專題01集合和常用邏輯用語

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

07年nt口號圖.甲雉己I白才1

U4與H\%J|^-|J|/3/L?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????R

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破...........................................................12

題型一：集合的基本概念12

題型二：集合間的基本關系15

題型三：集合的運算18

題型四：充分條件與必要條件21

題型五：全稱量詞與存在量詞25

重難點突破：以集合為載體的創新題28

差情;奏汨?日標旦祐

有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系與運算，考試形式多以一道選擇題為主，分

值5分.近年來試題加強了對集合計算和化簡能力的考查，并向無限集方向發展，考查學生的抽象思維能

力，在解決這些問題時，要注意運用數軸法和特殊值法解題，應加強集合表示方法的轉化和化簡的訓練.

考點要求目標要求考題統計考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13題，4分

本要素

預測2025年高考，多

以小題形式出現，也有可

2024年北京卷第1題，5分

能會將其滲透在解答題的

年甲卷（文）第題，分

202425表達之中，相對獨立.具

熟練掌握集合的

2024年天津卷第1題，5分體估計為：

集合的運算并'交'補集運算

2023年I卷第1題，5分（1）以選擇題或填空

方法

2022年I卷第1題，5分題形式出現，考查學生的

2021年I卷第1題，5分綜合推理能力.

（）熱點是集合間的

2024年北京卷第5題，5分2

基本運算、數軸法的應用

2024年甲卷（理）第9題，5分

理解充分必要，掌和體現集合的語言工具作

2024年天津卷第2題，5分

充分條件與必要條件握邏輯判斷，熟練

用.

2023年天津卷第2題，5分

應用題解

2022年天津卷第2題，5分

2021年甲卷第7題，5分

40

//

1、集合中的邏輯關系(備注：全集為/)

(1)交集的運算性質.

4nB=BClA,XClB￡X,ACBUB,XCl/=X,AC\A=A,4n0=0.

(2)并集的運算性質.

2UB=BU4,X￡XUB,BUAUB,XU/=Z,AL)A=A,AD0=A.

(3)補集的運算性質.

G(C/)=4,C/0=I,C//=0.(CM)nx=0,4u(CM)/.

補充性質：==QBQCJAQanC】B=0.

(4)結合律與分配律.

結合律：au(Buc)=(auB)uc,an(BnC)=(anB)nc.

分配律：4n(Buc)=(an8)u(anc),au(8nc)=(auB)n(auc).

(5)反演律(德摩根定律).

C/(XnB)=(CM)u(QB),C/(4US)=(CM)n(C]B).

即“交的補=補的并”，“并的補=補的交

2、由n(neN*)個元素組成的集合4的子集個數

4的子集有2rl個，非空子集有2"-1個，真子集有2n-1個，非空真子集有2"-2個.

3、容斥原理

Card(AUB)=Card(A)+CardQB')—Card{AflB).

4、從集合與集合之間的關系上看

設4={x|p(x)},B={%|q(x)].

(1)若4UB,貝Up是q的充分條件(pnq),q是p的必要條件；若4金B,則p是q的充分不必要條件,

q是p的必要不充分條件，即p0q且q豐＞p；

注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小今大”.

(2)若BU4貝Up是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若4=8,貝如與q互為充要條件.

0

/八真題研標?摘毓ll.\\

1.(2024年新課標全國II卷數學真題)已知命題p：\/xeR,|x+1|>1；命題q：3x>0,一=刀，則()

A.p和q都是真命題B.-ip和q都是真命題

C.p和-iq都是真命題D.-ip和-,q都是真命題

【答案】B

【解析】對于p而言，取丫=一1,則有|x+l|=0<l,故p是假命題，rp是真命題，

對于q而言，取久=1,則有“3=13=1=%,故q是真命題，rq是假命題，

綜上，「p和q都是真命題.

故選：B.

2.(2024年上海秋季高考數學真題)定義一個集合集合中的元素是空間內的點集，任取PI，P2，P3

存在不全為0的實數%,乙,也，使得%而1+%理+及西=1已知(1,0,0)6。，則(0,0,1)￡C的充分條

件是()

A.(0,0,0)e。B.(—1,0,0)6C

c.(0,1,0)enD.(o,o,-1)e(1

【答案】c

【解析】由題意知這三個向量函，兩，西共面，即這三個向量不能構成空間的一個基底，

對A,由空間直角坐標系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面，則當(一1,0,0),(1,0,0)e。無法推出

(0,0,1)gQ,故A錯誤；

對B,由空間直角坐標系易知(—1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面，則當(0,0,0),(1,0,0)ec無法推出

(0,0,1)eQ,故B錯誤；

對C,由空間直角坐標系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三個向量不共面，可構成空間的一個基底，

則由(1,0,0),(0,1,0)ec能推出(0,0,1)Ed

對D,由空間直角坐標系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三個向量共面，

貝U當(0,0,—1)(1,0,0)e。無法推出(0,0,1)任O,故D錯誤.

故選：C.

3.(2024年北京高考數學真題)設a,3是向量，貝臚(2+3)?(2—研=0”是=—方或2=於的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因為+b)?(a-fa)=a2—b2=0,可得彥=b2,即同=\b\,

可知0+K)-(a-h)=0等價于同=\b\,

若五=5或d=-a可得忻|=|同,BP(a+b)-(a-b)=0,可知必要性成立；

若(3+3)?伍-B)=0,BP|a|=\b\,無法得出Z=3或日=一另，

例如&=(1,0),3=(0,1),滿足同=|同，但一k[且匯片一孔可知充分性不成立；

綜上所述，“伍+研?伍—3)=0”是北豐3且日牛—小的必要不充分條件.

故選：B.

4.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)設向量2=(久+1,%)石=(居2),貝。()

A."％=-3”是2_L亦的必要條件B.“％=-3”是方〃亦的必要條件

C."％=0”是%，戶的充分條件D.“x=-1+百”是“力/戶的充分條件

【答案】C

【解析】對A,當時，則小3=0,

所以x?(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時，a—(1,0),b—(0,2),故2,b=0,

所以dll,即充分性成立，故C正確；

對B,當明萬時，則2(刀+1)=/,解得久=1±百，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=—l+百時，不滿足2(%+1)=/,所以因萬不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

5.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={引五&A],則以(4CB)=(

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】因為4={1,234,5,9},B={%|V^EA],所以B={1,4,9,16,25,81),

則ACB={1,4,9},ZA{AC8)={2,3,5}

故選：D

6.(2024年天津高考數學真題)已知a,beR,則“c^=川”是由。=3b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】根據立方的性質和指數函數的性質，a3=/和3a=3》都當且僅當a=b,所以二者互為充要條件.

故選：C.

7.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列的公差為§，集合S={cos%1mGN*},若S={a,b],

則ab=（）

ii

A.-1B.--2C.0D.2-

【答案】B

【解析】依題意，等差數列｛冊｝中，。九=的+（九一1）=+（@i-生），

顯然函數、=cos[gn+（的一半）]的周期為3,而九EN*,即cosa九最多3個不同取值，又｛cos4J?ieN*｝=

｛a,b],

貝!J在cosQi，cosQ2，cosa3中，cos。1=cosa2Hcos的或cos%Wcosa2=cosa?或COSQLCOS%Hcosa2

于是有COS0=cos（64-爭）或COS。=COS（0+y）,

即有e+（0+y）=2knfkez,解得e=k兀一EZ；

或者9+（0+y）=2k7i,k6Z,解得。=k兀-kEZ；

所以kGZ,ab=COS（fc7l—|）cos[（fc7l—|）+y]=—COS（fc7l—^）cosfc7l=—cos2fc7icos|=一（或a/7=COS（fc7l—

2兀、.1

一）cos/c兀=——.

372

故選：B

8.（2023年北京高考數學真題）若xyK0,則“x+y=0"是7+j=-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】解法一：

因為xy*0,且±+^=-2,

yx

所以/+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即（％+y）2=0,所以％+y=0.

所以“x+y=。”是5+?=-2”的充要條件.

解法二:

充分性：因為%yHO,且％+y=0,所以％=-y,

所以±+上=3+2=一1—1=一2,

yXy-y

所以充分性成立;

必要性：因為xy#O,且三+丫=-2,

yx

所以/+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即(％+y)2=0,所以％+y=0.

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是g+丫=一2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因為%yW0,且無+y=0,

在l、l%yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy-2xy

JTT以—I—=--------=---------------------=----------------=-------=-ZQ，

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因為%y#0,且三+丫=-2,

yx

由I、］%yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy(x+y)2

/TT以I————?Zo——ZQ，

yxxyxyxyxy

所以‘"；；)?=O所以(x+y)2=0,所以x+y=0,

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是。+?=一2”的充要條件.

故選：C

9.(2023年高考全國乙卷數學(文)真題)設全集U={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MUQN=

()

A.{0,2,4,6,8}B.[0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由題意可得CuN=[2,4,8},則MUQN={0,2,4,6,8}.

故選：A.

10.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設甲：sin2cr+sin2/?=1,乙：sina+cosS=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】當sin2a+sin2/?=1時，例如a==0但sina+cos0豐0,

即sin2a+sin2s=1推不出sina+cos0=0；

當sina+cos0=0時，sin2a+sin2s=(—cos)5)2+sin2s=1,

即sina+cos￡=0能推出sin2a+sin2^=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

11.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設全集U=Z,集合M=(x\x=3k+l,k&Z},N={x\x=3k+

2,kEZ},Cu(MuN)=()

A.{x\x=3k,kEZ}B.(x\x=3k—1,kEZ}

C.{x\x=3k-2,kEZ}D.0

【答案】A

【解析】因為整數集Z={x|x=3k,keZ}u{x|%=3k+l,keZ}u{x[x=3k+2,keZ},U=Z,所以，

Cu(MUN)={x\x=3/c,fceZ}.

故選：A.

12.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)設集合U=R,集合M={x|x<l},N={x\-1<x<2],則

{x|x>2}=()

A.Cu(MuN)B.NUCuM

C.Cu(MCN)D.MUS

【答案】A

【解析】由題意可得"UN={x|x<2},則Cu(MUN)={x|x22},選項A正確；

CuM=[x\x>1),則NUZUM=(x\x>-1},選項B錯誤；

MQN={x\-1<x<1},則Cu(MCN)={x\xW-1或xN1],選項C錯誤；

CUN={x\xW-1或x22},則MUCuN={x\x<1或x22},選項D錯誤；

故選：A.

13.(2023年新課標全國I卷數學真題)已知集合M={—2,—1,0,1,2},N={x\x2-x-6>0},則MClN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】方法一:因為N={x|%2一X-620}=(-8,-2]U[3,+8),W=[-2,-1,0,1,2),

所以MCN={-2}.

故選：C.

方法二：因為M={—2,—1,0,1,2},將—2,—1,0,1,2代入不等式久2—尤―620,只有一2使不等式成立，所以

MCN={-2}.

故選：C.

14.(2023年新課標全國II卷數學真題)設集合4={0,-研，B=[1,a-2,2a-2},若4CB,則a=().

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】因為4GB,則有：

若a—2=0,解得a=2,此時4=｛0,-2｝,B=[1,0,2),不符合題意；

若2a—2=0,解得a=1,此時4=｛0,—1｝,B=｛1,—1,0｝,符合題意；

綜上所述：a=1.

故選：B.

15.(2023年新課標全國I卷數學真題)記立為數列的前n項和，設甲：｛斯｝為等差數列；乙：｛g｝為等

差數列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛廝｝為等差數列，設其首項為由,公差為d,

貝US.==的+曰d=+a]一色,近一包=色，

n12n12212n+1n2

因此｛曰｝為等差數列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛包｝為等差數列，即細1_且=nS"+i；(n?)S"=為常數,設為如

^nJn+1nn(n+l)n(n+l)

即=t,則％=naji+i-t?n(?i+1),有$_]=(?i-1)廝-t?-l),n22,

兩式相減得：=九％1+1-(九一1)與一25,即％J+I-即=2t,對n=1也成立，

因此｛即｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛廝｝為等差數列，設數列的首項的，公差為d,即％=nai+竺衿心

則去=%+怨因此得｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：尊為等差數列，即黑一手=。彳=SI+(n—l)D,

即Sw-71sl+n(n—1)D,^n-i——(n—1)S1+(n-1)(n—2)D,

當n22時，上兩式相減得：Sn-SnT=Si+2(n-l)D,當n=1時，上式成立，

于是即=a1+2(n—1)￡>,又即+1-an—ar+2nD—[ax+2(n-1)0]=2D為常數，

因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

16.(2022年新高考全國II卷數學真題)已知集合4=｛-1,1,2,4｝,B=｛x||x-1|<1｝,則4nB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】［方法一］:直接法

因為B={x|0W%W2},故4nB={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優解】代入排除法

%=-1代入集合8={刈％-1|W1},可得2W1,不滿足，排除A、D；

力=4代入集合8={百反一1|<1},可得3W1,不滿足，排除C.

故選：B.

17.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)設全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足Q/M={1,3},則()

A.2eMB.3GMC.4?MD.5gM

【答案】A

【解析】由題知M={2,4,5},對比選項知，A正確,BCD錯誤

故選:A

題型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024?廣東?模擬預測）若小￡（1,3,4,m2},則能可能取值的集合為（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,34}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【解析】由{1,3,4,Tn?},得7n2工1,則7nw1,

由mE{134,血2},得7n=3,此時巾2=9,符合題意；

或771=4,此時血2=16,符合題意；或?71=7712,則爪=0,此時771z=0,符合題意，

所以用可能取值的集合為{034}.

故選：B

【典例1-21[新考法]（2024.河南新鄉.三模）下列集合中有無數個元素的是（）

A.[%eGw]B.[%ez||ew]c.[%ew||ez]D.{XCQI^CN}

【答案】D

【解析】對于A,因為:6N,XEN,則x=l,2,4,{%eeN}={1,2,4},故A錯誤;

對于B,因為xez,則x=l,2,4,

所以{尤eZ|：eN}={l,2,4},故B錯誤；

對于c,xeN,|ez,所以z}={1,2,4},故c錯誤；

對于D,上€（2（6%}有無數個元素.故口正確.

故選：D.

集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對象。集合具有確定性、互異性和

無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數軸、檢驗元素互異

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對于解決集合問題具有重要意義。

【變式1-1]（2024?高三?江西贛州?期中）已知a、b&R,若{a,g,1}={c^,a+b,0},則a?。?。+爐標】的值為

()

A.-1B.0C.1D.-1或0

【答案】C

【解析】由0￡?1}且QHO,則，=0,

b=0,于是a?=1,解得a=1或a=-1,

根據集合中元素的互異性可知a=1應舍去，

因此a=-1,b=0,

故。2020+b2021=（_1）202。+（）2021=1.

故選：C.

【變式1-2]（2024?四川樂山?三模）已知集合2={-1,0,1},B={1,2},C={x\x=a+b,aEA,bEB],則集

合C的元素個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由題意知，ae{—l,0,l},bG{1,2},

當ae{—1,0,1},b=1時，a+6e{0,1,2},

當ae{-1,0,1},b=2時，a+bE{1,2,3},

所以C={0,1,2,3},

所以集合C中的元素個數為4.

故選：C.

【變式1-3]（2024.四川綿陽.模擬預測）已知集合A={neN*|n2>2n],則集合4的元素個數為（）

A.1B.2C.3D.無窮多個

【答案】C

n

【解析】由22n2（neN*）,可得n=1,2,4,

所以集合4的元素個數為3個.

故選：C

命題預測

1.［新考法］集合M={/(%),廣(%),〃(%),…}，則以下可以是;"(>)的表達式的是()

A.sin%B.exC.InxD.%2+2%+3

【答案】C

【解析】對于選項A,因為/(%)=sin%,所以f(%)=cos%,/"(%)=—sin%,/'〃(%)=—cos%,(/'〃(%))'=

sinx=/(x),不滿足集合的互異性，所以選項A錯誤,

對于選項B,因為/(x)=e，所以尸(x)=e，=/(x),不滿足集合的互異性，所以選項B錯誤，

對于選項C,因為/(x)=lnx,所以r(x)=37""(%)=—2，尸”(無)=(,…,所以選項C正確，

對于選項D,因為f(%)=/+2%+3,所以尸(久)=2/+2,f"(x)=4x,=4,(f〃，(%))'=0,后

面再求導，導數均為0,不滿足集合的互異性，所以選項D錯誤，

故選：C.

2.已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和為1,則實數a所有取值的集合為()

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1)

【答案】D

【解析】因為集合{%|(%-。2)(%一1)=0}的元素之和為1,

所以一元二次方程(％—a2)(x—1)=0有等根時，可得％=a2=1,即a=±1,

當方程有兩不相等實根時，%=a2=0,即a=0,

綜上，實數〃所有取值的集合為{0,L-1}.

故選：D

3.已知集合/={1,2,3},B={3,5},則。={%|%=2。+仇。64568}中的元素個數為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意，％=2a+b,

當a=l,b=5=%=7,

當a=l,b=3=>x=5,

當a=2,b=5=x=9,

當a=2,b=3=%=7,

當a=3,b=5=>x=11,

當a=3,b=3=>x=9,

由集合中元素滿足互異性，所以C={5,7,9,11}.

故選：B

4.已知集合集={0,1,。2},8={1,0,2a+3},若Z=B,則。=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【解析】-A=B,

a?=2a+3,解得a=-1或3,

當a=-1時，a2=2a+3=1,

不滿足集合中元素的互異性，舍去.

當a=3時，a?=2a+3=9,

此時4=8={0,1,9},滿足題意.

綜上，a=3.

故選：C.

題型二：集合間的基本關系

【典例2-1](2024.河南.模擬預測)已知集合4=(x\l<x<2],B={x\1<x<a],若BU4則實數a的

取值范圍是()

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+oo)

【答案】C

【解析】集合Z={%|1<%<2],B={%|1<%<a},若BUA,

則若a<1,則B=0U4滿足題意；

若a>1,且BQA,貝!jl<aW2,

綜上所述，實數a的取值范圍是(-叫2].

故選：C

【典例2-2】(2024?寧夏?模擬預測)設集合M={x|x=4n+l,n€Z},N=b|x=3n+l,neZ},

P={x\x=12n+l,nEZ),貝！J()

A.MB.N

C.MC\NQPD.MClN=0

【答案】C

【解析】由題意5CM,5CP,A錯；4-P,B錯；

MDN={x\x=12n+l,neZ}豐。,D錯，C正確.

故選：C.

(1)判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的

關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法.

(2)已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿

足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析.

【變式2-1]（2024.江西新余.模擬預測）已知集合4={x\x2-6%+8<0],B={y\y>a},若4UB,貝ija的

取值范圍是（）.

A.(―oo,2)B.(—co,4)C.(—8,2]D.(—oo,4]

【答案】A

【解析】A-{x|x2—6x+8<0}={x|2<x<4],B={y\y>a],

AQB,故a<2.

故選：A.

【變式2-2](2024?四川成者B?模擬預測)若集合4={xGN|1Wx<5},則集合A的真子集有()個.

A.7B.15C.31D.63

【答案】C

【解析】由題意可知：集合4={xGW|l<x<5}={1,2,3,4,5},共5個元素，

所以集合A的真子集有25-1=31個.

故選：C.

【變式2-3](2024.貴州遵義.模擬預測)已知集合4={0,1,2},B={1,2,3),

若集合C={zeN*|z=xy,xe2且y6B},則C的子集的個數為()

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】由條件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合c={123,4,6},集合C的子集的個數為25=32個.

故選：C

【變式2-4][新考法](2024.江西新余.模擬預測)已知集合4、B、C為全集U的子集，XnB=C(/C^0,則

(2U8)CC=().

A.AU(BCIC)B.(S)n(CuB)

C.[C(/(XClB)]n(4UB)D.[Cu(4uB)]UQ4CB)

【答案】C

【解析】?.NcB=CuC,

.,.(4nB)UC=U,

：.Cu(AnB)=C,

：.(ADB)CiC=CQ(A\JB)=[Cu(4nB)]ClQ4UB).

故選：C.

命題預測

1.已知集合4=8^6Z},B={n|jez},C={n|^Gz},貝l]()

A.AClB呈CB.BL)C=AC.C^AC\BD.BCACtB

【答案】A

【解析】依題意，A={n\n=3k,kEZ},B={n|n=4fc,kEZ],C={n\n=6k,kEZ},

則4cB=min=12k,keZ},易知12的倍數一定是6的倍數，故A正確，C錯誤；

因BnC={n|7i=12k,keZ},即BnC=4nB,故D錯誤；

對于B項，任取364因3《B,3《C,則3CBUC,故B錯誤.

故選：A.

2.(多選題)已知{a,b}U{1,2,3},(a,b)e{(x,y)Iy=x+1},則2。"的值可以為()

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【解析】當a=1時,由(a,b)€{(x,y)|y=x+1}得b=2,滿足be{1,2,3},所以2。"=21=2；

當a=2時，由3,幼€{00)|丫=%+1}得3=3,滿足be{1,2,3},所以2”=28=256；

當a=3時,由(a=)€{(%,y)|y=x+1}得b=4,不滿足be{1,2,3}；

綜上,則2a”=2或256.

故選：AC.

3.(多選題)已知集合2={1,2},8={0,1,2,3,4},集合C滿足4星CUB,則()

A.1eC,2GCB.集合C可以為{1,2}

C.集合C的個數為7D.集合C的個數為8

【答案】AC

【解析】由題意得4={1,2},8={0,1,2,3,4},又4星CUB.

所以lec,2ec,故A正確；

當。={1,2}時，不滿足71星C,B錯誤，

集合C的個數等價于集合{0,3,4}的非空子集的個數，

所以集合C的個數為23-1=7,故C正確，D錯誤，

故選：AC.

4.(多選題)若集合M和N關系的Venn圖如圖所示，則M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x\x2<A},N={x\x>—1}

C.M={x\y=Igx},N={y|y=e*+5}

D.M={(%,y)|x2=y2},N={(x,y)\y=x}

【答案】ACD

【解析】根據Venn圖可知N呈M,

對于A,顯然N呈M,故A正確；

對于B,M={%|-1<%<1],N={xlx>-1},則MUN,故B錯誤;

對于C,M={無|x>0},N={y|y>5},則N呈M,故C正確；

對于D,M={(x,y)\y=x,=-x],N={(x,y)\y=x},

則N呈M,故D正確.

故選：ACD

題型三：集合的運算

【典例3?1】已知集合4={%]-14％=0},B={對log2(%2一%)41(則』n『=()

A.{x|-1<%<0}B.{x|-1<x<0}

C.{x|-1<%<0}D.{x|-1<%<0]

【答案】C

【解析】因為log2(%2-汽)41=log?2,所以0V%2一%42,解得1V%42或一14%V0,

故B={%|-1<%<0或1V%42},JG4={x|-1<%<0},所以/CB={x|—1<%<0}.

故選：C

【典例3-21(2024.廣東廣州.模擬預測)已知全集U=71UB={xGN|0<%<10},/n(QB)=口35,7},

則B=()

A.{1,3,5,7}B.{2,16,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

【答案】D

【解析】已知全集U=XuB={xeN|0<%<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

An(CuB)={1,3,5,7},B集合中沒有1,3,5,7,

若0￡B,貝ijoea,貝iJOeac(CuB),與條件矛盾，故OCB,

同理可得2eB,4eB,6eB,8eB,9EB,10GB,

則B={0,2,4,6,8,9,10).

故選：D.

凡是遇到集合的運算(并、交、補)問題，應注意對集合元素屬性的理解，數軸和韋恩圖是集合交、

并、補運算的有力工具，數形結合是解集合運算問題的常用思想.

【變式3-1](2024.高三.黑龍江佳木斯?期中)已知集合4=[x\l<x<3},B={x\^>0),則AU8=()

A.{x|2<%<3}B.{x|2<%<3]C.(x\x>1}D.{x\x>2}

【答案】C

【解析】由3>0,解得久>2,則3=>2},

Ak)B={x|x>1}.

故選：C

【變式3-2](2024?高三.福建三明?期中)某班有45名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參加一個

興趣小組的同學有20人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和英語興趣小組的同學

有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有人.

【答案】5

【解析】以集合4B、C表示分別參加語文、數學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：

設同時參加這三個興趣小組的同學有x人，由圖可得20+(9-％)+(11-x)+(15-x)+x=55-2x=45,

解得％=5.

故答案為：5.

【變式3-3](2024?江西九江?模擬預測)設U={5,6,7,8,9},若4nB={8},(04)CB={6},(04)n(CyB)=

{5,9},則集合4=.

【答案】{7,8}

【解析】因為4nB={8},，.8ea,8e8,

因為(CM)nB={6},.-.6GB,6gA,

因為(CuA)0(CyB)={5,9},???5,9gA,5,9生B,

如果7eB,則CM)CB={6,7},與已知矛盾，所以7e4

所以a={7,8}.

故答案為：{7,8}

命題預測J

1.(多選題)設U為全集，集合4B,c滿足條件4UB=auc,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BcAB.CcA

c.4n(CuB)=an(QC)D.(CMns=(CMnc

【答案】ABC

【解析】當。={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}時，滿足ZuB=4uC,

此時，B,C不是4的子集，所以A、B不一定成立；

CuB={l},CuC=0，An(CyB)={1}Mn(CyC)=0,所以C不一定成立；

對于D,若Vxe(Cu4)nB,貝kca,fixeB,因為4UB=4UC,

所以xec,于是xe(CuA)nC，所以(GM)nBu(QM)nc,

同理若vxe(CM)cC，則％e(CiM)cB,(CM)cCu(CM)cB,

因此，(Cu4)nB=(CiM)nC成立，所以D成立.

故選：ABC.

2.(多選題)已知集合4B均為R的子集，若408=0,則()

A.AQCRBB.CRXCB

C.A\JB=RD.(CRX)U(CRB)=R

【答案】AD

【解析】因為集合4B均為R的子集，且ACB=0,

畫出韋恩圖，如圖所示：

結合圖像：由AUCRB,所以A正確；由BUCRA,所以B錯誤；

由4U8UR,所以C錯誤；由(CR4)U(CRB)=CR(4nB)=R,所以D正確.

故選：AD.

3.已知集合A—{x|4%2—x—5>0},B={x\x>rri］,若m=0,則(CRZ)OB-；若/UB=R,

則m的取值范圍為.

【答案】{x|0<%<|}(一8,—1)

【解析】4%2-x—5>0即(％+1)(4%—5)>0,

則/=卜>:或久<—1},

所以CR4={X|-1

若m=0,則B={%|%>0］,

S)nB={x|0<x.},

若4UB=R,B={x\x>m},

則m<-1,故TH的取值范圍為(一8,-1).

故答案為：{x|0〈久W》；(―8,—1).

4.(2024?高三.重慶沙坪壩?開學考試)設集合M={x|-l<%<2},集合N={x\x—kW0},若MCCRN=0,

則k的取值范圍為.

【答案】［2,+8)

【解析】由題意得/V={x|xWk},故CRN=(/C,+8),

因為MCICRN=0,所以A22,故k的取值范圍是［2,+8).

故答案為：［2,+8)

題型四：充分條件與必要條件

【典例4-1]（2024.高三.福建寧德?期