第08講導數中構造函數的應用

T模塊導航—素養目標

模塊一思維導圖串知識1.了解需要構造函數的一般形式.

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)2.掌握指對同構在寫題中的應用.

模塊三核心考點舉一反三

【考點一：構造函數比較大小】

【考點二：構造函數解不等式】

【考點三：構造函數求參數的最值(范圍)】

【考點四：構造函數證明不等式】

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

四、構造函數證明不等式

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

一、同構構造函數或者利用作差或作商法構造函數

1、同構是構造函數的一種常用方法.常利用工=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)將要比較的三個數化為結構相

同的式子，再將其看作同一個函數的三個值，用常值換元構造函數，利用函數的單調性比較大小.

2、對于同時含有指數、對數結構的兩個變量的等式，或者含兩個變量，且結構相似的等式，比較相關的兩個變

量間的大小問題時，思考的邏輯路徑為先分離變量，再將等式通過合理變形，放縮成結構相同的不等式，然后利

用同構函數思想,轉化為比較某個函數的兩個函數值f(g(x))與f(h(x))的大小，最后利用函數f(x)的單調性，轉化

為比較自變量g(x)與h(x)的大小，實現將超越函數普通化的目的,達到事半功倍的效果。

3、常見的構造函數有

(1)與e，和Inx相關的常見同構模型

①ae"4〃n6oe"lne"<b\nb,構造函數/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

構造函數〃x)=熹或g(x)=J;

aIn/?Ine"Inb

③e"±q>6±ln6oe"±lne">b+lnb,構造函數，(x)=x±lnx或g(x)=e'±x.

二、構造函數解不等式解題思路

利用函數的奇偶性與單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：

(1)把不等式轉化為/

(2)判斷函數/(x)的單調性，再根據函數的單調性把不等式的函數符號脫掉，得到具體的不等式(組),

但要注意函數奇偶性的區別.

三、構造函數解不等式解題技巧

求解此類題目的關鍵是構造新函數，研究新函數的單調性及其導函數的結構形式，下面是常見函數的變形

模型1.對于/'(x)>g'(x),構造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.對于不等式f(x)>左(左HO),構造函數g(x)=F(x)-左x+b.

模型3.對于不等式/'(x)+/(x)>0,構造函數g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式/'(x)+燈口)〉0,構造函數g(x)=/"(x)

模型4.對于不等式/r(%)-/(%)>0,構造函數g(x)=』學

e

模型5.對于不等式V'(x)+/(%)>0,構造函數g(x)=對'(x)

拓展：對于不等式W'(X)+4(X)〉0,構造函數g(x)=x"/(x)

模型6.對于不等式xf\x)-/-(%)>0,構造函數g(x)=上出(%*0)

X

拓展：對于不等式"⑴-4(x)>0,構造函數g(x)=1^

X

模型7.對于行一〉0,分類討論：(1)若/(x)>0,則構造/z(x)=ln/(x);

f(x)

(2)若/(x)<。，則構造丸(x)=ln[—/(x)]

模型8.對于f'(x)+Inqf(x)>0(<0),構造k(x)=axf(x).

模型9.對于/'(x)Inx+以旦■>()(<0),構造〃(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)對于/'(x)>/(x)tanx(則'(x)v/(x)tanx),即/'(%)85%—/(%)5111]>0(<0),

構造h(x)=/(x)cosx.

(3)對于f(x)cosx+f(x)sinx>0(<0),構造h(x)="".

cosx

模型11.(1)f'(x)sinX+f(x)cosx=[/(x)sinx\(2)于⑴sinx二/(A)COSX=1/^丫

sirrxsinx

3模塊三核心考點舉一反三

【考點一：構造函數比較大小】

一、單選題

)

1.(23-24高二下?江西新余?階段練習)已知。二三—lr5/=三—ln3,。=—亍ln2，則()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】根據三個對數值的特點，構造函數/(》)=媽，求導得到函數的單調性，利用函數在6+刈上的

X

單調性和對數運算性質，化簡計算即可比較大小.

【詳解】設〃X)=小，函數定義域為◎+◎,則廣(口=上墳，

當0<x<e時，f'(.x)>0,當x>e時，(尤)<0,

即/(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

ln2In41一，_立”八51n3In4In5

因m丁=<，且e<3<4<5,^/(3)>/(4)>/(5),BP1—>—>—,

24345

口口In3In2In5.In3

即——>——>——,貝nU------<一g<-蛇

325325

故選：A.

311

2.(23-24局二下?江蘇蘇州?期末)設〃=：,b=log2,c=—+sin—,則()

4344

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】A

【分析】根據指數函數與對數函數的單調性即可比較。，b,構造函數/(x)=x-sinx,利用導數判斷函數的

單調性，即可比較［sin］的大小，進而可比較瓦c的大小，即可得解.

44

3］_LLL

4422

【詳解】因為。=1。8334=log327>log325=log35>log34=log32,

所以a>>，

令/(%)=%—sin%,貝！］/r(x)=l-cosx>0,

所以在R上為增函數，

所以d]>〃0)=0,即:一sinJ>0,所以J>sinJ,

4444

貝!)人=log32>log3百=；=；+；>；+sin；,BP/7>c,

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

XTT

3.(23-24高二下?四川眉山?期末)已知函數)=下的最大值為〃，令人=lgsin三，”也攻，則〃，b,。的

e7

大小關系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用導數求出“，由正弦函數、對數函數性質可得6<0,再構造函數比較的大小.

【詳解】由/=一，當時，y>o,當%>i時，y<o,

e

Y1

即函數y=5在(一84)上單調遞增，在(1,+s)上單調遞減，則當尤=1時，a=ymax=-,

ee

令函數/(x)=lnx」(l<x<e),求導得r(x)=L」>o,函數/(?在(l,e)上單調遞增，

exe

貝(l/(x)</(e)=O,于是/(2)<0,gpln2--<0,因此。=」>』ln2=In&=c>0,

ee2

由0<sin/<1,得b=1gsin/<0,

所以a,b,c的大小關系是

故選:A

4.(24-25高二上?重慶?階段練習)已知〃=sinLb=@,c=ln3,則()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】構建g(x)=x-sinx,xe[O,l),利用導數判斷g(x)的單調性，進而可得”;<6,再結合對數函數

單調性可得g<c<6.

【詳解】記8(尤)=%-$血,工€[0,1),貝1|g<x)=l-co&xN。，

可知g(可在[0,1)上單調遞增，則|ggbg⑼，gpl_sinl>0,

可得a=sin1<』<=b;

333

又因為(3[,則21n』<l<31n。，即：1<歷3<!<也；

⑶⑶223223

所以a<c〈人.

故選：B.

5.(23-24高二下?四川攀枝花?期末)已知“=e°99一0.99力=l,c=1.01-1.011nL01,則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】設/(x)=x-lnx分析函數的單調性，可得。涉的大小關系；設函數g(x)=x-xlnx,分析函數單調

性，可得b,c的大小.

1_1

【詳解】設“x)=x-lnx,(尤>0),因為尸(耳=1一;=土r/,

由尸⑺>0=>x>l；由/⑺<0=>0<x<l.

所以函數在(0,1)上遞減，在。,內)上遞增.

所以〃x)2/(l)=Inl=l,

99

又0=6°_0.99=6°99_111科99=/卜°99),^=1=/(1),所以a>b.

再設g(x)=x-xlnx,(x>0),因為g'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

由g'(x)>0=0<x<l；由g'(x)<0=x>l.

所以函數g(x)在。,收)上遞減，在(0,1)上遞增.

所以g(x)Vg(l)=l.

Xc=1.01-1.011nl.01=g(1.01)<g(l)=Z7,即c<6.

故a>6>c.

故選：A

【考點二：構造函數解不等式】

一、單選題

1.(23-24高二下?山東聊城?期末)已知定義在R上的函數/(元)的導函數為了⑺，若"1)=3,且VxeR,

/(一力>1,則/'(一”<2—%的解集為()

A.B.(-1,1)

C.(1,+8)D.(-1,+<?)

【答案】D

【分析】構造函數g(x)=〃-x)+x,利用導數得出其單調性，進而由單調性解不等式即可.

【詳解】構造函數g(x)=/(—x)+x,g(T)=3-1=2,

g'(x)=--(一幻+1<0,即函數g(x)在R上單調遞減，

/(—x)<2-x等價于g(x)<g(—l),解得x>—l.

即"r)<2-x的解集為(-1,+e).

故選：D

2.(23-24高二下?山東棗莊?階段練習)已知定義在R上的函數/(x)的導數為/'(x),f(l)=e,且對任意

的x滿足廣(x)-/(x)<e'，則不等式/(x)>xe'的解集是()

A.(-oo,l)B.(-8,0)

C.(0,1)D.(1,飲)

【答案】A

【分析】構造尸(x)=綽-x,求導得到其單調性，并結合/1)=/a-1=0,得到x<l時，F(x)>0,

ee

從而求出解集.

【詳解】設下(同=竽-%，

因為了'(X)-〃x)<e",

所以產(x)='(--——_——1='(~-——----<0?

exe'

故廠(月=第7在R上單調遞減，

X/(l)=e,故/⑴=9一1=0,

故當尤>1時，F(%)<0,當x<l時，F(%)>0,

/(x)>xex=>"：)一x>0nF(x)>0,

故了(同>屁工的解集為(-8,1).

故選：A

3.(23-24高二下.內蒙古.期末)已知廣⑴是定義域為［。,￡|的函數〃x)的導函數，且

/'(x)sinx+〃x)cosx>0,則不等式/［x+?cosx>的解集為()

A.修+“B.卜汨［CH。］D.(一則

【答案】D

【分析】首先構造函數g(x)=/(x)sinx,利用導數判斷函數的單調性，再求解不等式.

【詳解】設g(x)=〃x)sinx,(x)=f'[x)sinx+f(x)cosx>0,

所以函數g(x)單調遞增，

小+。岡>=小+與卜心+：>/.卜哈

7171

XH---->一

即g(x+Tj>g7126,所以一W<無<。，

得

八兀兀3

0<x+—<—

22

所以不等式的解集為卜

故選：D

4.(23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中)已知定義在R上的奇函數〃龍)，其導函數為/'(x),/(-3)=0,

當x>0時，3〃力+才(力<0,則使得〃力<。成立的x的取值范圍是().

A.(-?,-3)u(O,3)B.(-3,0)53,")

C.(f一3)。(3,+巧D.(十,—3"(—3,0)

【答案】B

【分析】設g(x)=x3/(x),根據題意可得函數g(x)為偶函數以及其單調性，再分x>0以及尤<0討論即可得

出答案.

【詳解】設g(x)=V/(x),則g，(x)=3//(x)+Pr(x)=x2[3/(x)+才(切,

由于當x>0時，3/(x)+4'(x)<0,

貝(I當x>0時，g'O)<。，g(x)在(0,包)單調遞減，

又fM為奇函數，/(X)=-/(一力,則g(-x)=(-x)3/(-x)=x3/(x)=g(尤)，則函數g(x)為偶函數，

可得函數g(x)在(-8,0)上單調遞增，

又/(一3)=0,則g(—3)=g(3)=o,

當x>0時，由7(x)<。，可得g(x)<o,即g(x)<g⑶，解得x>3；

當x<0時，由/(x)<0,可得g(x)>o,即g(x)>g(3),解得-3<x<0；

綜上，不等式/(九)〈。的解集為(-3,0)。(3,+8).

故選:B.

5.(23-24高二下.天津.期末)定義在R上的函數導函數為尸(x),若對任意實數x,有〃力>/(耳,

且〃力+2024為奇函數，則不等式〃耳+20243<0的解集為()

A.(-oo,0)B.(。,+8)C.D.

【答案】B

【分析】構造g(W=與，根據導數研究g(x)單調性，結合已知將問題化為g(x)<g(0),再根據g(x)的單

e

調性即可求出結果.

【詳解】設以無)=與，則g(x)J'(+」(x),

ee

對任意實數X,有〃%)>/(力，

所以g，(x)<0,則g(x)在R上單調遞減.

因為/(x)+2024為奇函數，且f(x)的定義域為R,

所以40)+2024=0,所以/(0)=-2024,所以g(0)=-2024.

因為e，>0,所以求不等式/(%)+2024e'<0的解集，

即求卒<-2024的解集，即求g(x)<g(0)的解集，

e

因為g(x)在R上單調遞減，所以g。)<g(。)的解集為x>0,

所以不等式/(%)+2024e*<0的解集為(0,+功.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：構造函數g(x)=華，根據題意，可得其單調性，從而求解不等式.

ex

6.(23-24高二下.江蘇常州.期末)已知函數/(X)及其導數/'(無)的定義域均為R,對任意實數x,

/(》)=/(一x)—2x,且當xNO時，r(x)+x+l>0.不等式/(2%—2)—/(尤)<一<+3尤的解集為()

2-004

A.(-00,2)B.C.—,+ooD.(2,+oo

3

【答案】B

【分析】構造函數g(尤)=〃尤)+；/+工，從而結合導數與所給條件得到函數g(x)的單調性與對稱性，在

將所給不等式中/(X)化為g(X)即可得解.

【詳解】令g(x)=〃x)+：x2+x,貝!|g'(x)=/'(x)+x+l,

由題意可得，當尤20時，r(x)+x+l>。，即g(x)在(0，+8)上單調遞增,

由/(x)=/(_x)_2x,貝！］g(x)_gx2_，x=g(_x)_gx2+x_2x,

即g(x)=g(-x),故g(x)為偶函數，故g(x)在(-8,0)上單調遞減，

1?13Y

貝!I不等式/(2工_2)-/(力<———+3x可化為：g(2x—2)-—(2x—2)-(2x-2)-^(x)+—x2+x<———+3x,

即g(2x-2)<g(x),則有|2x—2卜國,即(2x-2)2〈尤2,

gp(2x-2+x)(2x-2-x)<0,BP(3x-2)(x-2)<0,

解得xe[g,21

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于構造函數g(x)=〃尤)+g?+x,從而結合導數與所給條件得到函數

g(尤)的單調性與對稱性.

【考點三：構造函數求參數的最值(范圍)】

一、單選題

1.(24-25高二上?云南?階段練習)若e，+%-Iny-ey=l,則母的最小值為()

112

A.—B.—歹C.—TD.0

eee

【答案】B

【分析】利用同構可得ei=y,再結合導數討論新函數的單調性后可得沖的最小值.

【詳解】因為爐+x-lny-ey=l,故ln(e*)+e*=ln(ey)+(ey),

而y=x+lnx為(0,+8)上的增函數，故e*=ey即e*T=y,故孫=xe*T,

設s(x)=xe*T,xeR,貝Us〈x)=(x+l)e*T,

當xc-l時,s<x)<0,故s(x)在上為減函數,

當X>—1時，s'(x)>0,故S(x)在(-1,+8)上為增函數，

故$(/皿=5(—1)=^-2,

故選：B.

2.(24-25高二上?安徽六安?階段練習)對于x?O,+w),不等式e'-ln(〃式)+(1-間尤20恒成立，則實數加

的取值范圍為()

A.0<m<lB.0<m<lC.0<m<eD.0<m<e

【答案】C

【分析】由e"-In(儂:)+(l-間%N。得，ex+x>eln^^+In(mx),同構函數/(X)=e"+x,由/(ln(mx))

得：^>ln(mx),再參變分離,轉化為借助導數求函數的最值即可.

【詳解】已知了￡(。,+°°),由e"-ln(mx)+(l-加)x2。得，ex+x>+In(me),

構造函數"x)=e"+H則〃同是R上的增函數，則由/(x"/(ln(M))得：x>ln(mx),

即用令g(%)=上，X￡(0,+。)，，

XXX

當x?0,1),g<x)<0,則g(x)單調遞減，

當xe(l,4w),g<x)>0,則g(x)單調遞增，

二g(xL=g(1)=e,則相<e,又/九>0,則0<7〃Ve.

故選：C.

3.(24-25高二上?全國?課后作業)已知函數/(x)=eAi,g(x)=lnx+l,若存在實數滿足/'(a)=g僅),

則e"后的最大值為()

A.—eB.—1C.-D.1

e

【答案】c

【分析】根據〃G=g0)可得b>L構造函數和=求導即可根據函

數的單調性求解最值.

【詳解】因為/(a)=g?,所以ei=ln6+l,所以小門=嗎已>0,所以5」，

ee

設函數人(司=電?上>:｝則"⑴戶一1皿一1,

設°(x)=：-lru-l,由于y=：,y=-ln尤均為上的減函數，易知(p(x)在區間內單調遞減,

且0⑴=0,

故當xwgl)時，°(x)>0,//(x)>0；當xe(L+s)時，°(x)<0,〃(x)<0.

所以h(x)在區間,1］上單調遞增，在區間(1,+8)上單調遞減.

所以〃⑴2?⑴=：,故『一%=：.

故選：C

【點睛】方法點睛：利用導數比較大小的基本步驟

(1)作差或變形；

(2)構造新的函數h(x)；

(3)利用導數研究h(x)的單調性或最值；

(4)根據單調性及最值，得到所證不等式.

4.(23-24高二下.河南安陽?期中)若對任意無€(0,1),二<薩丁恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.[—,—]B.[0,4-00)C.1,+8)D.[—,+GO)

222

【答案】D

【分析】根據給定的不等式，利用同構的思想，并按，20,av。分類討論，構造函數，利用導數探討單調性

轉化為恒成立的不等式求解.

,,曲x+2a/口Inxx+2a小八7Inx八八4x+2a八

【詳解】由二<二寸，得即<二言不，當Uzx￡(0」)時，即<0,當〃>0時，二H>°，

xeeeee

不等式塔〈主善恒成立，當。<0時，令函數"x)=E，求導得尸(無)=二，

eeee

當x<l時，r(尤)>0,函數/(X)在(-8,1)上單調遞增，而當xe(0,l)時，lnx<0,x+2"l,

不等式塔即/(lnx)</(x+2a),于是lnx<x+2ao2a>lnx—x,

ee

因此尤e(0,l),2a>lnx-x恒成立，令g(x)=lnx-x,0<x<l,求導得gG)=L-l>0,

x

則函數g(x)在(0,1)上單調遞增，g(x)<g⑴=-1,于是2°2-1,貝！|-；Va<0,

所以實數。的取值范圍是“N-g.

故選：D

【點睛】思路點睛：某些數或式大小關系問題，看似與函數的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯系，抓

住其本質，構造函數，分析并運用函數的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.

5.(23-24高二下?福建漳州.階段練習)已知實數x,九滿足ylny=e2工-yln2x,則V的最小值為()

e2f—

A.eB.—C.—D.>/e

2e

【答案】A

2x

【分析】化簡變形后可設=知其在(1,+◎上單調遞增，若/(ln2孫)=/(2力，貝！)2^=e2)對y=J

2x

求導可得到極值點也是最值點，故可得結果.

【詳解】由已知有ylny+yln2%=e2x,即yln2A^=e2",BPIn2xy-^n2xy=2xe2x,

因為2x>0,令于(t)=te[t>09/”)=(，+1)。’>。易知/(力在(0,+8)上單調遞增，

2x

因/(ln2孫)=〃2x),所以ln2個=2x,故2^=6?，，即，=J.

lx

g、i,(2x-l)e2x人,(2x-l)e2x八1

^flUy=------g—,^y'=--------T—=0,可得x二:

2x2x2

又因y=號等;在上小于零，故y在(o，￡|單調遞減，

(2尤一1九2工

在上大于零，故y在單調遞增,

y=-2^~

故當時x=；,y取極小值也是最小值為e.

故選：A

6.(2024?浙江.模擬預測)已知x'iWlnx+9對\/x>0恒成立，則。的最大值為()

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【分析】由題意得e"nx-xlnxNa對以>0恒成立，令f(x)=xlnx,利用導數求得了(尤)2-4，即xlnxN」,

ee

再令，=xlnx,g(r)=e，-r，2-；|,利用導數求出g⑺的最小值，可求出〃的取值范圍，從而可求出”的最

大值.

【詳解】由￡一12lnx+@(x>0),得％"之xlnx+a,

x

所以e"1nx—xinx*對Vx>0恒成立，

令f(x)=x］nx9則/(%)=In%+1在(0,+8)上單調遞增,

由尸(x)=0,得％=工，

e

當0<x/時，f'(x)<0,當x>1時，尸(x)>0,

ee

所以/(X)在［o,j上遞減，在+8)上遞增，

所以/(尤即xlnx"：

令1=xlnx,g⑺=e',

則/⑺=e'-l在-5+sJ上單調遞增,

由g'（，）=。，得）=0,

所以當-，4/<0時，g'⑺<。，當/>0時，g'(.t)>0,

e

所以gO)在-J。］上遞減，在(。,+8)上遞增，

所以8?)3=8(0)=1，所以“VI，

所以。的最大值為1.

故選:D

【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用導數解決不等式恒成立問題，考查利用導數求函數的最值，解題的關

鍵是通過對原不等式變形，將問題轉化為^，一》1?彳24對以>0恒成立，然后構造函數，利用導數求出最

值即可，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.

【考點四：構造函數證明不等式】

一、解答題

I7

1.(24-25高二下?全國?課堂例題)當x>l時，求證：-x*2+lnx<-x3.

【答案】證明見解析

【分析】移項構造函數，利用導函數求解函數的單調性進而得證不等式.

71

【詳解】令尤)=§x3-/x2-inx,

貝！I/'(彳)=2/_尤_工

X

x

Qx>l,.-.x-l>0,又因為l-4x2=-7<0,貝！|2/+犬+1>0恒成立,

.,.當x>l時，f?(x)>0,即在(1,+8)上單調遞增,

f(x)>=,

o

12

即—x~+In尤<§A".

2.(23-24高二上?北京?階段練習)已知函數/(x)=oeT-"n(l+x)+x在x=0處的切線方程為y=Tx+3.

(1)求。力的值;

(2)求證：/(力>0恒成立.(參考數據：e090?2.46,e1?2.72,e110?3.00)

a=3

【答案】⑴

b=2

(2)證明見解析

【分析】(D由導數幾何意義可以求解;

(2)利用導數求出函數在［1,+8)上的最小值，構造函數結合單調性求解即可得證.

【詳解】(D已知函數/(幻=恁一￡-bln(l+x)+x在x=0處的切線方程為y=-4x+3.

/r(x)=-aeTx-------+1.

a=3

由.

J(O)=a=3b=2

2

(2)f(x)=3e-x—21n(1+x)+x,x>—1,(x)=—3e-x-----F1.

_2

令g(x)=If(x),貝!|/(力=3尸+再］>0恒成立,

所以g(x)=/'(x)在(T+?0上單調遞增.

又/,(2)=-4--+I=--4=￡-^<O>/,(3)=-4--+I=-4+->0>

V7e233e23e2V7e32e32

所以g（x）=/'（x）存在唯一的零點如天?2,3）,

2

且滿足-3e』—+1=0.0

1+%

當x變化時，f（x）和r（x）的變化情況如下：

X(T,Xo)%(如+°°)

廣（尤）—0+

/W減極小值增

所以/(%)〃=3e』-21n(l+^))+x0,A0e(2,3).

將①帶入上式，得f(^)=---21n(1+x)+x+1,xe(2,3)

mn［十/000

令/=%+1,并構造函數/z(r)=-21nr+r,re(3,4).

nni者*1//\22產—2,+2(才—1)+1

則有〃7一；+l=_—=e->0-

所以/加)在(3,4)上單調遞增.

27

所以/i(r)>/i(3)=---21n3+3?--2xl.l0>0.

即/(x)^>。,所以f(x)>0恒成立.

3.(2024.河北.模擬預測)已知函數〃x)=alnx-x.

⑴討論〃x)的單調性；

(2)證明：當a>0時，/(.x)<M-1.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）先明確函數定義域和求導，根據導數結構特征對。進行。W0和a>0的分類討論導數正負即

可得單調性.

(2)證小)V￡To/(X)-1,故問題轉化成證

“\/max

alna-a<^-l（?>0）<=>ln^1j-信）+"0,接著構造函數g（x）=lnx-x+l（x>0）研究其單調性和最

值即可得證.

【詳解】（D由題函數定義域為（0,+。），尸（%）=/-1=亨，

故當aVO時，r（x）<0恒成立，所以函數“X）在（0,+向上單調遞減；

當a>0時，/'（%）在（。,+8）上單調遞減，令/'（x）=0=x=a,

則xe（0,a）時，/,（%）>0；xe（a,+<x>）時，/,（x）<0,

所以函數/（x）在（0,。）上單調遞增，在）上單調遞減，

綜上，當aWO時，函數〃x）在（。,+e）上單調遞減；當a>0時，函數〃元）在（0,。）上單調遞增，在（。,y）

上單調遞減.

（2）由（1）當a>0時，函數“X）在（0,a）上單調遞增，在（。,y）上單調遞減，

故"X）Vf（a）=alna-a在（0,+8）上恒成立，

故證-l(a>0)=證-1(。)0)，

即=ln^|J<Ta>0)oln|^|J-^J+l<0,

11_r

令g(x)=lnx—x+l(x>0),則g，(尤)=一一1=-----(x>0),

故當xe(O,l)時，g,(x)>0；xe(l,+oo)時，g,(x)<0,

所以g(x)在(。,1)上單調遞增，在(1,y)上單調遞減，

所以g（x）Wg（l）=0在（0,+8）上恒成立，故In+1<0,

所以當a>0時，-1.

【點睛】思路點睛：證明含參函數不等式問題通常轉化成研究函數最值問題，第（2）問證當。>0時,

可將問題轉化成證/（%）_接著根據其結構特征進行變形轉化和構造函數，利用

導數確定所構造的函數單調性和最值即可得證.

4.(23-24高二下?河南南陽?階段練習)已知函數/(x)=e'+x,g(x)=--lnx.

x

⑴證明：/(%)>2%+1,

(2)證明：/(x)+g(x)>4.

1

⑶若/axg?)",求西+尤2的最大值?

e'

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

(3).

【分析】(1)設/z(x)=/(x)-(2x+l),求導，分析函數單調性，求函數h(x)的最小值，得到最小值大于或

等于0即可.

(2)利用(1)的結論進行放縮，再利用導數求函數最小值即可.

1X

(3)首先由條件同構方程，得到玉=此￡,再利用變量轉化，變形占+元.，并構造函數機⑺=與，

%ef-7e

利用導數求函數的最大值.

【詳解】(1)設Mx)=/(x)-(2x+l)=e--l,

則"(x)=e-l,

由??(x)>0,得x>0；由??(x)<0,得x<0.

所以函數h(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增.

所以％(>)*=%(。)=。，所以網力對恒成立.

即/(x)22x+l恒成立.

(2)由(1)得/(x)N2x+l,(當x=0時取“=”)

所以/(尤)+g(x)?2x+l+!-Inx.

X

設O(x)=2x+l+，-lnx,(x>0)

則以上2一-+

XXXX

由??(x)>onx>l；由??(x)<0=>0<x<l,

所以(p(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以9(x)之夕(1)=4(當x=l時取“=”)

因為/(x)22x+l,姒”24中，“=”成立的條件不一致，

所以/(x)+g(x)>4.

x

(3)由題意可知，e'+xl=^--\nx1=t,

x2

11In—1

艮|3e*+再=--bln一=e%+In—=t,

x2x2x2

函數y=e'+x是增函數+增函數，所以單調遞增，

,111X

所以玉=ln—,即西x=一,所以再+—=玉+9=*

1

X]H-------

X2_t9

ef=7

設加Q）=J,fn（）=U,

當時，加⑺＞0,函數加⑺單調遞增，

當fe（l,+”）時，加⑺＜0,函數加⑺單調遞減，

所以當f=l時，取得最大值—

1

所以“「兀的最大值為L

丁e

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是根據（1）的結果，對不等式進行放縮，第3問的關鍵是將方程

In—11

兩邊同構成爐+%=eX2+In±=，，根據函數的單調性得到等式玉=皿一，這是解題的關鍵.

X

X22

5.（22-23高二下?遼寧?期末）已知函數/（司=”出.

ax

⑴討論“X）的單調性；

⑵若（5廣=（任廣（e是自然對數的底數），且為＞。，%2＞0,占w%，證明：考+%＞2.

【答案】（1）結論見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）求出函數/（x）的導數尸（無），再按。＜0，。＞。分類探討（（無）的正負作答.

（2）等價變形給定等式，結合。=1時函數/⑺的單調性，由0＜占＜1＜%,/&）=/（龍2），再構造函數

g（x）=/（x）-/（2-x）,xe（l,2）,利用導數、均值不等式推理作答.

【詳解】（D函數〃尤）=叱里的定義域為（0,+?0,求導得貝！空，由/'。）=0得x=l,

axax

若。＜0,當0＜x＜l時，f（x）＜o,則/（元）單調遞減，當x＞l時，廣（無）＞0,則/（X）單調遞增,

若。＞0,當0＜x＜l時，-。）＞0,則/（元）單調遞增，當尤＞1時，尸（無）＜0,則/（X）單調遞減;

所以當。＜0時，函數/（元）在（0,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增；

當4>0時，函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

(2)由?)*=(%)",兩邊取對數得9(ln%+l)=玉(山％+1),即生產="土1

由(1)知，當。=1時，函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+⑹上單調遞減，

⑴=1，而/d)=O,X>1時，/(x)>0恒成立，

e

因此當4=1時，存在網,工2且0"<1<尤2,滿足/(%)=/(々)，

若為€[2,+8),則尤：+無；>無；24>2成立；

若蒞e(l,2),則2-%e(0,l),記g(x)=f(x)-f(2-尤)，xe(l,2),

則g\x)=/(尤)+廣(2一x)=一室一等福>一嗎一咤也=.皿-(曰±1]>o,

x(2-x)x-xx

即有函數g(x)在(L2)上單調遞增，g(x)>g(l)=O,即f(x)>/(2-x),

于是/(%)=/(%)>/(2-々)，

而馬e(l,2),2-^e(O,l),x,e(0,l),函數f(x)在(0,1)上單調遞增,因此玉>2-%，即3+々>2,

又d+1>=2占芯+1>=2々，貝！]有,+1+芍+1>2(%+%)>4,則x：+無；>2,

所以x：+*>2.

【點睛】思路點睛：涉及函數的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數的值的不等式,

都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數.

6.(2024二?全國?專題練習)已知aeR,函數=In(尤+1)H------+ax".

(1)當a20時，求證：/(%)>1；

⑵若/(%)+/(f)>2,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

11

【分析】(1)當a20時，得出依2NO,將問題化為證ln(x+l)+n2l,構造函數g(x)=ln(x+l)+、

并證明其單調性，得出g(x)2g(0)=