知函數/(無)=2cos2x+cos12尤

⑴求函數y=〃x）在［0,可上的單調減區間；

（2）若函數V=〃x）在區間［0,向上有且只有兩個極大值點，求實數加的取值范圍.

題型06解三角形，周長、面積問題

【典例6-1］.（24-25高三上?上海?階段練習）在△NBC中，角4及。的對邊分別為4。.已知a="，

b,=2cc,cos^，=--1.

4

⑴求c的值；

⑵求sin（2/-3）的值.

【變式6-1】.（2023?上海奉賢?一模）在△工臺。中，設角A、B、C所對邊的邊長分別為。、b、c,已知

V3c=Cbcos/+asin瓦

⑴求角B的大??；

⑵當a=20,6=26時，求邊長c和ZVIBC的面積S.

【變式6-21.（2023?上海松江?一模）在三角形/3C中，內角4&C所對邊分別為。、次。，已知

asinS=6cos（/一胃.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若c=26,三角形/3C的面積為空，求三角形/3C的周長.

3

題型07最值問題

【典例7-1】.（2024?上海?三模）己知A/3C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且耳=2csirB.

（1）求sinC的值；

⑵若c=3,求△48C面積S的最大值.

【變式7-11.（2024?上海嘉定?二模）在△45。中，角A、5、。的對邊分別為。、b、c,

cos25-sin2B=--.

2

⑴求角B,并計算sin,+1的值；

（2）若6=右，且△N8C是銳角三角形，求a+2c的最大值.

【變式7-2】.（2023?上海?三模）已知在△4BC中，角45。所對的邊分別為a,6,c,6=1,且滿足

2acosB=cosC+ccosH.

⑴若a=生叵，求ZUBC的面積S；

⑵求a+2c的最大值，并求其取得最大值時cosC的值.

【變式7-3】.(24-25高三上?上海?階段練習)已知。，b,。分別為ZX/BC三個內角A,B,。的對邊，且

2b=c+2acosC.

⑴求A；

(2)若a=g,且ZUBC是銳角三角形，求分+(6+l)c的最大值.

題型08取值范圍問題

【典例8-1】?(24-25高三上?上海?階段練習)在△4BC中，內角A,B,。所對的邊分別為b,c,已

知。=btan/且8為鈍角，

⑴求B-N；

(2)求sinN-cos8+sinC的取值范圍是.

【變式8-1].(24-25高三上?上海?期中)設△4BC的內角4B,C的對邊分別為。，4c,a=btaih4且2為

鈍角.

7T

(1)若4=診,。=2,求的面積；

(2)求siM+sinC的取值范圍.

【變式8?2].(23-24高三上?上海嘉定?期中)在△45。中，角4、B、C所對的邊分別為。、b、c,且滿

足〃sinCcos5+6sin/cosC=-a.

2

⑴求角力；

(2)若MBC為銳角三角形，求sin8sinC-gsin28+"的取值范圍.

4

題型09三角函數或解三角形與數列

【典例9-1].(20-21高三上?上海虹口?期中)在A48c中，角/、B、C的對邊分別為a、b、c,已知

sin8=R,且而.元=12.

13

(1)求△4BC的面積；

(2)若a、b、c成等差數列，求6的值.

【典例9-2].(23-24高三上?上海嘉定?期中)已知函數/(x)=2Gsinxcosx-2sin2x.

(1)求/(x)的最大值及取得最大值時x的值；

(2)在中，內角48,C所對應的邊為見mc,若"4)=0,4/c成等差數列，且益.就=2，求。的

值.

【變式9-1】.(23-24高三下?上海松江?階段練習)設△ABC的內角N、B、C所對邊分別為a、b、c,若

1+cosB_2-cosA

sinBsinA

(1)求證:a、6、c成等差數列;

(2)若久氏c(a<b<c)均為整數，且存在唯一的鈍角A/BC滿足條件，求角C的大小.

【變式9-2].(2019?上海松江?一?模)已知函數/(x)=2后sinxcosx-Zsiifx.

⑴求〃x)的最大值；

(2)在ZX/BC中，內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若〃/)=0,b、a、c成等差數列，且

AB-JC=2,求邊。的長.

【變式9-3】.(2024?陜西寶雞?三模)已知數列｛%｝是公差不為0的等差數列，為=5,且％,%，%成等比

數列.

(1)求數列｛〃“｝的通項公式；

⑵設bn=ancos號,求數列｛bn｝的前2024項和.

題型10平面向量、三角函數、解三角形綜合

【典例10-1].(24-25高三上?上海?期中)已知函數〃x)=sin2x-cos2x-百sinjx-

⑴求的最小正周期和嚴格增區間；

(2)若A是三角形/BC的內角，==求三角形/3C的外接圓半徑.

【典例10-2].(24-25高三上?上海?期中)設向量加=3$2工,君)，〃=(2,sin2x),f(x)=m-n.

(1)求函數y=/(x)的最小正周期及單調增區間；

⑵在△NBC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c.若〃/)=2,。=2,且Hc=3,求△ZBC的面積.

【變式10-1].(24-25高三上?上海?階段練習)在中，角A、B、C的對邊分別為。、6、c.已知

2ccosA=2b-a.

⑴求角。的大??；

⑵設"為48邊的中點，若c=6,"6=1,求|而|的大小.

【變式10-2].(23-24高三下?上海青浦?階段練習)已知函數/(x)=sinxcosx-sin2x+g.

(1)求/(x)的單調遞增區間；

7T

(2)在△45。中，a,b,c為角4B,。的對邊，且滿足Z?cos2/=bcosZ-asin_B,且求角4的

值.

【變式10-31.(2024?上海浦東新?三模)已知/(x)=2sin(0x+°),其中。>0,|^|<|.

(1)若。=；,函數y=f(久)的最小正周期7為4兀，求函數y=f(久)的單調減區間；

(2)設函數y=f(x)的部分圖象如圖所示，其中赤.％=12,￡>(0,-V3),求函數的最小正周期7,并求y=f

(%)的解析式.

【變式10-41.(2024?上海松江?二模)設〃x)=sin2>|x+百cos￡xsin￡x(0>O),函數了=/(x)圖象的兩

條相鄰對稱軸之間的距離為兀.

⑴求函數y=〃x)的解析式；

3

(2)在中，設角A、5及。所對邊的邊長分別為。、b反c,若。=百，6=后，/U)=-,求角C.

【變式10-5].(24-25高三上?上海虹口?階段練習)已知/(%)=底111刃猶053-8$20%+；,。>0.

7T

(1)若函數y=/(x)在區間上是嚴格增函數，求實數。的取值范圍；

(2)設△4BC的三邊分別是。涉,。，若。=c=l,/(C)=-1,求。+2/?的取值范圍.

題型11三角函數的實際應用

【典例11-1].(23-24高三上?上海浦東新?階段練習)某中學為美化校園將一個半圓形邊角地改造為花

園.如圖所示，。為圓心，半徑為1千米，點A、B、尸都在半圓弧上，設2NOP=/POA=8,

JT

/AOB=20,其中0<e<一.

(1)若在花園內鋪設一條參觀的線路，由線段附、AB,8M三部分組成，求當。取何值時，參觀的線路最

長；

(2)若在花園內的扇形。八？和四邊形QW8/內種滿杜鵑花，求當。取何值時，杜鵑花的種植總面積最大.

【變式11-1].(23-24高三上?上海浦東新?期末)某街道規劃建一座口袋公園.如圖所示，公園由扇形/OC

區域和三角形區域組成.其中4。、。三點共線，扇形半徑。/為30米.規劃口袋公園建成后，扇形

/OC區域將作為花草展示區，三角形COD區域作為親水平臺區，兩個區域的所有邊界修建休閑步道.

7T

（1）若440c=§,OD=2OA,求休閑步道總