熱點專題2-7函數與方程

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年天津卷第15題，5分從近幾年鬲考命題來看，高考

理解函數的零點與方

對函數與方程也經常以不同的(1)

年全國甲卷，第題分

202416,5程的解的聯(lián)系.

方式進行考查，比如：函數零

(2)理解函數零點存在定

2023年天津卷第15題，5分點的個數問題、位置問題、近

理，并能簡單應用.

似解問題，以選擇題、填空題、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15題，5分解答題等形式出現在試卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得較為靈活

模塊一、熱點題型解讀(目錄)

【題型1】求函數的零點

【題型2】求函數零點所在區(qū)間

【題型3】二分法求近似解

【題型4】判斷函數零點個數或交點個數

【題型5】利用函數的零點所在區(qū)間求參數范圍

【題型6】已知零點個數求參數范圍

【題型7】比較零點的大小

【題型8］求零點的和

模塊核心題型?舉一反三

【題型1］求函數的零點

基礎知識1

函數的零點

1、函數零點的概念：對于一般函數y=/(X),我們把使/(x)=0的實數x叫做函數y=/(x)的

零點.即函數的零點就是使函數值為零的自變量的值.

【要點辨析】

(1)函數的零點是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，其函數值等于零;

（2）函數的零點也就是函數y=/（x）的圖象與X軸交點的橫坐標;

（3）函數y=/（尤）的零點就是方程/（x）=0的實數根.

2、函數的零點與方程的解的關系

函數y=/（x）的零點就是方程/（x）=0的實數解，也就是函數y=/（X）的圖象與x軸的公共點的

橫坐標.所以方程/（無）=0有實數根o函數y=/（X）的圖象與％軸有交點o函數y=/（X）有

零點.

3、函數零點存在定理

如果函數/（X）在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/（。）"伍）＜0,那么，函數

y=/（x）在區(qū)間內至少有一個零點，即存在ce（a力），使得/'（c）=0,這個c也就是方程

/（九）=0的解.

1.函數/（x）=3，—l的零點為（）

A.（0,0）B.（1,1）C.0D.1

【鞏固練習1】函數〃x）=l-lg（3'+2）的零點為（）

A.logs8B.2C.log37D.log25

【鞏固練習2】

【鞏固練習3】已知定義在（0,+8）上的/（X）是單調函數，且對任意xe（O,+?）恒有

/\

f/（x）+log1X=4,則函數的零點為（）

I37

A.—B.-C.9D.27

279

【題型2】求函數零點所在區(qū)間

基礎知識

判斷函數零點所在區(qū)間的步驟

第一步：將區(qū)間端點代入函數求函數的值;

第二步：將所得函數值相乘，并進行符號判斷;

第三步：若符號為正切在該區(qū)間內是單調函數，則函數在該區(qū)間內無零點；

若符號為負且函數圖象連續(xù)，則函數在該區(qū)間內至少一個零點。

2.函數〃x）=2，+x-4的零點所在區(qū)間為（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

【鞏固練習1]函數〃尤）=ln（2尤）—-的一個零點所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【鞏固練習2】函數〃x）=ln（2元）-工的一個零點所在的區(qū)間是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【題型3】二分法求近似解

基礎知識

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.

求方程=0的近似解就是求函數/（x）零點的近似值.

3.（2024?廣東梅州?二模）用二分法求方程1。8/-1=。近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【鞏固練習1]一塊電路板的AB線段之間有60個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落

造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【鞏固練習2】已知函數/（x）=log■，尤-工，在區(qū)間（1,2）內存在一個零點，在利用二分法求函數/（x）近

X

似解的過程中，第二次求得的區(qū)間中點值為.

【鞏固練習3】（2024?遼寧大連?一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可

導函數在寺附近一點的函數值可用/（x卜〃%）+/'5）（x-X。）代替，該函數零點更逼近方程

的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程尤3-3元+1=0,

選取初始值無。=:，在下面四個選項中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【題型4】判斷函數零點個數或交點個數

基礎知識

零點個數的判斷方法

（1）直接法：直接求零點，令/■（無）=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

⑵定理法：利用零點存在定理，函數的圖象在區(qū)間［G句上是連續(xù)不斷的曲線，且/■"伍）＜0,

結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性）才能確定函數有多少個零點.

（3）圖象法：

①單個函數圖象：利用圖象交點的個數，畫出函數7（x）的圖象，函數/（x）的圖象與x軸交點的個

數就是函數無）的零點個數.

②兩個函數圖象：將函數/（X）拆成兩個函數/z（x）和g（x）的差，根據/'（x）=0o/z（x）=g（x）,

則函數/（%）的零點個數就是函數y=/?（%）和y=g（無）的圖象的交點個數.

（4）性質法：利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是

周期函數，則只需解決在一個周期內的零點的個數.

4.函數/（幻=汨a-1的零點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

5.函數=2'的零點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【鞏固練習1］函數/（尤）=（；）'-三-2在定義域內的零點個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【鞏固練習2］（2024.江蘇鹽城.模擬預測）函數，=cosx與>=館國的圖象的交點個數是（）

A.2B.3C.4D.6

【鞏固練習3］（2019?全國?高考真題）函數/（%）=2sinx-sin21在［0,2句的零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

X2+2羽x<0,

【鞏固練習4］已知函數/（%）=<則函數g（x）=/（%）-3的零點個數為（

|lgx|,x>0,

A.1B.2C.3D.4

【題型5】利用函數的零點所在區(qū)間求參數范圍

基礎知識

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數的等量關系，列關于

參數的不等式，解不等式，從而解決.

6.函數y=/-2以+。-1在（0,1）上存在零點，則實數a的取值范圍是（）

A.0<a<lB.“<0或a>lC.a>\D.或a>0

7.函數/（耳=1。82了+f+根在區(qū)間（1,2）存在零點.則實數機的取值范圍是（）

A.（-<?,-5）B.（-5,-1）C.（1,5）D.（5,+oo）

【鞏固練習1】（2024?高三.浙江紹興.期末）已知命題〃：函數/（x）=2V+尤-。在（1,2］內有零點，則

命題P成立的一個必要不充分條件是（）

A.3<?<18B.3<?<18C.〃<18D.a>3

【鞏固練習2】（2024?山西陽泉?三模）函數〃x）=log2X+x2+”?在區(qū)間（L2）存在零點.則實數機的

取值范圍是（）

A.5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【鞏固練習3](2024?四川巴中?一模)若函數〃x)=2依2+3%—1在區(qū)間(fl)內恰有一個零點，則

實數a的取值集合為()

A.{a|-l<o<2}B.{a|。=-2或-1<”2}.

8

9

C.{a\-1<a<2\D.[a\a=一一^-l<a<2].

8

【題型6】已知零點個數求參數范圍

基礎知識

已知函數零點個數，求參數取值范圍的方法

(1)直接法：利用零點存在的判定定理構建不等式求解；

(2)數形結合法：將函數的解析式或者方程進行適當的變形，把函數的零點或方程的根的問題轉化

為兩個熟悉的函數圖象的交點問題，再結合圖象求參數的取值范圍；

(3)分離參數法：分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解.

求函數的零點個數就是求函數圖象與x軸的交點個數，因此只要作出函數圖象即可.如果函數圖象

不易作出，可將函數轉化為y=7%(%)—〃(x)的結構，然后轉化為m(x)與n(x)的圖象交點個數的問

題.

解決步驟

第一步：將函數化為y="z(尤)一〃(x)的形式，帆(x)與“(X)一個含參，一個不含參.

第二步：畫出兩個函數的圖象.

第三步：確定滿足題意時含參函數的圖象的移動范圍，從而求出參數的取值范圍.

8.若函數/x=〈/八，有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)D.(-oo,l)

9.函數〃尤)=|2尤-對Tlnx|有且只有一個零點，則機的取值范圍是.

【鞏固練習1】若函數=-加有2個零點，則根的取值范圍是.

|2x-l|,x<2

【鞏固練習2]已知函數〃尤)=，，3，若方程/(x)=a有三個不同的實數根，則實數。的取

-----,x>2

—1

值范圍是()

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,3)D.[0,1]

2Ko

【鞏固練習3]已知函數/(%)=<1,g(x)=f(x)-x-a,若g(X)有2個零點，則實數。的取

—x,x〉0

值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.D.[1,+<?)

【題型7】比較零點的大小

基礎知識

利用數形結合、等價轉化等數學思想.

10.(2024?新疆烏魯木齊?二模)設尤>0,函數y=Y+x-7,y=2'+x-7,y=log2X+x-7的零點分

別為a,仇c,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【鞏固練習l】(2024?廣東梅州?二模)三個函數/(x)=d+x-3,g(x)=lnx+x-3,/z(x)=ex+x-3

的零點分別為。，"C,則a,dC之間的大小關系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【鞏固練習2](2024?海南?模擬預測)已知正實數兄4。滿足