十三拋體運動

（40分鐘70分）

【基礎(chǔ)鞏固練】

1.（6分）（2023?浙江1月選考）如圖所示，在考慮空氣阻力的情況下，一小石子從O點拋出沿軌跡

。尸。運動，其中尸是最高點。若空氣阻力大小與瞬時速度大小成正比，則小石子豎直方向分運

動的加速度大小為（）

A.0點最大

B.P點最大

C.Q點最大

D.整個運動過程保持不變

2.（6分）（體育運動）（多選）（2024.南寧模擬）在學(xué)校組織的運動會期間,某同學(xué)參加定點投籃比賽。

如圖所示，籃球兩次出手和進(jìn)筐的位置相同，在空中的運動軌跡分別對應(yīng)同一豎直平面內(nèi)的人

6兩條曲線。不計空氣阻力，則關(guān)于該兩次投籃下列說法正確的是（）

A.軌跡為?的籃球在空中運動的加速度較大

B.軌跡為a的籃球在空中運動的時間較長

C.軌跡為?的籃球經(jīng)最高點的速度較小

D.籃球兩次運動的平均速度相等

【加固訓(xùn)練】

如圖所示，在M點將一小球擊出，曲線MPA是該小球的運動軌跡，軌跡最高點P離水平面

ACE的距離PC=/?,已知AC=3CE,E、M在同一豎直線上，球可看作質(zhì)點。不計空氣阻力作用,

則該次擊球位置高度為（）

A.-hB.-hC.-hD.-h

9944

3.（6分）（生產(chǎn)生活）（2023?海口模擬）如圖,在某闖關(guān)娛樂節(jié)目中，小紅從軌道"c上的不同位置由

靜止自由滑下，從c處水平飛出，都能落到直徑為/的圓形浮板上，軌道、直徑在同一豎直面內(nèi)。

c點離水面的高度為九浮板左端離c點的水平距離為lo運動過程中，小紅視為質(zhì)點并忽略空氣

阻力,重力加速度為g,則小紅離開c時速度v的范圍為（）

D雄心'h

9

4.（6分）（體育運動）如圖所示，跳臺滑雪運動員從C點水平飛出,落到斜坡上的。點,E點離坡道

8最遠(yuǎn)，忽略空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.從C到E的時間比從E到。的時間短

B.軌跡CE和ED長度相等

C.軌跡CE和ED在水平方向的投影長度相等

D.軌跡CE和ED在CD上的投影長度之比為1：3

5.（6分）（多選）（2023?海口模擬）如圖所示，從足夠高的1、2兩點水平拋出兩個小球，之后兩球在

空中的P點相碰，測得從1、2兩點拋出的小球在尸點時速度方向與水平方向的夾角分別為53。、

45%已知1、2兩點在同一豎直線上/點到1、2兩點的水平距離為d,sin53o=0.8,cos53o=0.6,

重力加速度為g,不計空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.從1、2兩點拋出的小球在空中運動的時間相等

B.從1、2兩點拋出的小球經(jīng)過P點時的速度大小相等

C.從1、2兩點拋出的小球初速度大小之比為券

D.1、2兩點的豎直高度差為5

O

【綜合應(yīng)用練】

6.（6分）（多選）（2024.上饒模擬）如圖所示，固定在水平面上的光滑斜面長a=5m,寬6=4m,傾角

230。,一可視為質(zhì)點的小球從頂端B處水平向左射入,恰好從底端點A處射出，重力加速度g取

10m/s2o則下列說法正確的是（）

A.小球運動的加速度為10m/s2

B.小球從3運動到A所用時間為魚s

C.小球從B點水平射入的速度為2V2m/s

D.小球從B點水平射入的速度為4m/s

【加固訓(xùn)練】

（多選）（2023?廈門模擬）如圖所示，兩個傾角分別為30。、45。的光滑斜面放在同一水平面上,

兩斜面間距大于小球直徑，斜面高度相等。有三個完全相同的小球。、仄c,開始均靜止于同一

高度處，其中6小球在兩斜面之間,。、c兩小球在斜面頂端。若同時釋放，小球。、b、c到達(dá)水

平面的時間分別為九、於、?3o若同時沿水平方向拋出,初速度方向如圖所示，小球。、b、c到達(dá)

水平面的時間分別為1、t2\t3'。下列關(guān)于時間的關(guān)系正確的是（）

A.tl>t3>t2

\t2=t2\t3=t3'

\t2<t2'、t3<t3'

7.（6分）（生產(chǎn)生活）（2023?海淀區(qū)模擬）某農(nóng)場安裝有一種自動澆水裝置如圖所示，在農(nóng)田中央裝

有豎直細(xì)水管，其上端水平噴水嘴的高度為k、重力加速度為g,轉(zhuǎn)動的角速度為噴水嘴

水平長度為4出水速度可調(diào)節(jié)炭調(diào)節(jié)范圍滿足。去岷魂。/忽略空氣阻力。則這種自動澆水

裝置能灌溉農(nóng)田的面積5為（）

A.（6+2或）兀/

B.Q0+2連）加屋

C.（16+2巡+2煙兀?摩

D.（4+2V6-2V2）7i-t/2

8.（6分）（多選）（2022.山東等級考）如圖所示,某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s的速度斜向上

擊出，擊球點到豎直墻壁的距離4.8mo當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45

m的尸點。網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍。平行墻面的速度分

量不變。重力加速度g取10m/s2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為

（）

1/1.8m

.25ny

A."5m/sB.V=3A/2m/s

C.d=3.6mDd=3.9m

9.（16分）（體育運動）（2023.江蘇選擇考）如圖所示,滑雪道AB由坡道和水平道組成，且平滑連接,

坡道傾角均為45%平臺3C與緩沖坡8相連。若滑雪者從尸點由靜止開始下滑，恰好到達(dá)5

點。滑雪者現(xiàn)從A點由靜止開始下滑，從5點飛出。已知A、尸間的距離為"，滑雪者與滑道間

的動摩擦因數(shù)均為〃，重力加速度為g,不計空氣阻力。

D

⑴求滑雪者運動到P點的時間

（2）求滑雪者從B點飛出的速度大小V；

（3）若滑雪者能著陸在緩沖坡CD上,求平臺3C的最大長度L。

【情境創(chuàng)新練】

10.（6分）（2023?濟(jì)南模擬）小朋友們之間經(jīng)常玩一項有意思的游戲一打水漂（如圖甲）,打水漂

的石片能彈跳的次數(shù)由石片初速度、轉(zhuǎn)速、入水時石片和水面的夾角以及石片材質(zhì)決定。其

他條件相同的情況下，石片首次接觸水與水面成20度角時，水漂效果最為完美。某次投擲時，如

圖乙，石片在距離水面高h(yuǎn)處,以速度v水平拋出，若石片與水面碰撞時,水平速度不變，但碰后反

彈高度都是前一次的不計空氣阻力，重力加速度為g,則石片從拋出到停止跳動的過程中通過

的總水平距離是（）

甲

C.2vD.5v

解析版

1.（6分）（2023?浙江1月選考）如圖所示，在考慮空氣阻力的情況下，一小石子從。點拋出沿軌跡

OPQ運動，其中P是最高點。若空氣阻力大小與瞬時速度大小成正比，則小石子豎直方向分運

動的加速度大小為（）

A.0點最大

B.P點最大

C.Q點最大

D.整個運動過程保持不變

【解析】選A。小石子在。點時速度最大，則空氣阻力最大，且在豎直方向的分力最大，根據(jù)牛

頓第二定律知，此時豎直方向分運動的加速度最大。

2.（6分）（體育運動）（多選）（2024.南寧模擬）在學(xué)校組織的運動會期間,某同學(xué)參加定點投籃比賽。

如圖所示，籃球兩次出手和進(jìn)筐的位置相同，在空中的運動軌跡分別對應(yīng)同一豎直平面內(nèi)的。、

。兩條曲線。不計空氣阻力，則關(guān)于該兩次投籃下列說法正確的是（）

A.軌跡為?的籃球在空中運動的加速度較大

B.軌跡為a的籃球在空中運動的時間較長

C.軌跡為a的籃球經(jīng)最高點的速度較小

D.籃球兩次運動的平均速度相等

【解析】選B、Co籃球在空中僅受重力作用，加速度均為重力加速度,故加速度相等，故A錯誤;

籃球做斜拋運動,水平方向上為勻速直線運動，故運動到最高點的速度即為水平方向上的分速

度。兩次投籃水平位移相同,但軌跡。高度更高,運動時間較長，籃球在軌跡。中最高點的速度

小于籃球在軌跡b中最高點的速度，故B、C正確;兩次籃球的位移相同，運動時間不同,故平均

速度不相等，故D錯誤。

【加固訓(xùn)練】

如圖所示，在M點將一小球擊出，曲線MPA是該小球的運動軌跡，軌跡最高點P離水平面

ACE的距離PC=/?,已知AC=3CE,E、M在同一豎直線上，球可看作質(zhì)點。不計空氣阻力作用,

則該次擊球位置高度為（）

A.-hB.-hC.-hD.-h

9944

【解析】選B。由題意PC%,設(shè)AC=3CE=3L,在M點將球擊出，球在尸點的速度大小為%從尸

點到A點,AC=3L=i，"i,PC=/Wg比逆著從P點到“點CE=L=Vlt2,P點和航點的豎直高度差為

辰加=1%，解得hpM=^ho航點和E點的豎直高度差為而￡=力-弧4目，故選Bo

3.（6分）（生產(chǎn)生活）（2023?海口模擬）如圖,在某闖關(guān)娛樂節(jié)目中，小紅從軌道He上的不同位置由

靜止自由滑下，從c處水平飛出，都能落到直徑為/的圓形浮板上，軌道、直徑在同一豎直面內(nèi)。

c點離水面的高度為上浮板左端離c點的水平距離為Zo運動過程中，小紅視為質(zhì)點并忽略空氣

阻力,重力加速度為g,則小紅離開c時速度v的范圍為（）

B./p<v<2/佟

\2/l?2ll

C.l^<v<2l隹

D.l匡怯2/日

7g7g

【解析】選B。根據(jù)/?=為尸得運動時間占隹

當(dāng)落到浮板左端時，速度V1=；=/區(qū)，當(dāng)落到浮板右端時，速度V2=2l區(qū),所以小紅離開C時速度V

t72tl72fl

的范圍為/醫(yī)怯2/區(qū)，故選B。

4.（6分）（體育運動）如圖所示，跳臺滑雪運動員從C點水平飛出，落到斜坡上的。點萬點離坡道

8最遠(yuǎn)，忽略空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.從C到E的時間比從E到。的時間短

B.軌跡CE和E。長度相等

C.軌跡CE和即在水平方向的投影長度相等

D.軌跡CE和ED在CD上的投影長度之比為1：3

【解析】選C。以C為原點,CD為x軸,和CD垂直向上的為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖

y軸方向做類豎直上拋運動,x軸方向做勻加速直線運動，當(dāng)運動員速度方向與軌道平行時，在y

軸方向到達(dá)最高點，根據(jù)豎直上拋運動的對稱性,可知從c到E的時間等于從E到。的時間,A

錯誤;由A分析可得，運動員在CE段和在ED段，在y軸方向的位移大小相等方向相反用時相

等，運動員在X軸上做勻加速直線運動，則在CE段和ED段在X軸方向上位移不等,故軌跡CE

和ED長度不等,B錯誤；由A分析可得從C到E的時間與從E到。的時間相等，運動員做平

拋運動，水平方向上做勻速直線運動，所以軌跡CE和ED在水平方向的投影長度相等,C正確;

由于運動員在C點時，在x軸方向上有初速度,故軌跡CE和即在8上的投影長度之不為1：

3,D錯誤。

5.（6分）（多選）（2023?海口模擬）如圖所示，從足夠高的1、2兩點水平拋出兩個小球，之后兩球在

空中的P點相碰，測得從1、2兩點拋出的小球在P點時速度方向與水平方向的夾角分別為53。、

45。。已知1、2兩點在同一豎直線上『點到1、2兩點的水平距離為d,sin53o=0.8,cos53o=0.6,

重力加速度為g,不計空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.從1、2兩點拋出的小球在空中運動的時間相等

B.從1、2兩點拋出的小球經(jīng)過P點時的速度大小相等

C.從1、2兩點拋出的小球初速度大小之比為手

D.1、2兩點的豎直高度差為（

【解析】選c、Do平拋運動在豎直方向上有〃=研,因為歷＞也可知力＞/2,A項錯誤;設(shè)從1、2

兩點拋出的球的初速度大小分別為⑶、"X2,球經(jīng)過尸點時的速度大小分別為VI、V2,根據(jù)水平

方向做勻速直線運動有力由題意可知12!153。=歲=瞿間45。=髻=翟則詈=當(dāng)又因為

VX1VX2VX1VX1VX2Vx2乙

丫尸懸=*1，/缶=或口2廁川分2,B項錯誤,C項正確;由平拋運動的推論，速度的反向延長

COSDDDCOS4b

線交于水平位移的中點，則tan53*條tan45。卷，解得歷號,出號，則1、2兩點的豎直高度差

22

A/z=/zi-/i2=7，D項正確。

6

【綜合應(yīng)用練】

6.（6分）（多選）（2024.上饒模擬）如圖所示，固定在水平面上的光滑斜面長。=5m,寬。=4m,傾角

。=30°,一可視為質(zhì)點的小球從頂端B處水平向左射入,恰好從底端點A處射出，重力加速度g取

10m/s2o則下列說法正確的是（）

A.小球運動的加速度為lOm/s2

B.小球從3運動到A所用時間為魚s

C.小球從B點水平射入的速度為2V2m/s

D.小球從B點水平射入的速度為4m/s

【解析】選B、Co對小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根據(jù)牛頓第二定律，可得

mgsin30。=/nao,解得tzo=gsin3O°=5m/s2

方向沿斜面向下，故A錯誤;小球從3到A做類平拋運動，設(shè)球從B點水平射入時的速度為vo,

從B運動到A所用時間為。水平方向有。=附沿斜面向下方向有斫刎2,聯(lián)立解得r=V2

S,VO=2A/2m/s,故B、C正確,D錯誤。

【加固訓(xùn)練】

（多選）（2023?廈門模擬）如圖所示，兩個傾角分別為30。、45。的光滑斜面放在同一水平面上,

兩斜面間距大于小球直徑，斜面高度相等。有三個完全相同的小球。、。、c,開始均靜止于同一

高度處，其中方小球在兩斜面之間,。、c兩小球在斜面頂端。若同時釋放，小球。、b、c到達(dá)水

平面的時間分別為九、d?3o若同時沿水平方向拋出,初速度方向如圖所示，小球。、b、。到達(dá)

水平面的時間分別為九'、拼、短。下列關(guān)于時間的關(guān)系正確的是（）

A.tl>t3>t2

\t2=t2\t3=t3

C.tl，>t2，>t3,

\t2<t2'、t3<t3

【解析】選A、Bo

第一種情況力球做自由落體運動,。、。做勻加速運動。設(shè)斜面的高度為九對。球

福號（gsin30。混對b球吟后

對0球焉三儂由45。游,由數(shù)學(xué)知識得

九>%3>%2o

第二種情況:a、C兩個球都做類平拋運動,沿斜面向下方向都做初速度為零的勻加速直線運

動,a的加速度為gsin30°,c的加速度為gsin45。,。球做平拋運動，則有，對a球焉=?gsin30。泗

對方球h=^gf1

對c球-弓（gsin45。）及比較可知/i=/Jj2=/2',/3=f3',A、B正確,C、D錯誤。

7.（6分）（生產(chǎn)生活）（2023?海淀區(qū)模擬）某農(nóng)場安裝有一種自動澆水裝置如圖所示，在農(nóng)田中央裝

有豎直細(xì)水管，其上端水平噴水嘴的高度為〃、重力加速度為g,轉(zhuǎn)動的角速度為。=],噴水嘴

水平長度為其出水速度可調(diào)節(jié)，其調(diào)節(jié)范圍滿足①衽陷魂。/忽略空氣阻力。則這種自動澆水

裝置能灌溉農(nóng)田的面積5為（）

h

O

A.(6+2/加?法

B.(10+2V6>-tf

C.(16+2傷+2/)m屋

D.（4+2V6-2V2）7T-t/2

【解析】選D。水自由下落所用時間為〃=會修

解得t=后

沿管方向的速度cod<vo<V3cod

垂直于管方向的速度為n產(chǎn)出

根據(jù)X=vot

則平拋水平位移

沿管方向平拋距離為魚把左碗d

沿管方向的總位移為魚d+dWxVA后d+d

垂直于管方向的距離為魚4

則旋轉(zhuǎn)圓的半徑J（V^d+d）2+（奩d）2gmJ（V^d+d）2+（/d）2

即J5+2國Ww/9+2限/

根據(jù)SF，這種自動澆水裝置能灌溉農(nóng)田的面積為SF（J9+2或心FUS+2&J）2

解得S=（4+2乃-2a）m心，故選D。

8.（6分）（多選）（2022.山東等級考）如圖所示,某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s的速度斜向上

擊出，擊球點到豎直墻壁的距離4.8mo當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45

m的P點。網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍。平行墻面的速度分

量不變。重力加速度g取10m/s2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為

)

A.v=5m/sB.V=3A/2m/s

C.d=3.6mD.d=3.9m

【解析】選B、Do設(shè)網(wǎng)球飛出時的速度為皿,豎直方向以*=2g(H-/z),代入數(shù)據(jù)得vo豎直

UJSJEL

=y)2x10x(8.45-1.25)m/s=12m/s,貝ljvo水平=8132-122m/s=5m/s,排球水平方向到P點的距

離X水平=w水平f=w水平?丹=6m,根據(jù)幾何關(guān)系可得打在墻面上時,垂直墻面的速度分量W水平工

=V0水平g=4rn/s,平行墻面的速度分量V0水平〃=皿水平g=3m/s,反彈后，垂直墻面的速度分量"水平_L

=O.753O水平_L=3m/s,則反彈后的網(wǎng)球速度大小為尸］吸平工+嶗水平「3迎m/s,網(wǎng)球落到地面

的時間/'=后=s=1.3s,著地點到墻壁的距離d=W水平J=3.9m,故B、D正確,A、C錯誤。

9.(16分)(體育運動)(2023?江蘇選擇考)如圖所示,滑雪道AB由坡道和水平道組成，且平滑連接,

坡道傾角均為45%平臺與緩沖坡8相連。若滑雪者從尸點由靜止開始下滑，恰好到達(dá)3

點。滑雪者現(xiàn)從A點由靜止開始下滑，從3點飛出。已知A、尸間的距離為d,滑雪者與滑道間

的動摩擦因數(shù)均為〃，重力加速度為g,不計空氣阻力。

⑴求滑雪者運動到尸點的時間t-

答案:⑴息I

【解析】解法一：(1)從A到P過程中，由牛頓第二定律知mgsin45°-J?fflgcos45。=ma①

由運動學(xué)公式知:仁泰戶②

由①②解得:仁廉③

【解析】解法二：(D滑雪者從A到P根據(jù)動能定理有

1

mgrfsin45°-/zmgcos45°p7-0

根據(jù)動量定理有(mgsin45o-/zmgcos45°)Z=mvp-0

聯(lián)立解得/=、席,1，尸、“面（1平）

（2）求滑雪者從B點飛出的速度大小v;

答案:（2）JV2gd（l-^

【解析】解法一:（2）由于滑雪者從P點由靜止開始下滑，恰好到達(dá)B點，故從P點到B點運動過

程中合力做功為0,即從A點下滑時，在3點速度大小與在尸點速度大小相同。因為vp=R④

故v=vp=JV2gd（l-]u）

【解析】解法二。）由于滑雪者從P點由靜止開始下滑，恰好到達(dá)B點，故從P點到B點合力做

功為0,所以當(dāng)從A點下滑時，到達(dá)B點有v=v尸

（3）若滑雪者能著陸在緩沖坡CD上,求平臺3c的最大長度L。

答案:⑶記認(rèn)1小）

【解析】解法一:（3）當(dāng)滑雪者剛好落在。點時，平臺BC的長度最大;滑雪者從B點飛出做斜拋

運動，

豎直方向上有vcos45°=g|

水平方向上有L=vsin45°-t'

聯(lián)立可得L=V2t/（l-/z）

【解析】解法