利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問題

(高考高頻考點(diǎn)，5大題型+2類方法)

目錄

第一部分：題型篇..........................................1

題型一：重點(diǎn)考查單變量恒成立問題......................1

題型二：重點(diǎn)考查單變量能成立問題......................9

題型三：重點(diǎn)考查/(x)Vg(x)型恒成立問題.................13

題型四：重點(diǎn)考查型能成立問題................18

題型五：重點(diǎn)考查/&)?g(%)型雙變量不等式問題..........23

第二部分：方法篇.........................................30

方法一：分離變量法...................................30

方法二：分類討論法...................................34

第一部分：題型篇

題型一：重點(diǎn)考查單變量恒成立問題

典型例題

例題1.(23-24高三上?陜西榆林?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx+G2.

⑴若曲線V=與x軸相切，求。的值；

⑵若當(dāng)尤21時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴-：

(2)卜叫一g

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)(%,%),x0>0,根據(jù)曲線y=/(x)與x軸相切,

%o=e

得到%=0且/'(%)=1+1g。+2辦0=0,求出〃=」，得到答案；

、e

(2)轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，xlnx+ax?一。工o恒成立，令q(x)=xlnx+a/一。，x>1,求導(dǎo)后，

結(jié)合4(1)=0,需要q'(l)=l+2aW0,即.《一；，放縮后，構(gòu)造w(x)=xln無一；/+；,求

導(dǎo)得到其最值，得到aV-g滿足要求，再當(dāng)時(shí)，<7(x)>xlnx-|x2+p舉出反例,

得到不合要求，從而求出答案.

【詳解】⑴/(x)=xlnx+辦2定義域?yàn)?0,+司，

設(shè)切點(diǎn)為(Xo，%)),x0>0,曲線丁=/(x)與x軸相切，

故為=0,即/IriXo+Qx：=0,故In^o+a/=0

/'(x)=1+Inx+2ax,

/'(%0)=1+In%+2Q%O,

%二e

1+Inx0+2ax0=0

故解得1

Inx+Q/=0a=——

0Le

(2)當(dāng)時(shí)，xlnx+ax?一。<o恒成立，

令=xlnx+Q12-〃，X>1,

故d(x)=1+Inx+2ax,

注意到式1)=0,故要想xlnx+a/一〃vo,

需要，(l)=l+2aV0,即a4-；,

當(dāng)QW—日寸,xInx+ax2—aWxlnx—H—,

222

=xlnx-—x2+-,

v722

則wz(x)=l+lnx-x,

令e(x)==1+Inx-x,

則d(x)=L-l=LW40恒成立，

XX

故6(切=以切=1+111工-%在［1,+<?)上單調(diào)遞減，

其中e⑴=0,故e(x)40,所以w(x)在［1,+勸上單調(diào)遞減,

其中W⑴=0,故w(x)io,

所以xinx+ax?<0,滿足要求，

當(dāng)a〉一；時(shí),9(%)=x]nx+ax2-6z>xlnx-^-x2+-^-,

故4(1)>-；+；=0,故不合要求，

綜上，。的取值范圍為'叫-g.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)

法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的

研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)

合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖象確定條件.

例題2.(24-25高三上?江西?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-2x.

⑴求函數(shù)/'(x)的最大值；

(2)若不等式〃x)V(a-2)x+2在(0,+動(dòng)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴-ln2-l

(2)[.+3

【分析】(1)確定函數(shù)定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得函數(shù)/(刈的單調(diào)區(qū)間，

從而求出函數(shù)/(X)的最大值；(1)分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為—在(0,+勸上恒成立,

令g(x)=@R(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在(。,+⑹上的最大值即可得到答案.

X

11_ny

【詳解】(1)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?0,+8),且/'(X)=：-2=T，

令/'(x)>0,解得：0<x<1,

令"x)<0,解得：x>!

所以〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,g),單調(diào)減區(qū)間為,

則=一g2-1

(2)不等式/(x)W(叱2)x+2在(0,+向上恒成立,即心生三2在(0,+應(yīng)上恒成立,

令g(x)=J^(x>0),

X

r，/、1—(Inx—2)3—Inx

貝Ij?g(x)=二^_L=_,

XX

令g'(x)>0,解得:o<x<e3,

3

令g<x)<0,解得：x>e

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,e?),單調(diào)減區(qū)間為(e3,+s),

則g(x)max=g(e3)=^r^="，

所以。N不，

e

所以不等式(。-2)x+2在(0,+⑹上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

例題3.(23-24高二下?福建福州?期末)已知函數(shù)〃x)=ex-ax+bsinx.

(1)若a=b,求曲線y=“X)在點(diǎn)(兀,e*)處的切線的斜率；

(2)若6=0,討論/(無)的單調(diào)性；

(3)若6=1,且xWO時(shí)，〃x)21恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴e"

⑵答案見解析

⑶(-叫2]

【分析】(1)先依據(jù)。=6和/(x)的圖象過點(diǎn)(兀,1)求出參數(shù)值，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，

接著求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義再求出/'(兀)即可得解.

(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況即可得解.

(3)恒成立等價(jià)于所以對(duì)。進(jìn)行分類討論研究函數(shù);■(%)的導(dǎo)函數(shù)情

況，從而求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值情況即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)閍=b,/(x)=ex-ax+bsmx,所以/(x)=e*—ax+asinx,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的圖象過點(diǎn)(私e)

所以/(兀)=e",即6"-0兀+°5畝兀=?",故。何1171-兀)=0,解得a=0,

所以r(x)=e，,故以(7t)=e"

即曲線V=/("在點(diǎn)(兀,e")處的切線的斜率為砂.

(2)因?yàn)?=0,所以/(x)=e*-ax,所以廣(x)=e*-a,

當(dāng)aW0時(shí)，/'(x)>0,；J(x)在區(qū)間R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=e*-a=0,解得x=lna,

當(dāng)x<lna時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)x>lna時(shí)，/'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在(f,lna)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，/(X)在區(qū)間R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(-co,lna)上單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)上單調(diào)遞增.

(3)因?yàn)?=1,所以/'(x)=e*-ax+sinx(x?O),

所以/''(x)=e*+cosx-a,

設(shè)g(x)=e*+cosx-a(x20),貝!Jg'(x)=e*—sinx,

所以，xNO時(shí)g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，且g⑼=2-a；

①當(dāng)a42時(shí)，g(x)>g(0)=2-a>0,即/'(x)“，

所以函數(shù)/(x)在(0,+")上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xNO時(shí)，/(x)^/(O)=l,所以a<2符合題意，

:.a<2.

②當(dāng)a>2時(shí)，又g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，且g(0)=2-a<0,

當(dāng)Xf+oo時(shí)，g(x)f+8,

3x0e(0,+co),使得g(x())=0,

.?.XG(O,xo),g(x)<0,即/(x)<0,所以/(X)在(o,%)上單調(diào)遞減;

xe(x0,+oo),g(x)>0,即/(無)>0,所以/(x)在(%,+oo)上單調(diào)遞增,

所以/(x)min=〃Xo)</(°)T，所以a>2不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一叫2].

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究恒成立求參問題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問題，/(x)21恒成立等

價(jià)于/(x)mm21,故可用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合分類討論法研究函數(shù)/(無)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)

的最小值，判斷是否滿足了(Hmm21即可得解.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?廣東陽(yáng)江?期末)已知函數(shù)/(x)=a(x-l)-hu(aeR).

⑴若a=l,求曲線V=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合.

【答案】⑴>=0

(2)答案見解析

⑶{1}

【分析】(])利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分a40和a>0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間；

(3)由題意可得不合題意，當(dāng)a>0時(shí)，由(2)可得=+所

以將問題轉(zhuǎn)化為1一a+lna20,構(gòu)造函數(shù)g(a)=l-a+lna,利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x-l-lnx，r(x)=l-1,

所以/(1)=0,/'(1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線的斜率左=0,

所以曲線V=/(x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程為片0;

(2)由題意得：/(X)的定義域?yàn)?0,+⑹/(x)=a-=竺

當(dāng)a?0時(shí)，r(x)<0,則/(尤)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+動(dòng)，無單調(diào)遞增區(qū)間，

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(xhO,解得：x=-,

a

所以當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)時(shí)，/((x)>0,

所以〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為u,單調(diào)遞增區(qū)間為n

綜上所述：。<0時(shí)，則/(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間，

a>0時(shí)-，/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為，)，單調(diào)遞增區(qū)間為

(3)當(dāng)時(shí)，/(2)=6z-ln2<0,不合題意，

當(dāng)。〉0時(shí)，由(2)知/(x)min=/[1]=1-。+In。，

則1-a+Ina>0,

令8(〃)=1-4+1迎，則/⑷」一1,

a

所以當(dāng)Q￡(0,l)時(shí)，g'(a)>0,

當(dāng)Q￡(l,+8)時(shí)，g'(〃)<0,

所以g(〃)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8?上單調(diào)遞減，

所以g(a)max=g6=°，

所以。=1,

實(shí)數(shù)。的取值集合為{1}

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利

用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第(3)問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為1-a+lna20恒成立,

考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.

2.(23-24高二下?陜西榆林?階段練習(xí))己知函數(shù)〃x)=lnx-亦+a.

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)［0,+助

【分析】(1)求導(dǎo)得/'(x)=：-a,再對(duì)。進(jìn)行分類討論；

(2)將/(x)Wei-l整理得到inx-ax+a+l-e—WO,設(shè)g(x)=lnx-亦+a+l-e，T,

g⑴=0,貝Ug'(x)=1_q_ei.設(shè)Mx)=g，(x)=1ej貝I］“(x)=—J—e-<0,所

以函數(shù)g'(x)在區(qū)間［1,+動(dòng)內(nèi)為減函數(shù)，則g'(x)Wg'⑴=-。，然后分a20與”0進(jìn)行分類

討論，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

【詳解】(1)由題意得x>0,=

當(dāng)aW0時(shí)，/'(x)>0,故函數(shù)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間上，r(x)>0,在區(qū)間［：,+，］上，r(x)<o,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間［J,+sj上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(ojj上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一,+8)上單調(diào)遞減；

(2)由1,可得lnx-Qx+a+l-e"TW0,

設(shè)g(x)=lnx—ax+Q+l—exT,g(l)=0,貝ijg［x)=.

^h(^x)=g\x)=--a-Qx~x,貝V(x)=--y-ex-1<0,

所以函數(shù)g'(x)在區(qū)間［l,+8)內(nèi)為減函數(shù)，則g'(x)<g'⑴=-a.

當(dāng)aNO時(shí)，g\x)<0,g(x)在區(qū)間［l,+8)內(nèi)為減函數(shù),

所以g(x)Wg(l)=0恒成立;

當(dāng)好0時(shí)，g，(l)=-a>0,因?yàn)間'(x)在區(qū)間[1,+00)上單調(diào)遞減，

所以期e(l,+e),在區(qū)間(1,%)內(nèi),有g(shù)'(x)>0,

所以g(x)在區(qū)間(1,%)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(l)=0,不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[0,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，不等式恒

成立問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，構(gòu)建新函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，

要充分利用分類討論思想進(jìn)行討論求解.

3.(23-24高三上?貴州銅仁?階段練習(xí))已知函數(shù)=-l(aeR).

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)/卜)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若xe[l,+8)時(shí)，/⑺20恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

⑵(f2]

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得/'(x)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l),令g(x)=jc-lnx-l,

再求導(dǎo)判斷即可；

(2)當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，/(x)20可化為x-tzlnx-LNO,=x-alnx--(x>1),

XX

h'(x)=l--+^=x2~a^+l,A=a2-4,對(duì)于。分類討論求解.

XXX

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x2-2x\nx-l,函數(shù)〃無)的定義域?yàn)?0,+“)，

/'(X)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l).

令gO)=x-lnx-l,有g(shù)(x)=±L

X

令g'(x)>0可得x>l,可知函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(L+。)，

令g[x)<0,可得0<x<l,所以函數(shù)g(x)減區(qū)間為(0,1),

可得g(x)2g⑴=0,</(%)>0,

可得函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

故函數(shù)/(無)的增區(qū)間為(0,+8),沒有減區(qū)間.

(2)當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，/(x)20可化為x-alnx-L^O

X

4^/z(x)=x-tzlnx--(x>l),/(0)=]，+二=-―：X+1,△=〃-4.

①當(dāng)Q?0時(shí)，〃(力〉0,可得函數(shù)人⑺單調(diào)遞增，有可到之從1)=0,滿足題意，

②當(dāng)0<aV2時(shí)，A<0,有〃(x)>0,可得函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，有〃(尤)2硝)=0,滿足

題意，

③當(dāng)a>2時(shí)，A>0,可得一元二次方程尤2一依+1=0有兩根外,巧(記再<%2),

x+x=a>2

由x2,可得

XxX2=1

可得函數(shù)“X)的增區(qū)間為(9,+8),減區(qū)間為［1,3)，必有/仁)〈/⑴=0,不合題意，

由上知，若xe［l,+s)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為(-叫2］.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中，當(dāng)。>2時(shí)，A>0,可得一元二次方程x2-ax+l=0有兩

X+/=〃〉2/、

根外,X2(記再〈無2),由二，可得0"<1<迎，由此確定函數(shù)〃(x)的單調(diào)性,

"1"2—1

由此判斷結(jié)論.

題型二：重點(diǎn)考查單變量能成立問題

典型例題

例題1.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃”=以2-工-1皿

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若關(guān)于x的不等式/(x)V0在［e-,5］上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(L+s)

⑵(-8』.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為+竽在［eLe?］上有解，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

（、1lux

［e，e2］的最大值即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(力=--x-lnx,其定義域?yàn)?0,+動(dòng).

仆)=21-3但卻0，

XXX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)xe(l,+”)時(shí)，/'(x)>0,

所以/'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)不等式〃x)V0在［e，e［上有解等價(jià)于+g在［「,e［上有解,

令g(x)」+與,xe[e，e2],則aVg(x)111ax

令Mx)=l-21nx-x,xe［eT,e］，易知〃(x)在［e，e［上單調(diào)遞減，且〃⑴=0，

所以當(dāng)xe［e-,l)時(shí)，〃(x)>0,即g<x)>0,當(dāng)xe(l,e1時(shí)，<0,即g［x)<0,

所以g(x)在［e，l)上單調(diào)遞增，在(1,叫上單調(diào)遞減.

所以g(x)3=g(l)=l，所以。<1，即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一叫咋

例題2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃尤)=0111工+442一區(qū)("1),曲線y=〃x)

在點(diǎn)(1J(D)處的切線斜率為0

⑴求b;

(2)若存在毛21使得/(%)<號(hào)，求。的取值范圍.

【答案】(1)6=1

(2)(-V2-l,V2-l)U(l,+?5).

【分析】(1)直接求導(dǎo)代入((1)=0即可；

(2)直接求導(dǎo)得/'&)=匕々》--—)(x-l),再對(duì)a分。(,、，<a<i和。>i討論即可.

x1-a22

【詳解】(1)f'(x)=—\-(1—a)x—b,

由題設(shè)知/⑴=0,解得6=1.

1—a

(2)/(%)的定義域?yàn)?。,+8),由(1)知，f(x)=alnx+^—x-x,

f\x)=—+(l-a)x-l=---(A:-—)(x-l)

xx1-a

3)若。41,則旦VI,故當(dāng)尤e(l,+8)時(shí)，/(x)>0,/(x)在(1,+s)單調(diào)遞增，

2l-a

所以，存在/與，使得/(X。)〈號(hào)的充要條件為〃1)(號(hào)，即=一1<2\,

a-\"12a-\

解得-后-1<。<也-1.

(ii)若彳<。<1,則--->1,故當(dāng)％￡)時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)xe(——,+s)時(shí)，/,(x)>0,/(x)在(1,二)單調(diào)遞減，在(J-,+功單調(diào)遞增.

1-a1-a1-a

所以，存在/與，使得/(X。)〈二的充要條件為

a—\1-aa-\

1

a、taaaa

M/(—)^ln—+^—^+—>—T所以不合題意.

1—a—a—1ci

仰)若。>1,則

22a-\

綜上，。的取值范圍是(-亞-1,也-l)U(l,+oo).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是求導(dǎo)化簡(jiǎn)，然后再對(duì)a進(jìn)行合理地分類討論.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?四川眉山?期末)已知函數(shù)/(x)=-ax2+hu(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若存在尤e(l,+oo),使/'(x)>-a,求。的取值范圍.

【答案】⑴在O,/上單調(diào)遞增，在/,+8上單調(diào)遞減

⑵18，j

【分析】(1)對(duì)/(X)求導(dǎo)，得至再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可

求出結(jié)果；

(2)對(duì)。進(jìn)行討論，分aVO,“zg和0<a<g,當(dāng)aVO,利用函數(shù)值的符號(hào)即可求解；

當(dāng)和設(shè)g(x)=a(/-l)_lnx(x>l),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】⑴易知函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),因?yàn)椤▁)=-2x+：=匕尹(x>0)

令/(x)=0,得x=[

令/'(x)>0,得xe0,中,令/'(x)<0,得xe^-,+a)

I2JI2

所以/(X)在區(qū)間0,彳上單調(diào)遞增，在區(qū)間三,+8上單調(diào)遞減.

\7\7

(2)由/(%)>-。,得a(%2—l)—hix<0,

因?yàn)?￡(1,+8),所以—InxvO,%2-l>0,

當(dāng)時(shí)，符合題意；

設(shè)g(x)=a。?-l^-lnx(x>1),

當(dāng)時(shí)，則g，(x)=M3>0,所以g(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(l)=O,不符合題意；

當(dāng)0<a<；時(shí)，令g'(x)>0,得xe([=,+co],

令g'(x)<0,得xe(l，吉],所以g(x%n=g(G^<g(l)=°,

則存在xe(l,+8),使g(x)<0,滿足題意,

綜上，a的取值范圍是,叫g(shù)]

2.(23-24高二下?福建泉州?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+?("為常數(shù))

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)不等式”x)Zl在xe1,3上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】①答案見解析

(2)[3-31n3,+(?)

【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再分a40和a>0兩種情況討論導(dǎo)

數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為。》尤-;diu在xe1,3上有解，然后構(gòu)造函數(shù)

g(x)=x-xlnx,xep3,利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.

【詳解】(1)“X)的定義域?yàn)?0,+“)，

/'(%)=-一￡?=號(hào)色,xe(0,+比)，

當(dāng)aWO時(shí),x-a>0,:.f'(x)>0,所以/(無)在(0,+”)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)=0,解得x=a,

若x>a,則r(x)>0,所以/(無)在(a,+8)上單調(diào)遞增，

若0<x<a,則/'(力<0,所以/(力在(O,a)上單調(diào)遞減,

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(a,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在(0,。)上單調(diào)遞減

(2)/(x)21在無e—,3上有解olnxH—21在xe-,3上有解，

2x2

oa>x-xlnx4xe—,3上有解,

2,3,則g，(x)=1-］I1U+X7

令g(%)=x-xlnx,xG=-lnx,

當(dāng).別時(shí)，gQ)>O,g(x)在川上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe［l,3］時(shí),g'(x)<O,g(x)在［1,3］上單調(diào)遞減,

因?yàn)間(；)=；-；ln；=；+；ln2>0,g(3)=3-31n3<0

\乙J乙乙乙乙乙

所以gOLn=g(3)=3-31n3,

所以a>3-31n3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［3-31n3,+s).

題型三：重點(diǎn)考查〃x)Vg(x)型恒成立問題

典型例題

例題1.(23?24高二下?四川涼山?期中)已知函數(shù)/O)=mxlnx-1,m<0,若

0

g(x)=x2-1x,且關(guān)于X不等式/(X)-g(x”o在(0,+力)上恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)，則m的取值范圍是()

--e,0B.--e,0C.--e,0D.--e,0

【答案】D

【分析】由題意可知/(X)maxKg(x)min在(°，+8)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分別求出

即解不等式即可.

【詳解】由/(%)=mxlnx-加<0),得/'(X)=777(lnx+l),

令f'(x)>0=>0<x<—,fr(x)<0=>x>—,

ee

所以函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在d,+8)上單調(diào)遞減,

ee

1

故/Wmax=/=m?--(-1)-1；

e

由g(x)*-/得g'(x)=2x4,

令g'(x)<0=>x<-,g\x)>0nx>一,

ee

所以函數(shù)g(x)在(-8,-)上單調(diào)遞減，在(-,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)min=g

因?yàn)?(x)<g(x)在(0,+8)上恒成立，所以/(?maxKgQXn在(0，+⑹上恒成立，

BP-m---1<一-1,解得!一e<加<0,

eee

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為3一6°]

故選：D

2

例題2.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)，(x)=lnx-gg(x)=￡MW0.

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(x)4g(x)恒成立，求〃的最小值.

【答案】⑴答案見詳解

⑵W

e

【分析】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a>0與。<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【詳解】(1)f'(x)=--a=^(叱0),

XX

當(dāng)Q<0時(shí)，由于<>0,所以r(x)>0恒成立，從而/(X)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)〃〉0時(shí)，0<x<—,x>—,

aa

從而“X)在/￡|上遞增，在弓,遞減；

綜上，當(dāng)。<0時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+句，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>(m,小)的單調(diào)遞增區(qū)間為/J,單調(diào)遞減區(qū)間為:

2

(2)令/z(x)=/(x)-g(x)=lnx-ax-最，要使f(x)4g(x)恒成立，

只要使”x)40恒成立，也只要使力(力2?0.

一(辦+1)(辦-2)

若Q〉0,x>0,所以6+1>0恒成立,

29

當(dāng)0<X<—時(shí)，/z'(x)>o,當(dāng)—<X<+8時(shí)，/?"(%)<0,

可知〃(x)在，內(nèi)單調(diào)遞增，在1，+［內(nèi)單調(diào)遞減，

所以*=后］=吟-3忘0,解得：?>1)

\a)ae

2

可知。的最小值為不；

e

若Q<0,x>0,所以QX—2<0恒成立，

當(dāng)0<x<——時(shí)，/?'(%)<0,當(dāng)一，<x<+oo時(shí)，/?"(%)>0,

aa

可知〃(x)在，-J內(nèi)單調(diào)遞減，在1，+")內(nèi)單調(diào)遞增，

所以〃(x)在(0,+8)內(nèi)無最大值，且當(dāng)X趨近于+8時(shí)，“X)趨近于+8,不合題意；

綜上所述：。的最小值為彳2.

e

例題3.(23-24高二下?云南保山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=限，g(x)=：i其中。為常

數(shù).

⑴過原點(diǎn)作/(x)圖象的切線/,求直線/的方程；

(2)若〃x)2ga)恒成立，求〃的最大值.

【答案】(山-可=0

⑵T

e

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為億1皿)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，代入原點(diǎn)坐標(biāo)求出入可得

切線方程；

(2)問題轉(zhuǎn)化為a4x(lnx+l)在(0,+功上恒成立，令〃(x)=x(lnx+l),x>0,利用導(dǎo)數(shù)求最

值即可.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=hu,定義域?yàn)?0,+。)，r(x)=1,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(/』皿)，則切線方程為y-lnf=；(xT),

因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)。，所以=解得/=e,

所以切線的斜率為工，所以/的方程為x-ey=0

e

(2)/(x)2g(x)恒成立，即lnx?巴一1恒成立,即aWx(lnx+l)在(0,+。)上恒成立，

X

令人(x)=x(lnx+l),x>0,貝！J〃'(x)=lnx+2,

"(x)<0解得0〈尤<2，〃(幻>0解得

ee

所以〃(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

所以aW-二，故。的最大值為-±.

ee

精練高頻考點(diǎn)

1.(2012高二?全國(guó)?競(jìng)賽)已知函數(shù)/■(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若/(x)Vg(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【答案】工+⑹

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x),分與。>0討論，然后轉(zhuǎn)化為

恒成立，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸(x)="x)-g(x),其定義域?yàn)樵?+8),

貝lj廠'(x)=—+2-2ax-a=-Q"+1)("__1),]￡((),+co),

xx

當(dāng)Q?o時(shí)，尸'(%)>oj(x)單調(diào)遞增，產(chǎn)⑴=2—2〃>0,b(x)vo不可能恒成立；

當(dāng)Q〉0時(shí)，令產(chǎn)'(x)=0,得％=1或％=—,(舍去).

a2

當(dāng)0<x〈!時(shí)，F(xiàn)'(x)>0:

a

當(dāng)X,時(shí)，r(x)<0,故/(X)在(0,+⑹上有最大值尸內(nèi)，

aya)

由題意知下[―]W0恒成立，即In—I---1^0,

\a)aa

令夕(a)=ln^+L-l,則0(a)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且9⑴=0,

aa

故+W0成立的充要條件是a>1.

aa

故答案為：口,+8)

2.(23-24高二下?安徽蕪湖?期末)函數(shù)/(x)=e\g(x)=Ax+b化MR)

⑴令人(x)=/(x)-g(x),討論函數(shù)MH的單調(diào)性；

⑵若左>0,且/(x"g(x)在實(shí)數(shù)R上恒成立，求上+6的最大值.

【答案】⑴答案見解析

(2)e

【分析】(1)求得”(x)=e，-左，分％<0和左>0,兩種情況討論，即可求解;

(2)由(1)可知，當(dāng)左>0時(shí)，e1nA—左11次一620,轉(zhuǎn)化為k+bW2k-kink,令

。⑹=2"klnk(k>0),通過導(dǎo)數(shù)求。㈤max即可.

【詳解】(1)因?yàn)镸x)=/(x)-g(x)=e*-Ax-6,

所以為'(x)=e，一上,

當(dāng)上40時(shí)，〃(x)>0恒成立，“X)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)上>0時(shí)，〃'(x)=0時(shí)，x=\nk,

當(dāng)x<\nk,<0,力⑺在(-00,1加)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>1M,〃'(%)>0,在(in左,+oo)上單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)左40時(shí)，〃(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)左>0時(shí),〃(x)在(-力,In左)上單調(diào)遞減，在(1M,+8)上單調(diào)遞增.

(2)結(jié)合(1)與題意可得BP-k\nk-b>0,

即64e[nk-klnk,

從而得先+6Wetat—kink+k=2k-kink

令p(k)=2k-k\nk(k>0)

所以令P'(左)=l-lnA=Qnk=e

當(dāng)人(O,e)時(shí),p，⑻〉0,p優(yōu))在(O,e)上單調(diào)遞增

當(dāng)上e(e,+oo)時(shí)，p")<0,p(后)在(e,+8)上單調(diào)遞減

所以P(￡U=P(e)=e

所以上+b4e,即上+6的最大值為e.

2

3.(2024?山西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=一,g(x)=]nx-ax,。*0.

ax

⑴討論函數(shù)g(無)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。>0時(shí),尸(x)=g(x)-/(x)V0恒成立，求。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

⑵

【分析】(])求導(dǎo)，再分"0和。>0兩種情況討論即可；

(2)由題意可得尸(無)1Mx40,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)尸(x)的最大值即可得解.

【詳解】(1)g'(x)=：-a=匕

當(dāng)a<0時(shí),g'(x)>0恒成立,從而g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a>0時(shí)，0<x<-,g'(x)>0,x>~,g,(x)<0,

aa

從而g(x)在上遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，g(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng).>0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜,：)單調(diào)遞減區(qū)間為1j+e}

(2)由題可知尸(x)=hu-ox--,要使/(力40恒成立，只要尸(力111ax40,

，/、12一(辦+1)(辦-2)

=—?+—=-~4——2，

xaxax

由于Q〉0,X>0,所以QX+l>0恒成立，

當(dāng)0<x<*時(shí)，F(xiàn)(x)>0,當(dāng)x>*時(shí)，F(xiàn),(x)<0,

aa

所以函數(shù)尸(X)在(0,￡|上單調(diào)遞增，在g+J上單調(diào)遞減,

所以—「C’W。，解得ag

所以。的取值范圍為

題型四：重點(diǎn)考查/(x°”g(x°)型能成立問題

典型例題

例題1.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=lnx,g(x)=三-1其中“為常數(shù).

⑴過原點(diǎn)作“X)圖象的切線/,求直線/的方程；

(2)若立e(O,+8),使/(x)4g(x)成立,求。的最小值.

【答案】(1)》-可=0

(2)一一7?

e

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點(diǎn)，求出參數(shù)即得切線方程；

(2)由題意，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為aNx(lnx+l)在(0,+8)有解，即只需求〃(x)=x(hu+l)在

(0,+。)上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得。的最小值.

【詳解】(1)/(x)=J

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為&1皿)，則切線方程為>-1皿=，

因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)。，所以=解得/=e,

所以切線的斜率為工，所以/的方程為x-ey=O.

e

(2)3xe(0,+o)),/(x)<g(x),即lnx<2-l成立，

則得〃>x(lnx+l)在(0,+力)有解，

故有x￡(0,+8)時(shí)，6z>[x(lnx+l)]m.n.

=x(lnx+l),x>0,"(x)=lnx+2,

令〃(X)>O得X￡(",+8)；令〃(X)<O得X￡(0,!)，

故〃(x)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以gL10T,

貝!Ja2--y,故。的最小值為--v.

ee-

i,

例題2.(23-24高二下?天津和平?階段練習(xí))已知函數(shù)/■(無)=alnx+](x-l)-,aeR.

⑴當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Vxe[1,+⑹,都有/(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=lnx+；/+￡+g,若現(xiàn)e[l,e],使得/(%)>8伉)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增.

(2)tze[0,+oo)

/fe2+e)

(3)ac(一。，―l)un，+e

【分析】(1)代入。=-2,求導(dǎo)即可得出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)V-8),都有/(x)20等價(jià)于X￡[l,+8)時(shí)，/。篇20恒成立,然后分類討論求

/(x)min即可.

(3)令〃7(x)=y(x)-g(x)=(a-l)lnx-x-?,即存在％e[l,e],使得機(jī)@/*〉。，然后分

類討論求m(x)1mx>0即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)。=一2時(shí)，/(x)=-21nx+1(x-l)2,

,/，(x)=_2+x-IL"一尸2=(》2)('+1)

XXX

令/'(x)=0,解得x=-l,x=2

當(dāng)0<x<2時(shí)，r(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f\x)>0,

所以;■(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+動(dòng)上單調(diào)遞增.

(2)Txe[l,+s),都有/(尤)20,

即xe[1,-+W)時(shí),/(x)mm》。恒成立，

2

f'(x)=-+x-\=X-X+Q!(x>l),4-^(.y)=^2-x+a,

①當(dāng)AW0,即1-4。40,。2；時(shí)，

A(x)>0,BP/'(x)>0,所以/(x)在[1,+助單增,

所以/(x)min=/(l)=。，滿足題意?

②當(dāng)A20,即l-4aNO,時(shí)，

此時(shí)x=BE近，x=l+VE4a,

22

i)當(dāng)1+J1-4"v]時(shí),即ovaw』時(shí)，

24

〃(x)>。BP/'(x)>0,所以/(x)在[1,+8)單增,

所以/(x)m,n=/(l)=0,滿足題意.

ii)當(dāng)1+J1-4"Ji時(shí),即ago時(shí)，

2

此時(shí)/(i)=o,所以嚴(yán)]<0,不滿足題意.

綜上所述：當(dāng)。之0時(shí)，滿足X￡[l,+oo)時(shí)，/⑴血》。恒成立.

aG[0,+??).

(3)令機(jī)⑴=/(x)-g(x)=(a-l)lnx-x--,

即存在/?l,e],使得加(%)=(。-1)11?0-%-色>(),

X。

即存在/E[l,e],使得加(x)111ax>0,

，/\6Z—1va—x2+(tz—l)x+tz(x+1)(—x+(2)

mf(x\=-----1+==--------------=-——\--------，

XXXX

i)當(dāng)iKl時(shí)，此時(shí)在x￡[l,e]上，mr(x)<0,加(x)單減，

?二加(Hmax=加(1)=一1一Q〉。，即4<—L滿足題意,

ii)當(dāng)l<a<e時(shí)，此時(shí)在XW[1,Q]上，加'(x)〉0,加(x)單增,

在X￡[a,e]上，mr(x)<0,加(x)單增.

...加(j)max=加(〃)=(a-l)ln〃一4一1

*/1<6/<e,0<Intz<1,艮一〃一1<-1)In〃一〃一1<一2,

二,m(x)max=加(〃)<°，不滿足題意?

iii)當(dāng)aNe時(shí)，此時(shí)在xe[l,e]上，mr(x)>0,加c)單增,

2

，加⑺…加(上”1。(>。，解得”妾，滿足題意.

p2+e

綜上所述:aG(-a?,-l)u,+oo

7

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下:

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式/(x)>g(x)(或/(”<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>0

(或/(X)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x);

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似"函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?四川德陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e;fct,/eR,xeR)

⑴若左=e,試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若左>0,且對(duì)于任意xNO,/(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(3)令g(x)=e，-21nx,若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)與右口⑼，使/(%)<g(x。)成立，求實(shí)數(shù)人的取

值范圍.

【答案】⑴"X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1)

(2)(0,e)

⑶(O,+e)

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；

(2)分類討論判斷原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合恒成立問題分析運(yùn)算；

(3)根據(jù)題意可得原題意等價(jià)于至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)為使％>勁也成立，構(gòu)建

尸(x)=券，利用導(dǎo)數(shù)判斷尸(x)單調(diào)性，結(jié)合存在性問題分析運(yùn)算.

【詳解】(1)若4=e,則/(x)=/-ex,可得/'(x)=e，-e,

令"x)>0,解得x>l,

貝心>1,rw>o；%<1,/v)<o；

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一叫1).

(2)則/(x)=e*-fcr,可得/1'(%)=e*-左，

令/'(x)>0,解得x>ln),

則x>ln左，f'(x)>0；x<\nk,f\