第04講余弦定理

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.弄懂余弦定理的形式與證明方法，提升公式變

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理(吃透教材)形技巧，靈活掌握余弦定理

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.在熟練學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，會運(yùn)用余弦定

模塊四小試牛刀過關(guān)測理解決兩類基本的解三角形問題,并能夠靈活應(yīng)

用

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

知識點(diǎn)1余弦定理

(1)余弦定理的描述

①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩

倍.

②符號語言：在AA3C中，內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別是仇c,則:

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2accosB

c2-a2+b2-labcosC

(2)余弦定理的推論

b2+c2-a1

cosA=

2bc

a2+c2-b2

cosB=

2ac

a2+b2-c2

cosC=

2ab

知識點(diǎn)2解三角形

(1)解三角形

一般地,三角形的三個角A5c和它們的對邊”,仇c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元

素的過程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

①已知三角形的三邊解三角形

連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.

②已知兩邊和它們的夾角解三角形

用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.

③已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

例如已知及角A,可以根據(jù)余弦定理列出以邊c為未知數(shù)的一元二次方程

c?-(2>cosA)c+(〃—〃)=0,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊c,然后應(yīng)用余弦定理和三角形內(nèi)角和

定理,求出其他兩個角.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：已知三邊解三角形

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))在VABC中，已知a=6=4,c=3,貝!|cosA=()

「V3D夜

222

【答案】A

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.

【詳解】在VABC中，已知a=舊，6=4,c=3,由余弦定理，得?0S4/士衛(wèi)=16+9—13」.

2x4x3242

故選：A.

【變式1-11（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）在VABC,內(nèi)角A,b,C的對邊分別為〃，兒c,且。=1乃=2,。=2,

則cos5=（）

A.-B.—C.-D.1

634

【答案】C

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.

【詳解】由余弦定理得COSY』?2丁+22—22

2ac2x1x24

故選：C.

【變式1-2］（23-24高一下?天津?期中）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,J若。=岳，

b=6,c=2,則角A=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】由余弦定理可得cosA=3+/13=一4,

2x&2-2

Ae（0,7i）,..A=--,即150，

故選：D

【變式1-3］（23?24高一下?天津河北?期中）在VABC中，角A,民C所對的邊分別為4。，已知〃=后,

b=3,c=2y/2,則A等于（）

71Tt_23

A.—B.—C.一兀D.一兀

6434

【答案】D

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理可得cosA=-正，可求A=學(xué).

24

【詳解】在VABC中，a=犧,6=3,c=2后，

b2+c2-a2_32+（2-V2）2-（屈y

由余弦定理可得cos4=

2倉]3i25/2

因?yàn)?。＜A＜兀，所以A=—.

4

故選：D.

考點(diǎn)二：已知兩邊及一角解三角形

%例2.（2024?河南?二模）a,6,c分別是VA3C的內(nèi)角A,3,C的對邊，若“=有力=3,2=60,貝!|c=（）

A.6B.273C.3D.6

【答案】B

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】由4=6,0=3,3=60。以及余弦定理/=/+/—2ac,cosB,得3+c?-指。=9,解得c=2^/^（負(fù)值

舍去）.

故選：B.

【變式2-11（23-24高二下?云南?期末）VABC的內(nèi)角A、3、C的對邊分別為a、b、c.若。=1"=3,cosC=1,

6

貝（|c=（）

A.46B.垂C.4D.3

【答案】D

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理求解即可.

、堊AJJ＞?_u~+b'—c~11+9—c-1

r【詳解】由cosC=--------------=—,得--------=一，

lab666

解得c=3.

故選：D.

【變式2-2］（24?25高二上?云南昭通?期中）在VABC中，已知〃，b,。三邊分別對應(yīng)A,B,C三角,a=5,

TT

b=4,C=—,貝!jc=（）

A.3B.V21C.741D.府

【答案】B

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】已知邊角邊，可由余弦定理求第三邊即可.

【詳解】由余弦定理可得。2=/+/一2MosC=25+16-2x5x4x」=21,

2

/.c=V2T，

故選:B.

【變式2-3］（23-24高一下?江蘇南京?期中）在VA3C中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若q=4,

b=下）,C=—TI,貝［|c=____.

6

【答案】V31

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理可得答案.

【詳解】c2=fl2+/-2"COSC=16+3-2X4XQX］-￥）=31,

/.C=5/319

故答案為：J五

考點(diǎn)三：判斷三角形形狀

''例3.（24-25高二上?吉林?開學(xué)考試）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cvbcosA,

則VABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】利用余弦定理可以判斷出8為鈍角，則VA3C的形狀為鈍角三角形.

Z.22_2

【詳解】由c<6cosA,可得cJ十。一。人即儲+。2<廿

2bc

〃2*2人2

則COSB=4^~—<0,又8?（0〃），則彳<8<兀

lac2

則VABC的形狀為鈍角三角形

故選：A

【變式3-1］（23-24高一下?湖北?期中）已知VABC的三邊長分別為4,6,8,則這個三角形為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】C

【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為凡利用余弦定理可判斷.

【詳解】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為。，

由余弦定理可得cos0=1丁/）=-!<0,

2x4x64

所以。為鈍角，因此，三角形為鈍角三角形，

故選：C.

【變式3-2］（23-24高一下?北京?期末）在VABC中，A+C=2B,b?=ac,則VABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

【答案】C

【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】根據(jù)給定條件，求出再利用余弦定理推理判斷即得.

TT

【詳解】在VABC中，A+C=2B,則B=

由余弦定理得6?="+c?—2accosB,BPb2=cr+c2—ac,而/=ac,

于是a1+c2-2ac=（a—c）2=0,即a=c,

所以VABC是等邊三角形.

故選：C

hr

【變式3-3］（23-24高一下?北京懷柔?期末）已知在VABC中，cosA+l=——，貝！）判斷VABC的形狀（）

c

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】利用余弦定理可得答案.

【詳解】由余弦定理得cost+1="*+1=包,

2bcc

所以。2+02一/+況=力0+0）,

可得°2=片+62,所以VABC是直角三角形.

故選：C.

考點(diǎn)四：求三角形中周長（邊長）

:''例4.（24-25高三上海南?階段練習(xí)）已知向量能=（若5111天911》+85@,〃=（2cosx,sinx-cosx）,

函數(shù)f（x）=m-n,將函數(shù)的圖象向右平移g個單位長度可得到g（x）的圖象.

0

⑴求函數(shù)g（x）的解析式；

⑵設(shè)銳角VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若g（B）=l,且6=4,求VABC周長的最大

值.

【答案】（l）g（。=—2cos2x

⑵12

【知識點(diǎn)】輔助角公式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求圖象變化前（后）的解析式、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的計算公式，結(jié)合輔助角公式，求出/（X）的解析式，再根據(jù)圖象的平

移，可求g（x）的解析式.

（2）由g（3）=l和VABC為銳角三角形，求出角8,再利用余弦定理結(jié)合基本（均值）不等式，可求VABC

周長的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)?/p>

/(x)=2-^3sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=若sin2x+sin?尤一cos2x

=V3sin2尤一cos2x=2sin(2x--^-I.

所以8⑴=小一胃=2$421一胃一弓一]

=2sin[2x=-2cos2x.

(2)由g(8)=ln—2cos2B=1=>cos2B=-

2

所以23=亨或28=詈，所以8或2=4,

又因?yàn)閂4?C為銳角三角形，所以8=1.

由余弦定理：Z?2=+c2-2^ccosB=/+c2一〃c=i6n（a+c）2_3〃c=16.

又所以S+c）2_i6=3acW孔等匚=（〃+。）2464=a+048（當(dāng)且僅當(dāng)。=。=4時取“=”），

此時，VABC的周長取得最大值，為a+6+c=12.

【變式4-11（24-25高三上?天津?期中）在VABC中，AB=4,E是8C邊中點(diǎn)，線段AE長為g,NBAC=120。，

。是8C邊上一點(diǎn)，AD是NA4c的角平分線，則AD的長為（）

24c8

A.—B.-C.2D?

333

【答案】B

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】利用向量性質(zhì)得AE=T（AB+AC）,平方后求得AC,再由余弦定理求得3C,由角平分線定理求

得BD,CD,然后由余弦定理求得cosC后在CW中計算出AD.

【詳解】E是BC邊中點(diǎn),貝!|AE=g（A2+AC）,

一.21—一1一-______2

所以AE^-（AB+AC）2=-（AB^+2AB-AC+AC^）,

44

gp3=-（16+2x4-ACcos120°+AC2）,解得AC=2,

4

BC=^42+22-2X2X4COS120°=2幣>

AD是2MC的平分線，則黑=*=，BD=也,CD="

CDAC233

CT+CB°-AB?4+28-162

cosC=

2CACB2X2X2A/7-A/7

在.C4D中，AD=y/CA2+CD2-2CA-CDcosC=j4+--2x2x^^x-^=-,

V93773

故選：B.

【變式4-2］（24-25高二上?云南昆明?期中）已知銳角VA5c的內(nèi)角A,民C所對的邊分別為6,c,滿足

+b2—c2^sinC=yfiabcosC.

⑴求角C；

⑵若CA-CB=3,c=用，求VA3C的周長.

【答案Ml卓

⑵5+6

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積

【分析】（1）由余弦定理即可求解；

（2）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得奶=6,根據(jù)余弦定理求出片+廿=13,從而可求。+6,繼而可得VA3C

的周長.

【詳解】（1）因?yàn)椋?+加—/卜inC=y/3abcosC,

所以由余弦定理可得2abcosCsinC=y/3abcosC?

因?yàn)閂ABC是銳角三角形，所以cosC>0,

所以2sinC=y/3f即sinC=,

2

所以C=（.

（2）因?yàn)镃A-C5=3,所以"COSC=；QZ?=3,

所以=6.

因?yàn)閏=77,c=j,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=1）

所以/+/=i3,

所以（0+6）2=。2+廿+2"=13+2*6=25,

所以。+匕=5,

所以VABC的周長為a+6+c=5+S.

【變式4-3］（2024?河南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=#siiLY+cos2］,在VABC中，角A,3,C所對的邊分

3

別為a,b,c,且"8)=5.

⑴求8；

(2)若2〃=2c2+ac,求史的值.

C

【答案】（1）3寸;

（2）212/1.

2

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、余弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)題干條件將函數(shù)f（x）解析式通過二倍角公式和輔助角公式化簡，再代入/（2）=；3求得8

的值；

（2）由（1）中求得的8和條件2^=2c2+ac利用余弦定理建立關(guān)系式即可求得小的值.

C

立siM+cos22=sinG+二］+工，

【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?（力=

22{6J2

所以由〃5）=sin（5+E1

+—==1.

2I得加:

又因?yàn)?<3<兀，所以+

000

所以8+2=9，B=g

O23

（2）由⑴得'84所以由余弦定理可得’8S”「三匯

又因?yàn)?/=202+碇，所以從=生土竺，

2

222c2+ac2QC

所以〃+c—一—=1，即人一萬J，

2ac22ac2

把”=：C代入262=202+收，可得b/C,

22

3幣

所以a+匕乎+工。3+6.

cc2

6模塊四小試牛刀過關(guān)測

一、單選題

1.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）在VABC中，角A,氏C的對邊分別為a,瓦c.已知。=1,6=6,A=$,則。=

6

（）

A.1B.2C.1或2D.B或B

42

【答案】C

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】由余弦定理可得〃=/+c2-26ccosA,即1=3+C?-2辰x立nc2-3c+2=0,

2

解得c=l或c=2,

故選：C

2.（23-24高一下?四川涼山?期末）在VABC中，a=6,c=10,cosB=-1,則邊Z?=（）

A.6B.10C.14D.1073

【答案】C

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理可求6的值.

【詳解】由余弦定理可得62=36+100-2*6xl0x（-g]=196,故6=14

故選：C.

3.（23-24高一下?山東聊城?期中）長度分別為2,3,4的線段構(gòu)成圖形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不構(gòu)成三角形

【答案】C

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】求出該三角形最大角的余弦值，根據(jù)余弦值的正負(fù)得到答案

【詳解】設(shè)。=2,6=3,c=4,設(shè)其所對應(yīng)的三個角分別為A,2,C,

根據(jù)大邊對大角的結(jié)論知該三角形的最大角為C,

工序2

4+9-161八

由余弦定理得=

2x2x34

故C為鈍角，三角形形狀為鈍角三角形.

故選：C

4.（23-24高一下?黑龍江綏化?期中）已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=KOSA,

則C=（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值解出答案；

【詳解】因?yàn)椤?8OSA,余弦定理可得b=cx"+C-"，；./+。2一。2=0,

2bc

b2+a2-c2

cosC==0，

lab

解得C=].

故選：c.

5.（23-24高一下?北京?期中）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為。，瓦c,a2+b2-c2=-ab,則C=（）

.萬g兀△2兀c5兀

A.—B.—C.—D?—

4336

【答案】c

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】直接由余弦定理即可求解.

【詳解】由題意cosC="-+"-c-=W=-J.,而Ce（O,7r）,所以C==.

lab2ab23

故選：C.

6.（23-24高一下?吉林?期末）已知VABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為“，方，c,若a=2拒,6=2,A=120°,

貝1|c=（）

A.2B.3C.4D.2或4

【答案】A

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理即可求出J

【詳解】根據(jù)余弦定理得。2=廿+°2-26CCOSA,

22

gpi2=2+c-2x2Cx^-^,解得c=T（舍去）或2,

故選：A.

7.（24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家

和地理學(xué)家.托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積

的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時，等號成立.已知在凸四邊形中，AB=2,BC=6,

27c

AD^2CD,ZADC=—,則80的最大值為（）

A.5B.372C.2屈D.2A/7

【答案】D

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】記CD=〃，，利用余弦定理表示出AC,然后根據(jù)題中結(jié)論可得.

【詳解】設(shè)CD=〃z,則AD=2"z,

在ACD中，由余弦定理得AC=

由題知，ACBD<ABCD+ADBC,即屈BDWZm+lZznu"加，

所以8。的最大值為2件.

故選:D

8.（24-25高三上?貴州畢節(jié)?期中）在VABC中，AB=4,BC=2,S.BACB=ACCB,則

AH8C+A8CA+3CC4的值為（）

A.-14B.-16C.-18D.-20

【答案】C

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)已知條件判斷出C4=AB,根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

［詳解］依題意，BACB=ACCB,（BA-AC）CB=（-AB-AC）CB

=-（4B+AC）.（AB-AC）=ACLAB?=0,所以AB=AC=4,

22+42-421

cosZBCA=---------=-,

2x2x44

所以

=AB-^BC+CA^+BC-CA^ABBA+BC-CA=-AB2+\BC\\C^COS（TI-ZBCA）

,1

=-42-2-4-COSZBG4=-16-8X-=-18.

4

故選：C

9.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,6=8,C=45°.

若三角形有兩解，則邊c的取值可以是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】BC

【知識點(diǎn)】余弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理以及方程片一8缶+64-/=（）有兩個正根％,出，從而列出關(guān)于。的不等式即可求解.

【詳解】由余弦定理得/=〃2+82_2XQX8XCOS45°,BPa2-Sy/2a+64-c2=0.

因?yàn)槿切斡袃山?，所以方?_8億+64-/=0有兩個正根4,4，

由q+a?~81\/2>0,%%=64-c2>0,A=（8A/2）2-4（64-C2）>0M4A/2<C<8，

故選：BC.

10.（23-24高一下?廣西河池?期中）為三角形三邊，滿足加=（”份（"十⑻，則三角形的形狀

可為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】AD

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】依題意可得（即6）。2=3—力（/+1）,即可判斷.

【詳解】因?yàn)?（“-〃）（/+/）,

所以（°一6）<?=（a-b）（a2+Z?2）,

貝!|。-6=0或c?=a2+b2>

所以三角形為等腰三角形或直角三角形.

故選：AD

三、填空題

2

11.（24?25高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）,ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b9。，已知cosC=§,

<7=3,b=4,貝!|cos5=.

【答案】I

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理求解即可；

【詳解】由余弦定理cosC=、+_—c2可得2_9+16―。2,

2ab32x3x4

解得c=3,

a2+c2-b29+9-161

所以cos5=

lac2x3x3~9

故答案為：—

12.（24-25高三上?北京?期中）在VABC中，/+,2=^+0℃.貝!]/3的值是；y=0cosA+cosC

的最大值是.

【答案】￡/45。1

4

【知識點(diǎn)】輔助角公式、余弦定理解三角形、求含sinx（型）函數(shù)的值域和最值

【分析】利用余弦定理求得cosB,從而求得B；利用三角恒等變換的知識求得y=&cosA+cosC的最大值.

【詳解】由/+/=〃+&.,得=正=32,

lac2

jr

所以5為銳角，且B=

4

y=V2cosA+cosC=V^cosA—cos（A+；）

41..（71^

=——smAd-----cosA=sinA+—,

22I4）

0<A<—,P<A+烏<兀，所以當(dāng)A+烏='，即A/時，

444424

y=-72cosA+cosC取得最大值為1.

故答案為：j1

四、解答題

A

13.（24-25高三上?陜西渭南?期中）記VABC的三個內(nèi)角A,民C的對邊分別為。力,。，且Zsi/5-cosA=0.

⑴求角A的大小；

⑵若6=2c,求證：VABC為直角三角形.

【答案】（1）4=5

（2）證明見解析

【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形

【分析】（D利用二倍角的余弦公式可求得cosA=g,進(jìn)而可求A；

（2）結(jié)合（1）與余弦定理可求得a=辰，進(jìn)而計算可得廿=/+°2,可得結(jié)論.

A1

【詳解】（1）由2sin2,-cosA=。，可得l—cosA—cosA=0,解得cosA=],

因?yàn)锳e（0,7i）,所以A=1.

TT

(2)由(1)可知，A=y,

又b=2c,

在VABC中，由余弦定理可得。?=b2+c2—2bc-cosA=4c2+c2—2?2c?c~=3c2,

解得a=Gc,所以/+C2=3C2+C2=4C2=(2C)2=〃，由勾股定理的逆定理可得B=

所以VABC為直角三角形.

14.(2024高三?全國?專題練習(xí))記VABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a、6、c,已知反osA-acos3=6-c,

求A.

【答案】A=1

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、余弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理角化邊，再利用余弦定理求出A.

【詳解】在VABC中，由bcosA-acos3=》-c及余弦定理

222222

b+c-a_aa+c-b化簡得從+C-2=6C,

2bclac

由余弦定理得COSA=2^】——=^-,而0<4<%，

2bc2

所以A=%

3

15.(24-25高一下?全國?課堂例題)(1)一個三角形的兩邊長分別為5和3,它們夾角的余弦值是一1,

求三角形的另一邊的長；

(2)在VABC中，已知6=百，c=y/15,4=30。，解這個三角形.

【答案】(1)2炳；(2)答案見解析

【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】(1)由余弦定理即可求解，

(2)根據(jù)余弦定理可得a=6或a=2有，即可根據(jù)等腰或者直角三角形的性質(zhì)求解NC,ZA.

3

【詳解】(1)設(shè)a=5,b=3,cosC=