重難點11平面向量中的最值與范圍問題【八大題型】

【新高考專用】

平面向量是高中數學的重要內容，平面向量中的最值與范圍問題是高考的熱點問題，也是難點問題，

此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合；從近幾年的高考情況來看，其基本題型是根據已知條件求某

個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等.

?知識梳理

【知識點1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相關知識將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結合平面圖

形的特征直接進行判斷；

(2)“數化"，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉化，得到相應的等式關系；

②運用基木不等式、二次函數求其最值(范圍)問題，即可得出結論.

(2)坐標法

①建立適當的直角坐標系，把幾何圖形放在坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標；

②將平面向量的運算坐標化，進行相應的代數運算和向量運算；

③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值(范圍).

【知識點2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

證明：不妨設在=Z,?=5,貝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(￡+印管+2a-S+|zj|①,

網2=加=(］閩y7叫邛②,

①②兩式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(畫2+1囹］.

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：:j=+B『一--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即:?刃一或］(如圖).

(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即4?旅=

~AM~一應五2(M為3c的中點)(如圖).

極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.

【知識點3等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點共線結論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結論可知，若5?+〃方Q,〃eR),

則4+〃=1,由△048與A0AE相似，必存在一個常數k,k&R,使得OP'=kOP,則

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面內一個基底｛5X3｝及任一向量蘇，OP'^^OA+^OB^eR),若點P在直線A8上或在平

行于42的直線上，貝~+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當等和線恰為直線48時，k=l；

②當等和線在。點和直線AB之間時，住(0,1)；

③當直線4B在。點和等和線之間時，在(1,+8)；

④當等和線過。點時，k=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值自，與互為相反數；

⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（2024?四川瀘州?一模）已知平面向圜=4,|而|=3,|玩|=1,而?旗=0,則|石？+方|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【變式1-1]（2024?四川內江?三模）已知點4B、C在圓好+、2=1上運動，且4B1BC,若點P的坐標為

（0,2）,則|即+而+麗|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【變式1-2]（2024?福建?模擬預測）在△ABC中，點。是邊BC上一點，若而=久方+）/尼，則等的最小

值為（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【變式1-3]（2024?江西鷹潭?二模）在Rt△4BC中，角4B,C所對應的邊為a力,c/=也C=（c=2,P是△4BC

外接圓上一點，則而?（西+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【題型2坐標法求最值（范圍）問題】

【例2】（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一

個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形2BCDEFGH的邊

長為2,P是正八邊形4BCDEFGH八條邊上的動點，則萬?四的最小值為（）

圖2

0C.-2V^D.-4V^

【變式2-1]（2024?江蘇南通?二模）如圖，點C在半徑為2的而上運動，N40B若反=mOA+nOB,則m+n

的最大值為（）

B.

A.1B.V2C.等D.V3

【變式2-2]（2024?四川成者卜三模）在矩形力BCD中，4B=5,4D=4,點E滿足2荏=3而，在平面4BCD

中，動點P滿足而?麗=0,則麗?標的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【變式2-3]（2024?北京?三模）已知點N在邊長為2的正八邊形Ai4,…4的邊上，點M在邊乙兒上，貝U

A^M?嬴的取值范圍是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^,4+2>/^]D.[—2A/^,4]

【題型3與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】

【例3】（2024?四川遂寧?模擬預測）在△4BC中，點F為線段3c上任一點（不含端點），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,則;+：的最小值為C）

xy

A.3B.4C.8D.9

【變式3-1]（2024?寧夏銀川?模擬預測）在△ABC中，BD=2DC,過點。的直線分別交直線4B、4C于點

E、F,S.AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則ni+2?i的最小值為（）

A.2B.V2C.3D.|

【變式3-2]（2024?重慶?模擬預測）在正方形ABCD中，動點E從點B出發，經過C,D,到達4AE=AAB

AC,貝U+〃的取值范圍是（）

A.[—1,1]B.[0,1]C.[—1,2]D.[0,2]

【變式3-3]（2024?內蒙古呼和浩特?一模）在△ABC中，。為線段ZC的一個三等分點，|ZD|二2|DC|.連接

BD,在線段BD上任取一點E,連接4E,若荏=a^+b荏，則（^+解的最小值為（）

A.B.|C.得D.|

【題型4與數量積有關的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?全國?模擬預測）已知圓C的半徑為1,過圓C外一點P作一條切線與圓C相切于點4

|P4|=2,Q為圓C上一個動點，則方?所的取值范圍為（）

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【變式4-1]（2024?海南?三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊

長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三

角形中，已知力B=2,P為弧NC上的一點，且NPBC=*則而?而的值為（）

A.4—\/2^B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【變式4-2]（2024?浙江?一模）如圖，點C在以48為直徑的圓上，其中|4用=2,過4向點C處的切線作垂

線，垂足為P,則就?麗的最大值是（）

C.0D.-1

【變式4-3]（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖所示，A42c是邊長為8的等邊三角形，P為/C邊上的一個

動點，￡廠是以8為圓心，3為半徑的圓的直徑，則或?而的取值范圍是（）

P

A

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【題型5與模有關的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?河北保定?二模）如圖，圓01和圓。2外切于點P，A,B分別為圓。1和圓。2上的動點，已知圓

。1和圓。2的半徑都為1，且麗?麗=-1,如同+方『的最大值為（）

A.2B.4C.2V2D.2V3

【變式5-1]（2024,全國,模擬預測）已知向量五方滿足|1+同=3,a-b=0,=Aa+（1—e/?）,

且工?五=2口，則?的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.-

【變式5-2]（2024?河南鄭州?模擬預測）已知△4BC中，AB=AC=2^2,+AFC|m，n=2（26R）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2tr-AC,crG[-,^1,則|麗|的取值范圍為（）

zL63J

A.圖，咽B.J咽

C.呼，亨]D.J,亨]

【變式5-3]（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、

工業上應用廣泛.如圖所示，分別以正三角形/8C的頂點為圓心，以三角形N3C邊長為半徑作圓弧，由這

三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形N2C邊長為60,點。，E分別為線段N2,NC的

中點，點尸為圓弧荏上的一動點，則|對+而+無+方+方|的最小值為（）

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15何D.60-3V37

【題型6平面向量中參數的最值（范圍）問題】

_—NTT

【例6】（23-24局一下?河南信陽?階段練習）如圖，點C是半徑為1的扇形圓弧4B上一點，且乙4。3=彳,

若無=而2+）/話，貝收+后的最大值是（）

A.1B.芋C.V10D.4

【變式6-1]（23-24高一下?河南?階段練習）己知口/BCD中，點尸在對角線NC上（不包括端點4C）,

點。在對角線8。上（不包括端點8,。），若而=%話+%而，而=而同+〃2阮，記2怒一出的最小

12

值為加，4+廣的最小值為〃，則（）

"242

19-19

A4.m=-n=-B.m=—n=-

oZ4Z

-19-19

C.rn=-->n^-D.m=--,n^-

【變式6-2]（23-24高一下?上海?期中）如圖，△力BC的三邊長為|2用=3,|BC|=7,|2C|=5,且點B,C分別

在久軸，y軸正半軸上移動，點4在線段BC的右上方.設市=萬/+>瓦Q,yeR）,記M=方?瓦

,N=x+y,分別考查M,N的所有可能結果，則（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【變式6-3]（23-24高二上?上海黃浦?期中）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=9（F.P為△ABC所在平面

內的動點，且PC=2,^CP^ACA+fiCB,則給出下面四個結論：

①4+4的最小值為一、②而?麗的最小值為-6；

③4+〃的最大值為:④而■方的最大值為10.

其中，正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【題型7極化恒等式】

【例7】（23-24高一下?北京?階段練習）在直角梯形4BC0中,AD\\BC,"BC=90。,

AD=2AB=2BC=2,點P為梯形ABCD四條邊上的一個動點，則麗?麗的取值范圍是（）

A.[一#]B.[~1,2]C.[-1,4]D.[-]，.

【變式7-1]（2024高三?全國?專題練習）如圖，在等腰直角三角形4BC中，斜邊4C=2,M為線段4B上的

動點（包含端點），。為2C的中點.將線段AC繞著點。旋轉得到線段EF,則砒?市的最小值為（）

3

A.-2B.—~

C.-1D.——

【變式7-2]（2024?湖北省直轄縣級單位?模擬預測）如圖直角梯形/5CD中，即是CD邊上長為6的可

移動的線段，XD=4,AB=8V3,BC=12,則前?方的取值范圍為.

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）如圖所示，A48C是邊長為8的等邊三角形，點P為NC邊上的一個

動點，長度為6的線段￡尸的中點為點8,則無?標的取值范圍是.

【題型8等和（高）線定理】

【例8】（2024?山東煙臺三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓。，P為圓。上任一點，若麗=久

同+y而，則2x+2y的最大值為（）

【變式8-1]（24-25高二上?浙江臺州?開學考試）如圖所示，OA,而是兩個不共線的向量（N408為銳

角），N為線段08的中點，M為線段上靠近點4的三等分點，點C在MN上，且沆=而2+y而eR）,

【變式8-2]（2024?江西新余?模擬預測）如圖，在三角形。PQ中，M.N分別是邊。P、OQ的中點，點R在

直線MN上，且讀=花？+y麗（x,yeR）,則代數式J久2+y2f_y+軟勺最小值為（）

p

;

A.￥B.青C.?D?日

【變式8-3]（23-24高三上?河南?階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱

都能給人以美感，在菱形ABCD中，〃BC=120°,以菱形力BCD的四條邊為直徑向外作四個半圓，尸是這四

個半圓弧上的一動點，若而=4萬？+〃皮，貝U+4的最大值為（）

35

A.5B.3C.-D.-

?課后提升練（19題:

一、單選題

1.（2024?天津和平?二模）平面四邊形/2CD中，AB=2,AC=2^3,ACLAB,=則詬?萬

的最小值為（）

A.~~\[3B.~2y/3C.-1D.-2

2.（2024?湖北?模擬預測）四邊形4BCD是邊長為4的正方形，點P是正方形內的一點，且滿足

|麗+而+渭+方|=4,貝的最大值是（）

A.1+V2B.V2-1C.2V2-1D.2V2+1

3.（23-24高三上?安徽?階段練習）已知向量H=Q,3）,B=（12,X—5）,若向量房方的夾角為鈍角，則實數x的

范圍是（）

A.（-oo,l）B.（1,+oo）

C.（-00,-4）U（-4,1）D.（1,9）U（9,+oo）

4.（2024?湖北黃岡一模）已知向量同=同=4/7=—“=孚，且歸一耳=1,財^與不夾角的最大值為

（）

71715n

A.B<D.

6C.E12

5.（2024?安徽六安?模擬預測）已知平面向量區b,工滿足同=1,同=K，a-b=-|,{a-c^b-c）

=30。，則用的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3於

6.（23-24高一下?廣東佛山?階段練習）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心,

以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒

洛三角形中，已知48=2,P為弧4C（含端點）上的一點，則麗?麗的范圍為（）

7.（2024?四川成都?模擬預測）在矩形力BCD中，力B=5/。=4,點E是線段48上一點，且滿足力E=4EB.

在平面4BCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則而?尼的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2"13+4D.2/13—6

8.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數學美的重要組成部分，他普遍存在于初等數學和高等數學的各個分

支中，在數學史上，數學美是數學發展的動力.如圖，在等邊△4BC中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若前=4荏+〃*，則A+從的最大值為（）

3

C.1D.2

二、多選題

9.（2024?山東濰坊?二模）已知向量出b,2為平面向量，同=1,同=2,a-b=0,\c—a\=,|,則（）

31+2西

A.1<|c|<-B.6一五）?（/一石）的最大值為

4

C.-1<b-c<1D.若c=2a+〃b,則2+4的最小值為1—手

10.（2024?四川眉山?一模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，麗="，點P在以CD為直徑的半圓

上（含端點），設而=久同+y而，貝U（）

A.y的值不可能大于1B.前=/+|通

c.Q?荏的最小值為:D.Q?瓦的最大值為1

11.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習）在△（MB中，。4=1,OB=2/4OB=120。，點P是等邊△力BC

（點。與C在48的兩側）邊上的一動點，^OP=xOA+yOB,則有（）

A.當x=（時，點P必在線段4B的中點處B.x+y的最大值是

C.訶?雨的最小值是一1D.而?麗的范圍是［―

三、填空題

12.（2024?甘肅?一■模）已知單位向量獲滿足|3五一4同=如則m的范圍是.

13.（2024?安徽馬鞍山?模擬預測）己知△/!回中，角2,B,C所對的邊分別為a,b,c,^BAC=^,6=1,

c=V3,若通=謂薩+篇化，則|而