2025學年九年級數學下學期開學摸底考

（南京專用）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

22

A.x—=1B.x2—3x+1=0C.x~—+4=0D.x~+3=—

x'x

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據“只含有一個未知數，且未知數的指數最高是2的整式方程是

一元二次方程”進行逐一判斷即可.

2

【詳解】解：A、門-￡=1不是整式方程,

x

二不是一元二次方程，故不符合題意；

B、X?-3x+l=0是一元二次方程，故符合題意；

C、/-2了+4=0含有兩個未知數，不是一元二次方程，故不符合題意；

□

D、?.?，+3=*不是整式方程，

x

??.不是一元二次方程，故不符合題意；

故選：B.

2.天氣預報稱，明天全市的降水概率為70%,下列說法中正確的是（）

A.明天全市將有70%的地方會下雨B.明天全市將有70%的時間會下雨

C.明天全市下雨的可能性較大D.明天全市一定會下雨

【答案】C

【分析】本題考查概率的意義，掌握生活中常用的知識點是解題的關鍵.下雨的降水概率指的是下雨的可

能性，據此進行解題即可.

【詳解】解：天氣預報稱，明天全市的降水概率為70%,則代表明天全市下雨的可能性較大，

故C說法正確，

故選：C.

3.將拋物線y=(x-3)2-4先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，所得拋物線的函數表達

式為()

A.y=^x2B.y=(x-l)2-3

C.y=(x-2)2-6D.y=(x-4)2-2

【答案】D

【分析】本題主要考查二次函數圖象的平移，熟練掌握平移規律是解題的關鍵.利用二次函數圖象的平移

規律，左加右減，上加下減，進而得出答案.

【詳解】將拋物線y=(x-3)2-4先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，

所得拋物線的函數表達式為＞=(x-3-爐-4+2=(x-4)2-2.

故選：D.

4.如圖，若。、￡分別為△N8C中48、/C邊上的點，MZAED=ZB,AD=3,AC=6,/3=8,則4E

的長度為()

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.先證明

△ADESAACB,然后利用相似比求/E的長度即可解答.

【詳解】解：???ZAED=ZB,ZA=ZA,

:AADES八ACB,

AEADAE3

——=——,即nn——=一，

ABAC86

解得：AE=4.

.■.AE的長度為4.

故選：D.

5.己知一元二次方程f-x-2=0的一個根為加，則2024-病+加的值是()

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】C

【分析】此題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.把

m代入方程求出布一加一2=0,然后利用整體代入求值即可.

【詳解】解：..?一元二次方程f-x-2=0的一個根為加，

〃，一機—2=0,

???2m一加c=2,

2024-m2+m=2024-(m2-m)=2024-2=2022,

故選：C.

6.如圖，48是。。的直徑，弦于點￡,OC=5cm,CD=8cm,則5E=()cm.

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，熟練掌握垂直定理是解題的關鍵.

根據CD1AB得CE=DE=4cm,再利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：是的直徑，

：.OB=OC=5cm,

-CD1AB,

/.CE=DE=4cm,

在RtaOCE中，OC=5cm,

???OE=V52-42=3cm，

:.BE=OB-OE=5-3=2(cm).

故選：D.

第n卷

二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。

71

[答案】

66

【分析】本題主要考查比例的性質，設a=4x,6=3x,代入即可求出.

a4

【詳解】解：

b3

??.設Q=4x,6=3x

a+b_4x+3x_7x_7

2b2x3x6x6

7

故答案為：—.

o

8.二次函數歹="2的圖象經過點(L—2),則它的開口方向是.

【答案】向下

【分析】本題考查了待定系數法求解析式及二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.根

據〃的符號判斷拋物線的開口方向.

【詳解】解：?.?二次函數>的圖象經過點(1,-2),

?**a——2<0,

???開口方向向下.

故答案為：向下.

9.已知數據否,％2,…,Z的方差是4,則一組新數據玉+3,%+3,…，當+3的方差是.

【答案】4

【分析】本題考查了方差的計算，掌握方差的計算公式是解題的關鍵.根據方差的計算方法進行即可求解.

【詳解】解：數據否,馬，…,%的方差是％設數據加/，…,Z的平均數為1

X=—(Xj+X2H---------F,

2

???§2=4=![(西-X)+(工2-亍JH---------,

設一組新數據項+3,%+3,…，％+3的平均數為?，

_]

x'——(石+3+/+3+,,,+%〃+3)

n

='[(石+%2+…+%〃)+3幾]

=—(-^1+^2-----1~X〃)+3

n

=x+3，

(S)=-[(西+3-x-3)+(x2+3—x—3)H-----F(X1+3-x-3)]

=:[(X]一于『+(七一元J+---+(X?-X)2]

=52

=4.

故答案為：4.

10.盒中有。枚黑棋和b枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨機取出1枚棋子，如果它是黑棋

的概率是則一J的值為___________.

7a-b

52

【答案】一

【分析】本題考查了概率公式以及分式的值，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.由概率公式得上7=：,

a+b7

整理得6=g。，再代入所求分式計算即可.

【詳解】解：由題意得：=

a+b7

整理得：b=：a,

2

5

1-ac

b2_二

"a-b~5一1

a—u

2

故答案為：一三

11.若(/+〃)2-3(/+62)-4=0,則代數式/+〃的值為.

【答案】4

【分析】此題考查利用換元法解一元二次方程，設x=/+〃(xN0),將原方程變為--3》-4=0求解即可.

【詳解】解：設x=/+/(x20),貝|方程為f一3X-4=0,

即卜_4)卜+1)=0,

解得再=4,x2=-1(舍去)，

2

則/+b=4，

故答案為：4.

12.如圖，點P是。。外一點，過點P作圓的兩條切線E4、PB,點、A、8是切點，。是。。上不同于點

A,B的任意一點，已知4P=44。，則的度數為.

【答案】68。或112。

【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.根據切線的性質得

ZOAP=NOBP=90°,再利用四邊形的內角和得到ZAOB=18O°-ZP=180。-44。=136。，然后分類討論：

當點。在優弧上，如圖，根據圓周角定理可計算出乙4/=；//。8=68。；當點。在劣弧上，如圖,

根據圓內接四邊形的性質得^AQ'B=180。-N/Q8=112。.

【詳解】解：?.?1以和必為OO的兩條切線，

OA1PA,PBLOB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

ZAOB=180°-ZP=180°-44°=136°,

當點0在優弧48上，如圖中點。位置,

ZAQB=^ZAOB=6S°；

當點。在劣弧上，如圖中點。'位置，

ZAQ'B=180°-=180°-68°=112°,

綜上所述，的度數為68。或112。.

故答案為：68。或112。.

13.如圖，在平面直角坐標系X0/中，A4BC與ADEF位似,原點。是位似中心，若用2,4),。(-1,-2),

若DE=6,貝為.

【答案】2g

【分析】此題主要考查了位似圖形的性質以及坐標與圖形的性質，根據位似圖形的性質得出/O,。。的長,

Ar)AR

進而得出==益=2,求出42的長即可.

DODE

【詳解】解：?；/(2,4),￡>(-1,-2),

22

A0—J2+4=2Vs，DO=J(-1)+(-2)=y/5,

???△4BC與ADEF位似，原點。是位似中心,

AOAB-

-----=-----=2,

DODE

,：DE=6,

???AB=2^3■

故答案為：2G.

14.如圖，以菱形Z8CD的頂點8為圓心，邊長為半徑作圓，經過頂點。，點E、F分別在弧4。、弧

DC上，且NEBF=60。，AB=2,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】|萬-君

【分析】本題考查了不規則圖形的面積求解，涉及了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形

的判定與性質等知識點；

連接BD，作，工。，可得均為等邊三角形，證△ABMADBN得S^可推出

5GAABDQCBDSAABM=DBN

S陰影部分=S扇形E8F-SXDBM-S^ABM~'扇形E5F—LABD，據此即可求解;

【詳解】解：連接80,作8GL4D,如圖所示:

D

E

由題意得：AD=AB=BD=CD=BC,

：.AABDQCBD均為等邊三角形，

NBAM=ZBDN=NABD=60°,

???NEBF=60°=NABD,

ZABM=ZDBN,

??.△ABM名ADBN,

,■?s°=zSDBN，

陰影部分=S扇形EBF-S^DBM—S^DBN>

"S陰影部分=S扇彩EBF_S&DBM_S^ABM=S扇形EBF~^HABD；

,；AD=AB=2,3G=N8xsin60°=5

S

■■.ABD=1-X2XA/3=A/3,

(60°/2

「5扇形仍尸=薪義萬、2=-7T,

???S陰影部分=|^-V3；

故答案為：|萬一道.

15.如圖，在平面直角坐標系中，Rtz\48。的頂點8在x軸的正半軸上，ZABO=90°,點A的坐標為

(1,73),將A/3。繞點O逆時針旋轉，使點8的對應點B落在邊CM上，則4的坐標.

【答案】卜1,道)

【分析】本題考查了解直角三角形的應用、旋轉的性質等知識，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關

鍵.過點4作4C，x軸于點C,先根據正切可得4408=60。，根據勾股定理可得04=2,再根據旋轉的

性質可得乙4'。9=//。8=60。,4。=。4=2,從而可得z/OC=60。，然后在Rt^/'OC中，解直角三角形

可得。C,HC的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點4作軸于點C,

?，RtN48。的頂點8在x軸的正半軸上，4420=90°,點A的坐標為(1,6卜

；.OB=I,AB=Y5,

AR

/.tmZAOB=——=V3,OA=ylOB2+AB2=2，

OB

ZAOB=60°,

由旋轉的性質得：NAOB'=ZAOB=60°,A'O=OA=2,

：.ZA'OC=180°-60°-60°=60°,

：.OC=A'O-cosZA'OC=1,A'C=HO.sinZA'OC=g,

???點4的坐標為卜1,6),

故答案為：口6).

16.如圖，一段拋物線歹=-X(X-5N0VXV5),記為q,它與無軸交于點O,A；將￡繞點4旋轉180。

得G,交X軸于點應；將C2繞點4旋轉180。得G,交X軸于點4；一一如此進行下去，得到一“波浪線”,

若點尸(2024,加)在此“波浪線，，上，則掰的值為

【分析】本題考查了拋物線與無軸的交點，二次函數的性質，二次函數與幾何變換，根據函數

y=-x(x-5)(O4xW5)可求出4(5,0),從而可求出4(10,0),4(15,0),再根據整個函數圖象每隔5x2=10

個單位長度，函數值就相等，由2024-10=202……4,即可知加的值等于x=4時的縱坐標，從而得出答案.

【詳解】解：當V=0時，-x(x-5)=0,

解得：再=0,x2=5,

???4(5,0),

由旋轉的性質知G的解析式為：j.=-(x-5)(x-10),400,0)，

a的解析式為：尸(-10)(工-15),4(15,0),

.?.整個函數圖象以5x2=10個單位長度為一個周期，函數值就相等,

???2024+10=202......4,

m的值等于x=4時的縱坐標，

w=-x(x-5)=-4x(4-5)=4,

故答案為：4.

三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(6分)解方程：

⑴2/+I=3X

(2)2X2+4X-3=0

【答案】(1)再=1,x2=1.

-2+而-2-V10

(2)占=

22

【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)先求出A,再根據A>0,然后利用求根公式x=>±代入求解即可.

2a

(2)先求出A,再根據△>(),然后利用求根公式》=士也三絲代入求解即可.

2a

【詳解】(1)解：2X2+1=3X

2x?—3x+1=0

Q—2,b——3,(7—1,

A=Z>2-4ac=(-3)2-4x2x1=9-8=1>0,

-b±yjb2-4ac3±1

???x=-----------------

2a~T~

(2)解：2X2+4X-3=0

a=2,b=4.c=—3

A=62-4tzc=42-4x2x(-3)=16+24=40>0,

-b±y/b2-4ac-4±2y/10

???x=-----------------=-------------

2a4

-2+Vio-2-Vio

項=

22

18.(8分)某校舞蹈隊共16名學生，測量并獲取了所有學生的身高(單位：cm),數據整理如下:

16名學生的身高:

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175

6.16名學生的身高的平均數、中位數、眾數：

平均數中位數眾數

166.75mn

(1)寫出表中加，"的值；

(2)對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現效果越好.據此推斷：在下

列兩組學生中，舞臺呈現效果更好的是.(填“甲組”或“乙組”)；

甲組學生的身高162165165166166

乙組學生的身高161162164165175

(3)該舞蹈隊要選五名學生參加比賽.已確定三名學生參賽，他們的身高分別為168,168,172,他們的身高

的方差為$2=彳，在選另外兩名學生時，首先要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生

的身高的方差變小，其次要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的平均數盡可

能大，則選出的另外兩名學生的身高分別為和.

【答案】(1)166,165

⑵甲組

(3)170cm,172cm,

【分析】本題考查了平均數、眾數、中位數和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義是解題的關鍵.

(1)根據眾數和中位數的定義進行計算；

(2)根據方差的計算公式計算方差，然后根據方差的意義進行比較；

(3)根據方差進行比較.

【詳解】(1)解：數據按由小到大的順序排序：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,

168,168,170,172,172,175,

則舞蹈隊16名學生身高的中位數為皿詈=166cm,

數據165最多，所以，眾數為165cm,

故答案為：166,165；

162+165+165+166+166

(2)解：甲組學生身高的平均值是:=164.8（cm）,

5

甲組學生身高的方差是:

|X[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-166)2+(164.8-166)2]=2.16,

161+162+164+165+175

乙組學生身高的平均值是:=165.4(cm),

5

乙組學生身高的方差是：

1x^(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-165)2+(165.4-175)2]=25.04,

??-25,04>2,16,

???甲組舞臺呈現效果更好.

故答案為：甲組；

(3)解：???168,168,172的平均數為;(168+166+172)=169；(cm),

方差$2=gx^168-169^x2+^172-169^=y,

又所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于亍，

.?.數據的差別較小，

可供選擇的有170cm,172cm,

平均數為：1(168+168+170+172+172)=170(cm),

方差為：|[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=3.2<y,

???選出的另外兩名學生的身高分別為170cm和172cm,

故答案為：170cm,172cm.

19.(6分)為保障校園安全，南安市實驗中學校門口都安裝了人臉識別閘機.我們學校開設了A,B,C

三個刷臉通道.某天早晨，小明和小慧將隨機通過刷臉通道進入校園.

(1)小明通過A刷臉通道的概率是；

(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求出小明和小慧從同一刷臉通道通過的概率.

【答案】(1)；

【分析】本題主要考查了求概率，列表求概率，

對于(1),根據概率公式計算；

對于(2),列出表格得出所有可能出現的結果，再得出符合條件的結果，即可得出答案.

【詳解】(1)因為一共有B,C三個通道，小明通過N通道刷臉的該概率為：；

故答案為：g;

（2）列表如下:

ABc

A(44)(B,A)(C,A)

B(48)(B,B)S)

C(A,C)(B,C)（c,c）

一共有9種可能出現的結果，符合條件的有3種，

所以小明和小慧從同一個刷臉通道通過的概率是9=（

20.（6分）如圖1所示，有一種單層絨布料子的臺燈燈罩，燈罩的下面是空的.把這個燈罩抽象成一個幾

何體時，我們稱之為圓臺，它可以理解為把大的圓錐沿著平行于底面。a的圓面0a裁切掉上面的小圓錐

得到的.如圖2所示，現在要制作這種燈罩，若已知。?的直徑/8=12cm,O。z的直徑CD=32cm,點

0、。1、。2共線，OQ與48、。都垂直，001=66，002=10百cm,請問制作一個這樣的臺燈的燈

罩需要多少平方厘米的絨布？（接縫處的布料忽略不計，兀23.14,結果保留整數）

【答案】制作一個這樣的臺燈的燈罩大約需要1495cm2的絨布

【分析】本題主要考查了圓錐側面積公式，圓的面積公式，勾股定理，熟練掌握圓錐側面積公式是解題關

鍵.先運用勾股定理分別求出兩個圓錐的母線長，將兩個圓錐的側面積相減即可得到燈罩的側面積，再運

用圓的面積公式求出燈罩上底面的面積，即可求解.

【詳解】解：,?,48=12cm,

BOX-6cm,

又OO]=6y/3cm,

BO=12cm,

CD=32cm,

DO2=16cm,

OR=106cm,OOX=6yf3cm,

?.002=16>j3cm,

DO-32cm,

Ii2

SS

S燈罩廁面=^?D'OD~^B'OB=--32n-32---127t-12=4407tcm-)

12

3671cm2,

2

S燈罩=440兀+36兀=476兀?1495cm,

.??制作一個這樣的臺燈的燈罩大約需要1495cm2的絨布.

21.（6分）化學是一門以實驗為基礎的學科，小華在化學老師的幫助下，學會了用高銃酸鉀制取氧氣的實

驗，回到班上后，第一節課手把手教會了同一個學習小組的x名同學做該實驗，第二節課小華因家中有事請

假了，班上其余會做該實驗的每名同學又手把手教會了x名同學，這樣全班43名同學恰好都會做這個實驗

了.求x的值.

【答案】尤的值為6

【分析】本題主要考查一元二次方程的運用，理解題目中數量關系，掌握一元二次方程的運用是解題的關

鍵.

小華第一節課手把手教會了同一個學習小組的x名同學做該實驗,班上其余會做該實驗的每名同學又手把手

教會了X名同學，全班43名同學恰好都會做，由此數量關系列式即可求解.

【詳解】解：由題意得l+x+/=43,

解得再=6,3=-7（不符合題意，舍去），

答：x的值為6.

22.（8分）如圖，48是。。的直徑，點C為O。上一點，連接3C,點。在R4的延長線上，點E在08上,

過點￡作AD的垂線分別交DC的延長線于點尸，交3c于點G,且NF=2/瓦

（1）求證：Z）尸是。。的切線；

⑵求證：FC=FG.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）由等邊對等角可得/B=/0C5,由三角形外角的性質可得/DOC=/8+/OC3=2/8,由垂

線的性質可得/DEF=90。，由直角三角形的兩個銳角互余可得/D+/F=90。，進而可得NO+ZDOC=90。,

由三角形的內角和定理可得/OCD=180。-（/。+/DOC）=90。，由切線的判定定理可得結論；

（2）由（1）可得。9是O。的切線，由切線的性質定理可得。。_1。尸，由垂線的性質可得

ZOCF=ZOCB+ZFCB=90°,由等邊對等角可得NOC2=NO3C,由垂線的性質可得NGE2=90。，由直

角三角形的兩個銳角互余可得NO3C+NEGB=90°,利用等式的性質1可得NFC3=2EGB,由對頂角相等

可得/EG5=/FGC,進而可得/FC5=/FGC,由等角對等邊即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。C,

ZDOC=Z8+NOCB=2NB,

ZF=2ZB,

ZDOC=ZF,

???EFLBD,

NDEF=90。,

/./D+/F=90°,

ZD+ZDOC=90°,

NOCD=180°-(ZZ>+ZZ>OC)=180°-90°=90°,

又???點C在。。上，

尸是G)O的切線；

(2)證明：由(1)可得：。尸是。。的切線，

OCLDF,

ZOCF=ZOCB+NFCB=90°,

：OC=OB,

ZOCB=ZOBC,

又?；FELOB,

:.ZGEB=90°,

:.ZOBC+ZEGB=90°,

：.ZFCB=NEGB,

又：NEGB=NFGC,

:.ZFCB=ZFGC,

FC=FG.

【點睛】本題主要考查了等邊對等角，三角形外角的性質，垂線的性質，直角三角形的兩個銳角互余，三

角形的內角和定理，切線的判定定理，切線的性質定理，等式的性質1,對頂角相等，等角對等邊等知識點，

熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵.

23.(8分)為鼓勵廣大鳳中學子走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，初三年級某班

組織同學們周末共跑沙濱路，其中，小鳳和小鳴兩人同時從/地出發，勻速跑向距離12000m處的2地，小

鳳的跑步速度是小鳴跑步速度的1.2倍，那么小鳳比小鳴早5分鐘到達8地.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)小鳳每分鐘跑多少米？

(2)若從工地到達2地后，小鳳以跑步形式繼續前進到C地(整個過程不休息).據了解，從他跑步開始，

前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量

就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小鳳共消耗2300卡路里的熱量，小鳳從/地到C地鍛煉共用多少分

鐘？

【答案】(1)小鳳的跑步速度為每分鐘480m；

(2)小鳳從A地到C地鍛煉共用70分鐘.

【分析】(1)設小鳴的跑步速度為每分鐘xm,則小鳳的跑步速度為每分1.2xm.根據小鳴的跑步時間一小

鳳的跑步時間=5列分式方程求解即可；

(2)設小鳳從B地到C地用時V分鐘，根據前30分鐘消耗的熱量+30分鐘后的熱量=2300列方程解答即可.

【詳解】(1)設小鳴的跑步速度為每分鐘xm,則小鳳的跑步速度為每分1.2xm,

根據題意，得"則-粵"=5,

x1.2x

解得x=400,

經檢驗x=400是原方程的解,

，原方程的解為x=400,

???小鳳的跑步速度為每分鐘400xL2=480m,

答：小鳳的跑步速度為每分鐘480m；

（2）由（1）知，小鳳的跑步速度為每分480m,

則小鳳從A地到〃地所用時間為嘲=25（分鐘）.

設小鳳從B地到C地用時V分鐘,

根據題意，得30xl0+(y-5)x(10+y-5)=2300,

解得y=45或y=T5（舍去）,

則25+45=70(分鐘).

答：小鳳從A地到C地鍛煉共用70分鐘.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程與分式方程的應用，讀懂題意，找到關鍵描述語，列出等量關系是

解題的關鍵.

24.（6分）如圖，在△N5C中，AB=AC,點E在邊3c上,滿足NDEF=NB,且點。，廠分別在邊

AB,AC±.求證：4BDEs4CEF.

【答案】見解析.

【詳解】由等邊對等角得48=NC,由三角形的內角和定理,得到/ED3=ZFEC,即可得到結論成立.

【分析】證明：???4B=/C,

/B=NC,

???ZB+ABED+NEDB=180°,ABED+ZDEF+NFEC=180°,ZDEF=NB,

ZEDB=NFEC,

ZB=ZC,

???△BDEsMEF.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關鍵：兩個角對應相等，則

這兩個三角形相似；兩邊對應成比例，且它們的夾角相等，則這兩個三角形相似.

25.（10分）賽龍舟是中國端午節最重要的一種節日民俗活動，一場賽龍舟活動中，圖1是比賽途中經過的

一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐

標系xOy,橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點。的水平距離x（單位：m）近似滿足二次

函數關系，水面的寬度。/為60m；

拱橋最高處到水面的距離3c為9米.

圖1圖2

（1）求橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點。的水平距離x（單位：m）滿足的二次函數解析

式；

（2）據調查，各參賽隊所用龍舟均為活動主辦方統一提供，每條龍舟寬度為9m.龍舟最高處距離水面2.5m；

為保障安全，通過拱橋時龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少為2.5m.問5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）

是否可以同時通過橋洞？

【答案】（l）y=-0.01（x-30>+9

（2）5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）不可以同時通過橋洞，理由見解析

【分析】本題考查了二次函數的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.

（1）設頂點式，利用待定系數法求解；

（2）依據題意，令了=5,解方程求出x的值，求出可設計賽道的寬度，再除以9得出可設計賽道的條數,

從而判斷5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）是否可以同時通過橋洞.

【詳解】⑴解:由題意,拋物線的頂點C（30,9）,點460,0）,

設二次函數解析式為歹=心TO）?+9,

將點/（60,0）代入得0=?（60-30）2+9,

解得a=-0.01,

二二次函數解析式為y=-o.oiQ-3oy+9；

（2）解：由題意，當y=5時，-0.01（^-30）2+9=5,

.,.x=10或X=50.

可設計賽道的寬度為50-10=40（m）.

最多可設計龍舟賽道的數量為4條，

，5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）不可以同時通過橋洞.

26.(12分)閱讀材料：對于一個關于x的一元二次方程辦2+bx+c=0(其中aNO,a、b、c為常數)的

兩根分別為巴夕，我們有如下發現：①若d?為整數，則這個一元二次方程的判別式A=〃-4碇一定為完

全平方數；②見方滿足韋達定理：即夕+/=-二皿=￡；③韋達定理也有逆定理，即如果兩數a和僅滿

aa

AC

足如下關系：a+/3=--,a/3=~,那么這兩個數a和夕是方程辦?+6x+c=0(aw0)的兩個根.例如：若實

aa

數a,6滿足。+6=9,"=5,那么。和6是方程/-9x+5=0的兩個根，請應用上述材料解決以下問題：

(1)若實數/￡是關于x的一元二次方程/-(2〃7-3)x+"「-4加-5=0的兩個根.

①當〃z=l時，貝iJa+/=,a(3=；

②若a,/,機均為整數且5〈用＜22,求機的值；

(2)已知實數0,q滿足0q+(0+q)=12,02q+p/=35,求/+/的值.

【答案】⑴①-1，-8；②13

(2)39

【分析】此題主要考查了材料的理解和應用，一元二次方程的解、一元二次方程的根與系數的關系，判別

式的應用，理解和靈活應用韋達定理是解本題的關鍵.

(1)①利用根與系數的關系求解即可；

②根據所給材料可知A=(2m-3)2-4(m2-4m-5)為完全平方數，結合5〈冽＜22可求出機=13；

(2)根據韋達定理的逆定理寫出方程，即可得出結論.

【詳解】(1)解：①???a+〃=2加-3,a/3=m2-4m-5

.??當相=］時，a+4=2—3=—1,ap=1—4—5=—8,

故答案為：-1,-8；

②?.a4為整數

???上材料可知A=(2機-3)2-4(/一4加一5)為完全平方數

即A=4加+29為完全平方數

?.?冽是整數，且5＜加＜22

.??只有當機=13時滿足條件.

(2)解：p2q+pq1=35,,

pq(p+q)=35,

又???的+(2+。=12,,

-四和P+夕可以看成是方程/_12加+35=0的兩個根，

解方程加2一12加+35=0得，加=5或機=7,

???pq=5,p+q=1或pq=i,p+q=5,

①當pq=5,p+q=l,2和9可以看作是方程〃2一7〃+5=0的兩根,

此時△=(-7)2-4x1x5=49-20=29>0,符合題意，

p1+q2=(p+4-2pq=49-2x5=39；

②當pq=7,p+q=5,P和q可以看作是方程"2-5"+7=0的兩根，

止匕時△=(-5)2-4xlx7=25-28=-3<0,方程無解，不符合題意；

"+g2=39.

27.(12分)在平面直角坐標系中，我們定義：直線了="-。為拋物線了="2+/+。(a,b,c為常數,

awO)的“相依直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在了軸上的三角形為拋物線的“相依三角

形”.已知拋物線》=--_2》+3與其“相依直線”交于產，8兩點(點P在點B的左側)，與x軸負半軸交于點