絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷02【上海卷】

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題,1-6題每題4分，7-12題每題5分）

1.己知集合/={*|%+2..0},N={x|x-l<0}.則MN=.

2.己知復數2=一圍《是虛數單位），則彳=—.

1+Z

3.已知數列{%}的通項公式%=4〃-1,則它的第7項是,a2020-a2oi9=-

4.（尤+2）（x+l）4的展開式中項/的系數為.

6.定義在H上的奇函數/⑴滿足/（1+尤）=〃1-尤），并且當既k1時，/（x）=2'-l,則/（123）=

7.設有12件藥品，其中4件是次品，現進行兩次無放回抽樣，即每次抽一件不放回去，則兩次都抽到正

品的概率是.

8.已矢口圓尤2+丁=1與圓（彳一2）2+丁=/（。>0）相切，貝|“=.

9.已知不等式少T>4的解集是—.

10.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1,常用于進行工程、發生事故時提醒行人或車輛，以保證工程人員

及道路使用者的人身安全等.某數學課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進行研究，發現將該

交通錐筒放倒在地面上，如圖2,使交通錐筒在地面上繞錐頂點S滾動，當這個交通錐筒首次轉回到原位置

時，交通錐筒本身恰好滾動了3周.若將該交通錐筒近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測得該圓錐的

底面半徑為15缶相，則該圓錐的側面積為arc（交通錐筒的厚度忽略不計）.

圖1圖2

22

11.過雙曲線C：3-2=l（a>0力>0）右焦點/作直線/,且直線/與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為

ab

A,直線/與另一條漸近線交于點已知O為坐標原點，若AQ4B的內切圓的半徑為避二則雙曲線

2

C的離心率為.

12.已知點尸為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體ABCD的棱長為2,則的取值范

圍為—.

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5

13.已知直線4:3x-（“+2）y+6=0,直線/2：依+（2a-3）y+2=0,則“a=-9”是“4//乙”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.已知正實數a,b,滿足（。一以+（6—1）3..2—。一6,則6+/的最小值為（）

A.2B.1C.-D.4

2

15.如圖是根據原衛生部2009年6月發布的《中國7歲以下兒童生長發育參照標準》繪制的我國7歲以下

女童身高（長）的中位數散點圖，下列可近似刻畫身高y隨年齡x變化規律的函數模型是（）

A.y=mx+n(m>0)B.y=my[x+n(m>0)

x

C.y=ma+n(m>0,a>V)D.y=mlog4x+nm>0,a>\

2

16.已知函數f(x)=-----(XGR),若等比數列｛%｝滿足4a2020=1，則/(%)+/(。2)+>(/)++/(。2020)=(

1+%

)

A.2020B.型次C.2D.-

22

三、解答題(本大題78分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17.(14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為菱形，PE//平面MCD,過PE的平面交

平面于3D,PE=BD=PB=2.

(1)證明：PC//平面ADE；

(2)若平面BDEP_L平面A5cD,ZPBD=60°,四棱錐尸-ABCD的體積為2TL求平面PBC與平面AEP

夾角的余弦值.

18.(14分)在AABC中，角A、B、C的對邊分別為b、c,cos2B-sin2B=--.

2

⑴求角3,并計算sin(B+q)的值；

(2)若6=6，且AABC是銳角三角形，求o+2c的最大值.

19.（14分）某微信群群主為了了解微信隨機紅包的金額拆分機制，統計了本群最近一周內隨機紅包（假

設每個紅包的總金額均相等）的金額數據（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖.

頻率

I獺

0.066_?

0.054[-J—

0.040-4-------

0.032卜--------

0.00814-|」一|-1.

0510152025余額（單位：元）

（1）根據頻率分布直方圖估計紅包金額的平均值與眾數；

（2）群主預告今天晚上7點將有3個隨機紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包.小明是

該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.

（3）在春節期間，群主為了活躍氣氛，在群內發起搶紅包游戲.規定：每輪“手氣最佳”者發下一輪紅包，

每個紅包發出后，所有人都參與搶紅包.第一個紅包由群主發.根據以往搶紅包經驗，群主自己發紅包時，

搶到“手氣最佳”的概率為工；其他成員發紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為工.設前〃輪中群主發紅包

42

的次數為X,第〃輪由群主發紅包的概率為匕.求匕及X的期望E（X）.

20（18分）已知橢圓C：7+y2=l?>l）的左、右焦點分別為耳，F2,直線/:丫=入+砥加=0）與橢圓C交

于V、N兩點（M點在N點的上方），與y軸交于點E.

（1）當7=2時，點A為橢圓C上除頂點外任一點，求AAf；8的周長；

（2）當f=3且直線/過點。（-1,0）時，設后設=/1￡?加，EN=fiDN,求證：4+〃為定值，并求出該值；

（3）若橢圓C的離心率為走，當G為何值時，恒為定值；并求此時AMON面積的最大值.

2

21.(18分)已知函數y=/(x)及其導函數y=f'｛x)的定義域均為。.設與《，曲線y=f(x)在點(x0,/(%))

處的切線交x軸于點(占，0).當加.1時，設曲線y=/(x)在點(五,/(七))處的切線交x軸于點(x“M,0).依

此類推，稱得到的數列｛/｝為函數y=/(x)關于%,的“N數列”.

(1)若/'(x)=/nr,｛x.｝是函數y=/(x)關于%=」的"N數列”，求網的值；

e

(2)若/(無)=爐-4,｛4｝是函數y=/(x)關于無。=3的“N數列”,記4=1隔2^,證明：&｝是等比

Xn-2

數列，并求出其公比；

(3)若/則對任意給定的非零實數°,是否存在％W0,使得函數y=〃尤)關于4的“N數列

a+x

‘‘｛%｝為周期數列？若存在，求出所有滿足條件的/;若不存在，請說明理由.

數學.參考答案

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題,1-6題每題4分，7-12題每題5分,

1.{x\-2,,x<\]2.l-2z3.274.14

7.好

5.-0.676.-18.1或3

33

或空

9.(-s,T)D(3,+s)10.1350萬11.2

3

12.[1-73,1+73]

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5

分。

13141516

CABA

三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17.（14分）（1）證明：因為PE//平面覆CD,過PE的平面PEDB交平面ABCD于3D,

即PEu平面PEQB,平面PEDBC平面ABCD=BD,

所以PE//BD,又PE=BD,所以四邊形3DEP為平行四邊形，

所以PB//DE,

又DEu平面ADE,P3U平面ADE,所以P3//平面ADE,

四邊形ABCD為菱形，則3C//AD,ADu平面ADE,3CU平面ADE,

故3C//平面AQE,又PB=B,BC,PBu平面BCP,

所以平面BCP//平面ADE.

又PCu平面3CP,所以尸C//平面ADE.

（2）解：由（1）知四邊形BDEP為平行四邊形，又PE=PB,所以四邊形瓦）EP為菱形，

因為NPBD=60。，所以APBD為等邊三角形.

連接AC交3。于O,連接尸O,則PO±BD,

因為平面3DEP_L平面MCD,平面BDEPC平面ABCD=8D,

又尸Ou平面3DEP,所以PO_L平面ABCD,

因為ACu平面TWCD,所以尸O_LAC.

因為四棱錐P—ABCD的體積為2百，即§x^8Z>ACOP=24，

又BD=PB=2,ZPBD=&)。,所以OP=G,所以AC=6,

以O為坐標原點，OA,OB,OP所在的直線分別為X軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(3,0,0),5(0,1,0),尸(0,0,5,￡(0,-2,與C(-3,0,0),

所以尸2=(0,l,-73),CB=(3,1,0),EP=(0,2,0),PA=(3,0,-A).

n-CB=3x+y=0

設平面P8C的一個法向量〃=（x,y,z）,則＜

nPB=y_島=0'

令z=6，則x=—1,>=3,所以〃=(一1,3,6),

m?EP=2b=0

設平面AEP的一個法向量相=Q6,c),則<

m?PA=3a-N3c=0

令c=6，解得a=l,b=0,所以加=(1,0,百)，

設平面府與平面但的夾角為e,夾角范圍是（。，f],

|功力|_2

所以cos0=|cos(m,n)|=

\m\-\n\2x71313

18.（14分）解：（1）因為cos?5-sir?5=—（=cos25且5為三角形內角,

所以3=9或底夸’

、【/n萬n-U?/r,兀、?冗

當B——時*,sin(5H—)—sin——1,

362

、【/n2乃..,_TC..5萬1

當J5=——時，sin(BH——)=sin——=—；

3662

(2)由題意結合(1)得A+C=q,

0<A<-

2/口TC.71

所以解得，-<A<-,

CA兀62

0<A<—

32

因為人二當，

a_c_b_y/3

由正弦定理得，sinAsinCsin56

2

所以a=2sinA,c=2sinC=2sin(與-A)=>/3cosA+sinA,

所以a+2c=4sinA+2GcosA=2y/1sinA+^^-cosA)

J7*7

=2A/7sin(A+(p),cos(p=,sin(p=,

則W(H),A+°￡(f,斗)，

o434

jr

故當A+O=5時，a+2c取得最大值2近.

19.（14分）解：（1）由頻率分布直方圖可得，紅包金額的平均值為：

x=0.066x5x-+0.054x5x—+0.040x5x—+0.032x5x—+0.008x5x—=9.05,

22222

眾數為最高矩形的中點坐標，即為2.5；

（2）由題可知，每個紅包搶到10元以上金額的概率為（0.040+0.032+0.008）x5=0.4,且3次紅包相互獨

立，

44

由獨立重復試驗概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為C；X0.42X0.6+C；X0.43=0.352=E；

（3）由題意，片=1,

由《用_（2=_;1（只_2$,

23

又片「

所以優2是以13為首項，1為公比的等比數列，

所以月_|=1x（-5i，所以只=|+]x（-，

設部為第k輪發紅包時群主搶到“手氣最佳”的次數，

故獲服從兩點分布：尸砥=1）=6，P（^=O）=l-n-k=l,2,3

所以E（盤）=lx￡+Ox（l-用）=久,

由已知X=餡+芻+女++短,

則E（X）=E&+>+>++4）=石?）+石（4）+石63）++石（④）=《+￡+月++月

In121

~5+京口一（一小

20.（18分）解：（1）當/=2時，橢圓C：++y2=l,的周長為|M|+|AK|+W4|=2四+2；

⑵證明：當?且直線/過點吸1,。）時，橢圓U；+y*，直線斜率存在，…x+D,

----1-V2=1

聯立《3，消去y得：（3左2+1）尤2+6嚴尤+3公一3=0,4=（642）2一4（3公一3）（3公+1）=24/+12>0恒

y=后（x+1）

成立，

6k2

x,+x=----；——

1?23k2+1

設〃（占，/），N（尤2,%），則

3k2-3

由EM=ADM,EN=juDN，點E的橫坐標為0,

考慮向量橫坐標得到玉=〃石+1）,無2=〃（尤2+1），

從而2+〃='^+」2T

玉+1x2+1

一/二+2

=2-（—+^―）=2———+%+2=2__23/+12——

玉+1%+1再/+玉+%+13k—36k+]

3V+1-3F+1

2一

=2-=3,所以丸+4為定值3；

-3+1

1廠y=kx+m

(3)e=』?=E，解得=4,故橢圓方程工+9=1,聯立f

業24——+y=1

14

消元得(4左之+1)%?++4加?—4=。，△=64Zr2m2-16(4^2+l)(m2—1)>0,BP4A:2—m2+1>0,

設,>1),N(%2，%)，則%+%2=T727'玉,入2=2，

4K+14K+1

v2九23

貝+|0恒2=才+]_十+寫+]_才=2+不(菁+%2)2_2須%2]

_24k2m2-6m2+24k2+66m2(4k2-1)+6(4^2+1)

=十(4/+1)2=+(47+1)2，

當|OM『+|ON|2為定值時，即與「無關，故必2—1=0,得左=±±，

2

222m

止匕時|MN|=y/k+1^(%]+x2)-4XJX2=4y/k+1x*=下x^2-m

,Iml21ml

又點O到直線/的距離4=才十二卡，

所以S^MON=；XdxIMN1=1m\.,2-m2,,加+；加=1,

即加=±1時，等號成立,

經檢驗，此時△＞（）成立，所以AMON面積的最大值為1.

11

21.（18分）解：⑴曲線y=，加在點（%,牡））處的切線斜率為一，又加-=-1,

/e

所以曲線、=/我在點d,-l）處的切線方程為y+l=e（尤-3，

ee

令y=o,解得了=女2，所以±=23；

ee

（2）證明：y=/（x）在斗處的切線方程為（斗）=（（匕）（龍-馬）,

f（x）x2+4

令y=0,可得X用=七一今昔，即心-