重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

基本不等式是每年高考的必考內(nèi)容，是常考常新的內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，高考題型通常為選

擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等

內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)常考查運(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代

數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣

“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1利用基本不等式求最值的解題策略】

1.基本不等式與最值

已知X,y都是正數(shù)，

⑴如果積孫等于定值尸，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2/瓦

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積9有最大值T2.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(l)x、y>o,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號(hào)的條件.

2.常見(jiàn)的求最值模型

(1)模型一：mx+—>>0,H>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)工一a=J'■時(shí)等號(hào)成

x-ax-aNm

立；

(3)模型三：——=―1——(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

ax+bx+c辦+6+g21cle+bVa

x

/八士音并linn，、mx(n-mx)1mx+n-mx.〃止口e止〃

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—?(z----------------)2=—(m>0,H>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)工=—

mm24mm2m

時(shí)

等號(hào)成立.

3.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來(lái)求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù))，求7+1的最值”的問(wèn)題，先將V+夕轉(zhuǎn)化為

xyxy

+

(x1)■-再用基本不等式求最值―

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利

用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

【知識(shí)點(diǎn)2基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】

1.基本不等式的實(shí)際應(yīng)用的解題策略

(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】(2024?北京東城一模)已知》>0,貝詠-4+：的最小值為()

A.12B.0C.1D.2V2

【變式1-1］（2024?甘肅定西?一模）/+V+V7的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5近

【變式1-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知ab為正數(shù)，則與+，）

A.有最小值，為2B.有最小值，為2魚(yú)

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【變式1-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（3+5）（1+4/）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【題型2配湊法求最值】

【例2】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=乂2+或式%2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

4

【變式2-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知力>0,則a+2b+嬴引的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

【變式2-2］（23-24高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）設(shè)％>2,則函數(shù)y=4%-l+白，的最小值為

（）

A.7B.8C.14D.15

P

【變式2-3］（2024?山西忻州?模擬預(yù)測(cè)）已知a>2,貝。2a+1的最小值是（）

a一乙

A.6B.8C.10D.12

【題型3常數(shù)代換法求最值】

【例3】（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足x+y=l,則今+擊的最小值為（）

口R3+2逅

A3+2C.2D.1

243

Q1

【變式3-1］（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）已知a20,b>05.2a+b=1,則募I+嬴^的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【變式32］（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知%>0,y>0,且2x+y=l,則簽的最小值為（）

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

【變式3-3］（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若a力是正實(shí)數(shù)，且熹+高?=1,貝b+b的最小值為（）

DUTO

42

A.-B.-C.1D.2

【題型4消元法求最值】

2

【例4】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知x,y,z€（0,+8）,且滿足久-2y+3z=0.則*的最小值為（）

A.12B.6C.9D.3

【變式4-1］（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)小y、z滿足4/一3孫+產(chǎn)一=0,則苫的最大值為（）

A.0B.2C.1D.3

【變式4-2］（2024?浙江紹興?三模）若*,y,z>0,5.x2+xy+2xz+2yz=4,則2x+y+2z的最小值是

【變式4-3］（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)久,y,z滿足/+xy+yz+xz+x+z=6,則3x+2y+z

的最小值是.

【題型5齊次化求最值】

【例5】（2024?江西新余?二模）已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=2,則匕誓的最小值為（）

A.12B.3+2V2C.yD.

【變式5-1］（23-24高一下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足x+2y=l,則贊的最小值為（）

A.壺B.2V2C.eD,2V2+1

【變式5-2］（23-24高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）已知孫=1,且0<y<9,則￡券最大值為.

【變式5-3］（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知實(shí)數(shù)x>0,y>0,則空器薩的最大值為.

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024?山西運(yùn)城?二模）若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，則建黑的最大值為（）

A-IB-?C.乎D.亨

z41

【變式6-1］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)％y,z>0,滿足%y+1=2,則當(dāng)］+5取得最小值時(shí)，y+z

的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

【變式6-2］（23-24高三下?浙江?開(kāi)學(xué)考試）已知a、b、。、d均為正實(shí)數(shù)，且十+^=〃+序=2,則。+白

的最小值為（）

A.3B.2V2

「3+V^3+2^2^

?2,-2-

【變式6-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a為非零實(shí)數(shù)，b,c均為正實(shí)數(shù)，則4震U的最大值為（）

A-1B.9C.yD.中

【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問(wèn)題】

【例7】（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金，一顧客到店購(gòu)買黃

金100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平右

盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長(zhǎng)度有關(guān)

【變式7-1］（24-25高三上?江蘇無(wú)錫?期中）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解

到下列信息：每月土地占地費(fèi)力（單位：元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)

72（單位：元）與x成正比；若在距離車站6km處建倉(cāng)庫(kù)，則丫2=4月.要使這家公司的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，

則應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【變式7-2］（24-25高一上?四川瀘州?期中）如圖，某花圃基地計(jì)劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形

花室.

（1）若柵欄的總長(zhǎng)為120米，求每間花室面積的最大值；

（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長(zhǎng)的最小值.

【變式7-3］（24-25高一上?陜西咸陽(yáng)?期中）某校計(jì)劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100

平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的露天勞動(dòng)基地，靠墻那面無(wú)需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如

下：長(zhǎng)方體前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米160元，地面以

及其他報(bào)價(jià)共計(jì)6400元.設(shè)勞動(dòng)基地的左、右兩面墻的長(zhǎng)度均為。63久412）米，原有墻體足夠長(zhǎng).

（1）當(dāng)左面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低？

（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該勞動(dòng)基地的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為＞0）元,若無(wú)論左面墻的

長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功（約定整體報(bào)價(jià)更低的工程隊(duì)競(jìng)標(biāo)成功），求a的取值范圍.

【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題】

【例8】（23-24高三上?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）在△4BC中，己知薪?￡7=9,6=c?cosA,△ABC的面積

為6,若P為線段4B上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)4點(diǎn)B重合），且^="扃+、.商，則打金的最小值為（）

391

A-9B.］C.-D.-

【變式8-1］（2020?全國(guó)?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線。*^=1（￡1＞0力＞0）的兩條漸

近線分別交于2E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8,貝UC的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【變式8-2］（23-24高三?全國(guó)?階段練習(xí)）在44BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，且

（acosC+ccos/）tanA=y［3b.

（1）求角/的大小；

（2）若。=遮，求力c的最大值.

【變式8-3］（23-24高二下?遼寧?階段練習(xí)）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究

和證明中占有重要的位置，基本不等式等2而（a>0,6>0）就是最簡(jiǎn)單的平均值不等式.一般地，假設(shè)

,…&為n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為力n=…;…+即=:（注：W：*=臼+的+-+

工

1In\nn

）幾何平均值記為缶逆2（七）亦（注：

an,G“=??…anK=nnat=axaxan）,算術(shù)平均值與幾何平

\t=1/i=1

均值之間有如下的關(guān)系：標(biāo)”F，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?口2="=即時(shí)等號(hào)成立，上

述不等式稱為平均值不等式，或簡(jiǎn)稱為均值不等式.

（1）已知x>y>0,求x+1片的最小值；

（2）已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝，前n項(xiàng)和為Sn.

nn

（i）當(dāng)Sa=1時(shí)，求證：n（1—才）>（n2-l）nna?；

i=li=l

nfin.

（ii）求證：n（1+af）>/名.

i=1〃

?課后提升練（19題

一、單選題

11

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知久>1,y>0,且0+1=1,則4%+y的最小值為（）

A.13B.-.二C.14D.9+V65

2.（2024?四川綿陽(yáng)?一模）已知1>0,y>0,且滿足％+y=%y-3,則%y的最小值為（）

A.3B.2V3C.6D.9

3.（2024?江蘇宿遷?一模）若a>0,6>0,a+2b=3,貝吟+葡最小值為（）

A.9B.18C.24D.27

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+6=l,貝葉+精最小值4

B.若正實(shí)數(shù)a力滿足a+26=1,則2。+4b22魚(yú)

C.y=+3+胃直的最小值為經(jīng)

NXZ+33

D.若貝!|ab+lVa+b

5.（2024?四川成都三模）設(shè)a>b>0,若+勸2<號(hào)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）

a—b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

6.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)

在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時(shí)給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書(shū)之

中.他用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a,b斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）.則（a+b）2

=4ab+Qb-d）2,（a+6）2=2c2-（b-a）2”.某同學(xué)讀到此書(shū)中的“趙爽弦圖”時(shí)，出于好奇,想用軟鋼絲制作

此圖，他用一段長(zhǎng)6cm的軟鋼絲作為a+b的長(zhǎng)度（制作其它邊長(zhǎng)的軟鋼絲足夠用），請(qǐng)你給他算一算，他

能制作出來(lái)的“趙爽弦圖”的最小面積為（）

A.9B.18C.27D.36

7.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y=2xy,且不等式x+*<瓶2一加有解，則實(shí)

數(shù)力的取值范圍是（）

A.{m|-1<m<2}B.{znlm<-1或m>2}

C.{m|-2<m<1}D.{znlm<-2或m>1}

8.（2024?山東淄博?二模）記max{%,y/}表示居y,z中最大的數(shù).已知居y均為正實(shí)數(shù)，貝！Jmax{|或%2+4y2}

的最小值為（）

A.1B.1C.2D.4

二、多選題

9.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的有（）

A.當(dāng)0<尤<10時(shí)，J久（10-嗎的最大值是5

B.已知正實(shí)數(shù)％y滿足％+y=2,貝葉+：<2

C.當(dāng)久>—1時(shí)，x+>1

O

D.函數(shù)y=l-2x--（x<0）最小值為1+2V6

10.（2024?廣東佛山?一模）已知a,b>0,且ab=a+2b+6,貝!J（）

A.ab的最小值為18B.42+爐的最小值為36

O1O

C.展+g的最小值為§D.a+6的最小值為3+4班

11.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書(shū)中先把“=”作為等號(hào)

使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧