2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試(北京卷01)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.若全集U={x[0<x<5,xeZ},A={1,2},8={2,3},則(q/)c8()

A.{2}B.{3}C,{4}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義，先算(。口幺)，然后再求(QM)CB

【詳解】依題意得(。/)={3,4},于是(Q/)c8={3}.

故選：B.

2.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再利用純虛數(shù)的定義求解作答.

【詳解】(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i,而aeR,且復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù)，

+2=0

所以，、八，解得。=-2.

故選：B

2

丫2V2

3.雙曲線。曝―\=1（加＞0）的一條漸近線的方程為＞則加值為（）

94416

A.m=—B.m=—C.m=—D.m=——

4939

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的方程求解即可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線c：亍-\=1（加＞0）的一條漸近線的方程為了=-2心

所以巨=2,解得冽=整

V439

故選：D.

4.若卜x+6）”展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開式中含Y項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.40B.25C.15D.10

【答案】C

【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得〃=5,可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的幕指數(shù)等于3,求

得r的值，即可求得結(jié)果.

【詳解】由（3x+?）'展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=32,求得n=5,

可得（3%+可展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=6?（3x廣?（6J=C；.35一?廣與,

令5-鼻=3,求得r=4,則展開式中含d的項(xiàng)的系數(shù)是C；35Y=15,

故選C.

5.印章是中國傳統(tǒng)文化的代表之一，古代的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件

時代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.如圖是某展覽館展示的一個金屬印

章擺件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該印章擺件底面邊長和上面正四棱錐的

側(cè)棱長均為10cm,則該印章擺件的體積約為（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41）（）

A.940cm3B.954cm3C.960cm3D.964cm3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求得正四棱錐得高為5直，再結(jié)合柱體、錐體的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，

構(gòu)造直角三角形得正四棱錐的高/z=(02一[牛xio]=5我，則正四棱柱的高為5亞,

所以印章擺件的體積

%=/棱柱+%棱錐=l°xl°x5后+gxl°xl°x5近^94°cmM

故選：A.

6.在《九章算術(shù)》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚六尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠也日一

尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有厚墻六尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻.大老鼠

第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.問幾天后兩鼠相遇？()

A.2—B.2—C.2—D.2—

17171717

【答案】D

【詳解】由于前兩天大鼠打1+2尺,小鼠打1+3尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=45

第三天，大鼠打4尺,小鼠打:尺，因此第三天相遇.

設(shè)第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5-y尺，

L24

則4一1，解得y=J

417

相見時大鼠打了1+2+三24=蕓75尺長的洞，用了”—1706天，

17172+彳-2行

3

小鼠打了1+；+(=得尺長的洞，用了2++2白天，

4

即哈天后兩鼠相遇.故本題選擇D.

7.對于一個聲強(qiáng)為/為（單位：沙/加2）的聲波，其聲強(qiáng)級乙（單位：dB）可由如下公式計(jì)算：i=101g—

（其中/。是能引起聽覺的最弱聲強(qiáng)），設(shè)聲強(qiáng)為，時的聲強(qiáng)級為70力，聲強(qiáng)為A時的聲強(qiáng)級為60期，則人

是A的倍

A.1000B.100C.10D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)聲強(qiáng)級與聲強(qiáng)之間的關(guān)系式，將兩個聲強(qiáng)級作差，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算律可得出:的值，可得出

答案.

101g^-=70

，o,兩式相減得1g?=1所以，夕=1。,

【詳解】由題意可得

101g^-=60A

10

因此,乙是八的10倍，故選C.

8.已知偶函數(shù)在［0,+8）上單調(diào)遞減,對實(shí)數(shù)0,6,"同＜"是"/（。）＞/伍）"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的判斷，看條件與結(jié)論之間能否互推，條件能推結(jié)論，充分性成立，結(jié)

論能推條件，必要性成立，由此即可求解.

【詳解】解：..?偶函數(shù)在［。,+8）上單調(diào)遞減，

；./（元）在（-8,0）上單調(diào)遞增,且〃-》）=/（x）,.??/（X）的最大值在x=0處取到，

,?,0＜|a|＜Z＞,/（|a|）＞f（b）,f（-a）=f（a）＞/（Z＞）,充分性成立；

又二/㈤〉/。），二7'（|硝＞/（。|）,?."＜一|a|＜0也符合

.?.不一定是|a|＜6,因而必要性不成立.

所以＜b"是"〃。）＞/㈤”的充分不必要條件.

故選：A

9.在工/BC中，角4氏C的對邊分別為。也。，若cos8=±sin4+sinC=^5,則當(dāng)=（）

55b2

153

A.vB.-C.-D.24

2953

【答案】B

43

【分析】根據(jù)cos5=《得sinB=y,利用正弦定理結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

43

【詳解】VC0S5=G（O,K）,sinS=—,

3J3sinA+sinCa+crr/-

*?,sinA+sinC=----,----；=—；—=A/3,ar即t〃+c=gb,

5sin3b

—b2（a+c>—2ac—b?2b?—2ac4

,?cosB====,

2aclaclac5

ac5

源-“

故選：B.

10.已知圓G：/+/-2x-2y=0,設(shè)其與無軸、V軸正半軸分別交于N兩點(diǎn).已知另一圓C2的半徑為

20，且與圓G相外切，則|C2Ml[c2M的最大值為（）

A.10B.10V2C.20D.20V2

【答案】C

【分析】分析可知M（2,0）,N（0,2）,點(diǎn)3的軌跡方程為卜-以+?-了=18,整理可得

22

|C2M|+|C2^|=40,利用基本不等式運(yùn)算求解.

22

【詳解】對于圓弓：/+/-2》一2了=0,整理可得：C1：（x-l）+（y-l）=2,

可知圓心為G（11），半徑為近，

令x=0,則/-2y=0,解得>=0或>=2,即N（0,2）；

令N=0,則/一2x=0,解得x=0或x=2,即M（2,0）；

因?yàn)镚與G相外切，則|GG|=正+2夜=3近，

可知點(diǎn)Q（x,y）的軌跡為以G為圓心，半徑為3亞的圓,

“、

\JX

則點(diǎn)G的軌跡方程為（X-1）2+（了-1『=18,

可得|C2A4+CM?=[（X-2）2+/]+[f+（）-2）2]=2[（X-1）2+（y-1）[+4=40,

則,叫陀2/。2叫]（"「=2（）,當(dāng)且僅當(dāng)心閭=|C2M=2不時，等號成立,

所以CMJc2M的最大值為20.

故選：C.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線y=4/的準(zhǔn)線方程為.

【答案】了=-』

16

【詳解】試題分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是X,-=上11,所以準(zhǔn)線方程是1=-1-

4,16

12.在A48C中，8是/和C的等差中項(xiàng)，貝I]cos8=.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)8是N和C的等差中項(xiàng)結(jié)合三角形的內(nèi)角和求出角5,即可得解.

【詳解】解：在△ASC中，8是4和C的等差中項(xiàng)，

所以2B=/+C,

因?yàn)?+B+C=?,

所以8=5，

所以cos8=；.

故答案為：y.

13.寫出一個同時滿足下列條件①②③的函數(shù)〃尤)=.

①/(x)不是常數(shù)函數(shù)；②/(無)是偶函數(shù)；③/(x)的最大值為0.

【答案】-X?(答案不唯一)

【分析】利用常見的偶函數(shù)有余弦函數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)為0的二次函數(shù)等，結(jié)合已知可得;'(x)的一個解析式.

【詳解】典型的偶函數(shù)有余弦函數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)為0的二次函數(shù)等，如了=85》，_y=x2.

因?yàn)?(x)的最大值為0,所以可取/(x)=cosx-1或/'(x)=-x2.

故答案為：答案不唯一).

14.在邊長為1的正方形中，點(diǎn)E為線段的三等分點(diǎn)，CE=^DE^E=XBA+iiBC,貝lj

2+〃=;尸為線段5E上的動點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則/.麗的最小值為.

【分析】解法一：以蟀，前｝為基底向量,根據(jù)向量的線性運(yùn)算求而，即可得彳+〃，設(shè)而“就，求萬，而，

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求獷.麗的最小值；

解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求而，即可得％+〃，設(shè)尸--1,0,求萬，而，結(jié)

合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求善.詼的最小值.

【詳解】解法一：以蟀，Z｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求而，即可得彳+〃，設(shè)而“赤，求N,而，

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求彳立麗的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求屜，即可得2+〃,

設(shè)廠(見-34),ae-1,0,^AF,DG,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求不.麗的最小值.

1—>2—?—>—>—?1—>—>

解法一：因?yàn)镃E=—^CE=-BA,貝l]3E=8C+CE=—8/+8C,

233

14

可得4=]4=1，所以％+〃=§;

由題意可知：I反^=1瓦1=1,強(qiáng)?反:=0,

因?yàn)槭瑸榫€段班上的動點(diǎn)，設(shè)筋=左屜=；左耳+左就水?0』,

則方=方+旃=布+左屜=［；左布7+左前,

—*—>—>1—)1%一1忸+1^-1I5C,

又因?yàn)镚為“月中點(diǎn)，則。G=D/+NG=-BC+1Nb=]

可得萬?萬e=\^k-\\BA+kBC左就+］；左一1)前

又因?yàn)閴眩?,1］,可知：當(dāng)左=1時，不.萬不取到最小值二;

1O

解法二：以2為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

可得瓦1=(-1,0),就=(0,1),赤=)；,11,

因?yàn)橹?4拓+〃前=(一4〃)，貝『一'一一3,所以/+〃=?；

〃=1

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段=-3x,xe--,0上，設(shè)尸(a,-3a),ae--,0

且G為4尸中點(diǎn)，則,

可得萬=(a+l,_3q),53=］?,j_lj,

則萬.5S=9^-+(_3a)(_g"l］=5(a+T一］,

且ae-1,0,所以當(dāng)°=一!時，衣.而取到最小值為二；

_3J31o

、45

故答案為：—；——.

31o

15.已知曲線。：^+4)/+冽x/2=4,點(diǎn)尸(x。,%)在曲線C上，給出下列四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線N=x對稱：

②當(dāng)加=-4時，點(diǎn)尸不在直線x-&y=O上：

③當(dāng)a=4時，卜為區(qū)日；

④當(dāng)加=0時，曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于2亞.

其中所有正確結(jié)論的有

【答案】②③④

【分析】對于①：舉例，確定點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(L0)是否滿足曲線方程來判斷；對于②：帶入優(yōu)=-4,然后對

曲線方程左邊因式分解即可；對于③：代入m=4,因式分解得X?+2/=2,然后利用基本不等式求|中|的

最值即可；對于④：代入旭=0,得到X2+2/N2,結(jié)合雙曲線的圖象特點(diǎn)來判斷面積的大小.

【詳解】對于①：點(diǎn)(0,1)滿足曲線C+4_/+加x2/=4,但(1,0)不滿足曲線c：x"+4爐*=4,

所以曲線C不關(guān)于直線V=x對稱，①錯誤；

對于②：當(dāng)加=-4時，x4+4y4-4x2y2-4,即(x?=4,

所以卜一收，1+也了)=4,所以丫一行了彳0,即點(diǎn)尸不在直線x-收了=0上，②正確；

對于③：當(dāng)他=4時，x4+4v4+4x2y2-4,即+2了1=4,ffrl^x2+2y2-2

所以2=f+2/22g2r,得回區(qū)孝，當(dāng)且僅當(dāng)國=應(yīng)3=1時，等號成立，

所以當(dāng)加=4時，區(qū)為盡孝，③正確；

對于④：當(dāng)加=0時，曲線。:/+4/=4,所以卜2+2/丫2》4+4/=4,

所以/+2/22,即日+/21,所以曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于橢圓面積，橢圓面積大于以長軸和

短軸為對角線的菱形面積，

故曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于gx20x2=2血,④正確；

故選：②③④

三、解答題：本題共5小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（滿分13分）已知函數(shù)/（x）=/sin（@x+。）[/＞0,0＞0,0＜夕＜。]，由下列四個條件中選出三個：

①最大值為2；②最小正周期為2兀；

③/（。）=-2；④/1金0.

（1）求函數(shù)/（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵設(shè)8⑴=/⑺/卜-e].當(dāng)xw[O,問時，g（x）的值域?yàn)閇0,2+6],求加的取值范圍.

【答案】（l）〃x）=2sin1x+R單調(diào)遞減區(qū)間為m+2癡—+2E（丘Z）

r5兀5兀

（2）—,—

'，|_126J

【分析】（1）不管選擇哪三個條件，均需利用三角函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合條件一一分析可求出解析式，再根

據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求遞減區(qū)間即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合三角恒等變換化簡g。），利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算參數(shù)范圍即可.

【詳解】（1）對于條件③，有/（0）=川11夕=-2,

兀

因?yàn)?＞0,0＜夕＜5，則sin。〉。，4sin0〉0,

顯然〃0）=4sino=-2不成立，因此只能選擇條件①②④，.......................3分

貝I]Z=2,刃=1,/[-—|=2sin|^-—|==H（A：€Z）,.......................5分

<10)3

所以夕=已，此時/(x)=2sin(x+W；................

……6分

jrjr3冗7147c

令x+—￡—+2foi,一+2fai(左wZ),解之得xw—+2kit,—+2kji(左wZ)；........................8分

6|_22J'

由上可知

(2)g(x)=/(x)/(x—?=2sin(x+:?2sinx=2sinxsinx+cosxj

=sin2x-V3COS2X+A/3=2sin^2x-+^3,....

..................11分

當(dāng)％E[0,機(jī)]時，-y,2m-y,

因?yàn)榇藭rg(x)的值域?yàn)閇o,2+G],則一程wsin]

貝U2x——G——+2kit,——F2kli(kGZ),

,,.7i「兀4K-I「5兀5兀

故2加—G—,——=me——,——........................13分

17.（滿分14分）如圖1,在直角梯形4BCD中，AD//BC,ABYBC,AD=2,AB=1,BC=3,EF

垂直平分40,分別交BC于點(diǎn)、E、F,將四邊形N8泥￡沿E尸折至四邊形4夕尸￡（如圖2）,使得

A'D=4i-

圖1圖2

⑴求證：CD±A'E；

（2）求平面A'CD與平面B'CD夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）述

3

【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即轉(zhuǎn)化為證明HE,平面CDEF；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個平面4co與平面WCD的法向量，

利用向量法求平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）因?yàn)?E=OE=1,收，

所以/官+0^?伊，所以

又AELEF,且。￡。斯=￡,u平面CDE尸，

所以HE，平面COM,

又COu平面CDE尸，所以。_L4E..............4分

（2）因?yàn)?E,EF,￡￡＞兩兩垂直，所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF,ED,E4所在直線分別為X軸、了軸、

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則E(0,0,0),4(0,0,1),￡>(0,1,0),C(l,2,0),9(1,0,1),

所以前=(0,-1,1),友=(1,1,0),函=(0,-2,1)..............6分

設(shè)平面A'CD的一個法向量比=（x,y,z）,

m-DA=—y+z=O

則

m-DC=x+y=0

令J=L則x=—l,z=l,機(jī)=（一1,1,1）..............9分

設(shè)平面B'CD的一個法向量為五=（。也c）,

n-DC=a+b=0

則

n-CBf=-2b+c=0

令b=\,則。=一1,c=2,H=(-1,1,2),............12分

m-n42V2

所以cos〈比，為〉

\rh\-\n\V3xV6丁

故平面A'CD與平面B'CD夾角的余弦值為述.............14分

3

18.（滿分14分）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班~8班進(jìn)行了抽測，采取如

下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到

優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）:

（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)

測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；

（2）若從高一2班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示這2人

中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中

分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用=1"表示第左班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，"4=0"表示第人班抽到的這

名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（左二1,2,…,8）.直接寫出方差。信）,D值），。傳3）,。（無）的大小關(guān)系（無需過

程）.

713

【答案】（叫；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望竟；⑶〃值）=。（或）＞。信）＞。傳）.

【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖求出成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，再求出古典概率.

（2）求出X的可能值，并求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列，再求出期望.

（4）求出短=1及芻=0的概率，再利用兩點(diǎn)分布求出方差并比較大小.

【詳解】（1）依題意，從高一年級的（1）班~（8）班抽測共80人，

其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8=56,

所以估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率為黑=，........................5分

oO10

（2）依題意，高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人,

則X可取01,2,.......................7分

“233八27工3323v3721

'75102517510510501751050

則X的分布列為：

X012

32321

P

255050

173?11T.

X的數(shù)學(xué)期望￡（X）=0x區(qū)+lx嬴+2x嬴=京................11分

（3）依題意，尸（4=l）=0.8,P（q=0）=0.2,。服從兩點(diǎn)分布，則0（。）=0.8x0.2=0.16,

尸?=1）=0.6,尸④=0）=0.4,芻服從兩點(diǎn)分布,則。/）=0.6x04=0.24,

P（a=l）=0.9,Pg=0）=0.1,芻服從兩點(diǎn)分布，則℃3）=0-9'0.1=0.09,

尸（1=1）=0.4,尸（曷=0）=0.6,芻服從兩點(diǎn)分布，則。?）=0.4x0.6=0.24,

所以。值）=。（媒）>。侑）>。修）................14分

19.（滿分14分）已知橢圓C:[+/=l（a>6>0）的離心率為?，其左頂點(diǎn)到點(diǎn)尸（2,1）的距離為風(fēng)，

不過原點(diǎn)。的直線/與橢圓C相交于不同的A,3兩點(diǎn)，與直線。尸交于點(diǎn)。，且方=2麗，直線/與x軸,

V軸分別交于點(diǎn)〃，N.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)△^尸8的面積取最大值時，求的面積.

【答案】⑴三+/=1（2）匕5

42

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率，結(jié)合左焦點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離可得橢圓方程;

（2）利用點(diǎn)差法可得直線/的斜率上=-3,設(shè)直線/：7=-gx+m,加*0,聯(lián)立直線/與曲線C,結(jié)合根

于系數(shù)關(guān)系可得弦長|/同，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離可得三角形八4網(wǎng)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性可得

最值及加，即可得點(diǎn)"，N坐標(biāo)，進(jìn)而可得解.

【詳解】（］）由己知橢圓左頂點(diǎn)為（-。,0）,到點(diǎn)“2,1）的距離為-2）2+（0-,解得a=2,

又橢圓離心率e=￡=Jl-V=Jl-'=@,解得6=1,

所以橢圓方程為：?+/=1；...........4分

（2）

如圖所示，設(shè)/（貓,”），由于A和3為橢圓C上兩點(diǎn),

+只=12_2

瑜"整理得G'T￡

兩式相減，得f+（立...........6分

+"44

設(shè)。（演,坨），由刀=2詼得0為線段的中點(diǎn),

zxA+xBzyA+yB

Q2'2'

由。在線段。尸所在直線上，且P坐標(biāo)為（2,1）,則有七0=4"=；,

]_

即

2

1以一力￡乃一力￡

所以于故七相=...........8分

XA~XB42

設(shè)直線/：7=-gx+m,m^O,聯(lián)立直線/與橢圓C的方程,

x2,,

7+了=1

得,整理得-2加X+2（加2—1）=0,

1

y=——x+m

2

則A=（—2加）2-8（m2-l）＞0,得一行〈加v后且冽WO,

S.xA+xB=2m,xAxB=2（/一1）,

,______J5x14加2_8（加2_----------

\AB\=J1+心\XA-XB\=-----------=網(wǎng)2_叫，

|2-m||4-2m|

點(diǎn)P到直線/的距離為d"飛L，

~2

:?S&APB=；|48|d=|2_加|也_加2=J（2—加2）（2—加江，—正＜加＜血且加。0,............12分

記/（加）=（2—/）（2—機(jī)）2,/'（加）=4（2—加）（切2_加_1）,

令/'（加）=°，及-血＜m＜?得m=-一，

2

所以〃加）=（2--）（2-加『在加ej-五,上4時單調(diào)遞增，在，上15,也上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)加=45時，S“PB取最大值，

2

此時直線/方程為y=-;x+15,

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為M（1-君,0）,N卜，匕普

I2）

：.SMON=^\OM\-\ON\=^^-.............14分

20.（滿分15分）已知函數(shù)/（%）=6，+°111q+1（4＞0）.

⑴若a=e,求/（x）的最小值；

⑵判斷方程/（x）=1+2aIn。的實(shí)根個數(shù).

【答案】（l）2e+l（2）答案見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，得到了'（x）的單調(diào)性及零點(diǎn)，利用/'（x）的符號判斷“X）的單調(diào)性，即可得/（x）的最

小值；

（2）轉(zhuǎn)化方程〃x）=l+2alna即爐…。+工-1110=6瓜，+1g，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函

數(shù)最值情況，分類討論結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，即可求得答案.

【詳解】(1)當(dāng)a=e時，/(x)=ev-elnx+e+l,定義域?yàn)?0,+勿)，...........1分

則r(x)=e-?，/'(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，且/'⑴=0...............3分

所以X?(0,1)時，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

xe(l,+s)時，r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，...........5分

所以〃x)2〃l)=2e+l,

故〃x)的最小值為2e+l............7分

(2)方程/(x)=1+2iln。即e"-qlna=alnx,

xlnalnx

BP-——Ina=Inx,即e~+x—InQ=e+Inx............8分

a

設(shè)g(x)=e、+x,IJJlJex_tofl+x-lna=elnx+lnxBPg(^-lniz)=g(lnx),

因?yàn)間(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

所以x-ln〃=lnx,即lnq=x—lnx,(x>0),............10分