第二節兩條直線的位置關系與距離公式

課標解讀考向預測

1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.近三年高考考查了點到直線的距離公式，以與

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐圓錐曲線交匯融合的形式出現在多選題和填

標.空題中，兩條直線的位置關系也是常考內容之

3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線一，難度不大.預計2025年高考會繼續以多

的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.選題或填空題的形式與其他知識交匯考查.

必備知識——強基礎

知識梳理

I.兩條直線的位置關系

直線/i：y=kix+b\,I2：^=左加+歷的位置關系如下表:

位置關系h，/2方程系數滿足的條件

平行ki=/且b#b?

垂直同女的二-1

相交園如

直線，3：4ix+5i_y+Ci=0,/4：4M+&V+C2=0（/3的法向量、=怛由（4,Ci）,〃的法向量也

=血（加，9））的位置關系如下表:

位置關系法向量滿足的條件h，/4方程系數滿足的條件

辰］/力2—也81=0且2c2—（或4c2一

平行也〃V2

垂直GLI/2+3I82=0

國——AB#。

相交VI與V2不共線

2.兩條直線的交點

直線Z1和12的交點坐標即為兩條直線的方程組成的方程組（優+與'+°—°，的解.

42^+&歹+。2=0

相交Q方程組有幽唯一解;

平行Q方程組訕無解;

重合Q方程組有同無數個解.

注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般

較少使用.

3.三種距離公式

⑴兩點間的距離公式

①條件：點條(ri,yi),尸2(x2,歹2).

②結論：1Plp2|=一(12一陽)2+(H-XI)2.

③特例：點尸(X,回到原點。(0,0)的距離。尸|=出書2.

(2)點到直線的距離

點尸(xo,/)到直線/：/x+W+C=0的距離4=如0邙yo+q

ylA2+B2

(3)兩條平行直線間的距離

兩條平行直線小Nx+2y+Ci=0與句及+為+。2=0之間的距離

常用

I.直線系方程

(1)與直線4x+5y+C=0平行的直線系方程是4x+8y+加=0(7W￡R且m^C).

(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx~Ay+n=0(n^R).

(3)過直線/1：/ix+5iy+G=0與，2：/2x+&y+C2=0的交點的直線系方程為Zix+Sy+G

+A(^2x+52y+C2)=0(2ER),但不包括A

2.五種常用對稱關系

(1)點(%,內關于原點(0,0)的對稱點為(一x,一刃.

(2)點(%,y)關于x軸的對稱點為(%,—y),關于y軸的對稱點為(一%,y).

(3)點(%,y)關于直線＞=%的對稱點為(y,x),關于直線〉=一x的對稱點為(一y,-x).

(4)點(%,y)關于直線x=q的對稱點為(2。-x,y),關于直線＞=6的對稱點為(x,2b-y).

(5)點(x,y)關于點(〃，b)的對稱點為(2Q—x,2b-y).

診斷自測

i.概念辨析(正確的打y”，錯誤的打“X”)

(1)當直線/1和/2的斜率都存在時，一定有質=后2=/1〃/2.()

(2)點尸(xo,yo)到直線y=foc+6的距離為號)

(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T6改編)點/(2,5)到直線/：彳―27+3=0的距離為

答案七

|2-10+3]

解析點/(2,5)到直線/：x—2y+3=0的距離為4=

V1+4

(2)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T7改編)兩條平行線/i：3x+4y—6=0,氏9x+12y—

10=0間的距離為.

答案：

解析依題意，將直線/i：3x+4y—6=0化為/i：9x+12y—18=0,又心：9x+12y—10=0,

所以兩平行線間的距離為

492+12215

(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T1改編)兩條直線/i：x=2和京3x+2y—12=0的交

點坐標是.

答案(2,3)

x~~2,,x'='2,

解析聯立?得,所以兩條直線的交點坐標為(2,3).

3x+2y—12=0,y=3,

⑷直線/1：川+3夕+1=0與直線%6x—2夕一5=0垂直，則p的值為.

答案1

解析由題意，得6p+3x(—2)=0,解得p=l.

考點探究——提素養

考點一兩條直線的位置關系(多考向探究)

考向1判斷兩條直線的位置關系

例1(1)直線2x+y+l=0和直線x+2y+l=0的位置關系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.重合

答案B

解析方程2x+y+l=0可化為y=-2x—l,因此該直線的斜率肥=-2.方程x+2y+l=0

可化為y=-k—1,因此該直線的斜率左2=—1，因為由邦2，h左2=1，一1,所以這兩條直線

222

相交但不垂直.故選B.

(2)(2024?四川宜賓敘州區第一中學期中)直線A：2x—叼+8=0和直線/2：加x+2y—4=0(〃?

GR)的位置關系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.重合

答案B

解析因為2%+(—%)2=0,所以直線/i與直線/2相互垂直.故選B.

【通性通法】

判斷兩條直線位置關系的注意點

(1)斜率不存在的特殊情況.

(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.

【鞏固遷移】

1.(多選)(2024?湖南郴州模擬)若A與b為兩條不重合的直線,它們的傾斜角分別為內，ct2,

斜率分別為k\,左2,則下列命題正確的是()

A.若斜率左尸左2,貝U/l〃/2

B.若后次2=—1,則/山2

C.若傾斜角內=6X2,則/1〃/2

D.若內+<72=兀，則/1±/2

答案ABC

解析對于A,若兩直線的斜率左1=上2,則它們的傾斜角ai=a2,則A正確；對于B,

由兩直線垂直的條件可知，若左心2=—1,則B正確；對于C,由兩直線平行的條件

可知，若傾斜角ai=a2,貝UC正確；對于D,若ai+a2=JT,不妨取內=匹，a2=互，則

33

k\=tan<xi1左2=tana2=-4^,k\k#—1,li,，2不垂直，D錯誤.故選ABC.

考向2由兩條直線的位置關系求參數

例2⑴(2023?遼寧丹東二模)直線/i：x+即-3=0與直線兄(a+l)x+2y—6=0平行，則.

=()

A.-2B.1

C.-2或1D.—1或2

答案A

解析由題意，直線/i：x+砂一3=0與直線&：(。+l)x+2y—6=0平行，由1*2=°(°+1),

得.=—2或a=l.當°=—2時，Zi：x—2y—3=0,%：—x+2y—6—0,1\//h;當a=1時，

h：x+y—3=0,li：x+y—3=0,/i與心重合.故選A.

(2)(2024?江蘇徐州模擬)若直線Zi：(a+2)x+(l-a)y-3=0與直線h：(a~l)x+(2a+3)y+2

=0互相垂直，則a=.

答案±1

解析因為直線/i：(a+2)x+(l—a)y—3=0與心：(。一l)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以

(a+2)(a—1)+(1—a)(2a+3)=0,得層=1,解得0=±].

【通性通法】

解決兩直線平行與垂直的參數問題要“前思后想”

【鞏固遷移】

2.（2023?陜西安康統考二模）已知直線/i：（a~2）x+ay+l=Q,直線小（。一2）x+y+2=0,

則，％=1”是，“〃/2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當〃=1時，/i：—1=0,，2：—x+y+2=0,所以充分性成立；當/i〃

a（a-2）=a-2,

，2時，，解得4=1或Q=2,必要性不成立.故選A.

2分1,

3.（2023?吉林統考二模）已知Q>0,b>0,若直線/i：QX+勿-2=0與直線，2：2x+（l-d）y-\-1

=0垂直，則。+2b的最小值為.

答案9

71

解析由兩直線垂直，得20+6（1—a）=0,即2a+6=06,整理可得-~I■-=1,所以a+2b=（a

ba

十26）1）+』=%+1+4+獨，5+2、當且僅當a=6=3時，等號成立，因此a十

ba\lba

2b的最小值為9.

考點二兩條直線的交點、距離公式（多考向探究）

考向1兩條直線的交點

例3過直線小x—3y+4=0和b：2x+y+5=0的交點，且過原點的直線的方程為（）

A.19x—9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3y=0D.3x+19y=0

答案D

x-3y+4-0,可得直線人和,2的交點坐標為卜7］又所求直

解析解法一：解方程組

2工+歹+5=0,

線過原點，所以所求直線的方程為y=—臺，即3x+19y=0.故選D.

解法二：根據題意，可設所求的直線方程為x—3y+4+"2x+y+5)=0,因為此直線過原點，

所以4+54=0,解得力=一：，所以所求直線的方程為x—3y+4—：(2x+y+5)=0,即3x+19y

=0.故選D.

【通性通法】

求過兩條直線交點的直線方程的方法

(1)直接法：先求出兩條直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程.

(2)共點直線系法：分離參數，假設直線方程中含有的參數為九則將直線方程化為人x,y)+

f(x,y)=0>

旭(x,y)=0的形式，解方程組/即可得定點坐標，從而得到所求的直線方程.

g(x,y)=0

【鞏固遷移】

4.(2024?山西呂梁模擬)過直線x+y+l=0和x—2y+4=0的交點，且與直線工+2》-3=0

垂直的直線方程是.

答案2x—y+5=0

解析解法一：聯立方程，‘解得,’所以交點坐標為(-2,1).直線x+2y

工一2y+4=0,y=1,

i]

—3=0的斜率為一；所以所求直線方程的斜率為一0=2,由點斜式方程得，所求直線方

2

程為y—1—2(x+2),即2x—y+5=0.

解法二：設所求直線方程為x+y+l+“x—2y+4)=0,即(1+%)x+(l—2i?+1+42=0.因為

所求直線與直線x+2y—3=0垂直，所以所求直線方程的斜率為2,易知及L則1拄=2,

22%-1

得力=1,則所求直線方程為2x—y+5=0.

考向2與距離有關的問題

例4(1)(2023?陜西咸陽模擬)已知直線小2x~y+l=0,Z2：x+卬-1=0,且/I_L/2，則點

尸(1,2)到直線，2的距禺”=()

55

答案D

解析由/」/2,可得2x1—lxa=0,解得°=2,故d=與冬口=色鳥故選D.

力+225

(2)(2024?福建廈門階段考試)若平面內兩條平行線/i：x+(6z—1?+2=0,氏QX+2》+1=0間

的距離為“，則實數a=

5------------

答案T

I2--I廠

解析,.71/7/,.*.?(?—1)=2,解得Q=2或。=一1.當Q=2時，d=---『--=---，不滿足

2也4

題意；當。=—1時，滿足題意.故。=—1.

弋55

【通性通法】

求解距離問題的思路

(1)點到直線的距離的求法：可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必

須為一般式.

(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉化法”將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線

上任意一點到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式.

注意：(1)點尸(xo,/)到直線x=a的距離d=|xo一回，到直線y=6的距離1=伙)一6|.

(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x,y的系數分別相等.

【鞏固遷移】

5.(多選)已知直線/過點尸(-1,2),且點/(2,3),8(—4,5)到直線/的距離相等，則直線

I的方程為()

A.3x+y+5=0B.x+3y—5=0

C.x=1D.y=2

答案BC

解析解法一：當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y—2=6x+l),即fee—4+2

=0.由題意，知睇一0+2]=|―4后^￡^十二即|3左一”=|—3左一3],解得左=—1,所以直

#2+13

線/的方程為y—2=—；(x+l),即x+3y—5=0；當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為

x=-1,符合題意.故所求直線/的方程為x+3y—5=0或x=—1.

解法二：當/8〃/時，直線/的斜率后=自8=一%則直線/的方程為y—2=—$+1),即X

+3y—5=0；當直線/過A8的中點(一1,4)時，直線/的方程為x=一l.故所求直線/的方程

為x+3y~5=0或x=—1.

6.(多選X2023?山東濟南調研)已知直線小2x+3y—l=0和直線如4x+6y-9=0,若直線

/到直線Zi的距離與到直線h的距離之比為1：2,則直線I的方程為()

A.2x+3y—8=0B.4x+6j+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

答案BD

解析設直線/的方程為4x+6y+冽=0,冽2且冽9,直線/到直線/i和心的距離分別

山77L日有*2.7一\m+2\\m+9\皿山力_1；2|m+2|_\m+9\口口

為小，辦，由趙思，知d尸忑霹短,辦="5?因為辦=2'所以即

1a

2辟+2|=|加+9],解得根=5或〃?=―—,即直線/的方程為4x+6y+5=0或12x+18y—13

=0.

考點三對稱問題(多考向探究)

考向1點關于點、直線關于點對稱

例5(1)過點尸(0,1)作直線/,使它被直線/i：2x+y—8=0和'x—3y+10=0截得的線段

恰好被點P平分，則直線/的方程為()

A.%—4j+4=0B.4x-y—4=0

C.4x+y+4=0D.x+4y~4=0

答案D

解析設/i與/的交點為/(a,8-2a).由題意知，點/關于點尸的對稱點2(一°,2a—6)在

/2上，把點2的坐標代入/2的方程得一。一3(2a—6)+10=0,解得a=4.因為點/(4,0),尸(0,

1)在直線/上，所以直線/的方程為x+4y—4=0.故選D.

(2)(2023?江蘇鎮江期中)直線/：y=2x+3關于點尸(2,3)對稱的直線/，的方程是()

A.2x—y—5=0B.2x-\-y—5=0

C.2x—j+5=0D.2x+y+5=0

答案A

解析因為/和/關于點P對稱，則兩直線平行，可設廠的方程為2x—y+6=0(屏3),點P到

兩直線的距離相等，則戶2—3+3|=12x2—3+”=,解得人=—5或6=3(舍去)，所以直

'岳+(-1)2也2+(-1)2

線/'的方程是2x—y—5=0.故選A.

【通性通法】

兩類中心對稱問題

x，—'2Q—x

(1)點關于點對稱：點尸(X,y)關于M(a,6)的對稱點P(T,")滿足?’

y'^2b~y.

(2)直線關于點對稱的兩種方法

【鞏固遷移】

7.直線3x—2y=0關于點°]

對稱的直線方程為()

A.2x—3y=0B.3x—2y—2=0

C.x—y=0D.2x—3y—2=0

答案B

解析設所求直線上任一點為(x,y),則其關于點(？°)對稱的點為【3一一],因為點

[j—x,一@在直線——2了=0上，所以slj―0—2(—y)=0,化簡得3x—2y—2=0,所以所

求直線方程為3x—2y—2=0.故選B.

8.(2024?河北張家口質檢)光線從點/(—3,5)射到x軸上，經反射后經過點8(2,10),則光

線從4到3經過的路程為()

A.5也B.2芯

C.5v10D.10卡

答案C

解析點，(一3,5)關于x軸的對稱點為C(—3,-5),則光線從/到8經過的路程為C8的

長度，SP|CS|=(-3-2)2+(-5-10)2=5/To.故選C.

考向2點關于直線的對稱

例6(2024?河北張家口階段考試)點P(2,0)關于直線/：X—>+3=0的對稱點0的坐標為

)

A.(-3,5)B.(-1,-4)

C.(4,1)D.(2,3)

答案A

f1=-1,

a—2

解析設點P(2,0)關于直線Z：x-y+3=0的對稱點。的坐標為(a,b),則

上—%=0,

22

a=-3,

解得?所以點。的坐標為（-3,5）.故選A.

b=5,

【通性通法】

若兩點P1（X1,勿）與尸2（X2,＞2）關于直線/：Nx+Sy+C=0（/2+52#））對稱，則由方程組

f卜1+x]01+/]

卜〔2J+從2J+C=o,可得到點尸I關于/對稱的點P2的坐標.

Is（%2—xi）—A（y2-yi）=0,

【鞏固遷移】

9.（2023?廣東深圳模擬）已知點4a+2,6+2）和3（6一0,一6）關于直線4x+3y=11對稱，則

a,b的值為（）

A.a=1,6=2B.a=4,b=2

C.a=2,6=4D.a=4,6=2

答案D

解析點/,2關于直線4x+3y=ll對稱，則自B=3,即"2——=3①，且的

4。+2—（6—。）4

他+21—/

中點〔2J在已知直線上，代入得2（6+2）+3=11②,聯立①②組成方程組，解得i_2

故選D.

考向3直線關于直線的對稱

例7（2024?河南南陽模擬）直線x—2y—1=0關于直線y—x=0對稱的直線方程是（）

A.2x—y+l=0B.2x+y—1=0

C.2x+y+l=0D.x+2y+l=0

答案A

解析在直線x-2y—1=0上任取一點尸（a,b）,設點P關于直線＞一工=0的對稱點為。（x,

曰=—1,

.x-ad_v,

y）＜則v+6x+a解得，即尸（y，x）,因為點P（y,x）在直線x—2y—1=0上，所以y

-——=---,旭=方

22

—2x—1=0,即2x—y+l=0,所以所求直線方程是2x—y+l=0.故選A.

【通性通法】

求直線Zi關于直線/對稱的直線h的兩種方法

（1）在直線/1上取兩點（一般取特殊點），利用求點關于直線的對稱點的方法求出這兩點關于直

線/的對稱點，再用兩點式寫出直線/2的方程.

（2）設點尸。，內是直線，2上任意一點，其關于直線/的對稱點為尸1（X1，H）（P1在直線/1上），

根據點關于直線對稱建立方程組，用x,y表示出XI,力，再代入直線/1的方程，即得直線/2

的方程.

特別地，若直線/1與直線/平行，則在直線/1上取一點，求出該點關于直線/的對稱點，由

點斜式可得直線/2的方程.

【鞏固遷移】

10.已知直線/1：x—y+3=o與直線/：x-y-l=0,若直線/i關于直線/的對稱直線為b,

則直線h的方程為.

答案x-y—5=0

解析解法一：由題意，知設直線心：X—y+w=0(〃#3,1),在直線/i上取點

b一311

----xl=—I,

,a[=4,

M(0,3),設點M關于直線/的對稱點為MQ,b),則〃+。b+3解得?即

....------1=0,心=-1,

22

M(4,-1),將M(4,—1)代入/2的方程，得4+1+加=0,解得加=-5.所以直線/2的方程

為5=0.

解法二：易知/i〃/,所以，2〃/,設直線心：x—y-\-m=0(m^3,m豐—1).因為直線4，，2關于

直線/對稱，所以/l與/,/2與/間的距離相等.由兩平行直線間的距離公式得.一([1)1=

伽一(「)I解得機=-5或機=3(舍去).所以直線/2的方程為x—V—5=0.

課時作業

A級基礎鞏固練

一、單項選擇題

1.(2024?甘肅天水模擬)直線東ax+y+l=0與自工+利-1=0平行，則實數a=()

A.1B.-1

C.I或一1D.0

答案A

解析因為直線/i：ax+y+l=0與心：x-Vay—1=0平行，所以4—1=0且一a—1聲0,解得

4=1.故選A.

2.過點4(2,3)且垂直于直線2x+y—5=0的直線方程為()

A.x—2y+4=0B.2x~\~y—7=0

C.x—2y+3=0D.x—2j+5=0

答案A

解析由題意，可設所求直線方程為2)+加=0,將4(2,3)代入上式，得2—2x3+冽=0,

即冽=4,所以所求直線方程為x—2》+4=0.故選A.

3.已知直線/i：x+2y—5=0和直線氏3%—^-1=0的交點為4,。為坐標原點，則點力到

原點的距離|/。|為()

A.1B.2

C.\[5D.3

答案C

解析解方程組?一‘得?一‘即直線/1與直線/2的交點4(1，2),又。為坐標原

3x—y—l=0,y=2,

點，則I/O尸爐工22=3，所以點/到原點的距離為45.故選C.

4.(2024?遼寧撫順模擬)直線/i：2x+y—l=0與直線氏4x+2y+3+a(2x+y-l)=0(實數a

為參數)的位置關系是()

A./1與為相交

B./1與/2平行

C./1與/2重合

D.71與/2的位置關系與。的取值有關

答案B

解析由'4x+2y+3+a(2x+y—1)=0,可得(4+2a)x+(2+a)y+3—a=0,因為2x(2+a)

—1X(4+2Q)=0且1x(3—〃)力一1X(2+Q),所以/i與，2平行.故選B.

5.(2023?湖北武漢模擬)已知定點P(—2,0)和直線/：(l+3A)x+(l+2A)y=2+5A(AFR),則

點P到直線I的距離的最大值為()

A.23B.V10

C.V14D.2v15

答案B

解析將(1+34)/+(1+2為y=2+54變形得(x+y—2)+2(3x+2y—5)=0,所以/是經過兩直線

k+y—2=0,

x+y—2=0和3x+2y—5=0的交點的直線系.設兩直線的交點為。，由?「

3x+2j—5=0,

得交點。(1,1),所以直線/恒過定點。(1,1),于是點夕到直線/的距離d〈|PQ|=

(-2-1)2+(0-1)2=V10,即點P到直線I的距離的最大值為舊.故選B.

6.(2023?山西陽泉模擬)設直線/i：x—2》-2=0與/2關于直線/：2了一了一4=0對稱，則直線

h的方程是()

A.1卜+2/-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+廠11=0D.10x+y—22=0

答案A

x—2y—2=0,x=2,」，(,

解析聯立得，取直線/i：x—2y—2=0_E一點(0,—1)，設點(0，—1)

2x—y—4=0,卜=0，

b+1-1_12

——，a=—,

a25

關于直線/：2x—>—4=0的對稱點為(a,b),則b~l解得11直線/2

4=0,b=",

25

的斜率左=一T，所以直線，2的方程為y=-T(x—2),整理得llx+2y—22=0.故選A.

7.(2024?山東濟南質檢)已知a>0,b>0,直線(0-l)x+2y+3=0與直線x+力一1=0垂直,

則的最小值是()

ab

A.2+也B.4

C.3+2/D.6

答案C

解析因為直線(a—l)x+2y+3=0與直線x+6y—l=0垂直，所以(a—1>1+26=0,即。+

j(a+2Z?)=3+油+日》3+21/^^=3+2仍(當且僅當。=也一1,b

26=1,所以

abab\lab

匕區時，等號成立).故選c.

8.(2023?海南三亞二模)AABC的頂點N(4,3),NC邊上的中線所在直線的方程為4x+13y一

10=0,/48C的平分線所在直線的方程為x+2y—5=0,則NC邊所在直線的方程為()

A.2x—3y+1=0B.x—8y+20=0

C.3x—5y+3=0D.x—y+l=0

答案B

x~\-2y—5=0,x=9,

解析由得所以點2的坐標為(9,-2),設點/(4,3)關于直線

4x+13y—10=0,y=-2

,4—xo._xo=2f

的對稱點為解得“所以

x+2y—5=04(xo,y0),則4±XO3+4(2,

+2X2O5=())加=一1,

22

—2—(—1)

—1),因為點4(2,-1)在直線5C上，所以直線5c的方程為>一(―1)=^-------------------(X—

9-2

11+4.+3]

2),即1+7丁+5=0,設點。的坐標為C(xi,yi),則4C的中點坐標為「三,2J,所以

xi+7yi+5=0,

%1——12

2(X1+4)+y(yi+3)-10=0,解得」'所以點。的坐標為(一12,1),所以總c

月=1,

3—111

-----------='所以4C邊所在直線的方程為歹一3=々x—4),即x—8?+20=0.故選B.

4—(—12)88

二、多項選擇題

9.(2024?湖南長沙模擬)已知兩條直線/i：(a—2)x+3y+2a=0,Z2：x+@+6=0,則下列結

論正確的是()

A.當a=1時，Zi±Z2

2

B.若l\〃h,則a=—1或a=3

C.當a=0時，/i與/2相交于點(-6,-4)

D.直線心過定點(-6,0)

答案ACD

11Q

解析當避=一時,a—2+3〃=—24■—=0,/I_L/2>A正確;若則—2)—3—0,a

222一

=-1或a=3,其中a=—1時，/i的方程為一3x+3y—2=0,即3x—3歹+2=0,心的方程為

x—y+6=0,兩直線平行，Q=3時，兩直線方程均為x+3y+6=0,兩直線重合，不平行，B

x=~6,

錯誤；當。=0時，由,“得

工+6=0,v=—4,

即兩直線的交點為(一6,—4),C正確；直線，2的方程為、+皎+6=0,恒過點(一6,0),D

正確.故選ACD.

10.(2023?重慶八中質檢)下列說法正確的是()

A.動點4,5分別在直線/i：x+y—7=0和/2：x+y—5=0上移動，則線段45的中點M到

原點的距離的最小值為3啦

B.直線3工一y—5=0的傾斜角是直線3%+y—5=0的傾斜角的一半

C.當點P(3,2)到直線冽x—y+1—2加=0的距離最大時，冽的值為1

D.過點(2,1)且與直線3%—2》=0垂直的直線方程為3%+2》-8=0

答案AB

解析對于A,直線/i：x+y—7=0和京x+y—5=0平行，故中點的軌跡方程為x+y—6

=0,原點到直線的距離為4=4=3/，即線段45的中點M到原點的距離的最小值為3啦,

A正確；對于B,設直線/%—^一5=0的傾斜角為a,otG[0,7i),所以tana=43,?=|,設

直線市x+y—5=0的傾斜角為.，/￡[0,兀)，所以tan夕=一/，§=三,B正確；對于C,

直線冽x—>+1—2冽=0過定點N(2,1),當直線與7W垂直時距離最大，此時冽?匕1=-1,

3-2

解得加=-1,C錯誤；對于D,直線3L2尸0的斜率左弓，直線3工+2y-8=0的斜率左2

——3,不滿足左1左2=—L兩直線不垂直，D錯誤.故選AB.

2

三、填空題

11.(2024?湖北襄陽階段考試)過兩條直線x-2y+4=0和x+y—2=0的交點，且與直線3x

―4了+2=0平行的直線方程為.

答案3x—4y+8=0

x—2y+4=0,(x=0,

解析聯立,7解得?故交點坐標為(0,2),設所求直線方程為3X一知+加

x~\~y2=0,y=2,

=0(冽R2),將(0,2)代入，得-8+冽=0,解得加=8,故所求直線方程為3x—4y+8=0.

12.(2023?重慶育才中學模擬)設點4(—2,0),B(0,3),在直線/：x-y+l=0上找一點尸，

使|附+|尸5|取到最小值，則這個最小值為.

答案V17

解析設點5關于直線/：X—>+1=0的對稱點為。(冽，〃)，線段5C的中點12,2J在工

一歹+1=0上，則%一7r±^+1=0,又k/kBc=-l,-—-xl=-1,解得加=2,n=l,即C(2,

22m

1),\R4\+\PB\^\R4\+\PC\^\AC\^\!(2+2)i2+12=<7,即|刃|+|尸2|的最小值為而.

13.(2023?河南新鄉模擬)已知直線/：kx-y+l+2k^Q,若直線/在兩坐標軸上的截距相等，

則實數左的值為________；若直線/不經過第三象限，則左的取值范圍是.

1「—1ol

答案一1或一12,」

解析因為直線/在兩坐標軸上的截距相等，所以原0,在1+2左=0中，令x=0,得

)=1+2匕令歹=0,得x=—2―—,依題意可得1+2左=—2—L即2左2+3左+1=0,解得左

kk

ik+2=0,k=-2,

=一工或左=—1.直線/的方程可化為左(x+2)—y+l=0,由?得?

2[—y+l=0,卜=1，

所以直線/過定點M(—2,1),所以以=一料為坐標原點)，由直線/：kx~y+\+2k=Q,

可得y=Ax+2左+1,若直線/不經過第三象限，則一即左的取值范圍是12,J.

14.(2024?北京海淀區月考)過點尸(3,0)有一條直線/,它夾在兩條直線小2x—y—2=0與

A：x+y+3=0之間的線段恰被點尸平分，則直線/的方程為.

答案8x—y—24=0

解析設直線I夾在直線[1,/2之間的線段是48(/在/1上，3在/2上),4,3的坐標分別是(XI，

yi)，。2,歹2).因為45被點尸平分，所以Xl+%2=6,yi+j2=0，于是X2=6—為，y2=—yi.

2xi-yi-2=0,1116日口)協

由于4在/1上，5在/2上，所以斛骨用=丁，丁1=丁，即4的

.(6—Xi)+(—yi)+3=0,33

坐標是G'T.直線PA的方程為了=「，即8x—y—24=0.所以直線I的方程為8x—y

----0----3

33

-24=0.

四、解答題

15.已知直線/i：x+沖+1=0,h：2x—y—4=0,h：3x+y—1=0.

(1)若這三條直線交于一點，求實數加的值；

(2)若這三條直線能構成三角形，求加滿足的條件.

y-4=0,

解⑴由,'

3x+y-1=0,

x=1,

解得?代入/1的方程，得機=1.

y——2,

(2)當這三條直線相交于一點或其中兩條直線平行時，這三條直線不能構成三角形.

①當三條直線相交于一點時，

由(1)可知，?=1;

②當/1：x+w+l=0與'2x—y—4=0平行時，加=一