解答題045類概率與統計答題模板

(分布列及期望方差、二項分布超幾何分布正態分布、條件概率全概率貝葉斯公

式、獨立性檢驗與線性回歸直線方程、概率與數列及導數雜糅)

-?-----本節導航------?

模板01離散型隨機變量的分布列及期望方差的答題模板

模板02二項分布、超幾何分布、正態分布的答題模板

模板03條件概率、全概率與貝葉斯公式的答題模板

模板04獨立性檢驗與線性回歸直線方程的答題模板

模板05概率與數列及導數雜糅的答題模板

模板01■效里隨機變量的分布弧期望方模板〔

離散型隨機變量的分布列與數字特征是新高考卷中的高頻考點，難度適中，常在解答題中出現，需要

重點復習。

@橫池西建

1.離散型隨機變量的分布列及性質

(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為X1，尤2，…，Xi，???,Xn，X取每一個值Xi(i=l,2,…,

W)的概率P(X=Xi)=pi，則表

……

XX1X2XiXn

???…

PPiP2PiPn

稱為離散型隨機變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機變量的分布列的性質：

?Pi>0(z=l,2,???,n)；②pi+p2H-----Hp"=l.

2.離散型隨機變量均值

(1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為:

??????

XXIX2XiXn

??????

PPiP2PiPn

則稱線&=尤01+X202+…+…+為必為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值

的平均水平.

(2)若￥=<^+匕，其中a,b為常數，則￥也是隨機變量，且E(aX+b)=aE(X)+A

(3)①若X服從兩點分布，則E(X)=p；

②若X?B(mp),則￡(X)=牝.

3.離散型隨機變量方差

(1)設離散型隨機變量X的分布列為

….??

XX\X2Xi

…

pPiP2Pi???Pn

則國—戈田)2描述了屬《=1,2,…，①相對于均值E(X)的偏離程度.而。(X)=￡(尤LE(X))2"為這些偏離程

度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱￡>(X)為隨機變量X的方差，并稱其算

術平方根而后為隨機變量X的標準差.

(2)Z)(oX+Z?)=a2O(X).

(3)若X服從兩點分布，則￡>(X)=p(l—p).

(4)若X?3(〃,p),MD(X)=np(l~p).

4極運用

(2022?全國?高考真題)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目，每個項目勝方得10

分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.己知甲學校在三個項目中

獲勝的概率分別為0.5,0,4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

⑴求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

)支式1.(2021?全國?高考真題)某學校組織“一帶一路"知識競賽，有48兩類問題，每位參加比賽

的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正

確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問

題回答正確得20分，否則得。分；8類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確

回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

3

＞麥K（2。24四川宜賓?一模）現有甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊兩次,每次命中的概率為了,

每命中一次得1分，沒有命中得。分；向乙靶射擊一次，命中的概率為:，命中得2分，沒有命中得。分。

假設該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結果相互獨立.

⑴求該選手恰好命中一次的概率;

⑵求該射手的總得分X的分布列及其數學期望E（X）.

01橫板演煉

1.（2024?福建廈門?模擬預測）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發給朋友4如

果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉發給朋友2,如果B猜中，A、B

平分紅包里的金額；如果8未猜中，8將當前的紅包轉發給朋友C,如果C猜中，A、8和C平分紅包里的

金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設A、B、C猜中的概率分別為g,1,且A、B、

C是否猜中互不影響.

⑴求A恰好獲得8元的概率；

（2）設A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數學期望.

2.（2024?全國?模擬預測）某中學為積極貫徹并落實教育部提出的“五育并舉"措施，在軍訓期間成立了自動

步槍社團來促進同學們德智體美勞全面發展，在某次軍訓課上該自動步槍社團的某同學進行射擊訓練，已

知該同學每次射擊成功的概率均為g.

⑴求該同學進行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；

⑵若該同學進行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記X

為三次射擊總得分，求X的分布列及數學期望.

3.（2024?山東煙臺?三模）為提高學生對航天科技的興趣，培養學生良好的科學素養，某學校組織學生參

加航天科普知識挑戰賽，比賽共設置A,B,C三個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初始分均為50

分，答對問題4B,C分別加10分，20分，30分，答錯任一題減10分；②每回答一題，計分器顯示累

計分數，當累計分數小于40分或答完三題時累計分數不足80分，答題結束，挑戰失敗；當累計分數大于

或等于80分時，答題結束，挑戰成功；③每位參加者按問題A,B,C順序作答，直至挑戰結束.設甲同學

431

能正確回答出問題A,B,C的概率分別為丁，且回答各題正確與否互不影響.

542

⑴求甲同學挑戰成功的概率；

(2)用X表示甲同學答題結束時答對問題的個數，求X的分布列和數學期望E(X).

模板02■蟀布何知羥正秀碰的翎模板;

二項分布、超幾何分布以及正態分布是新高考卷中頻繁出現的考點，難度適中，通常在解答題中進行

考查，需要重點復習。

。模於我建

1.獨立重復試驗與二項分布

獨立重復試驗二項分布

在相同條件下重復做的n在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中

定義次試驗稱為n次獨立重復事件A發生的概率為P，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X?

試驗B(n,p),并稱p為成功概率

A,(z=l,2,-??,〃)表示第i

計算次試驗結果，則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為P(X=?=C￡

公式P(4A2A3…4)=p/(l-p)"F/=0,l,2,…，71)

P(AI)P(A2)-P(A?)

2.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=心發生的概率為尸(X

,,,,m,其中n},且nWN,MWN,〃,M,NGN*,稱分布列為超

幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.

X01???m

CMLN-MC風N—M

P???

C知C價

3.正態分布

正態曲線的特點

(1)曲線位于無軸上方，與無軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱;

(3)曲線在尤=〃處達到峰值一7=;

八/2兀

(4)曲線與無軸之間的面積為1；

(5)當。一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當〃一定時，曲線的形狀由。確定，c越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；°越大，曲線越

“矮胖”，表示總體的分布越分散.

正態分布的三個常用數據

⑴PQLKXW〃+c)=0.6826；

(2)P(/z—2<7<XW〃+2<7)=0.9544；

(3)P(/z—3<7<X4+3(T)=0.9974.

橫板運用

＞哀倒1.(2024?陜西商洛?一模)甲、乙兩人進行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制(有一方先

2

勝三局即贏得比賽，比賽結束)，根據雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是乙獲勝的概

率是g.假設每局比賽結果互不影響.

⑴求比賽進行四局且甲獲勝的概率：

⑵比賽結束時、甲、乙共進行了X局比賽，求X的分布列和期望.

)支式(2024?全國?三模)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則：每一局比賽中，勝者得1分，負者

2

得。分，且比賽中沒有平局.根據以往戰績，每局比賽甲獲勝的概率為I,每局比賽的結果互不影響.

⑴經過3局比賽，記甲的得分為X,求X的分布列和期望；

⑵若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.

(2024?河北邯鄲?模擬預測)體育老師想了解高三(1)班男學生100米達標情況，首次隨機

抽查了12名男學生，結果有8名學生達標，4名學生沒有達標.

⑴現從這12名男學生中隨機抽取3名，用X表示抽取的3名學生中沒有達標的人數，求X的分布列和期望;

(2)為了提高達標率，老師經過一段時間的訓練，第二次測試達標率增加了;，現從該班男學生中任意抽取2

6

人，求至多兩次測試后，這兩人全部達標的概率.

＞麥K(2024?廣東茂名?一模)近幾年，隨著新一輪科技革命和產業變革孕育興起，新能源汽車產業進

入了加速發展的階段，我國的新能源汽車產業，經過多年的持續努力，技術水平顯著提升、產業體系日趨

完善、企業競爭力大幅增強，呈現市場規模、發展質量"雙提升”的良好局面.某汽車廠為把好質量關，對送

來的某個汽車零部件進行檢測.

⑴若每個汽車零部件的合格率為0.9,從中任取3個零部件進行檢測，求至少有1個零部件是合格的概率;

(2)若該批零部件共有20個，其中有4個零部件不合格，現從中任取2個零部件，求不合格零部件的產品數

X的分布列及其期望值.

＞哀創3.(2024,河南?模擬預測)某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為:

前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連

續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.

543

⑴若小李在第一關、第二關及第三關通過測試的概率分別為求小李成功競聘的概率尸；

654

(2)統計得10000名競聘者的得分X~N(420.5,10.752),試估計得分在442分以上的競聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若隨機變量X~N3b2）,則尸（〃-cr4X4〃+o■卜0.6827,尸（〃-2cr4X4;/+2o■卜0.9545

,支式(2024?湖南常德?一模)某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修學習情況，評選研修先

進個人，現隨機抽取了10名教師利用"學習APP"學習的時長數據(單位：小時)：35,43,90,83,50,

45,82,75,62,35.學習時長不低于80小時的教師評為"研修先進個人”.

⑴現從該樣本中隨機抽取3名教師的學習時長，求這3名教師中恰有1名教師是研修先進個人的概率.

(2)若該市所有教師的學習時長X近似地服從正態分布其中b=10,〃為抽取的10名教師學習時

長的樣本平均數，利用所得正態分布模型解決以下問題：

①試估計學習時長不低于50小時的教師的人數(結果四舍五入到整數)；

②若從該市隨機抽取的〃名教師中恰有忑名教師的學習時長在［50,70］內，則當J的均值不小于32時，n的

最小值為多少？

附：若隨機變量X服從正態分布N出吟,貝|尸(〃—bVXV〃+。)它0.6827,

P(〃一2(TWX<〃+2<T)a0.9545,尸(〃-3bVXW〃+3o■人0.9973.

@橫極演煉

1.（2024?甘肅白銀?一模）某導彈試驗基地對新研制的AB兩種導彈進行試驗，A導彈每次擊中空中目標、

3213

地面目標的概率分別為=,彳，5導彈每次擊中空中目標、地面目標的概率分別為不:

4324

⑴若一枚A導彈擊中一個空中目標，且一枚5導彈擊中一個地面目標的概率為B，一枚A導彈擊中一個地

面目標，且一枚5導彈擊中一個空中目標的概率為外，比較Pi，P2的大小；

（2）現有兩枚A導彈，一枚8導彈，用來射擊兩個空中目標，一個地面目標（每枚導彈各射擊一個目標），

請你設計一個射擊方案，使得擊中目標的個數的期望最大，并求此時擊中目標的個數的分布列和期望.

2.（2024?上海長寧?二模）盒子中裝有大小和質地相同的6個紅球和3個白球；

（1）從盒子中隨機抽取出1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其顏色相同的球3個，然后再從盒子隨

機取出1個球，求第二次取出的球是紅球的概率；

⑵從盒子中不放回地依次隨機取出2個球，設2個球中紅球的個數為X,求X的分布、期望與方差；

3.（2024?海南?模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有來自全國各地的10000人參加應聘.招聘

分為初試與復試.初試為筆試，已知應聘者的初試成績X~N（80,32）.復試為闖關制：共有三關，前兩關中的

每一關最多可闖兩次，只要有一次通過，就進入下一關，否則闖關失敗；第三關必須一次性通過，否則闖

關失敗.若初試通過后，復試三關也都通過，則應聘成功.

⑴估計10000名應聘者中初試成績位于區間（83,86］內的人數；

⑵若小王已通過初試，在復試時每次通過第一關、第二關及第三關的概率分別為I432且每次闖關是否

通過不受前面闖關情況的影響，求小王應聘成功的概率P.

附：若隨機變量X?N.d）,則P{jLt-a<X<//+cr）?0.6827,P（//-2a<X<//+2cr）?

0.9545,P（//-3o-<X<//+3cr）?0.9973.

在概率論與統計學中，條件概率是一個極其重要的概念，它衍生出了兩個極為關鍵的公式一全概率

公式和貝葉斯公式，三類公式并稱為概率“三劍客”，是高考的重要考點，需強化練習

1.條件概率

條件概率的定義條件概率的性質

已知B發生的條件下，A發生的概率，稱為B發生時A發生的條件概率，記為P(A|B).(1)OWP(B|A)W1,

當P(8)>0時，我們有P(A|8)—'(8))?(其中，AA8也可以記成A8)(2)如果B和C是兩

個互斥事件，則P(B

類似地，當P(A)>0時，A發生時B發生的條件概率為P(3|A)—錯1UC|A)=P(fi|A)+

P(C\A)

2.全概率公式

一般地，設Ai，A2,4是一組兩兩互斥的事件，AIUA2U-UA?=/2,且P(4)>0,i=l,2,n,

則對任意的事件匹。B^=B(Al+A2+-+An)^BAl+BA2+-+BAn,有尸⑻=22(4)「(刎4)

1=1

,此公式為全概率公式.

(1)計算條件概率除了應用公式P(8|A)=[")外,還可以利用縮減公式法，即P(JA尸""),其

中"(A)為事件A包含的樣本點數，"(AB)為事件AB包含的樣本點數.

(2)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況

下發生的簡單事件的概率的求和問題.

3.貝葉斯公式

一般地，設4，&廣，4是一組兩兩互斥的事件，有…=。且P(4)>0"=I，2,…,"，則對

任意的事件3=。P(5)>0有

P(BIa)一："(劇a)=N4)P(@A),占2...,〃

P?a)

Z=1

、曲橫極運用

?*到1.(2022?全國?高考真題)在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖:

⑴估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（2）估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間［20,70）的概率；

⑶已知該地區這種疾病的患病率為0.1%,該地區年齡位于區間［40,50）的人口占該地區總人口的16%,從該

地區中任選一人，若此人的年齡位于區間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數據中患者的年齡

位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.

）支式（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測）中華茶文化源遠流長，博大精深，不但包含豐富的物質文化,

還包含深厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現在某

綠茶廠將采摘后的茶葉進行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為;每道工序

59

的加工都相互獨立，且茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為二.三道工序加工都合格的綠茶為

60

特級綠茶，恰有兩道工序加工合格的綠茶為一級綠茶，恰有一道工序加工合格的綠茶為二級綠茶，其余的

為不合格綠茶.

⑴在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率；

（2）每盒綠茶（凈重100g）原材料及制作成本為30元，其中特級綠茶、一級綠茶、二級綠茶的出廠價分別為

90元，60元，40元，而不合格綠茶則不進入市場.記經過三道工序制成的一盒綠茶的利潤為X元，求隨機

變量X的分布列及數學期望.

（2023?全國?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人

繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率;

n

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,則E￡x,=2%.記

Vi=lZ=1

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數為y,求E（y）.

,變式（2024?全國?模擬預測）設某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產線，現有40個該廠生產

的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產線生產的電子元件分別為5個、10個、10個、15個，且甲、乙、

丙、丁生產線生產該電子元件的次品率依次為?

⑴若將這40個電子元件按生產線生產的分成4箱，現從中任取1箱，再從中任取1個電子元件，求取到的

電子元件是次品的概率.

（2）若將這40個電子元件裝入同一個箱子中，再從這40個電子元件中任取1個電子元件，取到的電子元件

是次品，求該電子元件是乙生產線生產的概率.

（2024?福建廈門?模擬預測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球,

這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.

⑴求摸出的球是黑球的概率；

（2）若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.

,麥K（2024,安徽?模擬預測）現需要抽取甲、乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個

正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽

出一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品,

則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為

⑴求首次檢驗抽到合格產品的概率；

（2）在首次檢驗抽到合格產品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；

⑶將首次檢驗抽出的合格產品放回原來的箱子，繼續進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢

驗選到的箱子中抽取；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.

頷橫板演煉

1.（2024?山東?一模）某商場在開業當天進行有獎促銷活動，規定該商場購物金額前200名的顧客，均可

獲得3次抽獎機會，每次中獎的概率為g,每次中獎與否相互不影響，中獎1次可獲得50元獎金，中獎2

次可獲得100元獎金，中獎3次可獲得200元獎金.

⑴求顧客甲獲得了100元獎金的條件下，甲第一次抽獎就中獎的概率；

(2)若該商場開業促銷活動的經費為1.5萬元，則該活動是否會超過預算？請說明理由.

2.(2024?黑龍江大慶?一模)2024年7月12日，國家疾控局會同教育部、國家衛生健康委和體育總局制定

并發布了《中小學生超重肥胖公共衛生綜合防控技術導則》，其中一級預防干預技術的生活方式管理中就

提到了"少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學準備發布健康飲食的倡議，提前收集了學生的體重和飲食

習慣等信息，其中學生飲用含糖飲料的統計結果如下：學校有;的學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，

12

這些學生的肥胖率為§;而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學生的肥胖率為§.

⑴若從該中學的學生中任意抽取一名學生，求該生肥胖的概率；

(2)現從該中學的學生中任意抽取三名學生，記X表示這三名學生中肥胖的人數，求X的分布列和數學期望.

3.(2024?湖南?二模)現有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠

生產的產品能達到優秀等級的概率分別為3，3，現有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從

三個工廠中等可能地隨機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.

⑴若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概率；

(2)因為三個工廠的規模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2回1回1,若該質檢部門從已經進入

市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優秀等級的產品的件數J的分布列及數學期望.

廠.一11匚------■—-ZZ1............................................―—-----.一一i

模板041獨立性檢驗與線性回歸直線方程的答題模板

獨立性檢驗與線性回歸直線方程本身知識點較為簡單，但通常結合統計與概率的其他知識點聯合考查,

需重點強化練習

小橫於的建

獨立性檢驗解題方法：

(1)依題意完成列聯表；(2)用公式求解；(3)對比觀測值即可得到所求結論的可能性

獨立性檢驗計算公式：K2=-——n(ad’bc)——

線性回歸分析解題方法:

(1)計算工亍,趟；，"％%的值；(2)計算回歸系數°,機(3)寫出回歸直線方程$=隊+)

Z=1Z=1

n八

E(xi--y)Z玉弘一旃

線性回歸直線方程為：y=bx+a5=上匕------------=嚀----------a=y-bx

寸￡玉2_戒2

i=lZ=1

其中與，可為樣本中心，回歸直線必過該點

(4)線性相關系數(衡量兩個變量之間線性相關關系的強弱)

r>0,正相關；r<0,負相關

卜歸1,且卜|越接近于1,線性相關性越強；

上越接近于0,線性相關性越弱，71乎不存在線性相關性

?梗也三用

>哀創1.(2024?全國?高考真題)某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙

兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下:

優級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

⑴填寫如下列聯表:

優級品非優級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產品

的優級品率存在差異？

⑵已知升級改造前該工廠產品的優級品率。=。5,設萬為升級改造后抽取的〃件產品的優級品率.如果

p>p+1.65,則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生

產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（麗”12.247）

附：K2=Md-bc)]

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

）支式（2023?全國?高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將

其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小

白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望;

（2）實驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數相，再分別統計兩樣本中小于相與不小于的數據的個數，完成如下

列聯表：

<m>m

對照組

實驗組

（ii）根據（i）中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與正常環境中體重的增加量

有差異.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)，

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

,龔俐（2022?全國?高考真題）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一

林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量

（單位：n?）,得到如下數據:

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量為0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.9

101010

并計算得》=0.038,=1.6158,，尤*=0.2474.

i=li=li=l

⑴估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；

⑶現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.

￡（%一君（乂一了）

附：相關系數r="，”頡1.377.

應王一君吃（乂一寸

Vi=li=l

>之K（2024?山東淄博?二模）汽車尾氣排放超標是導致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾

年著重強調可持續發展，加大新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產業迅速發展.某汽車制造企

業對某地區新能源汽車的銷售情況進行調查，得到下面的統計表:

年份r20152016201720182019

年份代碼尤（x=t-2014）12345

銷量y（萬輛）1012172026

⑴計算銷量y關于年份代碼X的線性相關系數r,并判斷是否可以認為y與x有較強的線性相關關系（若

|r|>0.75,則認為有較強的線性相關關系）.若是，求出y關于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；

⑵為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統燃油汽車）的情況，該企業又隨機調查了該

地區100位購車車主的購車情況，假設一位車主只購一輛車.男性車主中購置傳統燃油汽車的有40名，購

置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車.將頻率視為概率，已知一位車主購得新能源

汽車，請問這位車主是女性的概率.

附：若（再，%），（馬，加），…為樣本點,

n〃

Za-元）（％-》）z毛?-再

相關系數公式：產I“T]“=1“t1“；y=6x+a為回歸方程，則

叵（%-x）2??宜%（一y2）、fx；-湛,\宜資-ny

Vi=\Vi=iVz=ivz=i

nn

￡（x,-元）（%-y）-；母

卜_i=l_______________i=l___________

u_n—~~n‘a=y—bx?

f（x,.-君2麻2

Z=1Z=1

@橫極演煉

1.（2022?全國?高考真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分

為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患

該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據:

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

⑴能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件"選到的人衛生習慣不夠良好"，8表示事件"選到的人患有該疾

病、然普與饋號的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標’記該指標為R-

P(A|B)P(A|B)

（回）證明:

P(才|B)P(A|豆)

（ffl）利用該調查數據，給出尸（A|3）,尸（A|乃的估計值，并利用（回）的結果給出R的估計值.

附K2=Mad-bcf

(a+Z?)(c+d){a+c)(b+d)

2

P[K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024?四川成都?模擬預測）已知某學校為提高學生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了

解學生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調查，整理得到如下列聯表：

課外活動

性別合計

滿意不滿意

男150100250

女5050100

合計200150350

⑴根據小概率值。=0。5的獨立性檢驗，能否認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素有關聯？

（2）從這350名樣本學生中任選1名學生，設事件A="選到的學生是男生"，事件8="選到的學生對課外活

動滿意”,比較尸（3⑷和尸（B間的大小,并解釋其意義,

附：/=_______________________

(a+6)(c+")(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

3.（2024?青海西寧?一模）某廠近幾年陸續購買了幾臺A型機床，該型機床己投入生產的時間無（單位：年）

與當年所需要支出的維修費用y（單位：萬元）有如下統計資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555_____

已知?；=90,=]40.78,=112.3,月§々8.9,0r4

Z=1Z=1Z=1

⑴計算y與X的樣本相關系數r（精確到0Q01）,并判斷該型機床的使用年限與所支出的維修費用的相關

性強弱（若0.75VMV1，則認為＞與x相關性很強，否則不強）.

（2）該廠購入一臺新的A型機床，工人們分別使用這臺機床（記為X）和一臺已經使用多年的A型機床（記

為Y）各制造50個零件，統計得出的數據如下表：

零件

機床合計

合格不合格

X4

Y40

合計

請將上面的2x2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為"零件合格情況是否與機床的使用情況有

關”.

模板05概率與數列及導數雜糅的答題模板

概率與數列及導數的綜合是新高考卷的新命題內容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點復習.

。模逆辿建

用數列和導數的分塊知識來證明數列、求和及證明單調性、求最值即可

、硒橫板運用

1.（2023,全國?高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人

繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

⑵求第i次投籃的人是甲的概率；

則n

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1-P（X,=0）=q4=1,2,…,n,E￡x,=2%.記

Vi=lZ=1

前”次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數為y,求E（y）.

,變式1.（2024,江蘇鹽城?模擬預測）某學校有A、8兩個餐廳，經統計發現，學生在第一天就餐時會

隨機地選擇一個餐廳用餐.此后，如果某同學某天去A餐廳，那么該同學下一天還去A餐廳的概率為0.4；

如果某同學某天去8餐廳，那么該同學下一天去A餐廳的概率為0.8.

⑴記甲、乙、丙3位同學中第2天選擇A餐廳的人數為X,求隨機變量X的分布列和期望；

（2）甲同學第幾天去A餐廳就餐的可能性最大？并說明理由.

）支式（2024?四川?模擬預測）在某月從該市大學生中隨機調查了100人，并將這100人在本月的網

絡外賣的消費金額制成如下頻數分布表（已知每人每月網絡外賣消費金額不超過3000元）：

消費金額（單位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數2035251055

⑴由頻數分布表可以認為，該市大學生網絡外賣消費金額Z（單位：元）近似地服從正態分布N（〃,</）,其

中〃近似為樣本平均數x（每組數據取區間的中點值，b=660）.現從該市任取20名大學生，記其中網絡

外賣消費金額恰在390元至2370元之間的人數為X,求X的數學期望；

(2)A市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調查的大學生每人發放價值100元的

飯卡，并推出一檔"勇闖關，送大獎”的活動.規則是：在某張方格圖上標有第0格、第1格、第2格、第60

格共61個方格棋子開始在第0格,然后擲一枚均勻的硬幣(已知硬幣出現正、反面的概率都是g，其中耳=1),

若擲出正面，將棋子向前移動一格(從左到上+1),若挪出反面，則將棋子向前移動兩格(從上到上+2).

重復多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認為“闖關成功"，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停

在第60格，則認為“闖關失敗"，不再獲得其他獎勵，活動結束.

①設棋子移到第〃格的概率為8,求證：當1V〃W59時，｛匕-*｝是等比數列；

②若某大學生參與這檔“闖關游戲"，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由.

參考數據：若隨機變量自服從正態分布NO/,/),則尸("-b<《V〃+b)=0.6827,

尸(〃-2b<自<〃+2b)=0.9545,P("-3。<4<〃+3(T)=0.9973.

(2021?全國?高考真題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生

物為第。代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代......，該微生物每代繁殖的個數是相互

獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X=i)=0,(i=O,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,0]=0.3,02=。.2,03=。」，求E(X)；

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：20+。儼+0/+。3/=X的

一個最小正實根，求證：當項X)VI時，p=l,當E(X)>1時，p<l.

(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

＞之K1.(2024?廣東汕頭?三模)假設甲同學每次投籃命中的概率均為

⑴若甲同學投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)甲同學現有4次投籃機會，若連續投中2次，即停止投籃，否則投籃4