函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。從近幾年的高考情況來看，在大題中考查內(nèi)容主要有主要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性、極值與最值、不等式及函數(shù)零點(diǎn)等內(nèi)容。此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。

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題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

題型四：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立

題型五：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)

題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題

題型九：隱零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用

題型十：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

蘢變＞大題典例

(2024?河南鄭州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)='+辦-⑷+l)ln尤在x=l處的切線方程為

J=/7X+—(6Z,Z?GR).

(1)求〃，b的值;

（2）證明：/'（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

龍A舞;去揖號(hào).

1、求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

⑴確定函數(shù)“X）的定義域；

（2）求/'（X）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式/解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

3、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：

（1）導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無意義）；

（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；

（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。

蘢麓》變式訓(xùn)練

1.（2024?安徽六安?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/'（%）=丁+依-6（aeR）.

（1）若函數(shù)的圖象在x=2處的切線與無軸平行，求函數(shù)的圖象在尤=-3處的切線方程;

（2）討論函數(shù)“X）的單調(diào)性.

2.（2024?遼寧?校聯(lián)考一模）已知/（x）=sin2x+2cosx.

（1）求/⑺在x=0處的切線方程；

（2）求了（X）的單調(diào)遞減區(qū)間.

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

龍麓》大題典例

(2024?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考開學(xué)考試)已知直線y=近與函數(shù)/(x)=疝官-f+x的圖象相切.

(1)求左的值；

(2)求函數(shù)〃x)的極大值.

龍A舞;去揖號(hào).

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟

(1)求導(dǎo)數(shù),‘(》)；

(2)求方程/'(處=0的所有實(shí)數(shù)根；

(3)觀察在每個(gè)根比附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)/'(%)的符號(hào)如何變化.

①如果/'(X)的符號(hào)由正變負(fù)，則/'(%)是極大值；②如果由負(fù)變正，則/'(/)是極小值；③如果在

/'(%)=0的根x=x0的左右側(cè)/'(%)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn).

根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：

①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.

蘢變》變式訓(xùn)練

1.(2024?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ax-'-(a+l)lnx(aeR).

(1)當(dāng)a=-L時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.(2022?河南.高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e，-^,其中常數(shù)aeR.

（1）若/（X）在（。,+8）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

（2）若a=4,設(shè)800=/（工）+5-/-芯+1,求證：函數(shù)g（x）在（一1,+8）上有兩個(gè)極值點(diǎn).

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

（2024.江蘇泰州.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃彳）=/+63,彳€氏

（1）若函數(shù)在點(diǎn)（1,/。））處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若。=T,求函數(shù)〃尤）在區(qū)間［T4］上的最大值.

龍籠》舞；去揖目.

函數(shù)/■（＞）在區(qū)間［。力］上連續(xù)，在（。/）內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)/'（X）最值的步驟為：

（1）求函數(shù)在區(qū)間（。力）上的極值；

（2）將函數(shù)/（%）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/（a）,73）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)

是最小值；

（3）實(shí)際問題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè)，這便是“最值”點(diǎn)。

龍塞》至其訓(xùn)級(jí)

1.（2024?安徽黃山?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)〃尤）=92一4依+/11?在彳=1處取值得極大值.

（1）求。的值；

（2）求“X）在區(qū)間Je上的最大值.

2.（2024.陜西西安?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=e，-]x3一弓一2ax.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/。）在點(diǎn)（i"（D）處的切線方程；

（2）若y=f（x）的最小值為1,求a.

題型四：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立

蘢變＞大題典例

（2024?湖北荊州高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)一辦+J

（1）當(dāng)“=1時(shí)，求曲線”X）在點(diǎn)（L〃l））處的切線方程；

（2）當(dāng)x2O時(shí)，若”恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

龍A期希指導(dǎo).

對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

蔻麓》變式訓(xùn)練

1.（2023?寧夏銀川?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=爐-a（lnx+l）.

（1）討論〃尤）的單調(diào)性；

（2）若存在xe[l,e],使得弋之+。42,求實(shí)數(shù)。的最大值.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=e"l+依（aeR）.

（D討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)g（x）=ln（e，-l）-lnx,且〃g（x））＜〃x）在（0,+動(dòng)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型五：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)

蘢麓》大題典例

（2024?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)/（無）=依+彳+21n（l-x）,曲線y=〃x）在處的切

線方程為y=21n2-3.

（1）求6的值;

（2）求2（x）的單調(diào)區(qū)間,并證明“X）在（-8,0）上沒有零點(diǎn).

龍A期希指導(dǎo).

導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、

參數(shù)的分類討論等），需要對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)

和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是

必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。

龍塞》變式訓(xùn)練

1.（2024?湖北襄陽?高三棗陽一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（無）=兄皿-*2,其導(dǎo)函數(shù)為尸（x）.

（1）求/（x）單調(diào)性;

(2)求g(x)=/'(x)+cosx零點(diǎn)個(gè)數(shù).

x2

2.(2022?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e171r-Inx.

⑴若%=1,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-(〃Ll)lnx有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

龍龍》大題典例

(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2xlnx-x+2.

(1)求函數(shù)的極值；

(2)求證：(x-1)”力一［＞0.

龍龍》舞芽指導(dǎo).

利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

蘢變》至式訓(xùn)您

1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（x）=xlnx.

（1）求曲線y=/（x）在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：/（x）＜x2+x.

2.（2024?山東濟(jì)寧?高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù)/（尤）=爐山工+（4-1）尤2,aeR.

（1）討論了（尤）的單調(diào)性；

（2）已知g（尤）=e*-2x,當(dāng)。=1時(shí)，證明：g（x）＞f（x）.

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

龍麓》大題典例

（2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（彳）=/+/-%（1成+。-1）,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）函數(shù)g（尤）=#,求g（x）的最小值。（。）;

a2a1

（2）若石,%（玉＜%）為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x2-xl＜~~~.

a-2

蘢龍》解芽揖導(dǎo).

雙變量不等式的處理策略：

含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式,

具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.

蘢變》要堂臨

1.（2024廣東?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=lnx+a（x-l）（x-2）,其中。為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(九)的單調(diào)區(qū)間；

SQ

(2)當(dāng)/(九)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)芯,馬時(shí)，證明：/(^)+/(^)>-+ln—.

2916

2.(2023?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習(xí))設(shè)〃，b為函數(shù)了(力="爐-加(m<0)的兩個(gè)零點(diǎn).

(1)若當(dāng)x<0時(shí)，不等式/e'>L恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

X

(2)證明：ea+efc<l.

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題

龍麓》大題典例

'

(2024?浙江紹興?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=x-lnx+Je.

x

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若方程/(無)=。有兩個(gè)解工,三,求證：<1.

蘢龍》舞黃揖導(dǎo).

1、和型尤1+%<2。(或無I+X2>2。)問題的基本步驟：

①首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-求導(dǎo)，確定函數(shù)y=〃x)和函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性;

②確定兩個(gè)零點(diǎn)七<。<%，且/a)=/(X2)，由函數(shù)值g(西)與g(a)的大小關(guān)系，

得g(%)=〃xj-)"(%)-〃2。-玉)與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間(。,+欠)上的單調(diào)性得到々與物-玉的大小，從而證明相應(yīng)問題；

2、積型為々<。(/(為)=〃％))問題的基本步驟：

①求導(dǎo)確定了（尤）的單調(diào)性，得到不，三的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸（X）=/（x）-fQ,求導(dǎo)可得外力恒正或恒負(fù)；

③得到了㈤與尸]的大小關(guān)系后，將/■&）置換為“馬）;

④根據(jù)演與:的范圍，結(jié)合了（無）的單調(diào)性，可得演與/的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

蘢麓》變式訓(xùn)練

1.（2024海南?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（%）=/+<2%-尤1比的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）.

（1）若a=—l,求曲線y=f（尤）在點(diǎn)處的切線方程.

（2）若尸（%）存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉,三，

（i）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（ii）證明：西+巧>1.

2.（2024?江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)g（無）=l-21nx-5（a>0）,且g（x）的極值點(diǎn)為最.

⑴求不;

2

（2）證明：2g（x）+2<-

0a;

11

（3）若函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)看,馬,證明：—+—>^g{x0）+2,

X]x2

題型九：隱零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用

龍麓》大題典例

（2024.廣西南寧.南寧三中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)〃%）=11]%-砂+々道（尤）=（%-1戶一"-依+1（々￡1<）.

（1）若〃元）40,求。的值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：§（%）＞/（%）.

龍麓》屬芽指導(dǎo).

隱零點(diǎn)的處理思路：

第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)

間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替

換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

蔻龍》變式訓(xùn)練

1.（2024山東?高三實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)〃%）=（座2_*+1）b.

（1）當(dāng)心0時(shí),求八%）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)8（X）=6，+〃不卜，-2恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2.（2024?廣東?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=j2x-a.

（1）若曲線y=〃x）在點(diǎn)（。,〃明處的切線過點(diǎn)（4,2）,求。的值;

（2）若/（司4恁1恒成立，求a的取值范圍.

題型十：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題

（2024?云南昆明?昆明一中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)"x）=alnx+lr.

(1)若〃x)WO,求實(shí)數(shù)。的值;

In2ln3ln4

(2)證明：當(dāng)"N2(〃eN*)時(shí)-------X--------X--------

(3)證明:—H----1-----F—<InnneN*,n>2).

龍塞》避黃指號(hào)

導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量,

通過多次求和(常常用到裂項(xiàng)相消法求和)達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常

由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.

蘢變》變式訓(xùn)練

1.(2024山西.高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(尤)=lnx-"6二D.

(1)若當(dāng)xe(L+<?)時(shí)，/(尤)>0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)求證：In2+In—+In—H----bln-^——>1------------

7172n2-12n+l

2.(2024?四川德陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))/(x)=cosx+/nx2-l(XGR).

(1)當(dāng)加時(shí)，證明：〃x)20；

⑵證明：tanl2taJStan1

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莪變》模擬一

1.（2024?山東4聊城?,高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/'（x）=2x—2（a+2）4+alnx（aeR）.

（1）當(dāng)a=。時(shí)，求曲線〃x）在（L〃l））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

2.（2024.江蘇滁州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）="-elog.x-e,其中。＞1.

（1）若。=6,證明/（X）＞0;

（2）討論Ax）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.（2022?河南?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=xe*.

（1）求曲線＞=/（尤）在（0"（。））處的切線方程；

（2）若函數(shù)g（x）=/（x）-e工在x=0處取到極小值，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.（2024?重慶?高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知/（x）=e*+sinx,g（x）=aln（x+l）-l.

（1）若/（x）在（0J（0））處的切線也與g（無）的圖象相切，求。的值；

（2）若/（尤）+g（尤）20在尤e（-l,+oo）恒成立，求。的取值集合.

x1

5.（2024?浙江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/（x）=Jp-Inx-Lg/O）.

（1）a=e時(shí)，求曲線y=〃x）在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程;

（2）證明：f（x）至多只有一個(gè)零點(diǎn).

6.（2023?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=Mx-l）e'+x,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

左￡R

（1）若/（X）為R上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

（2）討論“X）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

7.（2024.甘肅平?jīng)?校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=xlnx.

（1）判斷的單調(diào)性；

（2）設(shè)方程-2x+l=0的兩個(gè)根分別為占,三，求證：+x2>2e.

8.（2023?廣東深圳?高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=（9+2依+2/卜1

（1）若a=0,求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為不和9（玉<々），求/（尤,[2（/）的最小值.

2

9.（2024?山東煙臺(tái)高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=ln（x+l）-氏

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

111/*\

（2）求證：——+——++—<ln2（neN）.

〃+1〃+22n'）

10.(2024?寧夏石嘴山?高三平羅中學(xué)校考期末)設(shè)函數(shù)/(x)=x-aln(l+x).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明：WneN*,1+：+:++->ln(n+l).

23n

蘢如勉真題.

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)“x)=B+aJln(l+x).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程.

(2)若函數(shù)在(0,+動(dòng)單調(diào)遞增，求”的取值范圍.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃x)="-半，尤丁0,父.

cosxv2J

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/(尤)的單調(diào)性;

(2)若/(x)+sinr<0,求。的取值范圍.

3.(2。23?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函Qin數(shù)Y人〔(。日IT?

(1)當(dāng)a=8時(shí)，討論/(無)的單調(diào)性；

(2)若/(尤)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

4.(2023?全