專題01集合與常見邏輯用語

模塊導航

考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【考點1］并、交、補集的簡單運算

【考點2】根據元素與集合的關系求參數

【考點3］根據集合中元素個數求參數

【考點4】判斷兩個集合的包含關系

【考點5］根據集合的包含關系求參數

【考點6］根據集合的并、交、補集運算結果求參數

【考點7］集合新定義題

【考點8］充分性與必要性的判斷

【考點9］根據充分性與必要性求參數

【考點10］根據命題的真假求參數

G重點專攻-----------------------------------------

知識點1：元素與集合

1元素與集合的關系

(1)屬于(belongto)：如果。是集合A的元素，就說。屬于A,記作aeA.

(2)不屬于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就說Z?不屬于A,記作

特別說明：。表示一個元素，{。}表示一個集合.它們間的關系為：a^{a}.

2集合元素的三大特性

(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在

這個集合中就確定了，我們把這個性質稱為集合元素的確定性.

(2)互異性(考試?？继攸c，注意檢驗集合的互異性)：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說,

集合中的元素是不重復出現的，我們把這個性質稱為集合元素的互異性.

(3)無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質

稱為集合元素的無序性.

知識點2：子集

1子集：

一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合3中的元素，我們就說這兩個集合有

包含關系，稱集合A為集合3的子集

(1)記法與讀法：記作4口3(或讀作“A含于8”(或“3包含A”)

(2)性質:

①任何一個集合是它本身的子集，即

②對于集合A,B,C,若4口5,且則

(3)ve〃〃圖表示：

2集合與集合的關系與元素與集合關系的區別

符號“口”表示集合與集合之間的包含關系,而符號“e”表示元素與集合之間的從屬關系.

知識點3：真子集的含義

如果集合A口3,但存在元素尤c6,且尤仁4,我們稱集合A是集合5的真子集；

(1)記法與讀法：記作AUB,讀作“A真包含于B"(或“B真包含A")

(2)性質：

①任何一個集合都不是是它本身的真子集.

②對于集合A,B,C,若AU3,且3UC,則AUC

(3)〃圖表示：

知識點4：并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合3的元素組成的集合稱為集合A與集合3的并集，記作AU8(讀

作：A并3).記作：=

并集的性質：A\JB=B\JA,AcAUfi,B^A\JB,AUA=A,AJ0=A.

高頻性質：若

圖形語言

知識點5：交集

一般地，由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合即由集合A和集合B的相同元素組成的集合,

稱為集合A與集合3的交集，記作(讀作：A交3).記作：A^B={x\x^A^^B}.

交集的性質：A[}B=B^A,AABcA,A^B^B,AAA=A,AA0=0.

高頻性質：若4。3=323口4.

圖形語言

知識點6：全集與補集

全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用U表示，

全集包含所有要研究的這些集合.

補集：設。是全集，A是。的一個子集(即A=U),則由U中所有不屬于集合A的元素組成的集合，叫

做U中子集A的補集，記作CVA,即CuAnfMxeU為cA}.

補集的性質：A\JCVA^U,AnC0A=0,Cu(CuA)=A.

知識點7：充分條件、必要條件與充要條件的概念

⑴若pnq,則P是4的充分條件，4是P的必要條件；

(2)若。n。且44P,則P是4的充分不必要條件；

(3)若，4q且q=P,則P是4的必要不充分條件；

(4)若poq,則2是4的充要條件；

(5)若，44且44P,則P是4的既不充分也不必要條件.

知識點8：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

1全稱量詞命題及其否定(高頻考點)

①全稱量詞命題：對M中的任意一個x,有p(x)成立；數學語言：VxeM,p(x).

②全稱量詞命題的否定：*

2存在量詞命題及其否定(高頻考點)

①存在量詞命題：存在M中的元素x,有p(x)成立；數學語言：3x^M,p(x).

②存在量詞命題的否定：

?》提升專練

?題型歸納

【考點11并、交、補集的簡單運算

1.(2024?北京?高考真題)已知集合/="|-3<^<1},N={x|-lVx<4},則()

A.B.{尤|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{尤|無<4}

【答案】C

【知識點】并集的概念及運算

【分析】直接根據并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得MuN={x|—3<x<4}.

故選：C.

2.(2024?全國?高考真題(甲卷文))若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x\x+1^A\,則40臺=()

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據集合8的定義先算出具體含有的元素，然后根據交集的定義計算.

【詳解】依題意得，對于集合3中的元素x,滿足x+l=l,2,3,4,5,9,

貝！Jx可能的取值為0,1,2,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8},

于是Ac8={1,2,3,4}.

故選：C

3.(2024?全國?高考真題(甲卷理))已知集合4={1,2,3,4,5,9},3=卜|右€4},則a(Ac3)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算

【分析】由集合3的定義求出3,結合交集與補集運算即可求解.

【詳解】因為4={1,2,3,4,5,9},8=同?€",所以3={1,4,9」6,25,81},

則A「3={1,4,9},8.(AQB)={2,3,5)

故選:D

4.（2024?全國?高考真題（新課標I卷））已知集合4={削-5<三<5},3={-3,-1,0,2,3},則（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2）

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、由基函數的單調性解不等式

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因為A={x|-為<%<正},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈為<2,

從而4。3={-1,0}.

故選：A.

【考點2]根據元素與集合的關系求參數

1.（2024?廣東河源模擬預測）已知集合A={N尤>“},B={x\x2-ax-3>0},若leA且“'8,則a的

取值范圍是（）

A.[-2,1）B.（-2,1）C.[-2,+oo）D.（-8,1）

【答案】A

【知識點】根據元素與集合的關系求參數、解不含參數的一元一次不等式

【分析】由元素與集合的關系列出不等式組，解之即得.

【詳解】因為leA且所以[][][。，解得-2<”1.

故選：A.

2.（2024?北京?三模）已知集合4={他次<1},若。eA,貝！j?？赡苁牵ǎ?/p>

1

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【知識點】根據元素與集合的關系求參數、補集的概念及運算、由對數函數的單調性解不等式

【分析】解對數不等式化簡集合A,進而求出〃的取值集合即得.

【詳解】由Inx<l,得o<x<e,則A={x[0<x<e},\A={x|xW0或2e},

由aeA,得awaA,顯然選項ABC不滿足，D滿足.

故選：D

3.（多選）（202牛河南模擬預測）已知{。,6}={1,2,3},.力）€{（尤,刈、=*+1},則2）的值可以為（）

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據元素與集合的關系求參數

【分析】分別計算出4=1、4=2、4=3時的6的值，判斷此時是否滿足片{1,2,3},再計算2。”即可得解.

【詳解】當0=1時，由(a/)e{(尤,y)|y=x+l}得6=2,滿足亦{1,2,3},所以2""=2=2;

當4=2時，由(a,b)e{(x,y)|y=x+l}得b=3,滿足be{l,2,3},所以2",=28=256;

當a=3時，由(a/)w{(x,y)l丫=尤+1}得6=4,不滿足be{l,2,3}；

綜上，則2『=2或256.

故選：AC.

4.(2024?上海寶山?二模)已知集合4={2,|〃+1|,。+3},且leA,則實數。的值為.

【答案】0

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據給定條件，利用元素與集合的關系，結合集合元素的性質求解即得.

【詳解】由集合A={2,|a+l|,a+3},KleA,得|a+l|=1或a+3=l,解得a=0或a=—2,

當a=0時，A={2,1,3},符合題意，

當。=-2時，且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以實數。的值為0.

故答案為：0

【考點3]根據集合中元素個數求參數

1.(2024?全國?模擬預測)已知集合人={—5,—1,1,5},B={x\a<x<a+3\,若AcN中有2個元素，則實

數。的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(—2,2]D.[一5,—1)

【答案】A

【知識點】根據集合中元素的個數求參數、根據交集結果求集合或參數

【分析】根據兩集合的元素特征和中只有2個元素的要求，可得到關于。的不等式組，解之即得.

【詳解】因為2={彳,v%va+3}9a+3-a=3,

又A={-5,—中有2個元素，

1—5?av—1

所以中的2個元素只能是-1,1,則1解得-2<a<—l.

[\<a+3<5

故選：A.

2.(2024?陜西寶雞?一模)若集合4={尤/辰2-2x+l=0}中只有一個元素，則實數。=()

A.1B.0C.2D.0或1

【答案】D

【知識點】根據集合中元素的個數求參數

【分析】分類討論，確定方程有一解時滿足的條件求解.

【詳解】當。=0時，由*―2工+1=0可得尤=5,滿足題意；

當。力0時，由加-2x+l=0只有一個根需滿足A=（一2）2-4。=0,

解得a=l.

綜上，實數。的取值為?；?.

故選：D

3.（2024?全國?模擬預測）已知集合用={-2,-1,0,1},N={x|"3<x<l},若McN中有2個元素，則實

數。的取值范圍是.

【答案】［L2）

【知識點】根據集合中元素的個數求參數、根據交集結果求集合或參數、交集的概念及運算

【分析】根據交集的運算及集合中的元素的個數，列不等式求解即可.

【詳解】因為M={-2,-1,0,1},N={x}a-3<x<l},若McN中有2個元素，

所以A/CN={-1,0},所以-2Va-3<-l,解得lVa<2,

則實數a的取值范圍是［1,2）.

故答案為：［1,2）.

【考點4】判斷兩個集合的包含關系

1.（2024?寧夏?模擬預測）設集合M={x|x=4〃+l,〃eZ},N={x|x=3〃+l,"eZ},P={x|x=12〃+l,〃eZ},

則（）

A.MPB.NP

C.McN=PD.McN=0

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算、判斷兩個集合的包含關系

【分析】根據集合的交集運算與集合的包含關系判斷.

【詳解】由題意5eM,5eP,A錯；4cN,4eP,B錯；

M^\N={x\x=12n+l,neZ］^0,D錯，C正確.

故選：C.

2.（2024?江西?一模）已知集合A=3=C=j?|^Gzj,則（）

A.AcBCB.B|JC=AC.CAcBD.BcCAcB

【答案】A

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、交集的概念及運算、并集的概念及運算

【分析】根據題意，將集合A,民C用整倍數形式表示，分別求出Ac3和3cC,利用集合的元素特征即可

判斷A正確；C錯誤；D錯誤；對于B,只需要舉反例排除即可.

【詳解】依題意，A={n|n=3k,keZ],B={n\n=4k,keZ],C={”〃=6左，）eZ},

則ACB={T〃=12太上eZ},易知12的倍數一定是6的倍數，故A正確，C錯誤；

因BcC={"|”=12左左eZ},即BnC=AnB,故D錯誤；

對于B項，任取3eA,因3任氏3eC,則3eBuC,故B錯誤.

故選：A.

3.（2024?湖北?模擬預測）已知集合"=[x卜=]+；,"eZ，,N=[x%；wezj,則下列表述正確的

是（）

A.McN=0B.M|JN=RC.MJND.N三M

【答案】c

【知識點】判斷兩個集合的包含關系

【分析】集合M表示正奇數除以4,集合N表示整數除以4,據此可以判斷兩個集合的關系.

【詳解】"=卜卜=表示是的含義是正奇數除以4,

N={尤卜=（,wez1表示的含義是整數除以4,

所以M=

故選：C.

【考點5]根據集合的包含關系求參數

1.（2024?北京朝陽?模擬預測）已知集合。={1,2,3,4},若集合4、B滿足：A^B^U,則集合對（A,3）共

有（）個.

A.36B.48C.64D.81

【答案】D

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數、組合數的計算

[分析]利用子集的意義分類討論可求得集合對（AB）的個數.

【詳解】因為3=。，。={1,2,3,4},

當3=0時，又4屋3,故A=0,

當集合3中有一個元素時，又A=3,這樣的集合對有C；x21=8,

當集合2中有兩個元素時，又這樣的集合對有C：x2?=24,

當集合3中有三個元素時，又4=8,這樣的集合對有C：x23=32,

當集合B中有四個元素時，又A=這樣的集合對有C：x2"=16,

所以集合對（AB）共有16+32+24+8+1=81.

故選：D.

2.（2024?河南?模擬預測）已知集合4={疝<x<2},B={疝<尤<磯，若3=則實數〃的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-00,2]D.[2,+oo）

【答案】C

【知識點】根據集合的包含關系求參數

【分析】由集合的包含關系，對集合3是否是空集分類討論即可求解.

【詳解】集合4={疝<尤<2},3={疝<工<磯，若B=A,

則若aWl,則3=0aA滿足題意；

若a>l,且3=4,則l<aW2,

綜上所述，實數。的取值范圍是（―,2].

故選：C

3.（2024?江西新余?模擬預測）已知集合4=卜|尤2-6》+840},B=[y\y>a\,若A=3,則〃的取值范

圍是（）.

A.（-<?,2）B.（-<?,4）C.（-oo,2]D.

【答案】A

【知識點】根據集合的包含關系求參數、解不含參數的一元二次不等式

【分析】利用集合之間的包含關系求解即可.

[詳解]A={X|X2-6X+8<0}={X|2<X<4},B=[y\y>a],

A^B,故a<2.

故選：A.

4.（2024?河南?模擬預測）已知集合4={0,同},3=何必-3X-4V0},若則實數“的取值范圍

是（）

A.[—1,1]B.（—1,0）C.[—1,0]D.[—1,0）

【答案】D

【知識點】解不含參數的一元二次不等式、根據集合的包含關系求參數

【分析】先化簡集合A8及。的滿足的條件，再根據AQ8=A列出不等式組求解即可.

【詳解】由/-3工-4<0得-1

由A={a,|a|}知口中時，所以a<0,A=[a,-a}

又403=4,則A=

f—1Wa<4「口「、

所以解得，e[T』，故

故選：D.

【考點6]根據集合的并、交、補集運算結果求參數

1.(2024?陜西商洛?一模)已知集合4={4-2＜犬＜5},5={32。-1〈尤＜2a+6},若Ac2={x|3＜x＜5},

則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】根據交集結果求集合或參數

【分析】由Ac8={x|3＜元＜5},分析集合A3的端點值，知2a-1=3,求解即可

【詳解】由題意可得2a-1=3,解得a=2.

故選:B.

2.(2024?河南?模擬預測)已知集合”={鄧08式＞1)＜小}川={小2_10、+9±0},且”UN=R,則實

數加的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【知識點】根據并集結果求集合或參數、由對數函數的單調性解不等式

【分析】根據對數函數單調性以及一元二次不等式解法求得集合M，N,再由并集結果可得實數加的最小值.

【詳解】解不等式log?(x—1)可得BPM={^|l＜x＜2m+l),

解不等式尤2—10X+9N0可得N={x|x?9或xWl}；

當M|JN=R時可得2"+129,解得加23.

因此實數機的最小值為3.

故選:B

3.(202牛福建?模擬預測)設集合4={?。?},8=卜|尤2-(°+1)X+4＜()},若4口3=0,則。的取值范圍

為()

A.(-＜?,5]B.[5,+oo)C.(一*5)D.(5,+8)

【答案】A

【知識點】根據交集結果求集合或參數

【分析】先將％2一(〃+1)%+〃＜0因式分解，然后解不等式/一(a+1)%+〃＜。，禾!J用％2—(a+l)x+〃=0兩個

根的關系分類討論，求出，的取值范圍即可.

【詳解】由題可知，f-(〃+1)%+〃＜0=＞卜-4)(%-1)＜。

當a=l時，(％—〃)(X—1)＜0無解，得3=0,此時AC5=0；

當avl時，解＜0,得avxvl,此時3=(a,l),AC|B=0；

當時，解得lv尤va,此時5=(l,a),要使4門3=0,貝！JlvaW5；

綜上所述，a＜5.

故選：A

4.（2024?廣東韶關?一模）已知集合4={-2,0,2,。},3=同尤-1歸3},4門5=4,寫出滿足條件的整數。的

一個值________.

【答案】-M34中的任何一個值.

【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據交集結果求集合或參數、公式法解絕對值不等式

【分析】根據集合的包含關系，結合絕對值不等式的求解，即可求得

【詳解】因為An8=A,所以入口3,又因為B={x|x—lg3}={x|—24x44},

故整數a所有可能取值為-1,1,3,4.

故答案為：-LL3,4中的任何一個值.

5.（2024?安徽?模擬預測）已知A={x|lgx＜l},尸=卜k-1|”?},若（潁1）口涉），則機的取值范圍為.

【答案】（-8,1）

【知識點】補集的概念及運算、根據集合的包含關系求參數

【分析】由（鼬）=（R8）,可得3=4,然后分集合8=0和3H0進行分類討論.

【詳解】由題意知，4=（0,10）,

由（颯）口渡），可得814,

若相＜0,則5=0,符合題意.

當機20時，B=,要使

則＜1n，解得m＜1,因此04根＜1,

綜上，，"的取值范圍為（—0）,1）.

故答案為：（-00,1）.

【考點7］集合新定義題

1.（24-25高一上?上海楊浦?開學考試）已知集合A為非空數集，對于集合4,定義對A中任意兩個不同

元素相加得到一個絕對值，將這些絕對值重新組成一個新的集合，對于這一過程，我們定義為“自相加”，

重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合"，再次進行n-l次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合A

的“次自相加集合”，若集合A的任意左次自相加集合都不相等，則稱集合A為“完美自相加集合"，同理,

我們可以定義出"A的1次自相減集合"，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：

&+={x|x=\a+b\,a^b&,A~=^x|x=\a—l^,a,b&.

⑴已知有兩個集合，集合8={1,2,3,4},集合C=kk=2〃+l,〃eZ},判斷集合5和集合C是否是完美自

相加集合并說明理由；

⑵對（1）中的集合8進行11次自相加操作后，求：集合3的11次自相加集合的元素個數；

(3)若0<〃<2024且“eN,集合A={H〃<x<2024,xeN},A+nA-=0,求：〃的最小值.

【答案】(1)8是完美自相加集合，C不是完美自相加集合；

(2)2051

(3)675

【知識點】集合新定義

【分析】(D利用自相加的概念找到一般規律計算即可；

(2)連續的的正整數，自相加后，形成的新的集合元素必然是連續的正整數，且得到集合的最小值必然是

原來集合的兩個最小元素值之和，得到的最大值為原來集合的兩個最大元素值之和，所以只需要計算進行

十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，計算元素個數；

(3)由第二問的結論，我們很容易得至！|A+={x|2"+lWxW4047,xeN},={地<2024-N},然后

利用集合計算公式計算參數范圍即可.

【詳解】(DB是完美自相加集合,C不是完美自相加集合理由如下：

集合8={1,2,3,4}n3+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，

新的集合的元素中最小的元素為自相加之前的集合中的最小兩個元素之和，

所以顯然集合B={1,2,3,4}的最小兩個元素為1,2,所以2+的最小元素為1+2=3……

對集合B={1,2,3,4}進行任意次自相加操作后，最小值在變大，

故不可能有相等集合，所以3是完美自相加集合；

集合C={k\k=2〃+1,〃eZ}表示所以奇數構成的集合，任何兩個奇數相加都是偶數，

所以C+={碌=2〃,〃eZ},為所有偶數構成集合；

所以對C+={左％=2〃,〃eZ}再進行一次自相加操作，所有偶數相加還是會是所有偶數，

故后面集合不管進行多少次相加都是與C+={印=2",〃eZ}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性質可知，對于集合3={1,2,3,4},進行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原來集合的兩個最小元素值之和，

得到的最大值為原來集合的兩個最大元素值之和，且中間必然是連續的整數元素；

所以對集合B={1,2,3,4}進行一次自相加之后，

得到的集合最小兩個元素為3,4,最大的兩個元素為6,7；

進行第二次自相加，得到的集合最小兩個元素為7,8,最大的兩個元素為12,13；

進行第三次自相加，得到的集合最小兩個元素為15,16,最大的兩個元素為24,25；

進行第四次自相加，得到的集合最小兩個元素為3L32,最大的兩個元素為18,49；

進行第五次自相加，得到的集合最小兩個元素為63,64,最大的兩個元素為96,97；

進行第六次自相加,得到的集合最小兩個元素為127,128,最大的兩個元素為192,193；

進行第七次自相加,得到的集合最小兩個元素為255,256,最大的兩個元素為384,385；

進行第八次自相加，得到的集合最小兩個元素為511,512,最大的兩個元素為768,769；

進行第九次自相加，得到的集合最小兩個元素為1。23,1024,最大的兩個元素為1536,1537；

進行第十次自相加，得到的集合最小兩個元素為2047,2048,最大的兩個元素為3072,3073；

進行第十一次自相加，得到的集合最小兩個元素為4095,4096,最大的兩個元素為6144,6145；

因為集合元素都是連續的整數，

所以集合2進行11次自相加操作后的元素個數為6145-4095+1=2051；

（3）因為0<〃<2024且〃eN,集合A=｛Tn<x<2024,xeN｝,

所以A+=｛x|2n+l<x<4047,xGN｝,A'=<x<2024-n,xeN1,

要使A+cA-=0

貝!|2〃+l>2024-〃nw>—--,又因為weN

故〃的最小值為675.

【點睛】關鍵點點睛：此題為新概念題，只需理解概念，解決問題即可，不是特別理解的，可以多列舉一

些例子，可找到規律.

2.（2025?江蘇南通?一模）已知有限集/1=■%,…,4｝（心2,〃eN）,若％+%+.?.+%=/x/x...x%,則

稱A為"完全集".

⑴判斷集合｛-1,-^2,72-1,272+2）是否為“完全集”，并說明理由；

（2）若A為“完全集"，且A=N*,用列舉法表示集合A（不需要說明理由）；

（3）若集合｛〃,印為"完全集"，且。力均大于0,證明：〃）中至少有一個大于2.

【答案】⑴卜1,-血,血-1,2/+2｝是"完全集"，理由見解析；

（2）｛123｝；

⑶證明見解析；

【知識點】集合新定義

【分析】（1）由"完全集”的定義判斷即可；

（2）設4<%<??<4,得到…分類討論求解即可.

（3）由“完全集”的定義，結合集合的運算，以及一元二次方程的性質進行求解即可；

【詳解】（1）集合卜1,-3,&-1,2&+2卜由完全集的定義：

-1+（-A/2）+72-1+2A/2+2=2>/2,_1《忘卜（應_1卜（2忘+2）=20,

所以集合｛-1,-V2,72-1,272+2）為“完全集”.

(2)不妨設由于％%…=%+%+…+Q〃

所以％當〃=2時，即有q<2,又生為正整數，所以。1=1,

于是l+%=lx%,則〃2無解，即不存在滿足條件的〃完全集〃；

當〃=3時，％。2<3,故只能％=1,%=2,求得。3=3,

于是“完全集"A只有一個，為{1,2,3}；

當“24時，由21x2x…x(n-l),

即有n>lx2x---x(H-l),而=+4??-2=-(n-2)2+2<0,

X(M-1)(?-2)<1X2X---X(H-1),

因此“<lx2x…x(〃—1),故矛盾，

所以當“24時不存在“完全集"A,

綜上："完全集"A為{1,2,3}.

(3)證明：若a,b是兩個不同的正數，且包,"是完全集，

設a+，=G6=f>0,根據根和系數的關系知，。,6相當于％2-田+(=0的兩個根，

由△二產-今〉。，解得f>4或r<0(舍)，

所以a/>4,又因為。力都是正數，若。力都不大于2,a,Z?<4,矛盾，

所以。力中至少有一個大于2.

【點睛】方法點睛：新定義有關的問題的求解策略：

①通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理

解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的；

②遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，

逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.

3.(2024?安徽馬鞍山?三模汨知S是全體復數集C的一個非空子集,如果Vx,yeS,總有尤+y,x-yeS,

則稱s是數環.設廠是數環，如果①E內含有一個非零復數；②VxyeF且ywO,有］《尸，則稱尸是

數域.由定義知有理數集Q是數域.

⑴求元素個數最小的數環S;

(2)證明：記0(0)={。+技|a,6eQ},證明：0(道)是數域；

(3)若久,F2是數域，判斷EUB是否是數域，請說明理由.

【答案】⑴{0}

(2)證明見詳解

⑶片UE不一定是數域，證明見詳解

【知識點】集合新定義

【分析】(1)根據題意分析可知S中至少有一個元素aec,分。=。和a力0兩種情況，結合題意分析證明;

(2)根據題中數環和數域的定義分析證明；

(3)舉特例，取用=。(退)，&=。(應)，舉例數列即可.

【詳解】(D因為S為數環，可知S不是空集，即S中至少有一個元素aeC,

若。=0,貝()0+0=0-0=0x0=0eS,可知｛。｝為數環；

若則a-。=0,可知S中不止一個元素，不是元素個數最小的數環；

綜上所述：元素個數最小的數環為S=｛0卜

(2)設x=a+石"y=c+迅d,a,b,c,deQ,可知羽丁￡。(6),則有:

%+>=(a+y/3bj++?x/5'd)=(a+c)+y/3{b+d),

x-y=(a+y/3bj—+yf^d)=(a-c)+\/3(b-d),

=(4+百。)[+百")=(Qc+3Z?d)+V^(Qd+Z?c),

因為a,b,c,dGQ,貝J)a+c,6+dM-c,/?-dMc+Z?d,ad+bc￡Q,

可知x+y,x-y,”￡Q(6),所以。(⑹是數環；

若，+儲W0,可知ywO,滿足①；

(a+迅

若行0,則土=*￡=d)ac-3bd瓜be-ad

c1-3d2+c2-3d2

yc+yfid(c+6d)(c-百d)

E、r77cac-3bdbe-ad八

因為a,b,c,d￡Q,貝!)2.,2，2c72EQ，

c—3uc—3u

可知JeQ(?，滿足②；

綜上所述：。(班)是數域.

(3)不一定是數域，理由如下：

1.若￡=Q,g=R,顯然與乙均為數域，且月口8=1i是數域;

2.設x-a+V2Z?,y=c+版d,a,b,c,deQ,可知羽丁￡。(0),則有:

x+y=(a+0b)+(c+0d)=(a+c)+0(b+d),

二(a+后Z?)-(c+y/2d)=(a-c)+0(b_d),

%.y=(q+行")(c+后d)=(ac+2Z?d)+V^(Qd+Z?c),

因為a,〃,c,deQ,貝[)a+c,b+d,a—c,b—d,ac+bd,ad+bceQ,

可知x+y,x-y,x-y,所以。（3）是數環；

若。2+/工0,可知ywO,滿足①；

,,八ri*a+y/2b（"十&6）（。一應d）ac—2bdr-be—ad

若尸o,貝一一泊=）_代-r4=+V2,

yc+J2dye+yfld\\c—y[ld\c2-2dc2—2d

E、r77cac-2bdbe-ad八

因為a,"c,d￡Q,則2-72FcRQ，

c—2dc—2d

可知jeQ（應），滿足②；

綜上所述：。（夜）是數域.

例如：耳=Q（6），B=Q（3），例如l+?eQ（右）,l+&eQ（0）,

但1+6+1+夜=2+6+0*Ug,

所以KU鳥不是數域；

綜上所述：久。尸2不一定是數域.

【點睛】方法點睛：與集合的新定義有關的問題的求解策略：

1.通過給出一個新的集合的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在

閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目

的；

2.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”,

逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.

4.（2024?全國?模擬預測）已知有序數對X:｛%,與毛｝，有序數對丫：｛%，%，%｝，定義"。變換"：乂=歸-百，

%=昆-閔，％=|&-卻，可以將有序數對x轉化為有序數對y.

⑴對于有序數對X:｛3,4,5｝,不斷進行“。變換”，能得到有序數對｛0,0,0｝嗎？請說明理由.

（2）設有序數對X:｛&9,不｝經過一次"。變換”得到有序數對Y-.｛y,2,x｝（x＞y）,且有序數對K的三項之和為

2024,求上的值.

⑶在（2）的條件下，若有序數對y經過〃次"。變換”得到的有序數對的三項之和最小，求〃的最小值.

【答案】⑴不能，理由見解析

,505

（2）---

506

（3）505

【知識點】數與式中的歸納推理、集合新定義

【分析】（1）根據題意，結合"。變換"，逐次計算，得出規律，即可求解；

（2）由。變換得到芯＞%＞尤3或尤3＞馬＞玉，分類討論，求得x，y的值，即可求解；

（3）有序數對y:{y,2,y+2},將有序數對y經過6次“。變換”得到有序數對也是形如{y,2,y+2}的有序數

對，得出有序數對結構”完全相同，但最大項減小12,進而得出變換的規律，即可求解.

【詳解】（1）解:對于有序數對X:{3,4,5},

不斷進行變換"：乂=|菁-即，y2T用-闖，%=匕-力，

得到的有序數對分別為{LL2},{0,1,1},{1,0,1},{1,1,0},{0,1,1},……

以下重復出現，所以不能得到有序數對{0,0,0}.

（2）解：由。變換知：y=忱一%2=|%2—x^,%=匕一百

因為有序數對丫的三項之和為2024,&x>y9所以x+y=2022,x>10U>y9

所以|七一%|21011引石一百，故k-石|最大,即%>%2>九3或%3>%2>%，

y=xx-x2

當王>々>兀3時，可得｛2=工2-工3,

X=Xx-X3

由x+y+2=2024,得2（%[—七）=2024,即%=1012,

1010505

所以y=1010,2==

X1012506

y=x2-xx

當％3>%2>時，可得｛2=%-々，

X=X3-Xx

由x+y+2=2024,得2（思—％）=2024,即％=1012,

505

所以y=1010,故2=啞

X1012-506

y_505

綜上可得,1-506

（3）解：有序數對『{y,2,y+2},將有序數對y經過6次“。變換”得到的有序數對分別為

{y—2,y,2},{2,y-2,y-4},{y-4,2,y—6},{y—6,y—8,2},{2,y—10,y-8},{j-12,2,y-10},

由此可見，經過6次“。變換”后得到的有序數對也是形如{%2,y+2}的有序數對，

與有序數對結構”完全相同，但最大項減小12,

因為1010=12x84+2,

所以將有序數對丫經過6x84=504次"O變換"后得到的有序數對為（2,2,4},

經過"。變換”后得到的有序數對分別為（0,2,2},{2,0,2},{后2,0},{0,2,2},{2,0,2},

從以上分析可知，以后數對循環出現，所以有序數對各項之和不會更小，

所以當〃2505時，經過〃次"Q變換"得到的有序數對的三項之和均最小為4.

所以”的最小值為505.

【點睛】方法點睛：對于的新定義有關的問題的求解策略：

1、通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理

解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；

2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，

逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.

【考點81充分性與必要性的判斷

1.（2024?山東威海?一模）已知命題p:工>1,命題qHxwR,”/+2ax+lV0,則P成立是F成立的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、分式不等式、根據全稱或特稱命題的真假判斷復合命題的真假

【分析】先化簡命題）：0<?<1,0<a<l,再利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：由L>1,得解得0<°<1；

a

由q:Hr￡R,ax2+2ax+1<0,得/:Vx￡R,ax2+lax+1>0,

當a=0時，l>0成立；

當〃>0時，A=4（22-4tz<0,解得0<a<l,綜上0Va<L

所以P成立是F成立的充分不必要條件，

故選：A

2.（2024?浙江臺州?一模）已知集合4={小2+2%<3},8=同2'+無<3},則“尤eA"是"xe3"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由指數函數的單調性解不等式

【分析】求得集合A8,可得結論.

【詳解】由d+2無<3,可得一3〈尤<1,所以A={H-3<x<l},

因為/（x）=2*+x在R上單調遞增,又/（1）=3,

由2'+x<3,可得x<l,所以B={x|尤<1},所以Aug,

所以“尤eA"是"xe3"的充分不必要條件.

故選：A.

3.（2024?河南?模擬預測）若。>0力>0,則使a+6W4成立的一個充分不必要條件為（）

A.—1--1B.——I->4C.cr+b~<8D.—\-—>A

ababab

【答案】C

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、由基本不等式證明不等關系

【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均錯誤，再利用基本不等式計算可得C正確.

【詳解】對于A,易知當。=4力=4時滿足但此時a+6W4不成立，可知A錯誤；

ab

h2『

對于B,當。=4,6=4,可知竺+幺24成立，但a+6＜4不成立，可知B錯誤；

ab

對于C,由/+/48可得（"+與屋02+/＜8,即可得a+bV4,即充分性成立；

2

當〃=3/=1時，滿足〃+匕44,但此時/+〃工8不成立，即必要性不成立，可得C正確；

對于D,當。=4,0=1時，易知2+/N4成立，此時。+人44不成立，可得D錯誤.

ab

故選：C

【考點9]根據充分性與必要性求參數

1.（2024?湖北黃岡?一模）已知集合4=31082工＜叫,8=卜|￡|51,若"xeA"是"xeB”的充分不必

要條件，則實數，〃的取值范圍是.

【答案】（—＞,2]

【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據充分不必要條件求參數、分式不等式、由對數函數的單調性

解不等式

【分析】根據“xeA"是“xeB”的充分不必要條件，明確集合A,B的關系，列不等式求解實數機的取值范

圍.

【詳解】由log?尤＜根=0＜尤＜2’”.所以4=（。,2'"）；

由34]==_]苦0=尤_2_彳+4《0=＞_^_《0=＞彳＜4.所以5=（_力,4）.

x-4x-4x-4x-4

因為"xeA"是"xe3”的充分不必要條件，所以4屋8且Aw&

所以2'"＜4=＜2.

故答案為：（口,2]

2.（2024?山西?模擬預測）已知集合4={%||2%-5區3},B|%2-4mx+（2m+l）（2m-1）＜o}.

（1）若0：xeA,q:xeB,且P是4的必要不充分條件，求加的取值范圍；

'3'

【答案】⑴9

【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據交集結果求集合或參數、根據必要不充分條件求參數、根據

二次函數的最值或值域求參數

【分析】（D先根據絕對值不等式得出集合4再根據集合間關系得出不等式組計算即可；

【詳解】(1)由題意知A={刈21-5區3}=口,4],

解不等式工之一4樞x+(2根+1)(2加一1)4。，解得2機一機+1,所以8=[2加-1,2機+1],

因為。是〃的必要不充分條件，所以3是A的真子集，

所以。且等號不同時成立，

[2m+l<4,

解得14加〈;，即加的取值范圍是1,--

3.(2024?四川遂寧?模擬預測)已知集合4={9+16<2。+1},函數>=1%位-3》-10)的定義域為3.

(1)若集合\B=C,求集合C；

⑵在(1)條件下，若。=3,求AUC；

⑶在(1)條件下，若"尤eA"是"xeC”充分不必要條件，求實數。的取值范圍.

【答案】(1){%|-2<%<5}

(2){%|-2<%<7}

⑶(-00,2]

【知識點】根據集合的包含關系求參數、補集的概念及運算、根據充分不必要條件求參數、求對數型復合

函數的定義域

【分析】(1)由對數函數的性質，得到/一3犬-10>0,求得集合8={Tx<-2或x>5},結合補集的運算，

即可求解；

(2)當a=3時，求得A={x|4WxW7},利用并集的運算，即可求解；

(3)根據題意，轉化為A是C的