第六節余弦定理、正弦定理

課標解讀考向預測

從近幾年的高考來看，正弦定理、余弦定理是高

1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.

考的熱點，預計2025年高考仍以利用正弦定理、

2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單

余弦定理解三角形為主，題型靈活呈現，中檔難

的三角形度量問題.

度；也可能融合在其他考點里面，不單獨呈現.

必備知識——強基礎

知識梳理

1.余弦定理、正弦定理

在△A8C中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△48C外接圓半徑，則

定理余弦定理正弦定理

/=1011〃+C2-2Z?CCOSA；

公式Z?2=102|C2+〃2—2C〃COS5；號=畫芻=畫*=27?

sinA1—'sinB1—'smC

廿=|(^用+/一2〃/7cosc

⑴a=2RsinA,6=畫咨逋,c=[w]

rr—|Z72+c2—(22

2RsinC；

cosA-|_06]lbc；

r--|C2+<22—Z72(2)sinA=益，sing=nT|梟sinC=去；

常見變形cos”畫法；

(3)a:b:c=|12|sinA:sinB:sinC；

r—14Z2+Z72—c2

cosC-1081c,

—2ab(4)asin8=Z?sinA,Z?sinC=csinB,asinC=

csinA

2.在△ABC中，已知a,b和A時，解的情況

A為銳角A為鈍角或直角

c

cc

-A

圖形

r…-n

ABA-B

關系式a=bsinAZ?sinA<a<ba^ba>baWb

解的個

同一解國兩解同一解國一解日無解

數

3.三角形常用面積公式

(l)S=；〃/la(/la表示a邊上的高).

111ctbc

(2)S==]Q/?sinC==/tzcsinB==^Z?csinA~~.

(3)S=gr(a+b+c)(r為內切圓半徑).

最結￡^

在△A8C中，常有以下結論：

(1)A+B+C=K.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)〃>/?=A>5=sinA>sin5,cosA<cosB.

.???.A+BCA+B.C

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC；sin~~g-=cos^；cos--=sin

(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

診斷自測

i.概念辨析(正確的打“小,錯誤的打“X”)

⑴在AABC中，若sinA>sinB,貝!JA>8.()

(2)當〃+c2一層>。時，△ABC為銳角三角形.()

(3)在△A8C中，已知a,b,A,則三角形有唯一解.()

(4)在△ABC中，若A：2：C=1：2：3,貝i|a：6：c=l：2：3.()

答案(l)d(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)(人教B必修第四冊第九章小結復習題A組T2改編)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分

別是a,b,c,若廿十,二層+小兒，則角A的大小為()

,5兀一2兀

A?飛B-T

C.D.J

3o

答案D

解析因為〃+c2=q2+小反，所以由余弦定理可得COSA==華=與，因為

7T

0<A<K,所以A=j

(2)(人教A必修第二冊復習參考題6Tli改編)在△ABC中，A=30。，C=45。，c=g，則a

的值為()

A.2B.1

C.|D.坐

答案B

解析因為在△ABC中，A=30。，C=45。，c=@所以由正弦定理可得急=焉，即”=

總，sinA=；^%sin30o=粉=1.

2

(3)在△A8C中，已知a=2,b=3,8=30。，則此三角形()

A.有一解B.有兩解

C.無解D.無法判斷有幾解

答案A

解析在△ABC中，a=2,b=3,8=30。，由正弦定理，得sinA=^^=駕船=/而時6,

則A<8=30。，即A為銳角，所以此三角形有一解.

(4)在△ABC中，若a=7,b—5,c—3,則4=.

答案120°

匕2+-421

解析由余弦定理，得cosA=-詆—=-].又0。<4<180。，所以A=120。.

(5)在AABC中，角A,B,C滿足sinAcosC—sin2cosC=0,則此三角形的形狀為.

答案直角三角形或等腰三角形

解析由已知，得cosC(sinA-sin2)=0,所以cosC=0或sinA=sinB,解得C=90。或A=B,

所以△A3C是直角三角形或等腰三角形.

考點探究——提素養

考點一利用正、余弦定理解三角形

例1(2024?江西紅色十校聯考)在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosA

=Z?sin8+csin。一2csinBcosA.

⑴求A;

歷

(2)若a=也,sinB=,求/?和c.

解(1)設△ABC外接圓的半徑為R,

因為acosA=Z?sinB+csinC—2csinBcosA,

所以由正弦定理Y7=-^=-7；=2R,得

sinAsinBsine

a-2RcosA=b2+c2—2Z?ccosA,

結合余弦定理a1=b2+c2—2/?ccosA,得

a2RcosA=a2,因為

所以2RcosA—a=2i?sinA,所以cosA=sinA,

jr

因為A€(0,7i),所以4=不

(2)由(1)知A=7所以2R=sj也=2,

所以b=2RsinB=2/§=喙,

由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,得2=由+。2—2、乎展乎，即2c2—2。一3=0,

解得C=1可^或C=1J(舍去).

QL7近1+夜

綜上，b=為,c=--

【通性通法】

應用正弦、余弦定理的解題技巧

利用正弦定理變形公式〃一?需等或余弦定理層—/十°2—2bccosA等求解

求邊

利用正弦定理變形公式sinA—"SR8等或余弦定理變形公式cosA—>"等求

求角

解

利用式

如出現/+〃—。2=力"的形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次

子的特

式用正弦定理

點轉化

【鞏固遷移】

1.(2023?廣東東莞一模)設△A5C的內角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且滿足2〃sinA=(2。

一c)sinB+(2c—Z?)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若〃=2/，b=2,求角。的大小.

解⑴由已知及正弦定理可得2a2=(2b—c)b+(2c—b)c,

整理得b2+c2—a2=bc,

濟［、/。2+。2一〃2慶1

所以cosA_2bc~2bc~2-

JT

又A€(0,7i),所以A=g.

⑵由正弦定理可知急=導，

又〃=2，§,b=2,A=?

iIT

所以sinB=2<sinA=29故B=',

Jr

因為A+8+C=7i,所以C=].

考點二利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

例2在△A3C中，角A,B,。所對的邊分別為“，b,c,〃=7,6=8,從下面兩個條件中

任選一個作為已知條件，判斷△ABC是否為鈍角三角形，并說明理由.

131

①cosC=m；②cos3=,.

注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.

13

解若選①，在△A5C中，由余弦定理，="+反一2〃灰\)5。，#c2=72+82—2x7x8x—=9,

所以c=3.

因為cV〃V。，所以5是△A5C的最大角.

在△ABC中，

由余弦定理b2=a1+c2—2accosB,

72+32—821

得cos3=-五一=2x7x3―產。，所以5是鈍角，

所以△ABC是鈍角三角形.

若選②，

解法一：在△A3C中，

由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,

得82=72+C2-2X7CX1,

化簡，得(c—5)(c+3)=0,

解得c=5或c=-3(舍去)，

因為cVaVA所以B是△ABC的最大角.

因為cos5=：>0,所以3是銳角，

所以△ABC不是鈍角三角形.

解法二：在△A3C中，因為cos3=],

所以sinB=yl1—cos2B=^^.

ABC中，由ZE?弓吸里sin/1—sinB,

日asmB7x7或

骨SinA=—-=--=2.

因為cos8=：>0,所以3是銳角.

又所以AVB,所以A是銳角.

因為sinA=坐，所以cos為=yj1-sin2A

4\/31111

所以cosC=cos（7i—A—B）=-cos（A+B）=sinAsinB—cosAcosB=T—-2X7=14>^）,所以

C是銳角.

綜上，△ABC不是鈍角三角形.

【通性通法】

1.判斷三角形形狀的兩種常用途徑

2.判斷三角形的形狀的注意點

在判斷三角形的形狀時一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隱含條件.另外，在變形過程中

要注意角A,B,C的范圍對三角函數值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，

應移項提取公因式，以免漏解.

【鞏固遷移】

2.在△ABC中，5￡=$出啜1,b,c分別為角A,B,C的對邊），則△A3C的形狀為（）

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

名r+u上.再1—cosB,c—cz1-cosB

解析由sm3=-—,得0-2—，

即cosB--.

C

+d-廿9

解法一：由余弦定理得一加「=?即。2+c2—〃=2層，所以標+爐=/.所以△ABC為直

角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

解法二：由正弦定理得cos3=sinC又sinA=sin(8+C)=sin8cosC+cos3sinC,所以cosBsinC

=sinBcosC+cosBsinC,即sin8cosC=0,又sinBWO,所以cosC=0,又C為三角形的內角，

7T

所以。=多所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

考點三正、余弦定理的綜合應用（多考向探究）

考向1三角形的周長、面積問題

Z?2+理一

例3（2023?全國甲卷）記△ABC的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,已知一

2.

⑴求be；

^acosB—bcosAb

⑵若啟而何―1=1'求AAABC的面積?

解(1)因為a2=b2+c2—2/?ccosA,

及+。2一層2Z?ccosA

所以，=2bc=2,

cosAcosA

解得bc=l.

〃cosB—Z?cosAb

（2）由正弦定理可得

acosB+bcosAc

sinAcosB-sin5cosAsinBsin(A—5)sin。sin(A-5)-sin5

sinAcosB+sinBeosAsinCsin(A+B)sin(A+B)sin(A+B)

變形可得sin(A-B)~sin(A+B)=sinB,

即—2cosAsinB=sinB,

而OVsin^Wl,所以cosA=—

又OVAV兀，所以sinA=2J

,,c1,.41,V3亞

故SAA5C=2^CS11V1=2X1X2=4,

【通性通法】

與三角形面積有關問題的解題策略

利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的

策略一

面積

策略二把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量

【鞏固遷移】

3.（2022?全國乙卷）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin（A—8）=

sinBsin(C-A).

⑴證明:2〃2=〃+?；

(2)若a=5,cosA=五，求△ABC的周長.

解(1)證明：已知sinCsin(A-B)=sinB-sin(C—A),

可化簡為sinCsinAcosB—sinCcosAsinB

=sinBsinCcosA—sinBcosCsinA.

由正弦定理可得

accosB—bccosA=bccosA—abcosC,

即accosB=2Z?ccosA—abcosC.

,人、、d!2+c2—/?2/?2+c2—d!2“2+/一

由余弦正理可付ac-宏=Ibc-蘇“小F^，即2占〃+c2.

(2)由(1)可知/+，=2〃2=50,

?+(?一次50—252525

cosA=-近一=26c=荻=藥

26c=31.

'：b2+c2+2bc=(b+c)2=8l,

；.6+c=9,；.a+6+c=14.

.?.△ABC的周長為14.

考向2三角形中的最值、范圍問題

例4(2023?內蒙古呼倫貝爾模擬)在△A8C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且sinCcos專

(2小八.B

=1cosC戶1町

JT

⑴當8=可時，求sinC+sinA的值;

(2)求3的最大值.

解(1)由題意，得

則sinC+sinA=sinC+sin^C+^=右.。+半cosC=V^^^sinC+gcos@=1.

(2)sinCcos^=coscjsin^,兩邊同乘以2cos學

B(后、BB

得2sinCcos22'=I-cosCl-Zsin^cos'^,

即sinC(l+cosB)=C^—cos@sin3,

整理，得sinC+sinA=^-^~sinB.

由正弦定理，得〃+c=叫.

由余弦定理，得

tz2+c2—Z72(a+c)2—b2—2acb1

cosB=-2^~=2^=6ac~1-

因為=!廿,當且僅當〃=c時等號成立，所以cos3=2：—12—

一??_z

27t

由于86(0,兀)，而〉=8$了在(0,兀)上單調遞減，故B的最大值為亍.

【通性通法】

解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本

不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數表示，結合角的范圍

確定最值或范圍.

【鞏固遷移】

4.(2024?山東青島模擬)記△A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosB+bcosA

=2ccosC.

⑴求c；

(2)若△ABC為銳角三角形，求反的取值范圍.

解(1)因為acosB+bcosA=2ccosC,

所以由正弦定理，得

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即sin(A+8)=2sinCcosC,

因為—C,

所以sin(A+B)=sinC=2sinCcosC,

因為0<C<兀，故sinCWO,

1IT

所以cosC=2,所以C=§.

1,7c27r

(2)由(1),知C=yA=~^—B,

因為△ABC為銳角三角形，所以0<3<m且0〈與一5號所以專<5號

坐cosB+/inB小

由正弦定理，得籍篝x

sinB_2tanB^2J

因為Q與所以tanB坐

所以

考向3利用正、余弦定理解決平面幾何問題

例5如圖，在圓內接△A8C中，Z.CAB,ZABC,NAC8所對的邊分別為a,b,c,且acos

ZACB+ccosZCAB=2bcosZABC.

⑴求/ABC的大小；

(2)若點。是劣弧AC上一點，a=2,c=3,sin/CAO=理，求線段A。的長.

解(1)由題意知sinZCABcosZACB+sinZACBcosZCAB=2smZABCcosZABC,

.".sin(ZCAB+ZACB)=sinZABC

=2sinNABCeosZABC,

V0<ZABC<7i,AsinZABO0,

171

cosZABC=2^*,*ZABC=y

(2)在△ABC中，由余弦定理可得40=<22+32—2x2x3x/=市，

由/ABC=W，得NA￡)C=空，

由sin/CAD=浮，且/CAD為銳角,

得cosZCAD=yJ1-(^)=斗，

sinZACD=sin[j-/CAD)=冬平一上等=唔,

由正弦定理可得張女

在△ADC中,

142

：.AD^1.

【通性通法】

平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值等問題，通常是轉化到三角形

中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，

如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列

出方程，解之可得，若研究最值，常使用函數或基本不等式.

【鞏固遷移】

5.記△A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知乂=的,點。在邊AC上，BDsm

ZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2Z)C,求cosNABC

解(1)證明：設△ABC外接圓的半徑為R,

由正弦定理，得sin/A3C=外，sinC=^,

Z/vZ/v

因為BDsinZABC=asinC,

bc

所以BD^=a^即BDb=ac.

Z/\Zi\f

又因為廬=QC,所以5。=/?.

(2)解法一：因為AD=2DC,

所以A￡)=里，CD=^b,如圖，

/+房一

在ZkABC中，cosC=-9—,①

〃+圖—反

在△8CZ)中，cosC=----------------.②

2嗎

由①②，得/+〃一，=3次+像2—〃，

整理，得2/—?。2+。2=0.

又因為b2=ac,所以6次一n〃c+3c2=0,解得或〃=竽,

當〃=件時，從=〃（?=]",“+Q，哼1c（舍去）.

W3c,23c32

當〃=了時,b—ac=~^,

啰+入孝7

cosNA8C=o=J2，

2?多

7

所以cosNA3C=適.

解法二：由(1),知5O=Z?=AC,由AZ)=2。。,

得AD=］。，CD=gb.

在△AQ8中，由正弦定理，

/HADBD

^sinZABZ)=slnA-

、2

因為SAABD=^SAABCf

1221

所以］xw02sinZADB=^x.~acsmZABC.

又〃=QC,所以sinZADB=sinAABC.

所以ZADB+ZABC=TI或ZADB=ZABC,

所以NCBD=NA或NA80=NC,

當NC8O=NA時，因為

sinNCB。—sinC

3b

所以氐/=菽，化簡，得sinC=3sinA.

在△ABC中，由正弦定理，知c=3〃.

又Z?2=〃C=3〃2,

〃2+d—廬〃2+媛一3次7

所以cosXABC—=彳＞1(舍去);

2〃X3Q

當NA8O=NC時，因為

sinNABQ—sinA'

3h2

所以赤=而不化簡，得sinC=]sinA

2

在AABC中，由正弦定理，知c=]〃.

又/二4尸御

_22

〃2+―左a3a7

所以C°S/A8C=F^=—=

「2^-12-

2x-a2

7

故cosZABC=-^2,

課時作業

制建基礎鞏畝索

一、單項選擇題

1.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a，A=2B,則cos8=()

A.BY

C.當D.羋

答案C

V6

2b21

解析因為〃,A=2B,所以由正弦定理可得而而=焉，所以所以

2sinBcosBsinB'

cos3=￥.故選C.

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3：2：4,則cosB=()

1

A.4B-16

11D.(

C.

16o

答案D

解析設內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,因為sinA:sinB:sinC=3：2：4,所以a：b:

c2+c^—b216^+9^—4^7,,、小

：設貝二,故選

c=3:24,a=3k,b=2k,c=4k,k>0,IcosB=2ac2x3kx4k

D.

3.（2024.鄭州調研）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知

則C=()

.兀c兀

A-12B-6

一兀c兀

C,4D.

答案B

解析由題意得4=5+與所以sinA=sin(B+&=cos8,又。=小。，所以由正弦定理得sinA

=，§sinB,故cosB=^/3sinB,所以tanB=坐，因為3€(0,兀)，所以8=*,所以。=九一仁+電

*弋.故選B.

4.在△A3C中，內角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知/+，一反一碇=0,△ABC的

外接圓半徑尺=小，△ABC的周長為9,則QC=()

A.6B.9

C.16D.24

答案B

層+—廬i

解析在△ABC中，由/+，一力2—〃c=0,可得〃2+，一力2=〃的所以cos5=----2^----=29

由0V5〈兀可得B=?所以Z?=2RsinB=2，§x坐=3.因為△A8C的周長為9,所以a+c=9

—6=9—3=6,由/+(?一82—碇=0,可得(〃+c)2—3碇=廬=9,所以3ac=27,所以ac=

9.故選B.

5.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,若(M§0—C)COSA=〃COSC,則COSA=

()

A近B正

C也D迪

答案A

解析由正弦定理，得(小sinB—sinC)cosA=sinAcosC,即小sinBcosA=sin(A+C)=sinB,*.*

J3

0<B<TI,sinB>0,cosA=.故選A.

6.(2023?浙江杭州模擬)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知acosB+bcosA

b

=3ccosC,asinA—csinC+bsinA=0,則一=()

57

--

33

A.cB.

7D.5

--

22

答案A

解析在A4i5c中，由正弦定理及acosB+Z?cosA=3ccosC,得sinAcosB+cosAsinB=

3sinCcosC,所以sin(A+B)=sinC=3sinCcosC,又sinCWO,所以cosC=g.由正弦定理及asinA

42+匕2-匕2_ab1

-csinC+Z?sinA=0,得/—，=一次?.又由余弦定理，得cosC=----yv----=,卜=],所以

b=5

a~y

7.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃,b,c,若(〃+Z?)(sinA—sin8)=c(sinC+sinB),

b+c=4,則△ABC面積的最大值為()

A.|B.坐

C.1D.y[3

答案D

解析根據正弦定理知(〃+Z?)(sinA-sinB)=c(sinC+sing)可化為(a+0)(〃一A)=c(c+Z?),即b2

+c2—a2=—bc,故cosA/〃=-；'因為A€(0,聯所以A=金，貝UsinA=^".因

為/?+c=4,b+c^2\[bc,所以Z?cW4,當且僅當/?=c=2時，等號成立，此時△A5C的面

積S=5心inA=M5,故△ABC面積的最大值為小故選D.

8.在△ABC中，若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是()

A.(0局B.(0，0

(兀兀、(1171~

C.C句D.14刃

答案A

解析設c=AB=l,a=BC=2,6=AC.根據兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

可知1<Z?<3,根據余弦定理850=表32+"一環=/(4+〃一])=/(3+廬)=京+/

信與=坐當且僅當靠=1,即時等號成立，所以0<CW^.故選A.

\liUT"乙ICZT'U

二、多項選擇題

9.(2023?江蘇鎮江二模)在銳角三角形ABC中，A,B,C是三個內角，則下列不等式一定成

立的是()

A.sin(A+B)>sinA+sinB

B.sinA>cosB

C.sinB>cosA

D.sinA+sinB<2cosC

答案BC

解析在三角形中，兩邊之和大于第三邊，貝!|a+b>c,由正弦定理得sinA+sinB>sinC=sin(A

+B),所以A錯誤；因為△ABC是銳角三角形，所以A+B>90。今sinA>sin(90。一8)=cosB,

所以B正確；同理C正確；由于sinA>cosC,sinB>cosC=>sinA+sinB>2cosC,所以D錯誤.故

選BC.

10.己知a,b,c分別是△ABC三個內角A,B,C的對邊，下列四個命題中正確的是()

A.若tanA+tan8+tanC>0,則△ABC是銳角三角形

B.若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形

C.若灰:osC+ccos8=6,則△ABC是等腰三角形

若一則是等邊三角形

D.cosAcosBcosC4ABC

答案ACD

解析tanA+tanB=tan(A+B)(1—tanAtanB),.".tanA+tanB+tanC=tan(A+3)?(1—tanAtanB)

+tanC=—tanC(l-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanOO,.".A,B,C均為銳角，，人正確；

由acosA=6cosB及正弦定理，得sin2A=sin28,...AnjB或A+8=],.'.△ABC是等腰三角

形或直角三角形，；.B錯誤；由6cosC+ccosB=6及正弦定理，可知sinBcosC+sinCcosB=sinB,

；.sinA=sin8,：.A=B,則AABC是等腰三角形，；.C正確；由已知及正弦定理，易知tanA

=tanB=tanC,A=B=C,則△ABC是等邊三角形，；.D正確.故選ACD.

三、填空題

11.(2024?嘉興模擬)A48C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知csinA=/acosC,

c=26，ab=8,則a+6的值是.

答案6

解析由csinA=^/3<7CosC及正弦定理得sinCsinA=^/3siii4cosC,VsinAv^O,tanC=^/3,

22222

兀—,人-PMa+Z?—c(a+Z?)—c1、

'?*CG(0,7C),/.C=T,再由余弦定理侍COSC=7=,門卜=5，代入c=

2\[3,ab=8,得〃+b=6.

12.(2023?宜春模擬)AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知Z?sinC+csinB=

4〃sin8sinC,Z?2+c2-?2=8,則△ABC的面積為.

宏案

口水3

解析*.*/?sinC+csinB=4?sinBsinC,sinBsinOO,結合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=

4sinAsinBsinC,.，.sinA=2,b2-\-c2—a1=?>,結合余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,可得2bccosA

=8,二.A為銳角，且cosA=坐，從而求得。c=理工:.△ABC的面積為S=；0csim4=/"卓

JT

13.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=§,c=4,/XABC的面積為

2小，則外接圓的半徑為.

答案2

解析由SAABc=；bcsiM得Jbx4sin]=2小，解得6=2.由余弦定理*=62+，—2bccosA,

得“2=22+42—2x2x4cos異12,所以。=24，由正弦定理，得外接圓的半徑氏=二匕

3zsin/i

2小'

2x坐

7

14.在△ABC中，已知45=4,AC=7,8c邊的中線AZ)=],那么8C=.

答案9

_|_Aj\2_A〃2

解析在△48。中，結合余弦定理得cos/AOB=-Zm.DU-/A\CU—，在△AC。中，結合余弦

CE^-^AD2一AC2

定理得cos/AOC=——mn——，由題意知ZADB+ZADC^n,所以COS/

2222

,BD+AD--AB-CD+AD-ACCD2+(JJ-42

ADB+cosZADC=O,所以一2BD.AD—+-^CDAD=°'即-----7------+

2x-C￡)

5+?-72

-----7------=0,解得CZ)=E，所以8C=9.

2x-C￡)一

四、解答題

15.(2024?山東荷澤模擬)在△4BC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AB-AC^,bsinA

=4(sinAcosC+cosAsinQ.

(1)求〃的值；

(2)求△ABC周長的最大值.

解⑴由bsinA=4(sinAcosC+cosAsinQ,得加inA=4sin5,

由正弦定理，得ab=4b,

解得4=4.

(2)由ABAC=?,得/?ccosA=1.

由余弦定理，得余、號,二*整理，得房+。2=25.

由25=加十°22屹："，得班(當且僅當6=c=平時取等號)，

所以aABC周長的最大值為4+5^2.

cir?A—sin"

16.(2023?吉林實驗中學模擬)5c的內角A,B,。的對邊分別是mb,c,且――7一

a—c

a~\~b'

(1)求角B的大小;

(2)若〃=3,。為AC邊上一點，BD=2,且8。為角8的平分線，求△ABC的面積.

Ee,sinA—sinBa-c

解⑴因為

a~\~bf

,一「、、fa-ba-c

由正弦定理'上z-=.+%'

化簡，得a1+c2—b2=ac,

所以由余弦定理，得cos"2ac

71

又因為3€（0,兀），所以B=g.

（2）c

A

如圖所示，

因為S^ABC=SAABD~\~SACBD9

即切.8csin/ABC

1ZABC

=^BABDsm_2~

,1ZABC

+]BCBDsin——,

化簡，#BA+BC=^BABC,①

又由余弦定理，得AC?=BA2+Be?—2848CC0SNABC,

即（8A+8C）2-33A.8C=9,②

①②聯立，解得BABC=-2（舍去）或6,

所以SAABc=^BA-BCsmZABC=^-.

素養提標

17.（多選）對于△ABC,有如下判斷，其中正確的是（）

A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形

B.若A>B,則sinA>sinB

C.若a=8,c=10,2=60。，則符合條件的△ABC有兩個

D.若sii?A+sin?氏si/C,則△ABC是鈍角三角形

答案ABD

解析對于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形，故A正確；對于B,

77人

若A>B,貝！|a>b,由正弦定理.4=.R=2R,得2RsinA>2Rsin5,即sinA>sinB成立，故B

sin/isin/j

正確；對于C,由余弦定理可得/7=\y82+1（）2—2X8X10X；=2，^T,只有一解，故C錯誤；

、4+廿一02

對于D,若sin2A+sin2B<sin2C,則根據正弦定理得"+廬<，，則cosC=-------------<0,所以

C為鈍角，所以△A8C是鈍角三角形，故D正確.故選ABD.

18.（多選）（2024?珠海模擬）已知△ABC滿足sinA:sinB:sinC=2：3：巾，且SAABC=呼,

則下列命題正確的是（）

A.ZkABC的周長為5+巾

B.△A8C的三個內角A,B,C滿足關系A+8=2C

C.AABC外接圓的半徑為

D.AABC的中線C。的長為華

答案ABD

解析因為△ABC滿足sinA：sinB:sinC=2：3：巾，所以a：b：c=2：3：巾，設a=2t,

222222

rqe人力、-rmtz+Z?—c4/+9z—7Z1.__

b=3t,c=y[7tft>0,利用余弦定理骨cosC=----五石---=----右---=爹，由于C€（0,兀），

所以.對于A,因為SA43C=U-，所以5〃加皿。=5'2機3機天-="^-,解得尸匕所以〃

=2,b=3,c=S，所以△ABC的周長為5+市，故A正確；對于B,因為C=?所以A

2冗

+B=—,故A+3=2C,故B正確；

對于C,利用正弦定理得卓=2R,解得R=寫，所以△ABC外接圓的半徑為

sineA/JJD

2

號,故C錯誤；對于D,如圖所示，在△ABC中，利用正弦定理得,=熹，解得sinA=

2

野,又a<c,所以cosA=平，在△ACD中，利用余弦定理得C￡)2=AC2+AZ)2—ZAC/OCOSA

=9+(—2、3*曰*2^=學，解得故D正確.故選ABD.

19.(2023?廣東茂名一模)已知△ABC的內角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且a=6+26cosC.

⑴求證：C=2B；

⑵求陪的取值范圍.

解⑴證明：在△45C中，由a=b+2bcosC及正弦定理得sinA=sin8+2sin3cosC,

又A=兀一(3+C),sinA=sin[兀一(3+0]=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinB+2sinBcosC,

貝IcosBsinC—sinBcosC=sinB,

/.sin(C—B)=sinB,

*.*0<sinB=sin(C—B),0<C~B<C<TI.

VB+(C-B)=C<K,

：.B=C~B,即C=2B.

⑵解法一：由⑴得C=2B

則5+。=33€(0,7i),

71