專題03函數基本性質綜合應用

模塊導航

考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內容標注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【考點11求函數單調區間

【考點2］根據函數單調性求參數

【考點3］根據函數奇偶性求解析式或參數

【考點4】函數奇偶性的應用

【考點5】單調性+奇偶性識別圖象

【考點6］單調性+奇偶性解不等式

【考點7】函數不等式恒成立問題

【考點8］分段函數綜合問題

【考點9］單調性+奇偶性+周期性+對稱性

【考點10］抽象函數問題

O＞重點專攻-----------------------------------------

O＞難點強化------------------------------------------

知識點1:函數的單調性

1、增函數與減函數

1.1增函數

一般地,設函數/（X）的定義域為/,區間。0/,如果V%,%e。，當石＜當時，都有/（石）＜/（/），

那么就稱函數/（x）在區間。上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）

特別地，當函數/（X）在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數（increasingfunction）.

1.2減函數

一般地,設函數/（%）的定義域為/，區間/,如果\/石,々e。，當石＜x2時，都有/（石）〉/（x2）,

那么就稱函數/（x）在區間。上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）

特別地，當函數/（%）在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數（decreasingfunction）.

2、函數的單調性與單調區間

如果函數y=/（x）在區間。上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y=/（x）在這一區間具有（嚴格的）

單調性，區間。叫做y=/（X）的單調區間.

知識點2：函數單調性的判斷與證明

1、定義法：一般用于證明，設函數/（%）,證明的單調區間為。

①取值：任取玉，x2&D,且％＜工2；

②作差：計算/（為）—/（%）；

③變形：對/（西）-/（々）進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要

需討論參數；

④定號：通過變形，判斷了（石）一/（々）＞0或（/（石）一/（9）＜0）,如有必要需討論參數；

⑤下結論：指出函數y=/（x）在給定區間。上的單調性

2、圖象法

一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.

3、性質法

(1)函數y=/(x)在給定區間D上的單調性與y=-/U)在給定區間。上的單調性相反;

(2)函數y=/(%)在給定區間。上的單調性與y=/(%)+c的單調性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定義區間。，有如下結論；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/O)-g(x)

增/增/增/不確定

增/減、不確定增/

減,減、減\!不確定

減'增/不確定減\

知識點3：函數的最大(小)值

1、最大值：對于函數y=/(x),其定義域為/,如果存在實數M滿足:

①X/xe/,都有

②現e/,使得/(x())=M

那么稱M是函數y=/(x)的最大值；

2、最小值：對于函數y=/(x),其定義域為/,如果存在實數m滿足：

①X/xe/,都有

②叫e/,使得/(%)=加

那么稱加是函數y=/(X)的最小值；

知識點4：復合函數的單調性(同增異減)

一般地，對于復合函數y=/(g(x)),單調性如下表示，簡記為“定義域優先，同增異減”，即內層

函數與外層函數單調性相同時，復合函數為增函數；內層函數與外層函數單調性不同時，復合函數為減函

數：

y=/(g(x))：令：t=g(x)和y=/?)

t=g(x)y=/Q)y=/(g(x))

增增增

增減減

減增減

減減增

知識點5：函數的奇偶性

1、定義：

1.1偶函數：一般地，設函數〃龍)的定義域為/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=〃x),那么函

數/(%)就叫做偶函數.

L2奇函數：一般地，設函數“X)的定義域為/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(%),那么

函數/(九)就叫做奇函數.

2、函數奇偶性的判斷

2.1定義法：

(1)先求函數/(%)的定義域/,判斷定義域是否關于原點對稱.

(2)求/(f),根據/(-x)與/(%)的關系，判斷了。)的奇偶性：

①若/D+/⑺=0o/(-x)=-/(x)o/(%)是奇函數

②若/(—%)-/(x)=00/(-x)=/(x)o/(%)是偶函數

/(-%)+/(%)=0^

③若o/(x)既是奇函數又是偶函數

J(-X)=于(x)

/(-%)w-/(%)

④若/、O/(%)既不是奇函數也不是偶函數

2.2圖象法：

(1)先求函數了。)的定義域/,判斷定義域是否關于原點對稱.

(2)若/(x)的圖象關于V軸對稱0/(%)是偶函數

(3)若/(x)的圖象關于原點對稱0/(%)是奇函數

2.3性質法：

/(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結論：

/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數

偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數奇函數

奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數奇函數

奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數

知識點6：對稱性

1、軸對稱：

設函數/(%)的定義域為/,且x=a是/(%)的對稱軸，則有：

0/(?+%)=/(a-x)；

②/(%)=/(2。7)

@f(-x)=f(2a+x)

2、點對稱

設函數/(尤)的定義域為/,且(。,0)是/(%)的對稱中心，則有：

①/(a+x)=—f(a—x)；

②/(%)=-/(2。-%)

③/(f)=-/(2a+x)

3、拓展：

①若/"(a+x)=/3—x),則/(%)關于x=對稱；

②若/'(a+力=—/S—x),則/(x)關于(等,0)對稱；

3提升專練--------------------------------

?題型歸納

【考點11求函數單調區間

1.(2024?海南海口?模擬預測)函數/5)=爐-4|》|+3的單調遞減區間是()

A.(—8,—2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(一2,2)D.(―2,0)和(2,+8)

2.(2024高一?全國?專題練習)函數y=k/+4x+5|的單調遞增區間是

3.（2024?吉林長春?一模）函數"x）=ln（x2-3x-4）的單調增區間為.

【考點2]根據函數單調性求參數

1.（23-24高一上?福建三明?期中）函數外幻=32--以在區間（2,4）上單調遞減,則實數”的取值范圍是（）

A.（-<?,8]B.（-oo,8）C.[16,-+<o）D.（16,+oo）

2.（2024?黑龍江大慶?模擬預測）函數/（力=。-）在（2,3）上單調遞減，則f的取值范圍是（）

A.[6,+00）B.（-oo,6]

C.（-<?,4]D.[4,+oo）

3.（2024?湖北?二模）已知函數"x）=log5（a'-2）在[1,y）上單調遞增，貝！U的取值范圍是（）

A.（1,+<?）B.[in2,+oo）C.（2,+co）D.[2,+oo）

4.（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知〃x）,g（x）是定義域為R的函數，且“X）是奇函數，g（x）是偶函數，

滿足/（x）+g（x）=^+x+2,若對任意的1<不<%<2,都有）：）：：（*）>一成立,則實數”的取值范圍

是.

【考點3]根據函數奇偶性求解析式或參數

1.（2024?寧夏吳忠?一模）已知函數〃x）=（x-a）2+ln（e'+l）是偶函數，貝（]。=（）

11

A-4B-2C'0D，1

2.（2024?陜西寶雞?三模）已知函數/（外:方口+^^為偶函數，則。=（）

3.（2024?黑龍江?模擬預測）已知函數;'（X）是定義在R上的奇函數，當x<0時，f（x）=x-co少+1,則當

X..0時，/（x）=.

【考點4】函數奇偶性的應用

1.（2024?海南?模擬預測）已知函數y=4（x）+2是R上的偶函數，若〃-3）=2,則/'（3）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024?廣東惠州?模擬預測）已知Ax）在R上的奇函數，當x>0時，/（x）=--2x-l,則/（A-1））=（）

A.2B.-2C.1D.-1

3.（24-25高三上?陜西咸陽?開學考試）已知函數/⑺=：+cosx?In卜+A/177）在區間[-5,5]的最大值是

M,最小值是山，則/（河+祖）的值等于

【考點5］奇偶性識別圖象

】?（2。24?新疆模擬預測）函數〃，）="+苦的部分圖象大致為（）

2.（2024?海南?模擬預測）函數/（"=sinInW的部分圖象大致為（）

3.（2024?四川?一模）函數〃x）=：cosm（e=ef）,x?T,4）的圖象大致為（）

【考點6］單調性+奇偶性解不等式

1.（2024?四川資陽?二模）若定義在R上的偶函數“X）在［0,+e）上單調遞增，則不等式

/（2%+1）-〃％-1）＞一3/-6了的解集為（）

A.(一。,一2)U(0,+8)B.(-8,-l)U(0,+8)

C.(-2,0)D.(-1,0)

2.(2024?山西?三模)設函數/。)=1Y2閉-婷，則不等式/。―2)N/(2x+2)的解集為()

A.M,0]B.[-4,0)C.[-4,-l)u(-l,0]D.[-4,-1)u(-1,0)

3.(2024?陜西?一模)已知定義在R上的函數/(x),滿足(藥-9)[〃%)-"%)]<0，且以x)+/(t)=0.若

/(1)=-1,則滿足區1的x的取值范圍是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

4.(2024?湖北武漢?二模)已知函數”司=1。82(4，+2田+1)-x,若/(2a—l)</(。+3),則實數”的取值

范圍為.

[考點7]函數不等式恒成立問題

1.(2025?黑龍江齊齊哈爾?一模)VxeR,用M(x)表示/(%),g(x)中的較小者,記為M{x)=min"(x),g(x)},

設函數/(x)=e-i+x-2,g(x)=-x2+(a-l)x-。，若VxeR,A/(x)W0,則a的取值范圍為()

A.(—8,3+20]B.(-oo,6]

C.[3-20,3+20]D.[3-20,+oo)

2.(2024?河北?三模)對X/xeR,都有/(x)=f-4/+Q九+5)龍？_(2〃?+4卜+旭+420恒成立，那么，"的

取值范圍是.

Q

3.(2024?山西?模擬預測)已知函數/'(x)是定義在R上的偶函數，當無20時，/5)=h3-3-，，且=

⑴求。的值，并求出f(x)的解析式；

(2)若2/(x)-9X--14Vo在xe(0,+co)上恒成立，求；I的取值范圍.

1_V

4.(2025?江蘇南通?一模)已知函數〃元)=log?一.

1+X

⑴判斷并證明“X)的奇偶性；

(2)若對任意xe-1,1,Ze[-2,2],不等式/(x)N/+R-6恒成立，求實數a的取值范圍.

【考點8】分段函數綜合問題

Y—1<Y<1

1.(2024?四川德陽?一模)函數〃x)='單調遞增，且〃2加+則實數機的取值

3--〃z,尤21

范圍為()

A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)

2.(2025?四川巴中?模擬預測)設函數〃尤)=["+2：2°若/(片-則實數。的取值范

[—x(x—4),x<0、7

圍是()

A.(—°°,—1)(2,+oo)B.(―oo,—2)U(L+00)

C.(-oo,-l)u(3,+oo)D.(-00,-3)U(l，+8)

[(a—l)x+5,xG(—co.2)

3.(2024?山東?一模)已知。>0且awl,若函數/(%)=：、”在(-*+8)上具有單調性，

[a,xe[2,+oo)

則實數〃的取值范圍是.

司X+2|1ZA

4.(2024?吉林?模擬預測)已知函數.f(x)=一"，/(〃-3))=0,貝!!實數”的值為.

^ln(x2+ar+3),x>0、7-----

【考點9]單調性+奇偶性+周期性+對稱性

1.(2024?廣東河源?模擬預測)已知定義在R上的函數滿足〃x+1)為奇函數，且y=/(2x)的圖象關

50

于直線x=i對稱，若則￡/?)=()

i=l

A.-1B.0C.1D.2

2.(2024?河北?模擬預測)已知函數〃x)的定義域為R,且〃2x+l)為奇函數，〃2x+4)=〃2x),則一

定正確的是()

A.“X)的周期為2B.圖象關于直線尤=1對稱

C./(x+1)為偶函數D./(x+3)為奇函數

3.(2024?遼寧本溪?一模)設函數“X)定義域為R,〃龍-1)為奇函數，/(尤+1)為偶函數，當xe(-U]時，

則下列結論錯誤的是()

A.d=￡B./(x+7)為奇函數

C.“X)在(6,8)上是減函數D.方程〃x)+lgx=0僅有6個實數解

4.(多選)(2024?四川瀘州?一模)已知函數/(尤)的定義域為R,若

/(l+x)+/(3-^)=2,/(^)-/(2-x)=4-4x,貝(J()

A./(O)=4B./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=8

C./(x)+/(x+2)=8-4%D.f(2024)=^M)43

【考點10]抽象函數問題

I.(2024?甘肅慶陽?一模)已知函數“X)的定義域為R,/(〃x+y))=f(尤)+/(y),/(1)=1,則下列結

論錯誤的是()

A./(0)=0B.〃尤)是奇函數

C.7(2024)=2024D./⑺的圖象關于點[,o]對稱

2.(多選)(2024?四川德陽?一模)定義在R上的函數“X)滿足〃x)+〃y)=d寧)[=

則下列結論正確的有()

A.40)=2B.“X)為奇函數

C.6是的一個周期D.￡/2-=4052

k=0I/

3.(多選)(2024?湖南衡陽?一模)Vx,yeR,非常數函數都有/(x+y)+/(x)f(y)=/(肛+1),則

下列結論正確的是()

A./(o)=-lB.若f(2)wl,f(x)是偶函數

C.若/(2)=/(-2)=1,則"2左+1)=0化eZ)D.了⑵的值不可能是3

4.(多選)(2024?全國?模擬預測)已知定義域為R的函數/(x),對任意x,yeR,都有

f(2x)+f(2y)-/(x+y)f(x-y),且“2)=2,則()

A."0)=0B.〃x)為偶函數

C./(尤+1)為奇函數D.〃x+4)=/(x)

?過關檢測

一、單選題

x2-2ox-l,x<l

1.(2024?廣東韶關?一模)已知函數〃力=2〃在R上是單調函數，則[的取值范圍是()

——6x,x>l

A.(-co,2]B.[1,2]C.(l,+oo)D.[2,+oo)

2.(23?24高一上,山東濱州?期中)函數/(X)=三的圖象大致是()

x+1

3.(2024?陜西?一模)已知定義在R上的函數滿足〃x+3)=-/⑺，且f(—l)=2,貝!］〃2024)=()

A.-4B.-2C.4D.2

4.(2024?廣東惠州?模擬預測)函數/(尤)=尸-"+5,若有/(*=2,則/(2-〃?)=()

A.8B.5C.0D.4

5.(2024?新疆?二模)若函數/(x)=絲?的圖象關于點(1,2)對稱，則。=()

x-1

A.-2B.-1C.1D.2

6.(2024?西藏?模擬預測)若函數=則下列函數中為奇函數的是()

A./(x+1)—2B.f(x—1)—2C.1)+2D.f(x+1)+2

7.(2024海南?模擬預測)若函數〃尤)=111』+2工的圖象關于點(6,4)對稱，且"1,則-6=()

x+a

A.-7B.-5C.-3D.-1

8.(2024?四川南充?一模淀義在R上的函數/(x)的圖象關于點［,J對稱,且滿足/(x)=1/(5x),/(0)=0,

當04%</<1時，都有〃百)4〃9),則［七卜()

1111

A.B.-----C.—D.—

2561286432

9.(2024?河南?模擬預測)已知是定義在R上的偶函數，VxeR,/(4-x)=/(x),當xw［-2,0］時，

/(X)=X2+4X,貝！)/(2023)+“2024)+/(2025)=()

A.-2B.0C.-6D.-4

10.(2025?安徽?一模)定義在R上的函數〃x)滿足f(2x+2)+〃2x)=0,且y=〃2-x)為偶函數，則下

列說法正確的是()

A.函數/⑺的周期為2

B.函數的圖象關于x=l對稱

C.函數“X)為偶函數

D.函數“X)的圖象關于x=3對稱

二、多選題

11.(2024?吉林長春?模擬預測)設a>0,定義在R上的函數/(X)滿足“。)=1,且

V%,yeR,/(x+y)=/(x)/(a-y)+f(y)f(a-x),貝!!()

A."0)=0B./(2?-x)=/(x)

C./'(X)為偶函數D./(2025a)=1

12.(2024?山東?模擬預測)已知定義在(-8,0)U(0，+?0上的函數f(x),滿足/(盯)+2=f(x)+/(y),且當

彳>1時，〃尤)>2,則()

A./(-D=lB.為偶函數

C./(2024)>/(2023)D.若〃x+2)<2,則x的取值范圍為一3<x<—l

13.(2025?吉林長春?一模)定義在(-U)的函數滿足=/｛尸］,且當-1。<。時，

/(x)<0,則()

A.〃彳)是奇函數B.在(-L1)上單調遞增

，?佃+/"出>UL出

14.(2024?浙江?模擬預測)已知函數/'(x+1)為偶函數，對VxeR,/(%)>0,且/(x+1)=/(x)/(x+2),

若/'(1)=2,則以下結論正確的為()

A."2)=0B.43)=1C./(-1)=/(5)D.

三、填空題

15.(2024?河南周口?模擬預測)已知函數y=/(x+2)是定義在R上的偶函數，且“X)在(2,+8)上單調遞

增，/(3)=0,則/?<0的解集為.(用區間表示)

X

16.(2024?天津河西?模擬預測)已知函數/(尤),g(無)的定義域均為R,且