絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷03【上海卷】

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，

1.設集合4=口，3],3=（2,4）,則A|jB=—.

2.若復數z滿足（3-4，）z=（2+i）（l-2，）|（其中i為虛數單位），貝”的虛部是—.

3.已知（1+入廠的展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，且

2n

（1+Ax）"=a0+axx+a2xH----1-anx,若q+%+...+q=242,則實數2=.

4.曲線>=/也在點（L0）處的切線的傾斜角為一.

5.袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且

第二次取到紅球的概率是—；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是—.

6.半徑為3的金屬球在機床上通過切割，加工成一個底面半徑為2夜的圓柱，當圓柱的體積最大時，其側

面積為.

7.設一組樣本數據X],%，…%的方差為4,則數據2為+3,2々+3,2%3+3，…，2x“+3的方差為.

8.已知函數在閉區間[-￡刈上的最大值為7,最小值為3,貝!|仍=.

9.已知直線/:>=2岳-應p與拋物線C:/=2p尤（0>0）交于A（%,必），Bg,必）兩點，點A，3在準

線上的射影分別為點A,耳，若四邊形4鉆4的面積為270，則。=—.

10.對于任意兩個數x,y（x,yeN*）,定義某種運算“◎”如下：

x=2m,meNx=2m—1,m￡N*,_

①當*或*時，x?y^x+y.

y=2n,nwNy=2n—\,neN

x=2m,mGN"

②當時,x?y^xy.

y=2n-l,neN

則集合A=｛（x,y）|x?y=i。｝的子集個數是—.

4

11.已知函數f（x）=x+—（2<x<4）,則/（元）的值域為

x-l

12.如圖，已知AC=4,3為AC的中點，分別以AB、AC為直徑在AC的同側作半圓，N分別為

兩半圓上的動點（不含端點A、B、C）,且加.麗=0，則汨.函■的最大值為.

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分,15/16題5

分。

13.已知向量q,￡不共線，實數》,丁滿足（彳-了鳩+（x+y）e2'=e]+34，則x+2y=（）

A.4B.-4C.2D.-2

14.已知f(x)是定義域為(-8,+s)的奇函數，且f(l-x)=f(l+x),則〃2020)=()

A.2020B.0C.2D.-2019

ceacosB,,?

15.在AABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,acosB—bcosA=—,則-----------的最

2acosA+bcosB

大值為（）

B.正C.BD.氈

A.0

223

22

16.已知雙曲線5=1（。>0/>0）的左、右焦點分別是耳，耳，經過鳥的直線與雙曲線的右支相交于

ab

P,。兩點，且I尸耳|：|PQ|：|Q零|=2:2:1,則雙曲線的離心率等于（）

A.72B.73C.2D.3

三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17（14分）如圖，在三棱柱ABC—ABJG中，平面A5C,AB=BC=2BBt,ZABC=9Q°,D為BC

的中點.

（1）求證48//平面ADC1；

（2）若E為4瓦的中點，求AE與DC1所成的角.

18.(14分)記AABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知A=23.

(1)若b=2,c—1,求。；

(2)右/?+c=y/3a>求.

19.（14分）為了調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，某中學數學教師對新入學

的180名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于12小時的有76人，統計成績后，得

到如下的2x2列聯表：

學生本學期檢測數學標學生本學期檢測數合計

準分數大于等于120分學標準分數不足

120分

周做題時間不少于12小時6076

周做題時間不足12小時64

合計180

（1）請完成上面的2x2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“高中生的數學成績

與學生自主學習時間有關”；

（2））（i）若將頻率視為概率，從全校本學期檢測數學標準分數大于等于120分的學生中隨機抽取12人,

求這些人中周自主做數學題時間不少于12小時的人數的期望.

（ii）通過調查問卷發現，從全校本學期檢測數學標準分數大于等于120分的學生中隨機抽取12人，這12

人周自主做數學題時間的情況分三類，A類：周自主做數學題時間大于等于16小時的有4人：3類：周自

主做數學題時間大于等于12小時小于16小時的有5A：C類:周自主做數學題時間不足12小時的有3人.若

從這隨機抽出的12人中再隨機抽取3人進一步了解情況，記X為抽取的這3名同學中A類人數和C類人數

差的絕對值，求X的數學期望.

附：參考公式和數據：K…（c+d）m+c）（b+d），…+"c+i

附表：

尸（『名）0.1000.0500.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

丫22萬

20.（18分）已知橢圓。:"+與=13>6>0）的左、右焦點分別為4（-1,0）,1（1,0）,橢圓上有一點加（1,注），

ab2

過點F?的直線/與橢圓。交于尸，。兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求APQ片的面積的最大值；

（3）已知直線/與直線無=2交于點N,記MP,MQ,建V的斜率分別為％,k2,%，證明：《+&-2&

為定值.

rn

21.（18分）已知常數根￡尺，設/（兀）=加+—.

X

（1）若m=1,求函數，=/（%）的最小值；

（2）是否存在。＜%〈/＜忍，且再、入2、&依次成等比數列，使得了（X）、〃%2）、/（不）依次成等差數

列？請說明理由.

（3）求證：“肛,0”是“對任意再，^2e（0,+?）,匹＜%,都有“再）；’（%）＞/（%）一的充要條件.

數學.參考答案

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，

2.3,兀

1.[1,4)3.24.—

54

.』：

56.8叵兀7.168.-

10：23

9.410.102411.[5,6)12.1

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5

分。

13141516

ABCC

三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17.（14分）（1）證明：???在三棱柱ABC—A4G，平面ABC,

BB]±平面ABC,BB,±AB,BBX±BC,

又NABC=90。，s.ABLBC,故AB,BC,兩兩垂直,

如圖，以3為坐標原點，54所在直線為x軸，BC所在直線為V軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐

標系3-型,

^AB=BC=2BBi=2,則4(2,0,1),3(0,0,0),A(2,0,0),0(0,1,0),弓(0,2,1),

48=(-2,0,-1),AD=(-2,1,0),Aq=(-2,2,1),

m-AD=-2占+%=0

設平面AOG的法向量為碗=（尤1，X，Z］）,則＜

m-AC1=-2無]+2y+Z]=0

取石=1,得加=(1,2,-2).

?*AiB,fh=-2+0+2=0,

\B_Lin,

又A5仁平面AOC1，則AB//平面A。。］.

(2)解:若石為A4的中點,則項，0,1),AE=(-1,0,1),西=(0,1,1),

Ig.西1_1

cos(AE,DC)=

X\AE\-\DC;\72x72~2

由0數運西〉n,可得〈荏，/'〉=g,

JT

故AE與DG所成的角為。.

18.(14分)解：(1)因為A=23,

所以sinA=sin2B=2sin2?cosB,

所以”=26>/+。2J

2ac

化簡得a2-b2=be

因為Z?=2,c=1,

所以〃=;

(2)若Z?+c=J3〃，A=2_B,顯然JB為銳角，

則sinB+sinC=代sinA，

所以sin8+sin(乃-33)=百sin2B,

所以sin5+sin3B=A/3sin2B，

即sinB+sin(B+2B)=出sin2B,

所以sin5+sinBcos2B+sin2BcosB=石sin2B，

即sinB+sinB(2cos2B-l)+2sin3cos」B=2百sinBcosB，

所以4(以)53)2=2有853,

因為cos5>0,

所以cosB=，

2

所以5=

6

19.(14分)解：(1)由題中的數據可以直接填表,

學生本學期檢測數學標學生本學期檢測數合計

準分數大于等于120分學標準分數不足

120分

周做題時間不少于12小時601676

周做題時間不足12小時4064104

合計10080180

..^J80X(60X64-16X40)^2915>10828)

76x104x80x100

，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；

(2)⑴從全校本學期檢測數學標準分數大于等于120分的學生中隨機抽取一人，自主做數學題時間不少于

12小時的概率為，，=0.6,

設從120名學生中抽取12人，這些人周做題不少于12小時的人數為隨機變量y,

.-.7-5(12,0.6),

￡(7)=12x0.6=7.2,

即數學期望為7.2.

5)X可能取值為0,1,2,3,

20.(18分)解：(1)由題意得。=1,a2=b2+c2@9

將點M(1,f)代入橢圓C得：+奈=1②，

聯立①②可得2b4-b2-1=0,BP(2b1+1)(/-1)=0,

b2=1f/=2,

橢圓c的標準方程為9+yJ］；

（2）由（1）可得右焦點耳（1,0）,

顯然直線/的斜率不為0,設直線/的方程為彳=加丫+1,設2不，%）,Q（X2,%），

由（1）得橢圓C的標準方程為：+丁=1,

x=my+1

聯立;%2,整理得(加+2)y2+2沖-1=0,

—+y7=1

[2J

顯然△>(),

2m1

m+2m+2

???△尸。片的面積

4m24,8濟+82>/2

S/郎二半耳入川M一%1=1M一必1=^/（%+為）2-4%%=

(機2+2)2+機2+2一川+2~^771+1

yjm2+1

yjm2+\+-=^=..2看;2,當且僅當g:高'即根=°時等號成立'

m+

2夜272f-

----------；-------?——=72

Vm2+1

:ZQFi的面積的最大值為四;

得直線l的方程為x=my+l,則N（2,工）,

（3）證明：由（2）

m

由(2)P(外,%),。（尤2，%），

2m1

*%=一版百

00?1以72啦2m

3y2（丁彳）丫三產一三20%+%一也.耳1+也=_播+應=o,

則仁+&-2A3=rr+-垃)=--+72=

五一1x2-12-1myxmy2mm2m%?y2m2m]

m2+1

故匕+左2-2左3為定值，且值為0.

21.(18分)解：(1)/(x)=Zm-+-(x>0),

X

1x—1

f'M=-

Xx2x2

令1(x)=0,得x=l,

所以在(0,1)上/'(尤)<。，/(尤)單調遞減,

在(1,”)上f'(x)>0,/(x)單調遞增,

所以/(x)麗=/(1)=1.

(2)若為、/、無3依次成等比數列，則考=玉玉，

若/（%）、若為）、若三）成等差數列,則"（9）=/（再）+/&）,

_.2m.m.m.m（x+x.）根（芭+不）

所以21nx2-------H-----FlnxH----=lnxxH--------------=tlnx2H---------...—,

13Y32

x2苔x3x1x3x2

?2mm（x,+x.）

所以一=,

x2x2

當機=0時，成立，

當根WO時，則2%2=玉+%3，聯立門=石%3，得（%+*3）=七%3,

%；+2玉%3+君=