空間幾何體表面積與體積

T模塊導航A素養目標

模塊一思維導圖串知識1.柱、錐、臺的側面積和體積

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.是圓柱、圓錐、圓臺及球的表面積和體積公式

模塊三核心考點舉一反三及其應用

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

S松姓=S?+2%

'枝*='也+$意

棱臺s檢g=sa+s上咸+Sp底

表面積和體積

◎模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1棱柱、棱錐、棱臺的表面積

(1)正方體、長方體的表面積

正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和

長、寬、高分別為。，"c的長方體的表面積：

S長方體=2(ab+bc+ac)

棱長為。的正方體的表面積：

S正方體

(2)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖

棱柱的側面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:

棱錐的側面展開圖由若干個三角形拼成如圖

（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積

棱柱的表面積：S棱柱=5側+25底

棱錐的表面積：S棱鉞=5側+S底

棱臺的表面積：S棱臺=5惻+S上底+S下底

知識點2棱柱、棱錐、棱臺的體積

（1）棱柱的體積

①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與

底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.

②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積S和高〃的乘積，即V=S〃.

（2）棱錐的體積

①棱錐的高：錐體的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）

之間的距離，即垂線段的長.

②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積s和高〃的乘積的，即丫=!§丸理解.

(3)棱臺的體積

①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足(垂線與底

面的交點)之間的距離，即垂線段的長

②棱臺的體積：V=；(§'+屈+S)/z(S',S分別為上下底面面積，〃為臺體的高)

嚓-%-ABCD-^P-ABCD

=：S(〃+%)―

JJ

=L(S+&+S')h

3

知識點3圓柱、圓錐、圓臺的表面積

(1)圓柱的表面積

①圓柱的側面積：

圓柱的側面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為r,母線長為/,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周

長，另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側面積為S側=2萬〃.

②圓柱的表面積：

S-S側+2s底=17irl+21r2-21r(/+r).

知識點4圓錐的表面積

①圓錐的側面積：

圓錐的側面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為r,母線長為I,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長,

半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側面積為S側=萬〃

②圓錐的表面積：

S=S側+S底=7irl+〃產=兀r(l+r)

知識點5圓臺的表面積

①圓臺的側面積：

圓臺的側面展開圖是一個扇環.圓臺的上底面半徑為r',下底面半徑為r,母線長為/,故圓臺的側面積為

S惻=萬(廠+/)/

②圓臺的表面積：

知識點6圓柱、圓錐、圓臺的體積

(1)圓柱的體積：V=Sh

（2）圓錐的體積：V=-Sh

3

（3）圓臺的體積：V=g（S上+JS上S下+S下）丸

知識點7球的表面積和體積

（1）球的表面積：S=4TTR2

（2）球的體積：V=—"R3

3

模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：棱柱的表面積

△A

（23-24高一下?遼寧?期末）已知正四棱柱ABC。-ABCQ中，截面刖2片是邊長為2友的

正方形，則正四棱柱的表面積為（）

A.4+8收B.8+8&

C.4+16eD.8+160

【變式1-1］（23-24高一下?四川巴中?階段練習）在正方體ABCD-ABG2中，由A，G，B,￡（四個點

為頂點的正四面體8-AG。的表面積為則該正方體的表面積為（）

A.B.y/3a2C.2a2D.娓a1

【變式1-2］（24-25高二上?上海?期中）已知一個正六棱柱底面邊長為2,高為3,則這個正六棱柱的側面

積為.

【變式1-3］（23-24高二上?上海黃浦?階段練習）已知底面為正方形的長方體底面邊長為1,體對角線長為

20,則長方體的表面積為.

考點二：棱柱的體積

'例2.（2024?江蘇蘇州?一模）已知直三棱柱ABC-A8cl夕卜接球的直徑為6,且,BC=2,

則該棱柱體積的最大值為.

【變式2-1］（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）一個高為3的直三棱柱容器內裝有水，將側面水平放

置如圖（1）,水面恰好經過棱AC,BC,AG，4G的中點，現將底面ABC水平放置如圖（2）,則容器

中水面的高度是（）.

【變式2-2］（2024?全國?模擬預測）已知在長方體ABC。-A與G2中，4。=34）=3,則該長方體體積的

最大值為（）

A.1B.2C.4D.6

【變式2-3］（23-24高二?上海?課堂例題）如圖，設圓柱有一個內接棱柱（即棱柱的側棱都是圓柱的母線，

棱柱的兩個底面分別在圓柱的兩個底面內）.已知圓柱的體積是4島,棱柱的底面是邊長為2的正三角形.求

棱柱的體積.

B

考點三：棱錐的表面積

例3.（24-25高二?上海?課堂例題）側面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a,則此棱錐的表

面積是（）

A3+^32R3+g

A.--------a;B.--------a2;

42

C.比g/；D.都不對.

4

【變式3-1］（24-25高一下?全國?隨堂練習）若正三棱錐的所有棱長均為。，則該三棱錐的表面積為（）

22

A.3島2B.2?aC.島?D.4a

【變式3-2］（23-24高一下?北京昌平?期末）已知正四棱錐的底面邊長為2,高為百，則它的側面積

為,

【變式3-3］（24-25高二?上海?假期作業）三棱錐尸-ABC中，PA=4,尸3=PC=AB=5C=C4=3,求該

棱錐的表面積.

考點四：棱錐的體積

、例4.（24-25高三上?山西大同?期中）已知四面體A5C。的頂點均在半徑為3的球面上，若AB=CD=4,

則四面體ABC。體積的最大值為（）

口16A/516A/316A/2

15.----------

333

【變式4-1］（24-25高三上?河北承德?期中）在棱長為2的正四面體A-3CD中，E為棱AO上的動點，當

防+CE最小時，三棱錐A-8CE的體積為（）

AV2?2V20歷N4A/2

A?15?---------L?U?----

3329

【變式4?2】（2024高三?全國?專題練習）棱長為2的正方體AHCO-中，M,N分別為棱B耳，AB

的中點，則三棱錐A-QMN的體積為.

【變式4?3】（2024高三?全國?專題練習）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=39AB=29點N分

3

別在棱總，上運動，且滿足BN=〃5C,BM=ABP,其中〃+萬％=1,求三棱錐A-的最大體積.

W

AB

考點五：棱臺的表面積

5.（23-24高一下?北京?階段練習）已知某正六棱臺的上、下底面邊長為1和3,高為1,則其側

面積為（）

A.12B.12A/2C.24D.1275

【變式5-1］（24-25高三上?內蒙古錫林郭勒盟?期中）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,高為百,

則其側面積為（）

A.20B.24C.125/3D.2473

【變式5-2］（24-25高一下?全國?課后作業）若正四棱臺的上底邊長為2,下底邊長為8,高為4,則它的

表面積為（）

A.50B.100C.248D.168

考點六：棱臺的體積

6.（23-24高三下?山東青島?階段練習）正六棱臺的上、下底面邊長分別是2和6,側棱長是5,

則它的表面積與體積分別為（）

A.16庖+60/26的B.16A/2T+60>/3;52A/3

C.24a+60娠786D.24A/2T+60V3;845/3

【變式6-1］（2024?廣東?模擬預測）現有一個正四棱臺形水庫，該水庫的下底面邊長為2km,上底面邊長

為4km,側棱長為30km,則該水庫的最大蓄水量為（）

112.3ac5613a

A.不―kmB.112km3C.-^~kmD.56km3

【變式6-2］（24-25高二上?上海?期中）已知正四棱臺兩底面邊長分別為20和10,側面積為780,則其體

積為.

【變式6-3］（24-25高三上?廣東?開學考試）中國傳世數學著作《九章算術》卷五“商功”主要講述了以立體

問題為主的各種形體體積的計算公式.例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成

九部分進行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.E對應的是正四棱臺中間位置的長方體，B,D,H,F

對應四個三棱柱，A,C,I,G對應四個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12,四個四棱錐的體積之和為4,

則該正四棱臺的體積為.

圖⑴圖⑵

考點七：圓柱的表面積和體積

'例7.（23-24高一下?四川成都?階段練習）如圖，一個圓柱形的紙簍（有底無蓋），它的母線長為40cm,

底面的半徑長為10cm.

??.....、、

（1）求紙簍的面積;

⑵求該紙簍的表面積.

【變式7-1］（24-25高二上?上海?階段練習）若圓柱的高為10,底面積為4兀，則這個圓柱的側面積

為.

【變式7-2］（24-25高三上?天津?期中）已知底面半徑為『的圓錐5。，其軸截面是正三角形，它的一個內

接圓柱的底面半徑為:，則此圓柱與圓錐的側面積的比值為（）

2J32

A.-B.4C.-

993

【變式7-3］（23-24高一下?四川成都?期末）如圖，圓錐R9的底面直徑和高均為12,過PO上一點O'作平

行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內接圓柱.則該圓錐的內接圓柱側

C.36兀D.72Tt

考點八：圓錐的表面積和體積

'例8.（24-25高二上?遼寧撫順?期中）已知圓柱和圓錐的高相等，側面積相等，且它們的底面半徑均

為2,則圓錐的體積為（）

A.2兀B.3兀C.—D.8所

39

【變式8-11（24-25高三上?寧夏?期中）若圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）

A.2兀B.3兀C.2&D.3島

【變式8-2］（23-24高三上?北京房山?期中）以邊長為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正三角

形旋轉一周所得幾何體的表面積為（）

A.乖mB.2兀C.2扃D.4后

【變式8-3］（24-25高三上?寧夏銀川?階段練習）若一個圓錐底面半徑為1,高為20,則該圓錐表面積為

（）

A.4兀B.3兀C.2兀D.兀

考點九：圓臺的表面積和體積

|'j例9.（24-25高三上?黑龍江雞西?期中）如圖，將底面半徑為1高為3的圓錐截去體積為點的錐尖,

剩余圓臺的側面積為（）

S

ASy/lOnB16>/107r160K口32A/2TI

'-9-'-9-99

【變式9-1］（24-25高二上?浙江?期中）把一個圓錐分割成兩個側面積相等的小圓錐和圓臺，則小圓錐和圓

臺的高之比為（）

A.1B.72-1C.2D.72+1

【變式9-2］（24-25高二上?上海?階段練習）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3,母線長為4,則圓臺

的側面積為（）

A.16nB.20TIC.24兀D.26兀

【變式9-3］（24-25高二上?上海?期中）已知一個圓臺有內切球，且兩底面半徑分別為1,4,則該圓臺的

表面積為?

考點十：球的表面積和體積

10.（2024高三?全國?專題練習）如圖，過球。的一條半徑OP的中點。1，作垂直于該半徑的平面,

所得截面圓的半徑為百，則球。的體積是（）

C.32TID.16兀

【變式（23?24高二下?河北石家莊?期末）已知球的表面積為144兀cn?,則該球的體積是（)cm3

A.64nB.1447tC.2887rD.2167t

【變式10-2］（23-24高一下?浙江?期中）已知軸截面是正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的表

面積與球的表面積之比為（）

A.1:1B.2:1C.2:3D.3:2

【變式10-3］（24-25高二上?四川資陽?階段練習）已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及

側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑不4=2:3,則圓臺的體積與球的體積之比為.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（24-25高三上?浙江?期中）已知圓錐的側面展開圖是一個面積為n的半圓，則該圓錐的高為（）

A.逅B.@C.3D.1

2222

2.（24-25高二上?云南文山?期末）已知長方體ABC。-AqGR的體積為16,且懼=2,則長方體

ABC。-A4G2外接球表面積的最小值為（）

A.^^-71B.16。行兀c.207rD.IOOTT

33

3.（24-25高二上?上海?期中）已知軸截面為正三角形的圓錐的體積為9扃，則圓錐的高為（）

A.373B.2A/3C.3垃D.3

4.（23-24高一下?江蘇?期末）若底面半徑為「，母線長為/的圓錐的表面積與直徑為/的球的表面積相等，

貝號=（）

A.75-1B.C.73-1D.

22

5.（24-25高二上?貴州?期中）已知某圓錐的底面半徑和球的半徑都為G，且它們的體積相等，則圓錐的

側面積為（）

A.3#7KB.271771C.3岳兀D.2X/15TT

6.（2024高三?全國?專題練習）一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的體積為（）

12

A.兀B.2兀C.—D.—

7171

7.（24.25高三上?云南昆明?階段練習）某圓錐母線長為1,其側面積與軸截面面積的比值為2兀，則該圓錐

體積為（）

A3Jt7tA/3TIn氐

88824

8.（2024高三?全國?專題練習）斗不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，其可近似看作正四棱臺，

現制作一上底面的面積為81平方分米，側面積為120平方分米，側高為5分米的米斗，若斗面的厚度忽略

不計，則該斗可以裝米（1立方分米=1升）（）

A.39升B.156升C.201升D.210升

二、多選題

9.（23-24高一下?河南鄭州?期中）已知圓臺的上底半徑為1,下底半徑為3,球。與圓臺的兩個底面和側

面都相切，則下列命題中正確的有（）

A.圓臺的母線長為4B.圓臺的體積為26扃