第01講平面向量的概念

模塊導航素養目標

模塊一思維導圖串知識1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結合物理中的力、位

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別

模塊三核心考點舉一反三與聯系；

模塊四小試牛刀過關測2.認真閱讀課本，在讀書過程中學會用有向線段、字母

表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別；

3.在認真學習的基礎上，理解零向量、單位向量、平行

向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識

圖形中這些相關的概念.學會向量的表示方法；

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1向量的概念

（1）向量

在數學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我們所學的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.

②向量與向量之間不能比較大小.

（2）數量

只有大小沒有方向的量稱為數量，如年齡、身高、長度、面積體積、質量等

（3）向量與數量的區別

①向量與數量的區別：向量有方向,而數量沒有方向；數量與數量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能

比較大小

②向量與矢量:數學中的向量是從物理中的矢量（如位移、力、加速度、速度等）中抽象出來的，但在這里我

們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時具備大小和方向這兩個屬性,還具有其他屬性（如“力”

就是由大小方向、作用點所決定的）.

知識點2（1）有向線段

具有方向的線段叫做有向線段

①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點指向終點.以A為起點、3為終點的有向線段

記作A8（如圖所示），線段A3的長度也叫做有向線段的長度，記作表示有向線段時,起點一定要寫

在終點的前面,上面標上箭頭.

終點）

4（起點）

②有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向、長度，它的終點就唯一確定了.

（2）向量的表示

①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.

②字母表示：向量可以用字母°,…表示

（3）向量的模

向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作|].

（4）兩種特殊的向量

零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作0.

單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量

①若用有向線段表示零向量,則其終點與起點重合.

②要注意0與0的區別與聯系:0是一個實數，0是一個向量,且有101;書寫時0表示零向量,一定不能漏掉

0上的箭頭.

③單位向量有無數個,它們大小相等，但方向不一定相同.

④在平面內,將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點,則它們的終點構成一個半徑為1的圓.

知識點3相等向量與共線向量

（1）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量4與b平行,記作ab.規定:零向量與任意向量平行,即對

于任意向量a,都有0a.

（2）相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a與。相等,記作a=b-兩個向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因為向量完全由它的方向

和模確定,故任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.

（3）共線向量

任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.

共線向量所在直線平行或重合,如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.

?＞模塊三核心考點舉一反三

考點一：向量的有關概念

1.（23-24高一下?新疆烏魯木齊?階段練習）給出下列物理量:

①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度;⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【答案】D

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量的定義可得正確的選項.

【詳解】速度、位移、力、加速度既有大小,又有方向，故它們為向量,

余下皆不為向量,

故選：D.

【變式1-1］（23-24高一下?黑龍江綏化?階段練習）關于平面向量，下列說法正確的是（）

A,向量可以比較大小B.向量的模可以比較大小

C.速度是向量，位移是數量D.零向量是沒有方向的

【答案】B

【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、向量的模

【分析】根據向量的相關概念直接判斷即可.

【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數量，可以比較大小，A錯誤，B正確；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；

零向量方向任意，D錯誤.

故選:B

【變式1-2］（多選）（24-25高一下?全國?課后作業）（多選）下列說法正確的是（）

A.加速度是向量B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.零向量的方向是任意的D.向量就是有向線段

【答案】AC

【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量

【分析】根據向量的有關定義即可判斷選項正誤.

【詳解】A.由向量的定義知，加速度是向量，故正確；

B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，方向不一定相同，所以它們的終點不一定相同，故錯誤；

C.由零向量的定義知，零向量的方向是任意的，故正確；

D.向量可以用有向線段表示，但兩者不同，故錯誤.

故選：AC.

⑴找出與EE相等的向量；

⑵找出幾組相反向量.

【答案】⑴BC=FE

（2）04與FE，0A與8C,0C與DE

【知識點】相等向量、相反向量

【分析】（1）根據相等向量定義判斷選擇即可；

（2）根據相反向量定義判斷選擇即可.

【詳解】（D8C與EE方向相同且長度相等，故BC=FE.

（2）OA與FE，。4與8C,0C與QE方向相反且長度相等分別互為相反向量.

考點二：向量的表示

例2.（23-24高一?全國?隨堂練習）畫圖表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：

⑴由A地向東北方向航行15km到達B地；

⑵由A地向北偏西30。方向航行20km到達C地；

⑶由C地向正南方向航行20km到達。地.

【答案】(1)答案見詳解

(2)答案見詳解

(3)答案見詳解

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】先畫出以點A為頂點，北偏東45。的角，并取出相應的長度確定5點；接下來再以點4為頂點畫

出北偏西30。的角，并取出相應的長度確定C點，再以點C為頂點正南方向，并取出相應的長度確定。點

即可.

【詳解】(1)根據1：500000的比例尺，15km即圖上3cm,作圖如下，

(2)根據1:500000的比例尺，20km即圖上4cm,作圖如下,

(3)根據1:500000的比例尺，20km即圖上4cm,作圖如下,

【變式2-1](23-24高一?上海?課堂例題)在平面直角坐標系中，作出表示下列向量的有向線段:

⑴向量a的起點在坐標原點，與x軸正方向的夾角為120。且|?|=3；

⑵向量6的模為4,方向與y軸的正方向反向;

（3）向量c的方向與y軸的正方向同向，模為2.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

（3）答案見解析

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】（D由向量的相關定義作圖即可;

（2）由向量的相關定義作圖即可;

（3）由向量的相關定義作圖即可.

由題意與=3cos12。=-1^=3sml20=孚故04即為所求，其中“一卻；

(2)

Ox

4~b

(0,-4)'為

由題意XB=4cos(-90)=0,%=4sin(-90)=-4,故?即為所求，其中*0,7);

(3)

斗

yo,2)

-c2

---------------------->

OX

由題意.%=2COS90=0,Jc=2sin90=2,故OC即為所求，其中C(0,2).

【變式2-2］（24-25高一下?全國?課后作業）在方格紙（每個小方格的邊長為1）中，畫出下列向量.

(1)|OA|=2,點A在點0的正東方向；

⑵口q=2近，點8在點。的北偏東45。方向；

(3)求出,目的值.

【答案】⑴答案見解析

(2)答案見解析

(3)網=2.

【知識點】平面向量的概念與表示、向量的模

【分析】(1)根據要求畫出點A的位置即可；

(2)根據要求畫出點8的位置即可；

(3)向量鉆由點A指向點B,畫出圖形即可求出卜百

【詳解】(1)所求向量如圖所示：

東

(2)所求。8向量如圖所示:

東

(3)由圖知，VA03是等腰直角三角形，所以網=2.

【變式2-3](23-24高一下?安徽淮北?階段練習)在如圖的方格紙中，畫出下列向量.

(1)|OA|=3,點A在點0的正西方向；

(2)|<9B|=3A/2,點B在點0的北偏西45方向；

⑶求出網的值.

【答案】⑴答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)3

【知識點】平面向量的概念與表示、向量的模

【分析】(1)根據向量的大小和方向，作向量0A，

(2)根據向量的大小和方向，作向量08,

(3)根據向量的模的定義求網.

【詳解】(1)因為|。小=3,點A在點。的正西方向,故向量的圖示如下:

(2)因為|。q=3&,點B在點。的北偏西45方向,故向量08的圖示如下:

一?東

(3)

東

考點三：向量的模

'例3.（23-24高二下?全國?課后作業）如圖所示，以長方體ABC。-A瓦CQ的八個頂點的兩點為起點

和終點的向量中，

⑴試寫出與AC模長相等的所有向量；

UUU

（2）若4B=AD=2,A4,=l.求向量AC1的模.

【答案】⑴AG，CA,C^,BD,DB,BR,D￡

（2）3

【知識點】相等向量、向量的模

【分析】（1）根據向量模長相等判斷求解；

（2）應用立體圖形結合定義求出模長.

【詳解】（1）在長方體ABCO-A4G2中，與AC相等的所有向量（除本身外）有

A,Cl,CA,ClAi,BD,DB,BlDl,DlBl,共3個.

（2）在長方體ABCD-A再G2中，連接AC,AG，如圖,

AB2+BC2,AC；=AC2+CC：,

uuuuuir?--------------------------------------

所以向量的模IAG|=^AB-+BC1+CC1=^22+22+l2=3.

【變式3-1］（23-24高一下?北京?期中）已知向量“力共線，且同=小|=2,貝電+*

【答案】1或3

【知識點】向量數乘的有關計算、平行向量（共線向量）、向量的模

【分析】借助向量共線，分向量同向與反向計算即可得.

【詳解】由向量a,。共線，故向量6可能同向、可能反向，

當向量。力同向時，由同=2忖=2,則卜+6卜忸+可=3,

當向量a,6反向時，由悶=2網=2,貝（］卜+6卜卜26+.=1.

即卜+,可能為1或3.

故答案為：1或3.

【變式3-2］（24-25高一上?上海?課后作業）（1）如圖，在2x4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點且

模與|A8|相等的向量共有多少個？（除AB夕卜）

（2）如果擴展到3義4的矩形呢？（除鉆外）

【知識點】向量的模

【分析】數出與|AB|所占同樣大小的矩形個數，再根據向量和向量模的定義求解即可.

【詳解】（1）每個1x2的矩形中有4個符合要求的向量，這樣的矩形共有10個，則共有40個向量的模與|A8|

相等，但|AB|本身除外，故共有39個;

（2）每個1x3的矩形中有4個符合要求的向量，這樣的矩形共有10個，則共有40個向量的模與|AB|相等,

但|AB|本身除外，故共有39個.

【變式3-3］（23-24高一下?福建泉州?期中）已知邊長為3的等邊三角形ABC,求8C邊上的中線向量短的

模|叫

【答案】史瑟

22

【知識點】向量的模

【詳解】根據正三角形的性質，求得BC邊上的中線長，即可求解.

【解答】如圖所示，因為VABC是正三角形，所以BC邊上的中線向量仞的模就是三角形的高,

考點四：零向量與單位向量

“、例4.（多選）（23-24高一下?吉林四平?階段練習）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

【答案】ACD

【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、零向量與單位向量

【分析】根據零向量的定義與性質，判斷出A項的正誤；根據共線向量與相等向量的定義，判斷出B、D

兩項的正誤；根據單位向量的定義，判斷出C項的正誤.

【詳解】解：對于A,零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；

對于B,根據共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤；

對于C,根據單位向量的定義，可知C項正確；

對于D,方向相同且模相等的兩個向量相等，因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確.

故選：ACD.

【變式4-1］（2024高三?北京?專題練習）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度

為零，方向是任意的；②若“，匕都是單位向量，貝。=6;③向量與朋相等.其中正確命題的序號為（）

A.①B.③C.①③D.①②

【答案】A

【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量

【分析】由向量的有關概念逐項判斷即可.

【詳解】因為同方向且模相等的向量相等，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，

且零向量的長度為零，方向是任意的，故①正確；

根據單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，

故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；

向量AB與區4互為相反向量，故③錯誤.

故選：A.

【變式4-2］（23-24高一下?湖北?期中）下列結論錯誤的是（）

A.零向量與任一向量共線

B.零向量與任一向量的數量積為0

C.方向相反的兩個向量是相反向量

D.模長等于1個單位長度的向量稱為單位向量

【答案】C

【知識點】向量的模、數量積的運算律、零向量與單位向量、相反向量

【分析】根據零向量的概念、向量的數量積、相反向量的概念和單位向量的概念依次判斷選項即可.

【詳解】A：零向量與任意向量共線，故A正確；

B：零向量與任意向量的數量積都等于0,故B正確；

C：相反向量的概念是方向相反且長度相等的兩個向量，故C錯誤；

D：單位向量的概念是模為1個單位長度的向量，故D正確.

故選：C

【變式4-31（多選）（23-24高一下?遼寧撫順?開學考試）設a#0,則與其平行的單位向量有（）.

【答案】AB

【知識點】平行向量（共線向量）、零向量與單位向量

【分析】

由向量平行的定義以及單位向量的定義直接判斷即可.

【詳解】解：顯然ABCD四個選項都與向量a平行，

百。=1為單位向量，且與向量°平行，故A正確；

1

一時。模長也為1,且與向量a平行，故B正確；

CD選項與向量°平行，但模長不一定為1,故CD不正確.

故選：AB

考點五：相等向量

|'j例5.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在正ABC中，D,E,歹均為所在邊的中點，則以下向

量和FC相等的是（）

C.DFD.ED

【答案】D

【知識點】相等向量

【分析】由相等向量的定義求解即可.

【詳解】,?,EP，FB，。產與PC方向不同，

EF>FB>。尸與PC均不相等；

???西與尸c方向相同，長度相等，??.a）=■7.

故選：D.

【變式5-1］（23-24高一下?江蘇連云港?階段練習）下列說法錯誤的是（）

A.\CD\=\DC\B.%、e?是單位向量，則同=聞

C.兩個相同的向量的模相等D.單位向量均相等

【答案】D

【知識點】零向量與單位向量、相等向量、向量的模

【分析】根據相等向量、單位向量的定義判斷即可.

【詳解】對于A：因為CL>=-DC，又互為相反向量的兩個向量的模相等，所以故A正確；

對于B：因為6、e?是單位向量，所以囿=同=1,故B正確；

對于C：兩個相同的向量的模相等，故C正確；

對于D：單位向量的模相等均為1,由于無法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯誤.

故選：D

【變式5-21（多選）（24-25高一下?全國?課后作業）如圖，在菱形ASCD中，/B4D=120。，則以下說法

正確的是（）

H

A.與AB相等的向量只有1個（不含AS）

B.與AB的模相等的向量有9個（不含鉆）

C.8。的模恰為D4的模的招倍

D.C8與0A不相等

【答案】ABC

【知識點】相等向量、向量的模

【分析】根據相等向量以及模長定義，結合結合圖形求解ABD,根據菱形的性質即可求解C.

【詳解】由于A3=DC,因此與AB相等的向量只有。C，而與AB的模相等的向量有D4，DCfAC?CB，

AD，CD,CA，BC,BA,，故A,B正確；

而在RtAC?中，ZADO=30°,.-.|r）o|=^|oA|,故,q=后歸小，故C正確；

由于CB=￡>A,因此CB與D4是相等的，故D錯誤.

故選：ABC

【變式5-3］（23-24高一下?安徽六安?期末）如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形A30E是矩形.

⑴找出與45相等的向量；

⑵找出與共線的向量.

一———UIM1UUU1

【答案】⑴DCED

LlUUUUUULIUULIUUULlUUUUU

（2）DC,ED.EC,BA.CD,DE,CE

【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】（D根據相等向量的定義寫出即可;

（2）根據共線向量的定義直接寫出.

【詳解】（D由四邊形45。是平行四邊形，四邊形A3OE是矩形知，

送，筋與AB的長度相等且方向相同，所以與AB相等的向量為DC,筋.

（2）由題干圖可知，DC,ED,EC與方向相同，BA,CD,DE,CE與方向相反,

.ULIUULIU1ULU1ULIUUU1UUIUUUU

所以與AB共線的向量有DC,ED,EC,BA,CD,DE,CE.

考點六：共線向量

■'例5.（2024高三?全國?專題練習）在VABC中，AB=AC,。、E分別是A3、AC的中點，貝！|（）

A.AB與AC共線B.與C2共線

C.CD與AE相等D.仞與8。相等

【答案】B

【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即可.

【詳解】由題意可知，與AC不共線，A錯；

因為。、E分別是A3、AC的中點，所以，DE//BC,故OE與CB共線，B對；

因為CD與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯；

因為A￡）=￡）3=-B。，D錯.

故選:B.

【變式6-1］（23-24高一下?黑龍江大慶?階段練習）下列命題中，正確的是（）

A.若卜卜忖，則a=bB.若W>W，則a>6

C.若a=b,則°。D.若0〃氏萬〃c,則a〃c

【答案】C

【知識點】平行向量（共線向量）

【分析】根據向量的概念逐一判斷.

【詳解】對于A：若同=仰，則”,6只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，B錯誤；

對于C：若a=b,貝!Ja,6方向相同，C正確;

對于D：若a〃4匕〃c，如果6為零向量，則不能推出a,c平行，D錯誤.

故選：C.

【變式6-2］（多選）（24-25高二上?內蒙古呼倫貝爾?階段練習）關于非零向量.，b,下列命題中，正確

的是（）

A.若同=網，則q=bB.若a=，則&〃b

C.若0//b,bll。,則。〃CD.若同>|“，則

【答案】BC

【知識點】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、相等向量

【分析】根據向量的模、向量共線等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項錯誤.

B選項，兩個向量互為相反向量，則這兩個向量平行，所以B選項正確.

C選項，非零向量。，b,若allb，b//c，則a〃e成立，所以C選項正確.

D選項，向量不能比較大小，所以D選項錯誤.

故選：BC.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）下列量中是向量的為（）

A.功B.距離C.拉力D.質量

【答案】C

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量的定義即可判斷.

【詳解】功，距離，質量只有大小沒有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.

故選：C.

2.（2024高三?全國?專題練習）下面命題中，正確的是（）

A.若=貝!|q=bB.若同>W，貝!|q>bC.若a=-b，則a//〃D.若

|4|=。，貝！la=O

【答案】C

【知識點】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、零向量與單位向量

【分析】根據向量的概念逐一判斷

【詳解】對于A,若同=忖，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項A錯誤；

對于B,向量無法比較大小，故選項B錯誤；

對于C,若a=-b,則兩向量反向，因此a//6,故選項C正確；

對于D,若同=。，則〃=0,故選項D錯誤.

故選：C

3.（24-25高二下?全國?課后作業）給出下列命題：

①若空間向量滿足Ia1=1切，則

②在正方體ABCD-ABiQD,中，必有AC=AG；

③若空間向量a,6,c滿足a=b,b=c,則。=心

其中假命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點】空間向量的有關概念、相等向量

【分析】根據相等向量的定義易判斷①為假命題；對于②借助于正方體圖形推理易得；對于③由空間向量

的相等定義易得.

【詳解】對于①，向量相等即模相等和方向相同，故①為假命題；

對于②，如圖正方體ABC。-A4G2中，的//3瓦//"1，且441=8瓦=（70,則得ACQA,,

ULUUUULIU

故有AC//AG,AC=AG,且AC,4G方向一致，所以AC=AG，故②為真命題；

對于③，根據向量相等的定義可知成立，故③為真命題.

故選：B.

4.（23-24高一下?陜西咸陽?期中）已知四邊形ABC?中，AB=DC,并且,@=卜耳，則四邊形ABC。是

（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.長方形

【答案】A

【知識點】相等向量

【分析】由A3=￡>C,得到四邊形ABCD為平行四邊形，再由網=,4，得到％=,得出四邊形ABCD

為菱形.

【詳解】由題意，四邊形A2CD中，

因為A8=Z）C,可得|Aq=k4且AB〃CD,所以四邊形ABC。為平行四邊形，

又因為=可得=

所以四邊形A3CD為菱形.

故選:A.

5.（24-25高二上?河南商丘?階段練習）給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；

②在正方體ABCD-aqGR中，必有AC=AG；

③若空間向量〃也C滿足a="》=c,則。=°;

④空間中任意兩個單位向量必相等；

其中假命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】空間向量的有關概念、零向量與單位向量、判斷命題的真假

【分析】根據空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.

【詳解】對于①，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構

成一個球面，故①為假命題；

對于②，根據正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以AC=AG，故②為真命

題；

對于③，根據向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；

對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故④為假命題.

故選：B

6.（24-25高二上?全國?課后作業）下述四個結論中，所有正確結論的編號是（）

①零向量沒有方向；②向量的線性運算結果可以是實數；

③相等向量的方向相同；④與向量。方向相反的向量，叫做"的相反向量.

A.①②B.②③C.③D.③④

【答案】C

【知識點】零向量與單位向量、向量的線性運算的幾何應用、相等向量

【分析】運用向量有關概念逐項判斷即可.

【詳解】零向量長度為0,有方向，①錯誤；

②向量的線性運算結果仍然是向量，②錯誤；

相等向量的方向相同，模相等，③正確；

④與向量“長度相等，方向相反的向量，叫做向量”的相反向量，④錯誤.

故選：C.

7.（23-24高一下?福建福州?期中）下列說法正確的是（）

A.若兩個非零向量A2,。共線，則必在同一直線上

B.若。與b共線，。與c共線，則。與c也共線

C.若同=忖則.=6

D.若非零向量AB與CD是共線向量，則它們的夾角是0或180

【答案】D

【知識點】平行向量（共線向量）、相等向量

【分析】根據共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據相等向量的概念可以判斷C.

【詳解】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；

若非零向量AB,CD是共線向量，則ABC,。未必在同一直線上，A錯；

若6=0,則4與6共線，6與c共線，但是。與c未必共線，B錯；

由卜卜網可以得到d6的大小相等，但方向不一定相同，C錯.

故選：D.

8.（23-24高一下?吉林?期末）下列說法正確的是（）

A.平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

B.若卜卜W，則a與6的長度相等且方向相同或相反；

C.若M=W，且“與匕的方向相同，則a=%

D.若a〃b,則a與b方向相同或相反

【答案】C

【知識點】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量、向量的模

【分析】考慮向量的起點位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.

【詳解】對于A,只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故A錯誤:

對于B,由同=忖只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系，故B錯誤；

對于C,因為同=忖，且°與。同向，由兩向量相等的條件，可得a=故C正確；

對于D,依據規定：。與任意向量平行，故當a=0時，a與。的方向不一定相同或相反，故D錯誤.

故選：C.

二、多選題

9.（24-25高二上?云南昭通?期中）如圖，在菱形ABCZ）中，若ND4B=120。，則以下說法中正確的是（）

A.8。與。8不平行

B.8。的模恰為D4模的百倍

C.與筋的模相等的向量有9個（不含河）

D.與筋相等的向量只有一個（不含145）

【答案】BCD

【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、向量的模

【分析】根據題意結合向量的相關概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：向量2。與。8的方向是相反的，是平行向量，故A錯誤；

對于選項B：因為80=gcO,則3D==君4。，

所以8D的模恰為D4模的石倍，故B正確；

對于選項C：根據菱形的性質結合=120。，可知對角線AC與菱形的邊長相等，

故與AB的模相等的向量有明，AD，DA，DC，CD,BC,CB?AC，CA,共9個向量，故C正確;

對于選項D：與鉆相等的向量需要方向相同，模相等，只有。C,故D正確；

故選：BCD.

10.（24-25高一下?全國?課堂例題）（多選）下列命題中，正確的是（）

A.若a與b同向，且|a|>|b|,則

B.若|a|=|b|,貝人與b的長度相等且方向相同或相反

C.對于任意|〃|=出1,且。與。的方向相同，則a=b

D.所有的零向量都相等

【答案】CD

【知識點】零向量與單位向量、相等向量、向量的模

【分析】根據向量的概念判斷A；根據向量模的概念判斷B；根據向量相等的概念判斷C；根據向量相等

的概念判斷D.

【詳解】A不正確，因為向量是不同于數量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向

量不能比較大小；

B不正確，由|〃|=|加只能判斷兩向量長度相等，并不能判斷方向；

C正確，|.|=出|,且a與b同向，由兩向量相等的條件可得a=6；

D正確，符合相等向量的定義.

故選：CD.

三、填空題

11.（24-25高二上?全國?課后作業）給出下列命題：

①Ial=gI是向量a=6的必要不充分條件；

\a\=\b\

②向量〃，b相等的充要條件是?11,；

al1b

③若A,B,C,D是不共線的四點，則A3=DC是四邊形A3。為平行四邊形的充要條件.

其中正確的是.（填序號）

【答案】①③

【知識點】相等向量、判斷命題的必要不充分條件、充要條件的證明

【分析】對每個命題分別判斷即可得到答案.

【詳解】對于①，由a=b|=|匕|,而顯然|a|=|6a=6.

從而I。|=屹|是向量。=6的必要不充分條件，故①正確.

對于②，向量&=。,0）,6=（-1,0）不相等，但滿足同=忖且；//力，故②錯誤.

對于③，因為AB=DC,貝！1148|=|。（7|且48//。。，

又A,民C,￡>不共線，所以四邊形ABCZ）是平行四邊形.

反之，在平行四邊形ABC。中，由于平行四邊形對邊平行且長度相等，故有A8=OC.

所以A8=OC是四邊形為平行四邊形的充要條件，故③正確.

故答案為：①③.

12.（23-24高一下?全國?課后作業）如圖所示，。是正三角形A5C的中心，四邊形AOC。和四邊形A03E

均為平行四邊形，

則：