板塊命題點專練(九)數列與數學歸納法命題點一數列的概念及表示命題指數：☆☆☆☆難度：中、低題型：選擇題、填空題1.(2014·遼寧高考)設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則()A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>0解析：選C∵數列{2a1an}為遞減數列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右邊為關于n的一次函數，∴a1d<0.2．(2014·全國卷Ⅱ)數列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.解析：將a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再將a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出數列{an}是一個周期數列，且周期為3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3.(2014·安徽高考)如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2).過點A作BC的垂線，垂足為A1；過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推．設BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________.解析：法一：直接遞推歸納：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).法二：求通項：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，…，An－1An＝an＋1＝sineq\f(π,4)·an＝eq\f(\r(2),2)an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n，故a7＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)命題點二等差數列與等比數列命題指數：☆☆☆☆☆難度：中、低題型：選擇題、填空題、解答題1.(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1 B．2C．4 D．8解析：選C設等差數列{an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，,2a1＋5d＝16，))解得d＝4.2．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞解析：選B每層塔所掛的燈數從上到下構成等比數列，記為{an}，則前7項的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得S7＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.3．(2017·全國卷Ⅲ)等差數列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則{an}前6項的和為()A．－24 B．－3C．3 D．8解析：選A設等差數列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數列，所以a2a6＝aeq\o\al(2,3)，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，則d＝－2，所以{an}前6項的和S6＝6×1＋eq\f(6×5,2)×(－2)＝－24.4．(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝()A．100 B．99C．98 D．97解析：選C法一：∵{an}是等差數列，設其公差為d，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝3，,a1＋9d＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1.))∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C.法二：∵{an}是等差數列，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差數列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C.5．(2016·浙江高考)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，∴數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是公比為3的等比數列，∴eq\f(S2＋\f(1,2),S1＋\f(1,2))＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))×34＝eq\f(3,2)×34＝eq\f(243,2)，∴S5＝121.答案：11216．(2016·全國卷Ⅰ)已知各項都為正數的數列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．解：(1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因此{an}的各項都為正數，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數列，因此an＝eq\f(1,2n－1).7．(2017·北京高考)已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)設等差數列{an}的公差為d.因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a2＋a4＝10，))所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)設等比數列{bn}的公比為q.因為b1＝1，b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.解得q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq\f(3n－1,2).8．(2017·天津高考)已知{an}為等差數列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)求數列{a2nbn}的前n項和(n∈N*)．解：(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.由b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.因為b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因為q＞0，解得q＝2.所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②聯立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以{an}的通項公式為an＝3n－2，{bn}的通項公式為bn＝2n.(2)設數列{a2nbn}的前n項和為Tn，由a2nbn＝(6n－2)·2n.有Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述兩式相減，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝eq\f(12×1－2n,1－2)－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16.得Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.所以數列{a2nbn}的前n項和為(3n－4)2n＋2＋16.命題點三數列的綜合應用命題指數：☆☆☆難度：高、中題型：解答題1.(2016·天津高考)已知{an}是等比數列，前n項和為Sn(n∈N*)，且eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＝eq\f(2,a3)，S6＝63.(1)求{an}的通項公式；(2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數列{(－1)nbeq\o\al(2,n)}的前2n項和．解：(1)設數列{an}的公比為q.由已知，有eq\f(1,a1)－eq\f(1,a1q)＝eq\f(2,a1q2)，解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·eq\f(1－q6,1－q)＝63，知q≠－1，所以a1·eq\f(1－26,1－2)＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由題意，得bn＝eq\f(1,2)(log2an＋log2an＋1)＝eq\f(1,2)(log22n－1＋log22n)＝n－eq\f(1,2)，即{bn}是首項為eq\f(1,2)，公差為1的等差數列．設數列{(－1)nbeq\o\al(2,n)}的前n項和為Tn，則T2n＝(－beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2))＋(－beq\o\al(2,3)＋beq\o\al(2,4))＋…＋(－beq\o\al(2,2n－1)＋beq\o\al(2,2n))＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝eq\f(2nb1＋b2n,2)＝2n2.2．(2016·江蘇高考)記U＝{1,2，…，100}，對數列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝?，定義ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定義ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1,3,66}時，ST＝a1＋a3＋a66.現設{an}(n∈N*)是公比為3的等比數列，且當T＝{2,4}時，ST＝30.(1)求數列{an}的通項公式；(2)對任意正整數k(1≤k≤100)，若T?{1,2，…，k}，求證：ST＜ak＋1；(3)設C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC＋SC∩D≥2SD.解：(1)由已知得an＝a1·3n－1，n∈N*.于是當T＝{2,4}時，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.又ST＝30，故30a1＝30，即a1＝1.所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*.(2)證明：因為T?{1,2，…，k}，an＝3n－1＞0，n∈N*，所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝eq\f(1,2)(3k－1)＜3k.因此，ST＜ak＋1.(3)證明：下面分三種情況證明．①若D是C的子集，則SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.②若C是D的子集，則SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.③若D不是C的子集，且C不是D的子集．令E＝C∩?UD，F＝D∩?UC，則E≠?，F≠?，E∩F＝?.于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，進而由SC≥SD得SE≥SF.設k為E中的最大數，l為F中的最大數，則k≥1，l≥1，k≠l.由(2)知，SE＜ak＋1.于是3l－1＝al≤SF≤SE＜ak＋1＝3k，所以l－1＜k，即l≤k.又k≠l，故l≤k－1.從而SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1＝eq\f(3l－1,2)≤eq\f(3k－1－1,2)＝eq\f(ak－1,2)≤eq\f(SE－1,2)，故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2(SD－SC∩D)＋1，即SC＋SC∩D≥2SD＋1.綜合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.3．(2017·北京高考)設{an}和{bn}是兩個等差數列，記cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個數中最大的數．(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數列；(2)證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當n≥m時，eq\f(cn,n)>M；或者存在正整數m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數列．解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2,5－3×3}＝－2.當n≥3時，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0，所以bk－nak關于k∈N*單調遞減．所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以對任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差數列．(2)證明：設數列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，則bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)．所以cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1－a1n＋n－1d2－nd1，d2>nd1，,b1－a1n，d2≤nd1.))①當d1>0時，取正整數m>eq\f(d2,d1)，則當n≥m時，nd1>d2，因此cn＝b1－a1n.此時，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差數列．②當d1＝0時，對任意n≥1，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1)．此時，c1，c2，c3，…，cn，…是等差數列．③當d1<0時，當n>eq\f(d2,d1)時，有nd1<d2.所以eq\f(cn,n)＝eq\f(b1－a1n＋n－1d2－nd1,n)＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋eq\f(b1－d2,n)≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.對任意正數M，取正整數m>maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(M＋|b1－d2|＋a1－d1－d2,－d1)，\f(d2,d1)))，故當n≥m時，eq\f(cn,n)>M.命題點四數學歸納法命題指數：☆☆難度：高題型：解答題(2017·浙江高考)已知數列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．證明：當n∈N*時，(1)0<xn＋1<xn；(2)2xn＋1－xn≤eq\f(xnxn＋1,2)；(3)eq\f(1,2n－1)≤xn≤eq\f(1,2n－2).證明：(1)用數學歸納法證明：xn>0.當n＝1時，x1＝1>0.假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，xk>0，那么n＝k＋1時