第一章集合與常用邏輯用語、不等式與復數(shù)綜合測試卷

（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?全國?模擬預測）已知集合2={—4,一2,0,2},B=Z,xEA],則力nB=（）

A.{0}B.{-2,0}C.{0,2}D.[-2,0,2}

【解題思路】根據(jù)集合定義可求得集合B,由交集定義可求得結(jié)果.

【解答過程】當％=-4時，W=當％=-2時，*=2CZ；

當久=0時，喜=0ez；當x=2時，喜=[《z；

B=[-2,0},2nB={-2,0}.

故選：B.

2.（5分）（23-24高三上?湖北荊門?階段練習）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點為（1,1）,則z+：的虛部為

（）

1.口313.

AA.-iB,-C,-D?-i

【解題思路】根據(jù)條件得到Z=l+i,再利用復數(shù)的運算，得到z+}=|+》,即可求解.

【解答過程】因為復數(shù)Z在復平面內(nèi)的對應點為（1,1）,所以z=l+i,

則z+1+i+yq-=1+i+-y-=|+所以z+:的虛部為

故選：C.

3.（5分）（2024?陜西商洛?一模）己知a,b是實數(shù)，貝>2且b>2”是“a+b>4”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解答過程】由a>2且6>2,得a+b>4,反之，不成立，如取a=1,6=4滿足a+6>4,而a>2且b>2

不成立，

所以“a>2且b>2”是“a+b>4”的充分不必要條件.

故選：B.

4.（5分）（2024?湖南郴州?模擬預測）設復數(shù)2=懸，則z的共朝復數(shù)2在復平面內(nèi)對應點的坐標為

（）

A.（0,1）B.（1,0）

C.（-1,0）D.（0-1）

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的乘法及除法運算求出z,再求出其共輾復數(shù)對應點的坐標.

【解答過程】依題意，z=*=^^=三=一i,

所以萬=i在復平面內(nèi)對應點的坐標為（0,1）.

故選：A.

5.（5分）（2024?北京豐臺?二模）若a力ER,且。>仇則（）

A,B.a2b>ab2

C.a2>ab>b2D.a>>b

【解題思路】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【解答過程】由于取a=l力=一1,^Y=-^Y=|,a2b=ab2=1,無法得到萬匕<京"a2b>a

b2,故AB錯誤，

取a=0力=-2,則。2=0,協(xié)=。，按=%無法得到小>好>^2,C錯誤，

由于a>b,貝!J2a>b+a>2b,所以

故選：D.

6.（5分）（24-25高一?全國?課后作業(yè)）已知集合M=卜k=zu+cZ},N=卜卜=|■刀EZ},

尸=卜卜=合+*,peZ],則M、N、尸的關系滿足（）

A.M=NQPB.MQN=PC.MQNQPD.N￡P￡M

【解題思路】將集合中的元素進行通分，即可根據(jù)分子的形式進行比較，集合子集定義即可求解.

［解答過程］N=卜卜=eZ｝，故N=卜卜=亙//Gz|,

由于P—卜卜=+1,pCZ｝,故P=卜卜=歿^,pGZj,

由于丹P為任意整數(shù)，故等二3(,1)+1=等，因此可=「，

M=卜k—m+1,meZ｝，故M=卜卜=3^2^+1,meZ1,

故MUP

所以MUN=P,

故選：B.

7.(5分)(2024?山西?模擬預測)已知關于x的不等式ax+b>0的解集為(―4,+8),則關于萬的不等式

bx2-ax<0的解集為()

A.B.(-001)U(0,+oo)

C(0，￡)D.(-8QU&+8)

【解題思路】先根據(jù)不等式的解集可得a力的關系及a的符號，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.

【解答過程】由a%+b>。的解集為(-4,+8),可得Q>0,且方程ax+b=0的解為-4,

所以一,=-4,則b=4a,所以b/—。支<0,BP4ax2—ax<0,又Q>0,

所以4/—x<0,解得0<x<；,即關于X的不等式/_3<0的解集為(0,)

故選：C.

8.(5分)(24-25高一上?安徽池州?期中)已知x>0,y>0,且x+y=5,若，y+&N26+1恒成立,

則實數(shù)優(yōu)的取值范圍是()

A.(―8，HB.(-8,表］

c.(-8尚D.(—8,4］

【解題思路】由已知條件得出(％+1)+(y+2)=8,將代數(shù)式與如0+1)+0+2)］相乘，展開后

利用基本不等式求出士+擊的最小值，根據(jù)題意可得出關于小的不等式，解之即可.

【解答過程】因為x>0,y>0,且久+y=5,則％+l+y+2=8,

所以言+W4言+W)?+i)+(y+2)]/+W?+制斗+2陶里人

4(y+2)_x+1

(x+G；(；含)=8時，即當x=My號時，所以言+金的最小值為5

{x>0,y>0

4IQ1

因為巾+恒成立，所以解得小三寸，

7x+717+y=十4221oio

所以實數(shù)m的取值范圍是(-8,才

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(6分)(2024?江蘇徐州?模擬預測)在復平面內(nèi)，若復數(shù)z對應的點為(1,3),貝U()

A.z+2=2B.z2=10

C.zz=10D.=5

【解題思路】根據(jù)題意寫出復數(shù)的標準式，再寫出其共物復數(shù)，再利用復數(shù)的乘除、模長公式，可得答案.

【解答過程】由題意可得z=l+3i,則萬=l—3i,

對于A,z+z=2,故A正確；

對于B,z2=(1+3i)(l+3i)=1+3i+3i+9i2=-8+6i羊10,故B錯誤；

對于C,zz=(l+3i)(l-3i)=l2-(3i)2=1+9=10,故C正確；

對于D,z-捻=(1+3i)-詈=1+i+3i-izi±|iz3f

=1+3i—1(4+2i)=-1+2i,|z-=V1+4=V5,故D錯誤；

故選：AC.

10.(6分)(2024?江蘇泰州?模擬預測)對任意48UR,記4十B={用xe2UB,x￡2n8},并稱4十B

為集合力,2的對稱差.例如：若2={1,2,3},B={2,3,4},則4^B={1,4}.下列命題中，為真命題的是

()

A.若4BUR且4研8=8,則4=0B.若4BUR且4十B=0,則4=B

C.若4BUR且力十BU4則AUBD.存在4BUR,使得4十B7CiM十QB

【解題思路】A選項，根據(jù)題意得到418且B中元素不能出現(xiàn)在4CB中，故4=0；B選項，4U8與4nB

是相同的，所以4=B；C選項，推出BU4；D選項，表達出C/1十QB=

{x\x6C[jAUQ(jB,x￡Cj/i4ACuB},結(jié)合CuZUCyB=C[/(XAB),Q4nC(jB=Cu(4UB),得到十CuB=

{x\xe4UB,x《4CB},故z?B=CyA十CyB.

【解答過程】A選項，4BUR且力十B=B,則B={久|久e/lUB,x《anB},

故a=8,且B中元素不能出現(xiàn)在4nB中，故4=0,A正確；

B選項，4BUR且4十B=0,則。={久|xeauB,x《anB},

即aUB與An8是相同的，所以a=8,B正確；

C選項，因為4十B=4所以{x|xeauB,x任力C8}=4故8=4C錯誤；

D選項，CuA十QjB={x|x6C[/J4UC(JB,XSCyA0Cy5),

其中C(/4UCuB=C(j(XnB),CuAOCuB=Cy(AUB),

故C"?QjB={x\xeCy(/1nB),x￡Cu(4UB)}={x\xeXUB,x￡XnB],

而a38=(x\xEA\JB,x^ACtB),

故力十8=Cu4十CuB,D錯誤.

故選：AB.

11.(6分)(2024?重慶?模擬預測)已知久>0,y>0,且無+y+xy—3=0,貝ij()

A.孫的取值范圍是[1,9]

B.久+y的取值范圍是[2,3)

C.%+4y的最小值是3

D.x+2y的最小值是4四一3

【解題思路】對于A項，運用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關于歷/的不等式求解即得；對于B項，直接運用基

本不等式將其轉(zhuǎn)化成關于久+y的不等式，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得；對于CD項，通過題設求出工代入

所求式消元，湊項運用基本不等式即得.

【解答過程】對于A項，x>0,y>0,由xy=3-(x+y)W3-27^可得(/雙+3)(依7-1)W0,

因府>0,故得0<V^Wl,貝iJO<xyWl,當且僅當x=y=l時等號成立，錯誤；

對于B項，由x+y=3—xy>3—(手)可得(x+y+6)(x+y—2)>0,

因x+y>0,故得：x+y>2,當且僅當x=y=1時等號成立，又支+、=3-xy<3,

所以x+y的取值范圍是[2,3),正確；

對于C項，由x+y+xy-3=0得x=*；*,

所以x+4y=號+4y=自+4(1+y)-5>2^x4(l+y)-5=3,

4

當且僅當說=4(l+y)即y=0時，等號成立，又y>0,所以x+4y>3,故C項錯誤；

對于D項，由％+y+xy-3=。得％=舒，

所以汽+2y=1q^+2y=七+2(1+y)-3>2J士x2(1+y)-3=4V2-3,

4

當且僅當由=2(l+y)即、=魚一1時，等號成立，正確.

故選：BD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?甘肅白銀?一模)復數(shù)|通-2i|+2i的實部與虛部之和為二.

【解題思路】根據(jù)復數(shù)模長可得|而-2i|=3,即可根據(jù)虛部和實部定義求解.

【解答過程】由題意得|遙-2i|+2i=3+2i,所以復數(shù)|遙-2i|+2i的實部與虛部之和為5.

故答案為：5.

13.(5分)(2024?全國?模擬預測)已知集合A={xeN|px=10,peN},B={xER|x>a},若

aUB=B,則實數(shù)a的取值范圍是(-8,1).

【解題思路】先求出集合4再由AUB=B,得力UB,即可求出實數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】因為p%=10,x€N,p6N,所以x=1,2,5,10,即4={1,2,5,10}.

由4UB=B,得AUB,得a<l,故實數(shù)a的取值范圍是(—8,1).

故答案為：(—00,1).

14.(5分)(2024?浙江?模擬預測)對定義一種新運算T,規(guī)定：T(x,y)=繆(其中a力均為非零常

數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：7(0，1)=啜祟=七己知7(1,-1)=一2,T(4,2)=1,若關

于小的不等式組{詭丈焉)自成恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是—二2<￡<=|--

【解題思路】根據(jù)已知得出關于a力的方程組，求出a,b,再代入不等式組求出解集，再根據(jù)已知條件得到取

值范圍.

【解答過程】因為7(1,—1)=—2,7(4,2)=1,

所以F=-2,嚶券+2=1,解得a=l,b=3,

Z-1ZX4-

-、2m+3x(5—4m)..、m+3x(3—2m)「9-3P

所以7(2小,5—4M)==+5一以W4=爪>T(m,3-2m)=2m+3_2m>P=m<丁，

因為不等式組恰有3個整數(shù)解，

Q—QD1

所以2<---<3=—2<P<

故答案為：-2WP<—§.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(24-25高一上?湖北?期中)已知集合4={x|m—1<久W爪2+1},B={x\—2<x<5}.

(1)當m=3時，求4UB,ACiB；

(2)若“xG4”是“xGB”成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)當巾=3時，寫出集合4利用并集和交集的定義可得出集合aUB,xnF；

(2)根據(jù)題意可知4口8,分析可知，470,根據(jù)集合的包含關系可得出關于m的不等式組，解出6的取值

范圍，再對山的取值范圍的端點值進行檢驗即可得解.

【解答過程】(1)當巾=3時，A=[x\m-l<x<m2+1}={x|2<x<10},

又因為B={x|—2W%W5},則AC8={久|2WxW5},A\JB={x\—2<x<10}.

(2)因為“xe4”是“xeB”成立的充分不必要條件,則4口8,

因為爪2+1-(7n—1)=巾2—巾+2=(6—0+(>0,則巾2+1>7n-1,則

由題意可得{魯解得一1WMW2,

檢驗：當7n=-1時，A={x|-2<x<2合乎題意，

當m=2時，A={x|l<%<5}\JB,合乎題意.

綜上所述，實數(shù)6的取值范圍是{血|-14血42}.

16.(15分)(24-25高二上?江蘇無錫?期中)已知復數(shù)2=出(bCR),去為實數(shù).

⑴求|z+z2|；

(2)若復數(shù)(m+z)2在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，且Z為實系數(shù)方程%2+(血2_9)%+4=0的根，求實數(shù)6

的值.

【解題思路】(1)根據(jù)復數(shù)為實數(shù)求出比代入化簡后求復數(shù)模即可；

(2)由復數(shù)是實系數(shù)方程的根代入求出血，再結(jié)合所在象限舍去不合適的值.

(2+bi)(l—i)b+2b—2.、r.>,uz?.

【解答過程】(1)由z=6i,袋為實數(shù)，則警==亍+亍1為實數(shù),

(l+i)(l—i)

所以殍=0,b=2,即z=2i,z2=-4,

所以|z+z2|=|-4+2i|=2V5.

(2)由(血+z)2=(TH+2i)2=m2-4+4zni在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,

二匚|、/血2—4>0一/、

所144nl<0=血<一2,

2

又z=2i為實系數(shù)方程/+(m-9)x+4=0的根，

則4+2(m2—9)i—4=0,

所以爪2—9=0,m=+3,

又m<-2,所以巾=一3.

17.(15分)(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=|2比—團，且fO)<b的解集為［―1,3］.

(1)求a和b的值;

(2)若/(久)<|x-t|在［-1,0］上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)即可求解，

2

(2)將問題轉(zhuǎn)化為3%2+(2t-8)x+4-t<。在［一1,0］上恒成立，即可利用二次函數(shù)零點分布求解.

【解答過程】(1)由f(x)4b得|2x—a|Vb,

易知bNO,則一解得等，

由于/(尤)Wb的解集為［一1,3］,則等=3,1=-1,解得a=2,b=4.

(2)由(1)知/'(x)=|2x—2|,由/'(x)W|x—t|得|2x—2|W

得3%2+(2t-8)x+4-t2<0在［-1,0］上恒成立，

2

△=(2t—8)2—4x3x(4-t)=16(1)2>0,故t羊1.

令9(x)=3/+(2t-8)x+4-t2,若g(x)<0在［一1,0］上恒成立，

則吃您0°，即｛T'W尸,解得=一5或03,

故實數(shù)t的取值范圍為(一8,—5］U［3,+oo).

18.(17分)(2024?寧夏固原?一模)已知函數(shù)/(%尸|2%+1|+3|尤一斗

(1)解不等式f(x)W4；

(2)記(1)中不等式的解集為M,M中的最大整數(shù)值為t,若正實數(shù)a,b滿足a+b=3求高+高的最小值.

【解題思路】(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)，分段解不等式f(%)W4,再求各個解集的并集即得；

(2)由(1)得t=l,運用常值代換法，將a+b=l配湊成(a+l)+(b+2)=4,利用基本不等式即可求

得.

(-5x+2,x<—1

【解答過程】(1)由/(久)=|2%+1|+3|%-1|=J一％+4,-1V%41,

I5x—2,x>1

當尤W-拊，由/■(￡)W4可得一5久+2W4,則得故xe0；

當一^<XW1時，由f(x)W4可得-X+4W4,則得x20,故OWxWl；

當x>l時，由/(X)W4可得5x—2W4,則得xW,故lCxW?.

綜上可得：了0)44的解集為［0,1|.

(2)由(1)可得M=依題，t=l,即a+6=l,貝!|(a+1)+(6+2)=4因a>0力>0,

由領a+D+(b+2)］(￡+3)=；口。+誓+筌］40+2號?箋聲=|,當且僅當

2(a+l)=b+2時取等號，

1

ra+-1-19

為

由

得

即當

可3

<la---

l29+1-b+2232

-

3

19.(17分)(2024?全國?模擬預測)已知集合4={的,(22,…,a“}(0Wdi<<…<an,n22),右對任思的

i,jENQl<i<j<n),有四+%C4或叼—見C4則稱集合4為完美集合.

(1)分別判斷集合B={0,2,4,6}與C={1,2,3,4}是否為完美集合；

(2)當n=3時，若。2=2,求完美集合4

\-12024

(3)右集合D={tli,CZ2/,,>ct2024)(0W<21<a2<…<<22024)為元美集合，記$2024=/即求證：52024=1012

^—>1=1

((21012+a1013)-