專題09菱形存在性問題

3

1.如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于點/(-1,0),3(5,0)兩點，直線y=-1X+3與了軸

交于點C,與x軸交于點。.點尸是第一象限內拋物線上一動點，過點P作尸軸于點

F,交直線CD于點￡設點P的橫坐標為

(1)求拋物線的解析式；

(2)寫出線段CE的長(用含有加的代數式表示)；

(3)若PE=5EF,求加的值；

(4)在歹軸正半軸上是否存在點G,使C、E、P、G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求

出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024秋?吉林月考)

2.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數＞=-/+6x+c的圖象與x軸交于/、3兩點，與

y軸交于點C(0,3),點3的坐標為(3,0),點尸是拋物線上一個動點，且在直線的上方.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)求點A的坐標；

⑶連接。尸、5P,當點尸運動到什么位置時，ABPC的面積最大？請求出點P的坐標和ABPC

面積的最大值；

試卷第1頁，共8頁

（4）連接P。，并把△POC沿C。翻折，得到四邊形POPC,那么是否存在點P,使四邊形

POPC為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

（2024?深圳三模）

3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于A,B點,與了軸

交于點C（0,3）,點3的坐標為（3,0）,點p是拋物線上一個動點.

（1）求二次函數解析式；

⑵連接PO,PC,并把△尸OC沿C。翻折，那么是否存在點尸，使四邊形尸OPC為菱形;

若不存在，請說明理由.

（2024?吐魯番市二模）

4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丁=/+瓜+。的圖象與x軸交于8兩點,

/點在原點的左側，2點的坐標為（3,0）,與y軸交于點。（0,-3）,點P是直線下方的拋

物線上一動點.

（1）求這個二次函數的表達式；

⑵連接P。，PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,那么是否存在點尸，使四邊形

POPC為菱形？若存在，請求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

（2024秋?牡丹江月考）

試卷第2頁，共8頁

5.如圖，二次函數y=-/+6x+c的圖象與x軸交于n,B兩點,與了軸交于點C,點A的

坐標為(-4,0),且O/=OC,E是線段。/上的一個動點，過點￡作直線斯垂直于x軸交直

線NC和拋物線分別于點。、F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點￡的橫坐標為加，當〃?為何值時，線段。尸有最大值？并寫出最大值為多少；

(3)若尸是直線/C上的一動點，在坐標平面內是否存在0,使以尸，Q,B,C為頂點的四

邊形是菱形？若存在，直接寫出符合條件的菱形的個數并請直接寫出其中2個點。的坐標;

若不存在，請說明理由.

(2024?明水縣校級二模)

6.如圖在平面直角坐標系中，一次函數了=(無-2的圖象與x軸交于點B,與了軸交于點

C,二次函數了=:/+樂+。的圖象經過8,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點。

圖1圖2

⑴求二次函數的表達式；

(2)如圖1,連接DC,DB,設ASC。的面積為S,求S的最大值及此時點。坐標；

(3)點P在拋物線的對稱軸上，平面內是否存在一點。，使以8、C、P、0為頂點的四邊形

是菱形？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由：

試卷第3頁，共8頁

(4)如圖2,過點。作。于點M,是否存在點。，使得ACZW中的某個角恰好等于

NABC的2倍？若存在，直接寫出點。的橫坐標；若不存在，請說明理由.

(2024?建華區二模)

7.如圖，直線＞=r+3與x軸交于點瓦與y軸交于點C,拋物線y=f2+6x+c經過夙

C兩點，與x軸交于另一點/,點尸在線段8c上，不與8、C重合.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)過點P作x軸的垂線與該二次函數的圖象相交于點M,再過點M作夕軸的垂線與該二次

PM1

函數的圖象相交于另一點N,當￡*=:時，求點P的橫坐標：

MN2

⑶在平面內找到點0,使得以點/、C、P、。為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點P的

坐標；

(4)點C關于x軸的對稱點為點。，連接4P,取/P的中點G,連接DG,4P+2DG的最小

值是一

(2024?宜興市二模)

8.如圖，二次函數了="2+云-4的圖像與x軸交于點/(-2,0)和點2(8,0),與〉軸交于點

圖1圖2

(1)直接寫出。、6的值；

(2)如圖1,連接8C,。在線段BC上，過。作。尸J_x軸于點/，交二次函數圖像于點E,

試卷第4頁，共8頁

4

連接CE、0D,當A。。的面積是ACDE的面積的§時，求點。的坐標.

⑶如圖2,點G的坐標（4,-3）,作直線OG,點〃在y軸的負半軸上，連接交直線OG

于點N在該平面內運動，當以。、〃、M.N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點

H的坐標.

（2024?徐州二模）

9.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數V=-x2-2x+3的圖像與x軸分別交于點/、C

（1）點A坐標為_，點D坐標為_；

（2）尸為之間拋物線上一點，直線8P交4D于E,交x軸于尸，若SA°BE=S△.，求尸

點坐標.

⑶M為拋物線對稱軸上一動點，若平面內存在點N,使得以3、C、M,N為頂點的四邊形

為菱形，則這樣的點N共有_個.

（2024?姑蘇區一模）

10.如圖，二次函數丁=-/+（加-1卜+加（其中切＞1）的圖象與X軸交于43兩點（點/

在點8左側），與丁軸交于點C,連接NC、BC,點。為△48C的外心.

⑴填空：點/的坐標為一，乙4BC=_。；

（2）記A/CD的面積為H，△/5D的面積為S2，試探究E-S2是否為定值？如果是，求出這

試卷第5頁，共8頁

個定值；

(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點E,使得以夙D、C、E為頂點的四邊形是菱形，

則加=_.

(2024?豐縣一模)

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丁="+云-3的圖象交x軸于/(-1，0)、8(3,0)

兩點，交＞軸于點C,點尸在線段。8上，過點P作尸軸，交拋物線于點。，交直線8c

(1)a=_,6=_;

(2)在點尸運動過程中，若ACDE是直角三角形，求點P的坐標；

(3)在y軸上是否存在點R使得以點C、D、E、尸為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直

接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024秋?陽信縣月考)

12.如圖，二次函數y=-/+bx+c的圖像與x軸交于N,8兩點，與y軸交于點C,點/

的坐標為(-4,0),且O/=OC,￡是線段CM上的一個動點，過點E作直線所垂直于x軸

交直線AC和拋物線分別于點D、F.

試卷第6頁，共8頁

⑵設點￡的橫坐標為加.當加為何值時，線段。尸有最大值，并寫出最大值為多少；

(3)若點P是直線/C上的一個動點，在坐標平面內是否存在點。，使以點尸、Q、B、C為

頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024?玉泉區三模)

13.如圖，一次函數的圖象與坐標軸交于B,二次函數、=玄/+法+。的

(2)求二次函數的解析式；

(3)點8關于拋物線對稱軸的對稱點為點C,點尸是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點

。，使得以5,C,P,。為頂點且以為一邊的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

(2024?涼州區校級模擬)

14.如圖，二次函數y=x2+6x+c的圖象交x軸于點48,交》軸于點C,點8的坐標為(1,0),

對稱軸是直線尤=-1,點P是x軸上一動點，軸，交直線NC于點交拋物線于

點N.

試卷第7頁，共8頁

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)若點尸在線段4。上運動(點尸與點A、點。不重合)，求四邊形N2CN面積的最大值，

并求出此時點尸的坐標；

(3)若點尸在x軸上運動，則在丁軸上是否存在點。，使以M、N、C、。為頂點的四邊形是

菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024?蓬江區校級模擬)

15.如圖，二次函數y=x?+bx+c的圖象交X軸于點/(-3,0),3(1,0),交y軸于點c.點尸(私0)

是x軸上的一動點，PMJLx軸，交直線/C于點M,交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數的表達式;

(2)①若點P僅在線段/。上運動，如圖1.求線段的最大值；

②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q,使以M,N,C,Q為頂點的四邊形為

菱形.若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

試卷第8頁，共8頁

1.(l)y=—x1+4x+5

(2)：加(0<加<5)

(3)2或］+病

2

(4)存在點G,此時相應的點尸的坐標為(4,5)

【分析】本題考查了求二次函數的解析式、二次函數的應用、一元二次方程的應用等知識,

熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.

(1)利用待定系數法求解即可得；

(2)根據二次函數和一次函數的解析式分別求出點P,C,E的坐標，再利用兩點之間的距離

公式求解即可得；

(3)先利用兩點之間的距離公式求出PE,即，再根據尸￡=5所建立方程，解方程即可得；

(4)分兩種情況：①當尸C為對角線時，②當尸C為菱形的邊時，根據菱形的鄰邊相等建

立方程，解方程即可得.

—1—b+c=0

【詳解】(1)解：將點，(TO),8(5,0)代入拋物線了=*+樂+。得:

—25+5b+c=0

b=4

解得

c=5

所以拋物線的解析式為>=+4x+5.

3

⑵解：對于直線y=-：x+3,

4

當x=0時，y=3,即C(0,3),

???點P是第一象限內拋物線上一動點，點P的橫坐標為加，

/.0<m<5,

???尸x軸于點尸，交直線于點

：.E\m,--m+3|,

I4)

二CE=—Op+(一：加+3-31==^m>

所以線段的長為:加(0<加<5).

(3)解：???點尸是第一象限內拋物線上一動點，點尸的橫坐標為加，P尸，x軸于點尸，交

答案第1頁，共43頁

直線于點E,

+3

???P（加，一加2+4加+5）,產（加,0）,￡m,-|OT](°<m<5),

<31193

PE=-m7+4m+5-——m+3=-m?Hm+2,EF=——m+3

I4J44

???PE=5EF,

19cv3r

—m2H----加+2=5—m+3,

44

]9/3）13

當—加2++2=5一+3時，解得加=2或機=工>5（不符合題意，舍去），

4I472

當一次2+：加+2=—5（—：加+31時，加=1+或加=]_"三<o（不符合題意，舍去），

414）22

綜上，m的值為2或1+屈.

2

（4）解：存在，求解過程如下：

設點G的坐標為G（0,〃）（〃〉0且〃。3）,

①當尸C為對角線時，〃〉3,

1aS1

則尸E=CE,即-加2+一機+2=—加，解得機=4或機=—<0（不符合題意，舍去）,

442

,19

???PE=-4"+—x4+2=5,-2+4m+5=-42+4x4+5=5,

4m

?.?四邊形CEPG是菱形，

.■.CG=PE,即〃-3=5,解得〃=8,符合題設，

所以此時點尸的坐標為（4,5）；

②當尸C為菱形的邊時，0<〃<3,

“加一0）。（

貝i]PC=PE,即一加之+4加+5—3）=一機m+2,

整理得：m（24m2-89m-48）=0,

解得加=89+&2529>5或加=89-J12竺<0或加=0（均不符合題意，舍去）,

4848

綜上，存在點G,此時相應的點P的坐標為（4,5）.

2.（1）y=~x2+2x+3

⑵（TO）

（、

（3）當點P的坐標為3尸15時，'Ba有最大值，且最大值為2年7；

答案第2頁，共43頁

//---\

（4）存在點P,使四邊形POPC為菱形；點尸的坐標為|

【分析】（1）將。（0,3）、3（3,0）代入〉=一/+云+￡：即可求解；

（2）解一元二次方程0=-犬+2%+3即可；

（3）過點P作尸。〃了軸，求出直線BC的解析式，設點尸（加，-加2+2機+3）,則

。（加，-加+3），根據S'BW=gx（無B-尤c）x（力-%）即可建立函數關系式求解；

（4）設點尸（x,--+2x+3）,pp交了軸于點￡,若四邊形POPC為菱形，貝IJ

13

PC=PO,PEVCO,可推出。￡=]。。=5，據此即可求解；

【詳解】（1）解:將C（0,3）、3（3,0）代入尸*+6x+c得:

J3=c

[0=-32+3b+c，

[b=2

解得：「

[c=3

**?y——工？+2x+3

（2）解：令0=-/+2]+3,解得再=T,%=3,

.,.點A的坐標（-L0）

（3）解：設直線8c的解析式為：y^kx+3,

將3（3,0）代入y=b+3得:0=3上+3,

解得：左=-1；

???直線BC的解析式為：y=-x+3,

過點尸作PD〃了軸，如圖所示：

設點尸（私-m2+2機+3）,則。（加，一加+3）（0＜加＜3）

答案第3頁，共43頁

S&BCP=gx(XB-Xc)x(?f)

1

=-X(3—0)x[一加之+2m+3-(一加+3)]

2

尸有最大值，且最大值為2?7;

O

,尸尸'交x軸于點￡,如圖所示:

若四邊形尸OPC為菱形，則尸C=P。，尸ELCO,

13

：.OE=-OC=-

22

3

即：-X2+2X+3=-,

2

解得：W=小普,馬="普(舍)

"2+V103、

二點P的坐標為

【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，涉及了待定系數法，二次函數與坐標軸的交點問題,

二次函數與面積問題，二次函數與特殊四邊形問題，掌握函數的性質是解題關鍵.

3.(1)二次函數的解析式為＞=--+2為+3；

,|或"2-V103、

(2)存在，P(尸

【分析】(1)將點C(0,3),點3(3,0),代入了=-/+樂+~然后求解即可;

(2)設點尸(x,*+2x+3),PP交CO于點、E,然后根據菱形的性質得尸ELOC,

3-，

OE=CE=~,取后解方程即可；

此題考查了待定系數法，二次函數與特殊四邊形等知識，掌握知識點的應用及數形結合是解

題的關鍵.

答案第4頁，共43頁

【詳解】⑴解：將點3(3,0),點C(0,3),代入y=*+6x+c,

一9+3b+c=0

得

c=3

6=2

解得

6=3

.??二次函數的解析式為y=-/+2x+3,

(2)解：存在，如圖，設點尸(x,--+2x+3),PP交CO于點、E,

,3

:.—x+2x+3=—

2

解得網=2±巫2-廂

2-2-

(2+V103)j2-ViO3)

一--或一--

4.(1)拋物線的表達式為：y=^2—2x—3

’2+亞上、

⑵存在,

-2-2

【分析】本題考查了待定系數法求二次函數表達式，二次函數動點與菱形的存在性的問題.

(1)把從C點坐標代入二次函數解析式即可解出.

3

(2)若四邊形尸OPC是菱形，尸P和。。相互垂直，尸點縱坐標是-'，代入二次函數表達

式即可解得.

【詳解】(1)解：將點5、。的坐標代入＞=/+樂+。中，得:

9+3b+。=0

c=-3

答案第5頁，共43頁

解得：b=-2,c=-3;

二拋物線：y=x2-2x-3.

(2)解：存在.理由如下：

作0c的垂直平分線交直線5c下方的拋物線于點尸，垂足為點E,如圖2,

圖2

則PO=PC.

???△P0C沿C。翻折，得到四邊形尸OPC,

;.OP'=OP,CP'=CP,

：.OP'=0P=CP=CP,

.?.四邊形尸OPC為菱形.

二點E的坐標為］0,-5),

3

???點尸的縱坐標為-；，

2

把了=一|代入＞=/一2x-3得x?—2%—3=—1,解得x=

???點P在直線BC下方的拋物線上，

.??滿足條件的點P的坐標為(空匝，-:

5.(1)二次函數解析式為y=*-3x+4

(2)當機=-2時，。尸有最大值，且最大值為4

(3)存在點。使得以點尸、Q、&C為頂點的四邊形是菱形，共有4個，點。的坐標為

答案第6頁，共43頁

【分析】(1)根據/(-4,0),OA=OC,運用待定系數法即可求解；

(2)根據4-4,0),C(0,4),求出直線/C的解析式，根據點￡的橫坐標為機，可用含加的

式子表示點。，尸的坐標，由此可得。尸的長關于加的二次函數，根據最值的計算方法即可求

解；

(3)根據題意可求出8c的長，根據菱形的性質，分類討論：第一種情況：如圖所述，點。

在直線/C下方；第二種情況：如圖所示，點。在直線/C上方；圖形結合，即可求解，

第三種情況，8c為菱形的對角線時.

【詳解】(1)解：???二次函數V=-x2+6x+c的圖象與x軸交于/,8兩點，與了軸交于點C,

點A的坐標為(-4,0),

OA-4,

-OA=OC,

...OC=4,則。(0,4),

把Z(-4,0),。(0,4)代入二次函數解析式歹=—/+及+。得,

一16-46+。=0b=-3

解得,

c=4c=4

二二次函數解析式為歹=-/-3x+4；

(2)解:由(1)可知，二次函數解析式為了=-?-次+4,且止40),C(0,4),

???設直線AC所在直線的解析式為y=kx+b(k^0),

[-4左+6=0\k=\

11A,解得，1,.)

[6=4[6=4

???直線NC的解析式為y=x+4,

???點￡的橫坐標為機，直線Eb垂直于x軸交直線/C和拋物線分別于點￡＞、F,

:點D、尸的橫坐標為加，

.-.D(m,m+4),F(m,—m2—3m+4),

DF=—m2-3m+4—(m+4)=—m2-4m=—(m+2)2+4,

.,.當枕=-2時，。尸有最大值，且最大值為4；

答案第7頁，共43頁

(3)解：???二次函數y=-/-3x+4的圖象與x軸交于4,B兩點,且4-4,0),

.".令y=0時，x~+3x—4—0>則無i=-4,x2=1,

???8(1,0),且C(0,4)

在RM80C中，08=1,OC=4,

???BC=slOB2+OC2=Vl2+42=V17，

四邊形尸C8。是菱形，則PC〃8。，BQ=BC=A/T7,

且直線AC的解析式為v=X+4,

???設直線20所在直線的解析為＞=x+c,把點8(1,0)代入得，0=l+c,

解得，c=-l,

二直線20的解析式為y=xT,

設0(見4-1),過點。作軸于點H,

BH=l—q,QH=q—1,

???BQ=^BH2+QH2=7(l-^)2+(^-l)2=V17,

整理得,2g2_4g_15=0,

4±2A/342±V34

???當g=M時，恒一「叵，即/T，半］;

222(22)

當好手時，”「手一」孚，即《手,-孚)

答案第8頁，共43頁

第二種情況：如圖所示，點。在直線NC上方,

四邊形尸是菱形，。尸〃BC,BP=BC=^n,

且3(1,0),C(0,4),

???直線BC的解析式為y=-4x+4,

設尸(p,p+4),

???BP=J"？)?+5+4)2=后,

整理得，p2+3p=0,

解得，小=0(與點C重合，不符合題意，舍去)，p2=~3,即P(-3,l),

???設尸。所在直線的解析式為V=-4x+〃,

把點P(-3,l)代入得，〃

???直線PQ的解析式為y=-4x-ll,

根據題意，設。&，-4—11),

???PQ=7(-3-r)2+(l+4r+ll)2=歷，

整理得,17r2+102r+136=0,

-102±34on、〃

r=--------,gprt=-2,r2--4,

—2>—3,不合題意，

.??2(-4,5)；

第三種情況，8c為菱形的對角線時，如圖所示：

答案第9頁，共43頁

作8C的垂直平分線PN,交4c于P,交BC于N,

在直線PN上截取CQ=PC,連接尸8、8。得菱形8PC。,

???5(1,0),C(0,4),

???NBOC=NBNM=90°,ZCBO=ZMBN,

.FBOCSABNM,

BOBC

w)

1V17

V17BM，

~T

設直線PN為y=冽x+〃,

答案第10頁，共43頁

1

m=—

4

解得

15

n=一

8

115

y=-xH----,

48

與＞=x+4聯立,

115

,y——xH-----

得彳48,

y=x+4

17

x=-----

解得f,

dm

二將點P向右平移個單位再向上平移個單位得到點C,

將點5(1,0)也做相同的平移得到點011+^,0+￡),即

綜上所述，存在點。使得以點20、B、C為頂點的四邊形是菱形，共有4個，點。的坐標

【點睛】本題主要考查二次函數與特殊四邊形的綜合，掌握待定系數法求二次函數解析式,

二次函數圖象的性質，菱形的判定和性質等知識是解題的關鍵.

13

6.⑴y=]X9-貯一?

(2)4,。(2,-3)

g,o).(寫出其中3個即可)

(4)2或詈29

【分析】(1)根據題意得到8、C兩點的坐標，利用待定系數法可求解析式；

(2)過點。作DF_Lx軸，交BC與點、F,設。(。,］。2-?1。-2}0＜。＜4),則

?-2.然后列出S與。的關系式，最后利用配方法求得其最大值及坐標即可；

(3)先求解拋物線的對稱軸為直線：x=1,設尸(；,e),再分三種情況討論：2c為對角線

時，P3為對角線時，CP為對角線時，再結合菱形的性質與平移的性質可得答案.

答案第11頁，共43頁

(4)根據勾股定理的逆定理得到A4BC是以N/C3為直角的直角三角形，取A8的中點E,

EA=EC=EB=g過。作了軸的垂線，垂足為R,交/C的延線于G,設

1313

D(x,—x2——x—2),則DR=x,CR=——x2+—x,最后,分為/DCM=2NBAC和

ZMDC=2ZBAC兩種情況列方程求解即可.

【詳解】(1)解：???一次函數N=；x-2的圖象與x軸交于點8,與7軸交于點C,

.?.點8(4,0),點C(0,-2),

??,二次函數y=gx2+Zw+c的圖象經過8,C兩點，

c=-2

0=8+46-2

c=-2,

解得：,3

b=——

I2

1Q

「?拋物線的解析式片/-蕓-2；

(2)解：如圖所示：過點。作。尸，x軸，交BC與點F.

圖1

Dfa,,”2_]Q—2卜0<a<4),

則F\a,—a—2

2

：.S=^FD-OB=-a2+4a=-(a-2)2+4

v-1<0

.??〃=2時，S最大，最大值為4.

此時，點。坐標為(2,-3).

121Q75

(3)存在，理由如下：,.,歹=3-—不％-2=3(%-3)2—■-,

2222o

，拋物線的對稱軸為直線：%=|3,

答案第12頁，共43頁

3

設尸(/)，

以5C為對角線時，

/.PC=PB,

222

1+(e+2)=(|-4)+e,

3

解得:e=0,即尸(于0),

當5P為對角線時，

PC=CB,

Q222

.\^+(e+2)=4+2f

解得：,=一2+^^,%=-2-3點尸坐標為2+g^］或

22\ZZJJ\zzJ

當CP為對角線時，

PB=CB,

(|-4)2+^2=42+22,

解得：e=，e4=，點P坐標為］3V55Vf3卮)

3了亍J或［于一三)

綜上：尸的坐標為:■|,-2+日口或

-〒產G亍J或［于一三)或〔2刀

(4)如圖所示：過點。作。H_Ly垂足為我,DR交BC與點、G,連接NC,

斗

\Eg乙

8(4,0),C(0,-2),

圖2

:.AC=4s,BC=245,AB=5,

AC2+BC2=AB2,

.?.&8C為直角三角形.

取N8的中點E,連接CE,則CE=3E,

答案第13頁，共43頁

:"0EC=2/ABC.

tanZO￡,C=—=-.

OE3

當AMCD=2/ABC時,則tanZCDR=tanZABC=1.

i3i3

設。（x,'——'X—2）,則=x,C7?=—5/+5X.

123

…22j，

x2

解得：x=0（舍去）或x=2.

.??點。的橫坐標為2.

當NCZ）河=2NZBC時，設MD=3k,CM=4k,CD=5k.

???tanZMGD=~,

2

GM=6k,GD=3限,

GC=MG-CM=2k,

.e_4囪「R_2書

..GR=------k9CR=------k?

55

RD=3限一逑左=應5左.

55

"326

「nXHX-----K

.CR22_5_

"DRx-11式’

-------k

5

29

角畢得：x=0(舍去)或％=五.

點。的橫坐標為7柒Q

綜上所述，當點。的橫坐標為2或條

【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求函數的

解析式，解直角三角形，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

7.(l)y=-/+2x+3

⑵1+收或2-6

⑶(6,3-6),(2,1)0,J

(4)2屆

答案第14頁，共43頁

【分析】（1）先求出8（3,0）,C（0,3）,然后代入了=-爐+云+。求解即可；

（2）設河（〃?,-〃/+2〃?+3）,則尸（加,-加+3）,PM=-m2+3m.然后分點M在對稱軸的右

邊和點M在對稱軸的左邊兩種情況求解；

（3）分三種情況求解：①當NP為對角線時，②當/C為對角線時，③當PC為對角線時；

（4）由點G是4尸的中點，可得/P+2OG=2（/G+OG）,取中點E,連接EG并延長

交NC于點尸，可證點G在斯上運動，作點N關于斯的對稱點H,則H在8c上，連接

A'E,則可知當4,G,。共線時，NG+OG取得最小值，即4P+2DG取得最

小值.求出4（1,2）即可求解.

【詳解】（1）對于y=-x+3,

當x=0時，歹=3,

當歹=0時，0=一1+3,x=3,

.*.^（3,0）,C（0,3）,代入＞=一%2+瓜+。，

]-9+3b+c=0

\c=3'

:.y——+2x+3；

(2)設/(加+2加+3),則尸(加，一加+3),

PM=-m2+2m+3-1—m+3)=-m2+3m.

yy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

???對稱軸是直線x=l.

如圖，當點〃在對稱軸的右邊時，N(2-m,-m2+2m+3'),

答案第15頁，共43頁

；.MN=m-12_m）=2m-2,

PM1

「前一/，

.-m2+3m1

2m-2~29

.，.mx=\+-\[2fm2=1—V2（舍去）.

如圖，當點M在對稱軸的左邊時，N（2-加,-/+2%+3）,

：.MN=[2-m^-m=2-2m,

PM1

:就一I，

.—m2+3m1

2-2m-2,

m3=2—V3,加4=2+VJ（舍去）.

，點p的橫坐標為1+收或2-6；

（3）設P（〃,f+3）,

答案第16頁，共43頁

①當/尸為對角線時，則/C=PC,

.-.n2+（-?+3-3）2=l2+32,

n=A/5（負值舍去），

...P（V5,3-V5）.

②當NC為對角線時，則/尸=PC,

???n2+（-“+3-3）2=（〃+i）2+（一〃+3）2,

5

：.n=—,

2

③當尸C為對角線時，則NP=/C,

.-,12+32=（7?+1）2+（-?+3）2,

?i=2,幾2=0（舍去）,

.?.尸（2,1）.

綜上可知，點尸的坐標為（次,3）,（2,1）II）；

（4）,:點G是4P的中點,

?;AP=2AG,

...AP+2DG=2AG+2DG=2（/G+DG）.

取42中點￡,連接EG并延長交/C于點尸,

EF//BC,

答案第17頁，共43頁

-A-F=AE=1,,

ACEB

.?.E尸是ZUBC的中位線，

???點G在斯上運動，

作點/關于所的對稱點H,則H在8C上，連接，HE則44UE尸，

AAA'B=90°,AG=A'G,

：.AG+DG=A'G+DG,

.,.當H,G,。共線時，NG+DG取得最小值，即/尸+2DG取得最小值.

?；OB=OC=3,NBOC=90°,

ZOBC=ZOCB=45°,

ZA'AB=ZOCB=45°,

A'A=A'B,

.-.A'E=AE=BE=-AB=2,

2

,-.OE=2-1=1,

■.A'(1,2),

A'D=+(2+3『=V26,

■■AG+DG=A'G+DG=y/26,

???AP+2DG=2AG+2DG=2726,BPAP+2DG的最小值為2而.

故答案為：2A/^.

【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，待定系數法求函數解析式，軸對稱的性質,

等腰直角三角形的性質，勾股定理，以及二次函數與幾何綜合，難度較大，屬中考壓軸題.

8.(1)-,--

一42

⑵。(2,-3)或(6,-1)

(3)(0,-4),(0,-6),^0,

【分析】本題主要考查了求二次函數的性質、二次函數與面積的綜合、二次函數與特殊四邊

形的綜合等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵，

(1)分別將點4(-2,0)和點8(8,0)代入表達式進行求解即可；

答案第18頁，共43頁

(2)先求出直線8C的解析式，然后設出點。、點E坐標，表示出然后再根據AOCD

4

的面積是的面積的］求出。E,從而得到方法求解，進而完成解答；

(3)先求出直線OG、的解析式，然后聯立求得即

卜。一66-tz)

;再分三種情況解答即可.

【詳解】(1)解：將4(—2,0)和5(8,0)代入歹=以2十法一4,

J4"26-4=0

*|64^z+8Z?-4=0，

解得：.

b=--

l2

(2)解：設直線的解析式為〉=區+力,

解得：,2,

b=-4

:.y=-x-4,

設。點坐標為。,Eyd,—d2--17-4

DE=-d-4-\-d2--d-4\=--d2+2d,

2U2J4

??,DF_Lx,

.MOCD、的邊上的高相等，

4

???AOCD的面積是△CD￡的面積的］,

3

：.DE=-OC=3,

:.—d?+2d-3,

4

解得：d=2或6,

??.D點的坐標為。(2,-3)或(6,-1).

答案第19頁，共43頁

（3）?：（-2,0）,5（8,0）,C（0,-4）

設直線OG的解析式為y=履，則有：-3=4左,

3

解得：k=--,

4

設7/（0,〃乂a<0）,IJJl]OH=—a,

設直線BH的解析式為y=mx+b,

b=a

解得：<1

m=——b

18

y=——ax+a

8

聯立

3

y=——x

4

得：-ax+8a=-6x,

38a6a

???V=—x-------=--------

4a-66-a

、/Sa6a

——，

（a-66-a）

100a210a

"\（6-a）26-a!

①當OH,OM均為邊時,OH=OM,則OH-=OM2,

化簡得：/一120-64=0,

解得：a=-4或16（正值舍去）;

.?皿0,-4）；

答案第20頁，共43頁

②當為邊時，oa為對角線時，由對角線相互垂直平分可得：小.|=；必|,

解得：。=-6或18(正值舍去),

.??"（0,-6）；

③當為對角線，為邊時，OH=MH,

I64a21（a2）"

■■HM=［（a一6『+（6-a）2

.6石?(叫2

(q-6『(6-q)~

整理得：-12a=28,

7

解得：a=--.

綜上，〃(0,-4)或(0,-6)或，

9.(1)(-3,0),(-1,4)

」1336、

⑵尸「二子J

(3)4

【分析】(1)在V=—f-2x+3中，令y=。可得/(一3,0),由歹二一12一2x+3=—(％+1)2+4,得

拋物線頂點。為(T,4)；

(2)連接D。，由/(TO),C(l,0),￡>(-1,4),5(0,3),求出“邊彩a=L“,

根據SWBE=S2AEF，可得S四邊形408。=S^BOF，故可求出。尸=5,尸(-5,0),得直線3尸

.3

3y=-x+3

函數表達式為y=1X+3,聯立/5,求解，即可得出點P坐標；

y=—x2-2x+3

(3)分三種情況：①若以8C,為鄰邊，則以8為圓心，8c為半徑作圓與對稱軸直線

》=-1有交點M],M2,②若以C2,CW為鄰邊，則以C為圓心，CB為半徑作圓與對稱

軸直線x=-l有交點M，M4,③若以MB,MC為鄰邊，則作BC的垂直平分線與對稱軸

直線x=-l有交點“5,分別畫出圖形可得答案.

【詳解】(1)解：在y=---2x+3中，令>=。得0=-x2-2x+3,

答案第21頁，共43頁

解得X=1或％=-3,

4—3,0),

*.*y———2x+3=—(x+1)?+4,

拋物線頂點。為(T，4),

故答案為:(-3,0),(-1,4)；

(2)解：連接。0,如圖：

由(1)知，力(—3,0),C(l,0),。(―1,4),

在-2x+3中，令％=0得》=3,

???8(0,3),

S四邊形4080=S“OD+S4BOD=5、3*4+5*3><1=

,SgBE=^AAEF，

=

-S^DBE+S四邊形"osS“EF+S四邊形,

OF=5,

???尸(-5,0),

設直線5/函數表達式為〉=而+6,

仿=3

把5(0,3),尸(-5,0)代入，得

[-5左+6=0

\=1

解得：,5,

b=3

答案第22頁，共43頁

3

???直線BF函數表達式為歹=Mx+3,

[3、

聯立，5,

y=-x2-2x+3

13

\x=0T

解得,或

6，

5

(3