第三節等比數列

課標解讀考向預測

預計2025年高考會從以下兩個角度來考查：

1.理解等比數列的概念.(1)等比數列及其前〃項和的基本運算與性質，

2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.可能與等差數列綜合出題，難度較小；(2)等

3.了解等比數列與指數函數的關系.比數列的綜合應用，可能與函數、方程、不

等式結合考查，難度中檔.

必備知識——強基礎

知識梳理

1.等比數列的概念

(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于畫同一個常數,那么

這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然#0).

數學語言表達式：衛=畫式w22,q為非零常數).

〃〃一1

(2)等比中項：如果在。與6中間插入一個數G,使a,G,6成等比數列，那么G叫做a與b

的等比中項.此時32=畫磴.

提醒:⑴“G2=a)”是“a,G,6成等比數列”的必要不充分條件.

(2)只有當兩個數同號時，這兩個數才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數.

(3)等比數列的奇數項符號相同，偶數項符號相同.

2.等比數列的通項公式及前n項和公式

(1)若等比數列｛a.｝的首項為可，公比是分則其通項公式為斯=畫力仁1；

nm

通項公式的推廣：an=amq~.

(2)等比數列的前n項和公式：當q=l時，Sn=nai；當申時，S“=畫也［：):.

3.等比數列的性質

已知｛斯｝是等比數列，S,是數列｛斯｝的前〃項和.

(1)若女+/=m+〃(左，I,m,n€N*),則有內回=叵同生皿.

(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即公，ak+m,詼+2如…仍是等比數列，公比為

（3）當行一1,或q=—1且〃為奇數時，S?,S2?-Sn,S3,,—S2“，…仍成等比數歹U,其公比為畫

常用

1.若數列｛斯｝,｛勿｝（項數相同）是等比數列，貝IJ數列｛w｝（分0）,｛%|｝,｛屆｝,［十，｛。,瓦｝,

（到也是等比數列.

2.由斯+i=qa”，q半0,并不能立即斷言｛斯｝為等比數列，還要驗證內加.

3.在運用等比數列的前"項和公式時，必須注意對q=l與分類討論，防止因忽略4=1

這一特殊情形而導致解題失誤.

4.三個數成等比數列，通常設為*尤，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為千，?

xq,xq5.

5.若已知等比數列｛④｝,公比為q,前九項和為S"則二^-=言/+為=勿〃

-W0,^1）,即S”為關于〃的指數型函數，且q"的系數與常數項互為相反數.

6.｛斯｝為等比數列，若am…則T”，景,要，…成等比數列.

7.若｛詼｝為正項等比數列，貝U｛logca"｝（c>0,存1）為等差數列.

8.若｛斯｝為等差數列,則｛ca〃｝（c>0,存1）為等比數列.

9.若｛斯｝既是等差數列又是等比數列=｛詼｝是非零常數列.

10.（1）項的個數的“奇偶”性質，在等比數列｛④｝中，公比為/

①若共有2”項，貝!IS假：S奇=q；

②若共有2n+1項，則%包=%

3偶

n

（2）分段求和：Sn+m=Sn~\~qnSm=q=&—一為公比）.

11.等比數列的單調性

當4>1,句>0或5<0時,｛%｝是遞增數列；

當q>l,m<0或0<q<l,的>0時，｛“”｝是遞減數列；

當4=1時，｛詼｝是常數列.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打W"，錯誤的打“X”)

(1)三個數mb,C成等比數列的充要條件是反=℃.()

(2)數列｛斯｝為等比數列，則S4,S8-S4,S12—S8成等比數列.()

⑶滿足*1=M(，7€N*,4為常數)的數列｛為｝為等比數列.()

(4)如果數列｛詼｝為等比數列，則數列｛In斯｝是等差數列.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)已知各項均為正數的等比數列｛詼｝的前4項和為15,且的=3。3+46，則侑=()

A.16B.8

C.4D.2

答案C

fai+ai<7+tzi<72+<7i<73=15>

解析設各項均為正數的等比數列｛斯｝的公比為小貝乂42,解得

團1=1，

1一2所以。3=。可2=4.故選C.

(2)若等比數列｛跖｝的前”項和S〃=3"+b,則6=()

A.3B.1

C.-1D.0

答案C

解析當”=1時，m=Si=3+6,當兒22時，斯=5”一5"—1=(3"+6)-(3『1+3=2351,當

6=—1時,。1=2適合a”=2?3"-i,｛斯｝是等比數列.當厚一1時，的不適合詼=2?3"-1,｛an｝

不是等比數列.故選C.

(3)(人教A選擇性必修第二冊4.3.1練習T2改編)在等比數列｛詼｝中，的=2,s=8,則°5=()

A.5B.±5

C.4D.+4

答案C

解析,底=°3。7=2義8=16,，。5=±4.又。5=a3q2>。，，。5=4.故選C.

(4)(人教A選擇性必修第二冊432練習T4改編)已知三個數成等比數列，若它們的和等于13,

積等于27,則這三個數為.

答案1,3,9或9,3,1

。+北的=13，卜=3，g=3，

解析設這三個數為Sa,aq,貝、解得＜1或＜，這三個數為1,

qIa”q=a〔4=3，

\jzqaq=27，［乜3

3,9或9,3,1.

考點探究——提素養

考點一等比數列基本量的運算

例1(1)(2023?全國甲卷)設等比數列｛斯｝的各項均為正數，前w項和為S“，若?=1,$5=

5加一4,則$4=()

15「65

AA-TB.g

C.15D.40

答案C

解析由題意知l+q+q2+g3+g4=5(]+q+g2)—%gp^3_|_^4—即以g—2)(q+l)(q

+2)=0.由題意知4>0,所以q=2,所以$4=1+2+4+8=15.故選C.

39

(2)在等比數列｛斯｝中，a3=2>$3=]，則。2的值為()

3

A.2B.—3

C.—D.—3或方

答案D

解析由S3=ai+〃2+〃3=〃3(9-2+9一1+1),得/2+g-1+1=3,即2/一夕―i=0,解得夕=

1或4=一所以42='=1或一3.故選D.

【通性通法】

等比數列基本量運算的解題策略

等比數列的基本量為首項at和公比q,通常利用已知條件及通項公式或前n項和

方程思想

公式列方程(組)求解，等比數列中包含⑶，q,n,an,S“五個量，可“知三求二”

當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用的，q表示，尋求兩者間的聯系，

整體思想

整體代換即可求解

分類討論若題目中公比q未知，則運用等比數列前〃項和公式時要分q=l和qWl兩種情

思想況進行討論

【鞏固遷移】

1.（2024?福建泉州中學階段考試）記S”為等比數列｛斯｝的前"項和，若4一的=12,期一國=

24,貝嚕=（）

A.2"~1B.2-21-"

C.2一2"一1D.2廣"一1

答案B

j。5-。3=。均4一，ftZl=1，

解析解法一：設等比數列｛“〃｝的公比為q,則由彳_53_?解得彳_c所

-。4—aiq-ct\Q_24，[q—2，

以S"="1?[4）=2"T,詼=刃/-1=2"-1,所以==W3=2—21".故選B.

解法二：設等比數列｛斯｝的公比為q,因為"衛二。4了；-4號=2,所以q=2,所

1

。5一。3。3（夕1）〃3121

（1—始）

i—q2〃一]L〃,,、生「

以一n-\—o鹿-1—2—2.故選B.

anaiq2

2.（2023?全國甲卷）記&為等比數列｛斯｝的前〃項和.若8s6=7S3,則｛〃〃｝的公比為.

答案一:

解析若q=l,則由8s6=7S3得8-6的=7?3的，則。1=0,不符合題意，所以存1.當好1時，

因為856=75，所以8?一匚二一=7--=—,即8（1一統）=7（1—“3）,即8（1+?3）（1一

爐）=7（1—?3）,即8（l+q3）=7,解得q=一/

考點二等比數列的性質及其應用（多考向探究）

考向1等比數列項的性質

例2⑴在各項都為正數的等比數列｛詼｝中，已知0＜勾＜1,其前〃項之積為T.,且『2=外，

則G取得最小值時，〃的值是.

答案9

解析由712=7^,得關^=1'即07。8。9。10。11。12=（。9。10）3=1,故°9。10=1，因為°1。18=。9410,

貝I]01018=1，由于得。18＞1，所以等比數列｛詼｝是遞增數列，故貝I。

取得最小值時，77=9.

12

（2）（2023?湖南師大附中模擬）在等比數列｛斯｝中，+。2+〃3+。4+。5+。6+。7+〃8=5，〃4〃5

2l,1,111I1,11111

=一三，則nt—|+—+—+—+—+—+—+-=?

5。2。3〃4。5〃6〃7。8-------------------

答案一6

j。1+恁+〃2+〃7+。3+〃6+〃4+〃5

解析x???在等比數列｛斯｝

a\3ais。4。5"6。7〃8〃1〃8a2a7a3a6〃4〃5

22.,5

中，。4。5=一亍貝U。1。8=。2。7=。3。6=。4〃5=—亍???原式=—](〃1+。2+〃3+〃4+。5+。6+〃7

+〃8)=_|x*-6.

【通性通法】

利用項的性質的解題策略

在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若

策略一

m+n=p+q=2k,貝4Pq=〃針，可以減少運算量，提高解題速度

在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此

策略二

外，解題時注意設而不求思想的運用

【鞏固遷移】

3.公比不為1的等比數列｛念｝滿足〃5〃6+。4〃7=8,若〃2am=4,則根的值為（）

A.8B.9

C.10D.11

答案B

解析?公比不為1的等比數列｛斯｝滿足。5〃6+〃4〃7=8,，恁恁=團劭二%又“2。加=4,.二？

+加=5+6=11,解得機=9.故選B.

4.（2023?北京東城區模擬）設等比數列｛斯｝滿足〃I+〃2=48,04+05=6,則公比q=,

10g2（〃l〃2〃3…斯）的最大值為?

答案115

解析因為。1+。2=48,所以由〃4+。5=6,可得夕3（的+〃2）=6,^3=g,9=3.由。1+。2=48,

1mn_1__

6n546n

可得。1+于1=48=〃1=32,所以an=32-\^J=2~flog2（?i6Z2?3...an）=log2（2-2-...-2~）=

2n(11—n)e“(11—九)1，11Y,121*.

Iog22=-------2-------，因為-----2-------=—，"一句+~^~，及€N,所以〃=5或6時,

n（11一九）

?有最大值，為

215.

考向2等比數列前n項和的性質

例3（1）（2023?新課標II卷）記S〃為等比數列｛詼｝的前〃項和，若&=—5,S6=21S2，則&

=()

A.120B.85

C.-85D.-120

答案C

解析解法一：設等比數列｛斯｝的公比為q,若發=L則S6=6〃I=3X2〃I=3S2,與題意不符，

tf(1一/)a\(1一成)a\(1一/)…

所以療1；由&=-5,§6=2]§2可何，\=—5,=21x"①，

由①可得，1+如+/=21,解得“2=4,所以&=-；1;.=幻；4)x(l+/)=_5x(l

+16)=-85.故選C.

解法二：設等比數列｛。〃｝的公比為夕，因為S4=—5,S6=21S2，所以行一1,否則S4=0,從

而S2,S4-S2,S6-S4,S8—S6成等比數列,所以(一5—S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2

=不當512=-1時，S2,S，—Sz,5r6-$4,&—$6,即為一L—4,—16,Ss+21,易知戰+21

=-64,即S8=—85；當$2=1時，54=。1+。2+。3+。4=(。1+〃2)(1+/)=(1+/)S2>0,與S4

=-5矛盾，舍去.故選C.

(2)已知等比數列｛斯｝共有2〃項，其和為一240,且奇數項的和比偶數項的和大80,則公比4

答案2

S奇+5偶=—240,S奇=—80,—160

解析由題意，得，解得，S『T6。，所以打工=-80=2-

S奇一S偶=80,

【通性通法】

等比數列的性質分類

類型一通項公式的變形

類型二等比中項的變形

類型三前n項和公式的變形

提醒：應用時根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

【鞏固遷移】

5.等比數列｛%｝的前〃項和為S”若—1,貝卜=()

A.2B.-2

C.1D.-1

答案A

解析設等比數列的公比為q,當q=l時，S.=nai，不符合題意；當仍4時，等比數列的前

w項和公式為?_"〃）=_，?/+—,依題意義=八2『1—1=%2—1,即1+（一

]—q1—q1~q22

1）=0,解得f=2.故選A.

6.（2024?湖南岳陽一中月考）已知正項等比數列｛斯｝的前n項和為Sn,且S8-2S4=5,則o

+aio+au+ai2的最小值為.

答案20

解析在正項等比數列｛斯｝中，S?>0,因為S8—254=5,則S8—S4=5+S4，易知叉，S「SA,

S12—S8是等比數列，所以（&—S4）2=S4,（Si2—Sg）,所以Sn~S^=q=5^+84+

10》2\S+10=20（當且僅當S4=5時取等號）.因為〃9+010+111+〃12=S12—S8，所以。9

+〃io+〃ii+〃i2的最小值為20.

考向3等比數列前〃項和最值問題

例4（多選）（2024.河北涿州模擬）設等比數列｛斯｝的公比為9，其前〃項和為％,前〃項積為

CLKY）^1

T,并滿足條件〃2023〃2024>1，、7<。，下列結論正確的是（）

n“2024—1

A.S2023Vs2024

B.〃2023〃2025—1<0

C.“024是數列｛4｝中的最大項

D.數列｛〃｝無最大項

答案AB

。20231

解析當“<0時，”2023。2024=。布234<。，與已知矛盾；當時，。2023>1，。2024>1，7

02024-1

>0,與已知矛盾，故且。2023>1，0<。2024<1，故52024>$2023，A正確；。2023a2025

—1=血24—1<0,B正確；辦23是數列｛%｝中的最大項，C,D錯誤.故選AB.

【通性通法】

涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.

【鞏固遷移】

7.（2023?安徽安慶模擬）已知等比數列｛。“｝的公比為q,前“項和為S",若q>0,則須薨的

最小值是.

答案2、”一1

有刀工即*4S1+S3〃i+〃i+〃2+〃32+q+q2(q+1)2—(q+l)+2

解析由題意知，——=-----T------==------Tzd--------=q+l+

02十。21~rql-rq1

臺一1,又q>0,則〃+1+皆^—1N2限一1，當且僅當〃=也一1時，等號成立.即笠3

的最小值是2吸一1.

考點三等比數列的判定與證明

例5%為等比數列｛斯｝的前〃項和，己知。4=9“2，$3=13,且公比g>0.

⑴求斯及當；

(2)是否存在常數九使得數歹U｛S.+2｝是等比數列？若存在，求出入的值；若不存在，請說明

理由.

解⑴易知行1,

a\qi—9a\q’

0(1—cP)—1'

由題意可得〈I)=13,解得.

l—q[q=3，

q>0'

.1-3"3”—1

?"a—3",S—~.T-=5-

nni—Jz

⑵假設存在常數加使得數列｛S〃+4｝是等比數列，

N+丸=2+1,82+4=4+4,83+4=2+13,

.,.(A+4)2=G+1)(A+13),

解得力=/此時5〃+3=m<3〃，

5?+I+||x3"+1

則——r=-j—=3,

S"+\2x3"

故存在常數使得數歹?S"+3是以方為首項，3為公比的等比數列.

【通性通法】

等比數列的判定與證明的方法

提醒：(1)在解答題中證明一個數列為等比數列時，一般用定義法與等比中項法，判斷一個數

列是等比數列，有通項公式法及前”項和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定.

(2)如果要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續的三項不成等比數列即可.

(3)判斷一個數列是等比數列時，要注意各項不為0.

⑷在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對w=l的情形進行驗證.

【鞏固遷移】

8.(2024?江西撫州一中質檢)已知數列｛%｝,｛6“｝滿足m=1,2an+i=an+^bn，2bn+i

(1)證明：數歹!J｛a.+d｝,｛詼一瓦｝為等比數列；

(2)記S”為數列｛斯｝的前"項和，證明：

2。〃+1dn+~^bn'①

證明(1)依題意

2bn+l^an+bn，②

3

又fli+Z?i=2^0,

???｛斯+詞是首項為家3公比為抽3等比數列,

①一②，得斯+1—d+1="(。〃一篇).

又。1一兒=&：0,

???｛斯一瓦｝是首項為士，公比為〃的等比數列.

,3<3￥-1

w=X

(2)由⑴得，an~\~^2\4j'

1/ly-1

—一為=]X⑷,④

基礎鞏固續

一、單項選擇題

1.已知等比數列｛詼｝中，。5=9,。3。8=知。2,則。2〃6=（）

A.27B.9

C.±9D.±27

答案A

解析因為數列｛斯｝為等比數列，所以。3。8=〃2。9=81〃2，可得。9=81,因為45=9,所以

〃59

/=9,/=3,〃3=/=1=3,所以〃2。6=〃3。5=27.故選A.

2.（2023?天津高考）已知｛斯｝為等比數列，8〃為數列｛詼｝的前〃項和，即+i=2S〃+2,則。4的

值為（）

A.3B.18

C.54D.152

答案C

解析解法一：因為an+i—2Sn~\~2,所以當幾22時，斯=2S〃—1+2,兩式相減，得斯+i—an

=2斯，即斯+1=3斯，所以數列｛斯｝是公比4=^^=3的等比數列.當幾=1時，〃2=2SI+2

=2（2I+2,又〃2=3的，所以3〃i=2ai+2,解得〃1=2,所以〃4="I/=2X33=54.故選C.

解法二：設等比數列｛詼｝的公比為q,因為a〃+i=2S“+2,所以公比曲,且牛"=2勾

1q

「_24i

a\=2，

+2=一言“'+言+2,所以i—q

20「所以所以Q4=〃iq3=2x33=54.故選

q=3，

1一g一

3.（2024?開封模擬）等比數列｛如｝的前幾項和為S〃=32E+r,貝Ur的值為（）

A-3B--3

C.gD.一g

答案B

解析因為工=32〃一1+r=gx9〃+r,由等比數列前〃項和公式中9〃的系數與常數項互為相反

數，可知r=—g.

4.已知數列｛〃〃｝是等比數歹ll，為其前n項和，若〃1+〃2+。3=4,。4+〃5+。6=8,則S12=()

A.40B.60

C.32D.50

答案B

解析數列S3,Se~S3fSg—SejS12—S9是等比數列，即4,8,S9—S6JS12—S9是等比數歹I，

??.SI2=4+8+16+32=60.故選B.

5.(2023?廣東汕頭模擬)數列｛〃〃｝中，QI=2,am+n=aman,若四+1+。左+2+…+四+io=2*—2§,

貝IJ%=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析。1=2,。加+〃=斯四/，令機=1,則即+i=〃i斯=2斯，???｛“〃｝是以。1=2為首項，q=2為

2Al(1—210)

公比的等比數列，???4〃=2x2Li=2〃.又以+1+隊+2+…+〃葉10=215—25,?,?--------..........=

1—2

215-25,即2時1(210—1)=25(21°—1),???2K1=25,.??2+1=5,?,?攵=4.故選C.

2

6.(2024?蘇北四市模擬)已知函數啟)=百百，且等比數列｛斯｝滿足。2〃2023=1，則尬1)+加2)

+…+/(〃2024)=()

A.2024B.1012

C.2D.2

答案A

2,2A21

解析]+/+12+]=2'又〃2。2023=1，所以^2023—則/(〃2)+/(。2023)=/(〃2)

+a2a2023=…=m012〃1013=L所以fiai)+黃。2)+…

+黃。2024)=1012'[/(。2)+黃。2023)]=2x1012=2024.故選A.

7.(2024.重慶八中階段考試)記日為等比數列｛斯｝的前〃項和,已知ai=8,?4=-L則數列

6｝()

A.有最大項，有最小項

B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項

D.無最大項，無最小項

答案A

解析根據題意，等比數列｛斯｝中，01=8,<24=-1,則爐=得=一則4=—；，則Sn=

的（1—q"）.若n為奇數，則S"=竽

此時有

l-q3

2

Si>S3>...>S?>-y；若〃為偶數，則S,=號。一出，此時有S2<S4<…<S〃〈竽，所以數列｛S,｝有

最大項N，最小項$2.故選A.

8.(2023?河南鄭州高三第二次質量預測)己知正項數列｛斯｝的前n項和為Sn,且的=2,Sn+v(Sn

+1—3")=S〃⑸+3"),貝"2023=()

A.32°23—1B.32023+1

答案

解析因為S"+1(S"+1—3")=S,(S"+3"),所以的+1-3"S"+I=S4+3"S”即511一的=3"&+i+

3科,所以(S〃+i+S〃)(S〃+i—S〃)=3"(S〃+i+S")，因為數列｛如｝的各項都是正項，即S〃+i+S,>0,

所以S"+i—S"=3",即%+1=3",所以當時，誓=磊=3,所以數列｛斯｝從第2項起,

a(]_。2022)

構成以〃2=3為首項，q=3為公比的等比數列，所以S2023="I+\—2+

二、多項選擇題

9.(2023?茂名一模)已知等比數列｛念｝的前n項和為S”,公比為私則下列說法中正確的是()

A.若q>l,則。〃+i>〃〃

3

B.若“1=1,4=不則S〃=4一3斯

C.右*〃4+。7=2,〃5。6=8,則。1+〃10=7

D.若〃i=l,〃5=4。3，則斯=2"一i

答案BC

解析對于A,若的<0且4>1,則斯1<0,???斯+i—斯=斯(4-1)<0,即飆+1<斯，A錯

A3Y13

I—⑺I一承“

誤；對于B,?〃i=i,—4—3anjB正確；對于C,

由Cl5a6=Cl4cl7得〃4〃7=-8,又〃4+〃7=2,??。4=4,〃7=-2或〃4=-2,47=4,??《

q3=-2.當q3=一；時，〃i+〃io="+〃4q6=」y+4x|

—7；當下=-2時，ai+aio=~3

q

~2

+〃4成==^+(—2)x(—2)2=—7,C正確；對于D,=。5=4。3，.??q4=4/,得q=一

2或9=2,???〃〃=(—2)〃.或許=2〃-ID錯誤.故選BC.

10.(2024?江蘇蘇州期中)已知等比數列｛〃“｝的公比為4，前愉6N*)項和為與,前〃5WN*)

項積為若。1==,T5=T6,貝！J()

A.q—2

B.當〃=6時，取得最大值

C.當且僅當〃=6時，7；取得最小值

D.S?>Tn的正整數n的最大值為12

答案AD

解析對于A,因為八=，,，所以期=1=1，因為45=案=32,解得q=2,故A正確；對

于B,因為4>0,q>\,所以數列｛即｝是各項為正的遞增數列，所以S,無最大值，故B錯誤；

對于C,因為。1=*，ci6=l，q=2,所以1W〃W5時，0<斯<1,時，所以當”=

,(1一。")2"—1

5或〃=6時，7〃取得最小值，故C錯誤；對于D,S“=-a-~~--=—^，G=aQ?俏…斯

1—q2

鹿5-1)八2-11〃八2-11八八2-11丁+10

=由陵+2+…+"-1=(2一5)".22=22,因為s.>G，所以2^1>22,即2"-1>22,

“~F??/—lbi+10“、」3—"J12913+V129,,,

所以2”—2>1,即n>2‘所以----2-----<n<------2-----，正整數n的取大值

為12,故D正確.故選AD.

三、填空題

11.設S"為等比數列｛念｝的前〃項和，若“1=3，曷=〃6，則$5=.

處安3

口本3

5

1（1—5）gx（1—3）

解析由質=〃6得（。4）2=〃?5,整理得9=2=3.所以S5=61_；=一二一二

12.（2023?全國乙卷）已知｛斯｝為等比數列，〃2。4。5=〃3〃6，。9。10=—8,則〃7=

答案一2

解析設｛念｝的公比為9（療0），則。2〃4。5=。3。6=。29。5/顯然斯加，則。4=才，即。爐=/,

則a.\q=1,因為。9的0=-8,則ci\cf-aiq^——8,則q'=（q5）3=—8=（-2）',則爐=—2,則

。7=。口口5=^=—2.

13.（2024?江西南昌二中階段考試）設｛詼｝是公比為q的等比數列，同＞1,令＞=。”+1（"=1,

2,...）,若數列｛勿｝有連續四項在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，則的=.

答案一9

解析｛仇｝有連續四項在集合｛-53,-23,19,37,82｝中,bn=an+l,則斯1,｛斯｝

有連續四項在集合｛-54,—24,18,36,81｝中.又｛出｝是等比數列，等比數列中有負數項,

則q＜0,且負數項為相隔兩項，等比數列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值由小到大的順

—244463—54

序排列上述數值為18,—24,36,-54,81,相鄰兩項相除，得==一個F=—5,

loJ—24230

38］332

=一/,二^=一］，顯然一24,36,—54,81是｛念｝中連續的四項，鄉=一］或鄉=一］（|切＞1,

3

，此種情況應舍去），，9=—2，.?.6q=-9.

14.（2023?湖南益陽一模）已知數列｛〃〃｝中，0=1,即+1=。一；，若bn=~三，則數列｛兒｝

乙ClnClnL

的前n項和Sn=.

.4"+6"—1

答案—-9一

c111Un2111/7—2

解析由。“+1=5—7，有斯+1—5=2一7=2一-—,即+1—2=5—；7=7?七一.將上述兩式相

乙乙Cln乙盤〃乙Cln

c—2］

除得到血吟=；.吟，所以'an是以］為公比，*=—2為首項的等比數列，所以

_L4_L斯-04

〃八一22平—12n14n—12n

_3X

r=一斯一2一2?平一］'