2025年高考數學模擬試卷02（全國卷文科）

詳細解析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合人={九|一一％一22。}]={X|y=lnx},則@4h5=（）

A.1x|0<x<l}B.1x|0<x<2}

C.1x|-l<x<2|D.{X%>2}

【答案】B

【詳解】因為A={Nx2-x-2>0]={x\x>2^x<-l},

則gA=1x|-1<x<21,又5={x|y=InxJ=|x|x>01,

所以%A）C5={R0<XV2}.

故選：B

2.已知復數z滿足z（2-i）-i=2（i為虛數單位），貝”的虛部為（）

4444

A.—B.——C.—iD.——i

5555

【答案】A

【詳解】由z（2-i）-i=2可得z=f2±—ii=（J2—2i）；（?2：+i）=中5，

4

故虛部為二,

故選：A

x-y-2<0

3.若實數％,>滿足約束條件3x+y—220,則z=2%+3y的最小值為（）

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

x—y—2<0

【詳解】由約束條件3x+y-22。作出可行域如圖,

x-2y>Q

~~x

飛、:；亨7

3x+y-2=0

解彳小；二\，則AO"

聯立

x-y-2=01

21

化目標函數z=2x+3y為y=_§x+,z.

21

由圖可知，當直線＞=-過A時，直線在y軸上的截距最小,

貝|Jz有最小值為2x1+3x(—1)=—1.

故選：C.

sin(a+⑶i,、

4.已知丁7---方=2,cosasin/?=一,則sin(a+0=()

sin\CL-p\6

_2

ABcD.

-1-t-I一5

【答案】B

n

【詳解】由s，f+=2,可得sin(二+/7)=2sin(a—/7)=>3cos。sin￡=sinacos(3,

因為cosasin分=',所以sinacos/?=L

62

112

所以sin(a+尸)=sinacos/3+cosasin尸=/+%=§.

故選:B.

5.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（

A.史C.師n101

B.----D.-----

99101101102

【答案】C

222

【詳解】當S=o,l時’進入第一次循環，得5=而'"=3；進入第二次循環，得5=有+而…5；

222222

進入第三次循環，得5==+「+『=次=7；L,S=-----+------+--------F+—--水=99；

1x33x55x71x33x55x797x99

22222

S=---------1-----------1------------FH----------------1----------------次=101,此時因k=101>100,退出循環，輸出

1x33x55x797x9999x101

222+22

S=---+----+----+--------------1----------------

1x33x55x797x9999x101

22,1111111111100

H----------------1----------------=1-----1------------1---------F-1-----------------1----------------=]1一

1x33x55x797x9999x10133557979999101101~101

故選：C.

6.某校為了解在校學生對中國傳統文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統文化知識考

試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖(分成[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組)，下列結論中不正確的是()

頻率

A.圖中的々=0.012

B.若從成績在［70,80）,［80,90）,［90,100］內的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在［80,90）內

的有3人

C.這100名學生成績的中位數約為65

D.若同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.2

【答案】C

【詳解】由(0.008x2+4+0.02x2+0.032)x10=1,得。=0.012,所以A正確;

這100名學生中成績在［70,80）,［80,90）,［90,100］內的頻率分別為。2,0.12,0.08,所以采用分層抽樣抽

取的10名學生中成績在［80,90）內的有lOx*t=3人，故B正確；

根據頻率分布直方圖，可知這100名學生成績的中位數在（60,70）之間，設中位數為x,則

（x-60）x0.032=0.22,所以x=66.875,故C錯誤；

根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得

元=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正確.

故選：C

7.若“=(_!_],b=ln且空,c=log，7強，則()

U2J202427

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【詳解】因為c=log”W==log32>!log3>^='>0，.=△￥=卜[=^=>0,

336(⑵認12J24A/3

因為g〉心〉。，

可知c>a>0,

2023

又因為6=ln1礪=所以

故選：D

8.已知函數滿足/（尤+3）=1-〃1-力，且函數〃x+l）為偶函數，若/⑴=1,則

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

【答案】B

【詳解】由題意函數〃X+1)為偶函數，所以/(X+1)=〃T+1),/(元)的圖象關于直線X=1對稱，

所以〃x+3)=l-〃l-x)=l-〃l+x)=l-[l-〃3-x)]=〃3-x)=〃x-l),

所以函數/(x)的周期為4,在/(x+3)=l—/(lr)中，分別令x=0和1,

得/⑴+"3)=1，/(0)+/(4)=1,即〃2)+〃4)=1,

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=2,

所以“1)+/⑵+L+/(2024)=506x2=1012.

故選：B.

9.攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖1,它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐

P-ABCD,其中底面邊長和攢尖高的比值為若點E是棱尸D的中點，則異面直線PB與CE所成角的正

切值為()

圖1

2

B.—D.

22

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接3D,設。為30的中點，:.OE//BP,

異面直線尸3與CE所成角為NOEC或其補角.

連接OC,OP,

所以，在正四棱錐P-ABCD中，OP±OC,BD±OC,OPcBD=O,

.?.OC_L平面依Z),

J.OCVOE,^AB=a,OP=h,則由題意得3=!,08=。。=也〃，

h22

OE=-BP=-ylOB2+OP2=-

222

oc\[la2

..在R，OK。中，tWZ°EC=^

j3'

2

故選：C.

10.已知點尸為直線4:機+6=。與直線4：2x+my-機-6=0(〃zeR)的交點，點。為圓

C:(x+3)2+(y+3)2=8上的動點，貝力尸。1的取值范圍為()

A.[20,8應]B.(2夜,80]C.[V2,6A/2]D.(0,6近]

【答案】A

【詳解】因為點尸為直線4：〃吠一2丁一%+6=0與直線4：2x+〃9一加一6=0的交點，

所以由2%+(—2)”=。可得/二乙,且4過定點(1,3),'過定點(3,1),

所以點尸的軌跡是以點(1,3)與點(3,1)為直徑端點的圓，圓心為(2,2),半徑，=1(1—3)2+(3-1)2二夜.

2

而圓C:(x+3>+(y+3)2=8的圓心為(-3,-3),半徑為R=2jl，

所以兩個圓心的距離d="(2+3)2+(2+3)2=5夜,且〃>廠+R，所以兩圓相離，

所以IPQI的最大值為：d+r+R=8&1尸。1的最小值為：d-r-R=2^2,

所以IPQI的取值范圍是[2夜,80].

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，根據直線/”4垂直以及過定點得到點尸的軌跡是圓，從而得解.

11.設等比數列｛%｝中，見，。7使函數“力=丁+3。3%2+%工+裙在X=T時取得極值0，則。5的值是()

A.土相或±3&B.后或3五C.±3&D.3亞

【答案】D

/2

【詳解】由題意知：/(x)=3x+6a3x+a7,

f(—1)=-1+3a3—%+a；=0

/(尤)在彳=-1處取得極值0,

f(—1)=3—6%+%=0

y或〃3=2

解得:

%=3%=9

當%=1,%=3時，/(%)=3%2+6^+3=3(^+1)2>0,

\/⑴在R上單調遞增，不合題意；

當的=2,%=9時，/'(x)=3d+12x+9=3(x+l)(x+3),

.,.當xw(-co,—3)(-1,+co)時，>0；當xe(-3,-1)時，f'(x)<0；

\/(火在(—,-3),(-1,y)上單調遞增，在(-3,-1)上單調遞減，

."=-1是/(尤)的極小值點，滿足題意；

..a§=a3a7=18,又a$與4，%問號，二％=3>/2.

故選：D.

12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為尤=—1,A(-l,0),P,。為C上兩點，且A尸=/L4Q(2>l),

則下列選項第氓的是()

A.OPOQ=5B.AP-AQ>8

C.若2=2,則|尸°上率D.若S&Q°=4叵,則|尸。|=16追

【答案】C

【詳解】由拋物線。:丁=2。40>0)的準線方程為彳=-1,可得一^=一1,解得p=2,

所以拋物線C：V=4x,

設直線PQ：X=沙一i,且尸[4手，％；

聯立方程組"：尸，整理得/一4小+4=0,

[y=4x

則A=16尸-16AO,解得產＞1,且%+%=4/,yf=4,

由CPCQ=("%)+%%=1+4=5,所以A正確;

16

由AP.AQ=（f）+%：%+]+1%=6+%：％〉6+；y%=8，所以B正確;

當4=2時，由AP=2AQ,可得％=2y2,

則％=2夜，％=血或M=—2血，％=-逝，所以|尸@二浮，所以C錯誤；

由SPQO=\spOA-SQOJ=g.|x-4%.%=2而_1=4逝,

解得f=±3,所以近，則|PQ]=J1+產.1%-%|=16小，所以D正確.

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數〃x）=4e（O）x+2（尸（無）是/⑺的導函數），則曲線y=〃x）在x=0處的切線方程

為.

【答案】2x-y+6=0.

【詳解】由題意設切點P（0J（0））,因為r（x）=4e'-r（O）,

令x=0,得尸(O)=4e°一/'(O),

由導數幾何意義知：左=/'（0）=2,

X/（O）=4e°-r（O）xO+2=6,所以尸（0,6）,

故曲線y=在x=0處的切線方程為：y-6=2（x-0）,

整理得：2x-y+6=0.

故答案為：2x-y+6=0.

丫22

14.已知P是雙曲線。:}-1V=〃彳＞0）上任意一點，若尸到C的兩條漸近線的距離之積為2:，則C上的

點到焦點距離的最小值為.

【答案】V3-V2

22

【詳解】所求的雙曲線方程為上-2="彳＞0）,則漸近線方程為無土￡y=0,

22

設點尸（％幾），則&一九=彳=焉一2北=8彳，

84

點P到C的兩條浙近線的距離之積為上卓J.卜修=忖一2）=絲=2,

心+（偽2正+（同333

1f

解得:A=4,故雙曲線C方程為：—-y2=l,

故。=忘"=石，故雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為c-a=6-夜.

故答案為：＞/3—V2.

15.已知長方體力BCD-A耳6。中，側面BC￡片的面積為2,若在棱AD上存在一點M,使得-MBC為等

邊三角形，則四棱錐M-8CG用外接球表面積的最小值為.

【答案】更兀

3

【詳解】如圖，由對稱性可知，點M是的中點，設BC=x,則=CG=2,點N是3c的中

2x

點，

由底面矩形BCG瓦的對角線的交點H作底面BCGB1的垂線，過等邊三角形MBC的中心G作平面MBC的垂

線，兩條垂線交于點。，點。是四棱錐外接球的球心,

&=加=OF+的之+=工尤2+M2.1-x2--=空,

1241x2J3x2V3%23

當卜2=二，即彳=后時，等號成立，則N的最小值為包1.

3x23

所以四棱錐M-8CG4外接球表面積的最小值為述兀.

3

故答案為：述兀

3

16.若.ABC的內角AB,C的對邊分別為。也c,tanB=C0SC-SmC,°=岳，點。在邊上，仞=6且

cosC+sinC

ADB的面積為2一百,則8=.

2

【答案】3-6

?、4HTI、m、rcosC-sinCsinB_cosC-sinC

【詳解】因為tanB=--—―,所以

cosC+sinCcosBcosC+sinC

所以cosCcosB—sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC,所以cos（B+C）=sin（B+C）,

即—cosNBAC=sinNBAC,所以tanN胡C=—1,

因為/B4Ce（O,7r）,所以/2AC=^,

因為;^=3

csinABAC

所以sinC=

a2

TTjr

又。<c<“所以c=k

jr

因為點。在邊BC上，AD=b,所以C=NAOC=：,

6

3jrTT717T

因為XADC=NB+NBAD，/B=it-------=—,所以NBAD=—,

461212

所以AD=3D=6,

所以=-AD-DBsmZADB=-b2xsin—=^—^,得萬=/-1,

△A￡?2262

在AWC中，ZDAC=,

4123

由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosZDAC=2b2-2及=3b2,

得CD=四=3-5

故答案為：3—^3.

【點睛】方法點睛：在處理二角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系.題中

若出現邊的一次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理.應用正、余弦定理時，注

意公式變式的應用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統一高考科目的語文、數學、外語,

“1”為首選科目.要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學、

生物學4門科目中確定2門，共計產生12種組合.某班有學生50名，在選科時，首選科目選歷史和物理

的統計數據如下表所示：

歷史物理合計

男生12425

女生91625

合計104050

附：,2二7~~八八，其中〃=a+0+c+d

ya+b)yc+d)ya+c)\b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據表中的數據，判斷是否有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關；

(2)從選擇物理類的40名學生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學成立學習小組，該小組設正、副組長各一

名，求正、副組長中至少有一名女同學的概率.

【詳解】⑴

將表中的數據帶入，得到

22

2_n^ad-bc)_50x(216-16)_

”(a+，)(c+d)(a+c)伍+d)25x25x10x40力

所以有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關.........................................5分

(2)

由題意知，抽取的5名同學中，男生有3名，設為A,B,C,女生2名，設為D,E,........6分

從這5名同學中選取2名同學擔任正副組長，所有的可能情況有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共計10種基本情況，且每種情況的發生是等

可能的.................................................................................8分

其中至少有一名女生的情況有AD，AE,BD,BE,CD,CE,DE,共計有7種情況，….…10分

7

所以尸(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.設等差數列｛4｝的公差為d,記￡是數列｛%｝的前幾項和，若艮=%+2。，Sl5=a2a3as.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

4s1

(2)若">。也=—數列也｝的前〃項和為T.，求證：Tn<n+~.

an'an+\2

【詳解】(1)由醺=%+20,$5=5”%)=5%,得5a3=%+20,解得。3=5,..............1分

由515=。2%4，兀==15,,所以15%=5%%，所以。8=0或。2=3,..............3分

當〃8=。時d=—―=-1,此時為=%+(〃-3)d=8-〃；.................................4分

8—3

當q=3時1=。3—4=2,止匕時為=%+（九一3）d=2〃-1；..................................5分

綜上可得數列｛q｝的通項公式為4=8-〃或4=2〃-1；....................................6分

（2）因為d>0,所以。“=2〃-1,則$=0±竺生=〃2,................................7分

2

2

Illib=--4S-”-=----4-/---=--4-n---l+-l--

、nan'an+\（2n-l）（2n+l）（2n-l）（2n+l）

1+7------77-------7=1-1-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.-..-.-.......................................................................9分

+2(2〃-12〃+1

19.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為菱形，ND43=三，側面SCD是邊長為4的正三角形，SA=2V10.

(1)證明：平面SCD_L平面ABC。；

(2)求點A到平面SBC的距離.

【詳解】(1)證明：取CD中點及連接SE,AE,BE......................................1分

所以CE=2,ZBCD=|,/ABE=3,故BE=SE=2框,.................................................................3分

y.AE2=AB2+BE2=28,SA=2麗,

所以S&2=AE+SE?,故AE_LSE,4分

因為AEu平面48C。，C￡>u平面ABC。，AEcCD=E,

所以SE_L平面A8C￡),又因為SEu平面SCO,

所以平面SCD±平面ABCD.............................................................................................................................6分

(2)由(1)知SE_L平面42C，且SE=20,

在，ABC中，AB=BC=4,

所以SAABC=gABx8CxsinNA3c=gx4x4xsing=4百，

^^-ABC=1X^CXSE=1X473X2^=8..................................................................................................8分

在中，SC=BC=4,SBZSE-BE。=2屈，

2

所以S3邊上的IWJ/Z=Q4_（娓）=V10,

所以SasBc=gx2#xVI5=2而........................................................10分

設點A到平面SBC的距離為d,

=

則^A-SBC^S-ABC,即§*S^SBCX4=8,解得d=,

所以點A到平面SBC的距離為生叵.....................................................12分

5

22

20.已知橢圓C的方程,+\=1（。＞。＞0）,右焦點為尸（1,0）,且離心率為!

（1）求橢圓C的方程；

（2）設43是橢圓C的左、右頂點，過歹的直線/交C于。，E兩點（其中D點在工軸上方），求.ABF與△AEF

的面積之比的取值范圍.

【詳解】（1）設橢圓焦距為2c,

c1______

由題意可得。=l,e=—=彳，:.a=2,b=ylc^—c2=6，......................................3分

a2

22

故橢圓方程為土+&=1............................................................................................................4分

43

(2)當/斜率不存在時，易知#=案=呼=；；......................................5分

SAEF|AF\a+c3

②當/斜率存在時,設/:%=》+1?工0),0(%,%)(%>0),石(々，%)(%v。)，

x=ty+l

由,得(3〃+4)丁+69_9=0,顯然A=36/+36(3*+4)>0,

——+—=1

143

Q

所以M+y廣亦,.......................................................7分

1311

因為S語二字4用.|%1=5.（—%），2曲=字即葉段1=5飛，

￡

所以a=金二=一;.乂

...................................................................................................................9分

AEF*(-%)%

36/

因為("+%)?(3〃+4匕4-44

2>——

%%9~~~3t+43+43

所以一<0…

<0,

又（X+%）2=y；+2》為+y；=21_+&+2

10分

為y

設乂=左，貝|左<0,--<k+-+2<0,解得一3〈人<一)■且左w—1,

%3k3

q

uBDFA

所以_1,=6

SAEF3y

214

q

JBDF的取值范圍為(g,l).

綜上可得12分

uAEF

21.已知函數〃x）=lnx+X2-20rMER,

(1)當〃〉0時，討論/(0的單調性;

(2)若函數“X)有兩個極值點看,%2(%<%2)，求2/(%)-/(%2)的最小值.

【詳解】(1)因為/(x)=lnx+x2-2以,%>。，

所以廣(?=工+2"2”=2/-2辦+1,........................................1分

XX

令g(x)=2/-2OX+1,貝ljA=4a2-8=4(t?-2),

因為〃>0,

當0<〃W血時，A<o,則g。)2。，BPr?>0,

此時fM在(0,+oo)上單調遞增,..........................................................3分

當a>近時,A>0,由g(X)=。,得$=9——,x4=—-——,且％3<%4,

22

當0<x<%3或兀>九4時，g(%)>0,即r(x)〉O；

當時,g(%)<0，Bpf(x)<0,

所以“尤)在(0,馬)，(4位)上單調遞增，在(與%4)上單調遞減；.............................5分

綜上，當O<aV0時，/(龍)在(0,+8)上單調遞增，

當a>血時，/(X)在(O，W),(尤4，+°°)上單調遞增，在(不，X4)上單調遞減，

其中6分

(2)由(1)可知，尤3,羽為〃無)的兩個極值點，且

所以玉=W，Z=無4，且為，馬是方程2d-2ax+l=0的兩不等正根，

此時a>y/2，X]+x?=。>°,X],x?=],

c無、（、

所以占e0,——,x2e——,且有2aI1=2x；+1,2ax2—2xf+1,........................8分

I2JI2）

則2/（%（）—/（%2）=2（lnjq+x：-2axJ-（lnx2+x；—2%）

=2（in玉+芍—2x；—1）—（in尤。+x；—2元;—1）=—2x；+2In±—Inx,+—1

1I3

+21n-----lnx,-l=x"——-——lnx"-21n2-l................................10分

2%一~2x12-

+J__3=（2一）（1）

則g'⑺=1

2r2t~2產

g'⑺<0,則g⑺單調遞減,

當te(l,+8)時，g'(f)>0,則g(r)單調遞增,

所以g(」g(l)=-氣吐

所以27(X)一/(々)的最小值為―一空.................................................12分

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標系與參數方程

22.已知在平面直角坐標系宜制中，以坐標原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C］的

x=m+y/3cosa

極坐標方程為0=2sin3在平面直角坐標系xOy中，曲線C?的參數方程為r（a為參數）,

y=J3sina

點A的極坐標為且點A在曲線G上.

(1)求曲線C1的普通方程以及曲線C?的極坐標方程;

（2）已知直線-耳y=0與曲線C”G分別交于P,Q兩點，其中尸，。異于原點0,求△APQ的面積.

【詳解】（1）因為曲線G的極坐標方程為0=2sin6,所以pJ2psin。,

x=pcosd

由y=psin。,得曲線G的直角坐標方程為f+y2—2y=o；

一=一+、

x=m+J3cosa

由曲線G的參數方程為（。為參數），又cosn二+sin2a=1,

y=J3sina

得（%一根）2+J=3,...........................................................................2分

x=pcosd

因為所以（夕cos?—機J+（夕singj=3,gpp2-Impcosd+m2=3,

y=QsinS

即曲線G的極坐標方程為夕2-Impcos6+蘇=3.

又點A］疝:］在曲線G上，所以6-2鬲+.=3,解得根=6

所以