2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試(江蘇卷)01-02

全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.復(fù)數(shù)z滿足W=i+i,則目=()

A.1B.2C.V2D.4

【答案】C

【解析】由±=i+i得z=(l+i)(z-l)=z+iz—l-iniz=l+i,

兩邊乘以i得-z=-l+inz=l-i,所以目=jF+(_i)2=后,故選c

2.已知集合/={x|3Wx+lnx<10},則NAZ的元素個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因為/(%)=、+In、在(0,+。)上單調(diào)遞增，X2</(2)<3,3</(3),/(7)<10,/(8)>10,所以

4cZ={3,4,5,6,7},故選B.

_,coscrf/兀、/、

3.已知-----；--=y/3,則tana+;=()

cosa-sma卜4)

A.273+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

【答案】B

【解析】因為‘Osa=6,所以［ntana=l-"，

cosa-sina1-tana3

1

（兀、tana+1_rr.一、山

所以tana+:=---------=2V3-1,故選B.

V4）1-tana

4.圓臺的上、下底面半徑分別是尸=1,H=4,圓臺的高為4,則該圓臺的側(cè)面積是（）

A.16兀B.20兀C.25兀D.30兀

【答案】C

【解析】依題意，因為圓臺的r=l,R=4,且高6=4,母線長是5,

故圓臺的側(cè)面積5=兀。+尺）/=25兀，故選C.

5.命題尸：占，x2,尤I。的平均數(shù)與中位數(shù)相等；命題。：X］,x2,均是等差數(shù)列，則P是。的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

［解析］由X-尤2,…，/是等差數(shù)列，所以最=%+/+:+匕+%；：6+Z+項+巧+/=石愛,

而中位數(shù)也是石產(chǎn)，所以X1，x2,乙的平均數(shù)與中位數(shù)相等，

即OnP,P是。的必要條件；

若數(shù)據(jù)是1」,11,3,3,5,5,5,5,則平均數(shù)和中位數(shù)相等，但XI,x2,西。不是等差數(shù)列，

所以P推不出。，所以尸不是。的充分條件；

所以產(chǎn)是。的必要不充分條件.

故選：B.

6.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:100mL血液中酒精含量達(dá)

到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了三兩白酒后，其血液

中的酒精含量上升到了L5mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那

么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（參考數(shù)據(jù):坨2。0.301,尼3。0.477,炮7*0.845）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】設(shè)至少經(jīng)過〃個小時才能駕駛，

2

貝！I由題意得L5（l—30%）〃<0.2,貝！）0.7"二,

2

lg17_21g2-lg3-l_0.6020-0.477-1

所以

n>-------------------------------------------------------------------------------------~J.0

lg0.7lg7-l0.845-1

所以他至少經(jīng)過6個小時才能駕駛.

故選：C.

22

7

已知加分別為雙曲線吟-方1（。＞0,6＞0）的左、右焦點，過用作C的漸近線的平行線，與漸近

此時cos/兒名居=今;，則C的離心率為（）

線在第一象限交于/點,

A.V3B.2C.V5D.3

【答案】C

則其漸近線方程為歹=±紇,

a

且耳（-c,0），K（c,0）,過鳥作。的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于M點,

b（xc

y=——（％一°）x=—

則直線方程為y=-：（x-c）,聯(lián)立直線方程＜/，解得2

bbe'

y=-xy=

a2a

所以M,過點"作'軸的垂線，交工軸于點N,

2'2a

因為=彳；，貝!Jsin/孫e=132713

13

be

sinZMEF2\MN\2^

則tanZMFF=cos^?t-r且tan/“尸百二

X2閨c

Mc-\■-一'

2

be

即必7=；，化簡可得6=2%則6=

=V1+4=y[s?

c+-3

2

故選：c

3

8.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)數(shù)廣(x)的定義域為R,記g(x)=/(x),且/(x),g(x+l)都為奇函數(shù).若〃-5)=2,

則〃2023)=()

1

A.0B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【解析】因為g(x+l)為奇函數(shù)，則g(l+x)=-g(l-x),

即g(1+X)+g(17)=0,可知g(x)=/,(X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

可得/(1+X)+C=/(1T)+C,BP/(X+1)=/(1-X),

可知〃X)的圖象關(guān)于X=1對稱，則/(x)=/(2-x),

又因為/(X)為奇函數(shù)，貝!J/(x)=-/(-x),

可得/(x+4)=-/(x+2)=/(X”可知〃力的周期為4,

所以〃2023)=/(507x4-5)=/(-5)=2.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了研究了關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5對樣本數(shù)據(jù)(見表格)，若己求得一元線性回歸方程為

>=晟+0.34,則下列選項中正確的是()

X12345

y0.50.911.11.5

A.a=0.21

B.當(dāng)x=5時的殘差為0.06

C.樣本數(shù)據(jù)y的40百分位數(shù)為1

D.去掉樣本點(3,1)后，了與x的相關(guān)系數(shù)不會改變

【答案】BD

1+2+3+4+5-0.5+0.9+1+1.1+1.5

【解析】由晝==3,=i,所以樣本中心點為(3,1),

5，=-----，-------------

對于A,將它代入>=晟+0.34,得3：+0.34=1，解得￡=0.22，故A錯誤

4

對于B,當(dāng)x=5時，3=1.44,所以殘差為》-3=1.5-1.44=0.06,故B正確;

樣本數(shù)據(jù)了的第40百分位數(shù)為**■=0.95,故C錯誤;

對于C,

對于D,由相關(guān)系數(shù)公式可知，＞=

所以5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為:

(-2)x(-0.5)+(-l)x(-0.1)+0x0+lx0.1+2x0.5

V4+1+0+1+4X70.52+0.12+0+0.12+0.52

去掉樣本中心點（3,1）后相關(guān)系數(shù)為:

"±一")(%/(-2)x(一0.5)+(-l)x(一0.1)+lx00+2x0.5

位(x—,2之-JA/4+1+1+4X70.52+0.12+0.12+0.52'

V1=1'Z=1'

所以去掉樣本點(3,1)后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)廠不會改變，故D正確.

故選：BD.

10.在平面直角坐標(biāo)系x帆中，已知拋物線C:/=4x,過點￡。,1）作斜率為左的直線/與x軸相交于點M,

與C交于43兩點，且而=礪，則（）

A.左=4

B.k=2

C.以9為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線有公共點

D.以初為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒有公共點

【答案】AD

【解析】設(shè)直線方程為x=/+b,即左」,則M（瓦0）,/（七,必）,2（和％）,

m

由[x2=m；y+b，消去x整理得/._4町-4b=0,

[y=4x

則A>0，M+%=4加，y[y2=-4b,

由疝=而可得，（玉一A必）二。一/J一天2），貝“"11",整理得必+%=1，

〔必=1一%

5

所以4加=1,解得加=!，k=—=4.

4m

a

又因為直線過磯1,1),所以機+b=l,即6=:,

驗證△=(-4")2-4(-4b)=13>0,與拋物線有兩個交點.故A正確，B錯誤；

13

可知：準(zhǔn)線方程為X=-1,直線/的方程：x=4.y+4，

44

由弦長公式得\AB\=71+m21乂-%I=Jl+蘇-J(M+%y-4%%=，

則以忿為直徑的圓的圓心。坐標(biāo)為(土產(chǎn)，汽匹］,半徑為絲=姮，

I22)24

1313/—

J1++V1+

則圓心。到準(zhǔn)線的距離為西+馬4744-44.123,絲>也

H1=F1=—164

2-----------------2------------------16斗

所以以48為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒有公共點，C錯誤，D正確.

故選：AD.

11.在四面體28co中，a/BC是邊長為2的正三角形，ZADB=60°,二面角。-4B-C的大小為60。，則

下列說法正確的是()

A.AB1CD

B.四面體的體積『的最大值為由

2

C.棱CD的長的最小值為百

52

D.四面體48。的外接球的表面積為37r

【答案】BCD

【解析】對于A：假設(shè)設(shè)力3的中點為E,因為△4BC為正三角形，所以CE人AB,

又CEPICD=C,CE,C￡>u平面CDE,故48_1平面CDE,

又DEu平面CDE,故而題中并不能得到48,故假設(shè)不成立，

所以N3不一定垂直CZ),故選項A錯誤；

對于B：要使匕一sc。最大，只需三棱錐D-/2C高最大，設(shè)三棱錐。-/8C的高為Z)尸，

易知當(dāng)AD48為等邊三角形時，高分最大，

此時久的最大值為;X%BCXQ尸=；*6乂1=孝，故選項8正確；

對于C：由選項8中可知，匕一Be。最大時C。最小，

故CD的最小值為國+(今=6,故選項C正確；

對于。：設(shè)△48。的外心為M,E為4B的中點,

b

則由正弦定理得—如U5r手

IT

設(shè)過“與平面N8O垂直的直線為MV,過C作CRIME于點R,貝叱必。=§,

則外接球球心。在"N上，只需0/=0C,

又CR=。，ER=—,EM=—,MR=—,

2236

設(shè)。M=X,由04=002,可得k+（述）2=（3）2+（3一刈2,解得x=（,

3623

所以R2

所以四面體ABCD的外接球的表面積為4萬x&=47x￡=草，故選項D正確.

故選：BCD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量￡=（3,-1）,5=（4,-2）,且（￡+1）〃（&-￡）,則實數(shù)幾的值為

【答案】-1

【解析】根據(jù)題意得。+1（3,-1）+（4,-2）=（7,-3）,

2^-5=2（4,-2）-（3,-1）=（42-3,-22+1）.

因為,+町|（篇同，

所以7x（-2/l+l）=（-3）x（4”3）,解得4一.

13.已知直線/是圓。工+/=1的切線，點/（一2,1）和點8（0,3）至I股的距離相等，則直線/的方程可以

是.（寫出一個滿足條件的即可）

【答案】x-y-亞=0,x-y+后=0,3x+4y-5=0,x=-l（寫出一個滿足條件的即可）

7

【解析】若〃"3,此時/的斜率為

設(shè)/的方程為V=x+b9則點。至U/的距離解得6=±yf2，

因此/的方程為x-y-夜=0或x-y+逝=0.

若/經(jīng)過的中點(-1,1),

當(dāng)/的斜率不存在時，此時/的方程為尸-1,滿足與圓。:/+丁=1相切；

當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)其方程為y=Mx+i)+2，

則點O到直線/的距離磔社=1,解得左=-。，此時直線/的方程為3x+4y-5=0.

揚+14

14.高三開學(xué)，學(xué)校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側(cè)已

經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學(xué)，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘

之間至少要有一名同學(xué)的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)

在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

【答案】1

【解析】由題意可設(shè)高三(一)班共有七名女生坐成一排依次為1,2,3,4,5,6,7,

由于兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，則1,7一定曬不到，

現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘，即在7位同學(xué)之間形成的空中選3個放置，共有C：=20種放法；

設(shè)曬黑女生人數(shù)為X,則X可能取值為0,1,2,

X=0時，若12之間放一把傘，則另外2把分別放在34,56之間，

若23之間放一把傘，則另外1把分別放在56之間，第三把放在34或45之間，

若67之間放一把傘，則另外2把分別放在23,45之間，

41

則P(X=0)=與=不

X=1時，被曬的人若是2,則23之間沒有傘，34之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，

同理被曬的人若是6,則67之間沒有傘，45之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，

被曬的人若是3或4或5,此時3把傘均有2種放法，

4/rn/vn3+2+2+2+33

故P(X=1)=----------------=-,

131

P(X=2)=l----=-f

8

i31

故曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為￡（X）=0x-+lx-+2x-=l,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

2

15.（本小題滿分13分）△ABC的內(nèi)角4B、C的對邊分別為。、b、c,已知△ABC的面積為，1—

3sin4

⑴求sin5sinC;

（2）若6cosBcosC=l,a=3,求AA5C的周長.

【解】（D由題設(shè)得，acsinS=上，即：csinS=；.由正弦定理得（sinCsinS=R.

23sinA23sHl423SIIL4

2

故sin5sinC=—.

（2）由題設(shè)及（1）得cos5cosc-sin5sinC=-g,,即cos（5+C）=-g.

所以8+。=等，故/=；.

由題設(shè)得加siih4=，^,即6c=8.

23siii4

2

由余弦定理得〃+c-bc=99即（b+c『-3bc=9,得b+c=G5.

故3c的周長為3+后.

16.（本小題滿分15分）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，與G為半個圓柱上底

面的直徑，ZACB=90°,AC=BC=2,點、E,尸分別為NC,的中點，點。為茁的中點.

B

⑴證明：平面3CD//平面C1瓦＞

（2）若P是線段上一個動點，當(dāng)CG=2時，求直線4尸與平面8。所成角的正弦值的最大值.

【解】（D連接G。，由點。為而的中點，8c為半個圓柱上底面的直徑知/。。內(nèi)=45。，

由N/CB=90。，AC=BC=2,知NC44=45。，C、D=五,

則〃CN=NG44,又4目,2G四點共面,所以44〃G。,

由A,ABB｝為直三棱柱的側(cè)面知A.BJ/AB,即A.BJIFB,則C、D//FB,

由尸為4B的中點/C=8C=2得尸3=0=CQ,

9

所以四邊形用DG為平行四邊形，則8。//尸G,

又8￡>u平面BCD,FC10平面BCD,,則尸G〃平面3cZ),

因為E,尸分別為/C,的中點，所以EF//BC,

又所O平面2。，，BCu平面BCD,,所以跖//平面8cD,

又EFCFC,=F,EF,尸Gu平面EFC,,所以平面BCD//平面C^F.

(2)(法一)以｛擊,3,&｝為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則EQ,0,0),尸(1,1,0),G(0,0,2),4(2,0,2),

所以方=(0,1,0),函=(-1,0,2),平=(-1,1,-2),FC,=(-1,-1,2),

設(shè)而=2西=(-2,-42%),^e[0,l],

貝!|乖=乖+而+—2),

由平面BCD//平面GEF知直線4P與平面BCD所成角即為直線4P與平面CtEF所成角,

設(shè)平面C.EF的法向量為n=(x,y,z),

h?EF=y=0,

由＜——?,取z=l,得％=

n?ECX=-x+2z=0

則平面GE尸的一個法向量為為=(2,0,1),

設(shè)直線4尸與平面GE尸所成角為e,則

sin(9=kos4尸，司=_________4

研司國6("$2+與

10

又設(shè)[0,l],則4=:時，sine的最大值為在.

35

所以直線4P與平面BCD所成角的正弦值的最大值為當(dāng).

(法二)在直三棱柱中，CG，底面

因為E_Fu底面/3C,所以CGJLEF,

由(1)知E尸//8C,BC±AC,所以￡F_L/C,

又/cncq=C,AC,CCiu平面AAXCXC,

所以所，平面』4GC,

因為防u平面斯G，

所以平面跳6,平面44CC，

過4作4HLEG交EG于a,

因為平面EFC[c平面A4cle=GE,所以4〃_L平面JEF,

又平面BCD//平面C\EF,

則直線AP與平面BCD所成角即為直線AP與平面QEF所成角ZA,PH,

因為RtAC,￡C-Rjg,且正方形ABCD的邊長為2,

A,H2.4

所以〒飛'則4ATT7r

4

又.A、HJ5要使sinNA/H值最大,

入sinZA,PH=——二——

4尸AXP

則4P最小，在中4尸=FC,=V6,AICI=2,

過4作4尸，。尸交尸G于P,由等面積可求出4尸=等，此時sin/4Pa=孚.

所以直線4P與平面BCD所成角的正弦值的最大值為平.

22

17.(本小題滿分15分)已知橢圓。:2+與=1(a>b>0),四點耳(-2,1),^(0,72),4(2,1),4(3,1)中

ab~

恰有三點在橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

11

（2）橢圓C上是否存在異于心的兩點M,N使得直線外M與的斜率之和與直線"N的斜率（不為零）的

2倍互為相反數(shù)？若存在，請判斷直線是否過定點；若不存在，請說明理由.

【解】（1）由橢圓的對稱性知，6（-2,1）,^（0,72）,4（2,1）三點在橢圓C上，

故〃=2,二+[=1，得"=8,從而橢圓C的方程為其+亡=1.

a*b282

（2）直線MN過定點（0,-2夜），證明如下：

假設(shè)存在，不妨設(shè)直線Q'、PK、初V的斜率分別為左，k2,k,滿足人+勾+升=0,

設(shè)直線MTV的方程為^二日+用（左/0）,且〃（再,％）,N（x2,y2）,

與橢圓C的方程聯(lián)立，得（1+例2）/+8歷況+4（后—2）=0,

則A=64后/―雙1+疑2）（.2—2）>0,即/<8/+2（*）,

—Skm

4（m2-2）

那么匕+土+2左=%一板+%一行+2左=0,

石x2

化簡得，4匕涇+（初一逝）（石+X2）=0，

即4k-4（〃/一：）+（冽_血）.一8癡0整理得:/+0心4=0,

1+4/1+4左2

解得加=-2\/5或相=近，當(dāng)相=/時，A/,N中一點與鳥重合，故舍去，

故直線肋V過定點（0,-2V2）.

18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)/（%）=cosx,g（x）=Q（2-%2）.

（i）a=i時,求/a）=/a）-g（x）的零點個數(shù);

12

⑵若/(x)2g(x)恒成立，求實數(shù)。的最大值;

兀k—2左2)(左￡R).

⑶求證:ZsinT-7

【解】(1)當(dāng)胃=1時,g(x)=2-x2,則尸(%)=/(%)-g(x)=cosx-2+x"

所以廠'(x)=-sinx+2x,令〃(x)=-sinx+2x,貝！］/z'(x)=-cosx+2>0,

所以〃(%)二-sinx+2x在R上單調(diào)遞增，即產(chǎn)'(X)二-sinx+2%在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x〉0時，F(xiàn)(x)>0,所以廠(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

當(dāng)xvO時,當(dāng)%)<0,所以尸(%)在(-叱0)上為減函數(shù)，

又尸(0)=-1,F(2)=F(-2)=cos2+2>0,

且xf-8時，廠(x)f+oo,則存在演￡(-8,0),x2e(O,2),使得尸(再)=0,尸(%2)=0,

所以尸。)有兩個零點.

(2)令加(x)=cosx-2q+ax2,由加(0)20,得

令/z(x)=cosx-1+^x2=cosx+；(12-2),所以h\x)=-sinx+x,

令°(x)=-sinx+x,可得夕'