專題08簡單事件的概率重難點題型專訓（八大題型）【題型目錄】題型一事件的可能性題型二根據(jù)概率公式計算概率題型三已知概率求數(shù)量題型四列表法求概率題型五列樹狀圖法求概率題型六用頻率估計概率題型七用頻率估計概率的綜合應用題型八概率的簡單應用【知識梳理】1.確定事件與隨機事件：（1）確定事:事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；③如果A為不確定事件（隨機事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性的大小：隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：3.概率的意義：（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率，會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．

（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．

4.利用頻率估計概率（1）大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．【經(jīng)典例題一事件的可能性】【例1】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）以下說法：①擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后6點朝上是不確定事件；②將油滴入水中，油會浮在水面上是確定事件；③一個袋子中裝有紅球8個，白球2個，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到紅球的可能性大；④一粒種子埋在土里，給它陽光和水分，它會長出小苗是必然事件．正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)可能性的大小以及事件的分類，對每一項進行分析,即可得出答案．【詳解】解：①擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后6點朝上是不確定事件，故該選項正確；②將油滴入水中，油會浮在水面上是確定事件，∵油的密度小于水的密度，故該選項正確；③一個袋子中裝有紅球8個，白球2個，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到紅球的可能性大，∵紅球的個數(shù)更多，故該選項正確；④一粒種子埋在土里，給它陽光和水分，它會長出小苗是不確定事件，故本選項不符合題意．正確的說法有①②③，共3個；故選：C．【點睛】本題考查了可能性的大小以及事件的分類，熟練掌握可能性的大小以及隨機事件的定義是解題的關(guān)鍵，可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓練】1．（2023春·貴州·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的有（

）①打開電視，播放頻道正好是貴州衛(wèi)視是必然事件；②同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③互為鄰補角的兩個角一定互補；④三個角分別相等的兩個三角形全等；⑤等腰三角形的高也是它頂角的中線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)事件分類，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂線的畫法，互補的意義判斷即可．【詳解】打開電視，播放頻道正好是貴州衛(wèi)視是隨機事件，故①錯誤；同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故②正確；互為鄰補角的兩個角一定互補，故③正確；三個角分別相等的兩個三角形不一定全等。故④錯誤；等腰三角形的底邊上的高也是它頂角的角平分線，故⑤錯誤．故選B．【點睛】本題考查了事件分類，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂線的畫法，互補的意義，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級課時練習）用一副撲克牌中的張設計一個翻牌游戲，要求同時滿足以下三個條件；（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；（2）翻出“方塊”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；（3）翻出黑顏色的牌的可能性比翻出紅顏色牌的可能性小；解：我設計的方案如下：“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張【答案】【分析】根據(jù)各種花色的撲克牌被翻到的可能性的大小，推斷出各種花色的撲克牌的張數(shù)，再根據(jù)總張數(shù)為張，每一種都是整數(shù)，進而得出答案．【詳解】解：一共有張撲克牌，滿足（1），說明“黑桃”和“梅花”的張數(shù)相同，滿足（2）說明“方塊”的張數(shù)比“梅花”的少，滿足（3）說明黑顏色的牌（黑桃、梅花）的張數(shù)比紅顏色牌（紅桃、方塊）的張數(shù)要少，因此黑色的牌要少于張，黑色的兩種牌張數(shù)相同，于是：①黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，②黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，③黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，因此可能為：，，，或，，，或8，，，（不唯一），故答案為：；；；．【點睛】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，理解可能性的大小是正確解答的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）在一個不透明的口袋中裝著大小、外形等一模一樣的個紅球、個藍球和個白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了．請判斷以下事情是不確定事件、不可能事件，還是必然事件．從口袋中任意取出一個球，是一個白球；從口袋中一次任取個球，全是藍球；從口袋中一次任意取出個球，恰好紅藍白三種顏色的球都齊了．【答案】不確定事件；不可能事件；必然事件【分析】（1）從口袋中任意取出一個球，可能是紅球、籃球或白球，即可判斷；（2）口袋中只有三個藍球，則從口袋中一次任取個球，不可能全是藍球，即可判斷；（3）由于口袋中有個紅球、個藍球和個白球，任意一種或兩種顏色的球的總數(shù)都小于9，所以從口袋中一次任意取出個球，必然是三個顏色都有，即可做出判斷．【詳解】（1）從口袋中任意取出一個球，可能是紅球、藍球或白球，所以這個事件是不確定事件；（2）口袋中只有三個藍球，則從口袋中一次任取個球，不可能全是藍球，所以這個事件是不可能事件；（3）由于口袋中有個紅球、個藍球和個白球，任意一種或兩種顏色的球的總數(shù)都小于9，所以從口袋中一次任意取出個球，必然是三個顏色都有，因此這個事件是必然事件．【點睛】本題考查了不確定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟練掌握各種事件的概念是判斷此類問題的依據(jù)．【經(jīng)典例題二根據(jù)概率公式計算概率】【例2】（2023春·全國·七年級期末）同一元素中質(zhì)子數(shù)相同，中子數(shù)不同的各種原子互為同位素，如與、與．在一次制取的實驗中，與的原子個數(shù)比為，與的原子個數(shù)比為，若實驗恰好完全反應生成，則反應生成的概率（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反應的化學方程式，畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，找出反應生成的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：反應的化學方程式為，與的原子個數(shù)比為，與的原子個數(shù)比為，反應后生成的中來自于反應物C，而來自于反應物O，畫出樹狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中反應生成的結(jié)果數(shù)為2，∴反應生成的概率為，故選：B．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．【變式訓練】1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）將一個棱長為4的正方體的表面涂成灰色，再把它分割成棱長為1的小正方體，從中任取一個小正方體，則取得的小正方體恰有三個面涂有灰色的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)題意得出恰有三個面涂有灰色的有8個，再利用概率公式求出答案．【詳解】解：由題意可得：小立方體一共有64個，恰有三個面涂有灰色的有8個，故取得的小正方體恰有三個面涂有灰色的概率為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，正確得出三個面涂有灰色小立方體的個數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·上海浦東新·八年級校考期末）不透明的布袋里有2個黃球、3個紅球，它們除顏色外其它都相同，那么（1）從布袋中任意摸出一個球，這個球恰好是紅球的概率是．（2）從布袋中一次摸出兩個球，這兩個球顏色相同的概率是．【答案】//【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：從布袋中任意摸出一個球，這個球恰好是紅球的結(jié)果有3種，恰好是紅球的概率為：，故答案為：；（2）列表如下：紅紅紅黃黃紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）黃（紅，黃）（紅，黃）（紅，黃）（黃，黃）黃（紅，黃）（紅，黃）（紅，黃）（黃，黃）由表知，共有20種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中另個顏色相同的結(jié)果有8種，所以這兩個球顏色相同的概率為：，故答案為：．【點睛】本題考查了概率公式和利用列表法和畫樹狀圖法求概率，注意列表法和畫樹狀圖法不要遺漏和重復出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標有一個數(shù)字，分別是2，2，3，5，這些小球除標有的數(shù)字外都相同．(1)從袋中隨機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標有的數(shù)字是2的概率為________；(2)先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用概念的公式直接計算即可；（2）先畫樹狀圖，找出所有的等可能結(jié)果和符合條件的等可能結(jié)果，再計算即可；【詳解】（1）解：從袋中隨機摸出一個小球，一共有4種等可能的結(jié)果，摸出的這個小球上標有的數(shù)字是2的結(jié)果有2種，因此，摸出的這個小球上標有的數(shù)字是2的概率，故答案為：（2）解：畫樹狀圖如下：

從樹狀圖可以看出：一共有16種等可能的結(jié)果，摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積是奇數(shù)的結(jié)果有4種，∴摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率為：，答：摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．【點睛】本題考查了公式法求概率，畫樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三已知概率求數(shù)量】【例3】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球是白球的概率是，則口袋中白球的數(shù)量是（

）A．20 B．24 C．30 D．36【答案】A【分析】設白球的個數(shù)是，根據(jù)概率公式列出方程，求得答案即可．【詳解】解：設白球的個數(shù)是，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，即：口袋中的白球有20個，故選：A．【點睛】本題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．【變式訓練】1．（2023春·浙江·九年級專題練習）一個不透明的口袋中，裝有5個黃球、4個藍球和若干個紅球，每個球除顏色外都相同．從中任意摸出一個球是黃球的概率是，則從中任意摸出一個球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設口袋中紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意求得紅球個數(shù)即可求出摸到紅球的概率．【詳解】解∶設布袋中紅球的個數(shù)為x個，∵任意摸出一個球是黃球的概率是，∴，解得∶x=1，∴P（摸到紅球）=．故選A．【點睛】本題考查了簡單事件的概率，記住概率公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級單元測試）一個不透明的口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，九年二班數(shù)學興趣小組進行了如下試驗：從口袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，記為一次摸球試驗，經(jīng)過大量試驗發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則口袋中黃球大約有個．【答案】15【分析】設袋子中黃球約有x個，根據(jù)題意可知從袋子中隨機摸出一個紅球的概率為，由此根據(jù)概率公式建立方程求解即可．【詳解】解：設袋子中黃球約有x個，∵通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在附近，∴從袋子中隨機摸出一個紅球的概率為，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴袋子中黃球約有15個，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量問題，熟知大量反復試驗下頻率的穩(wěn)定值即概率值是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西榆林·八年級校考開學考試）暑假期間，某商場為了吸引顧客，對一次購物滿元的顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤得獎券的機會.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成個扇形），轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎，指向分界線時重轉(zhuǎn)，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍黑獎券金額（元）205080(1)甲顧客購物元，他獲得獎券的概率是___________；(2)乙顧客購物元，并參與該活動，他獲得元和元獎券的概率分別是多少？(3)為加大活動力度，現(xiàn)商場想調(diào)整獲得元獎券的概率為，其余獎券獲獎概率不變，則需要將多少個黃色區(qū)域改為紅色？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用消費的錢數(shù)和元比較即可確定能否參與抽獎，不能參加抽獎則獲得獎金的概率為；（2）用概率公式求解即可；（3）設需要將個黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)元獎券的概率為列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴小明購物元，不能獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，∴小明獲得獎金的概率為；故答案為：．（2）解：乙顧客購物600元，能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，由題意可知，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，共有種等可能的結(jié)果，其中紅色的有種，黑色的有種，所以指針指向紅色的概率為，指針指向黑色的概率為，所以他獲得元和元獎券的概率分別為，．（3）解：設需要將個黃色區(qū)域改為紅色，則由題意得，，解得：，所以需要將個黃色區(qū)域改為紅色．【點睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進行計算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四列表法求概率】【例4】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分2，0，；轉(zhuǎn)盤B被四等分3，2，，．如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對應數(shù)字分別為x，y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）落在直角坐標系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：203（2，3）（0，3）（，3）2（2，2）（0，2）（，2）（2，）（0，）（，）（2，）（0，）（，）由表可知，共有12種等可能結(jié)果，落在直角坐標系y軸正半軸上的情況有2種，所以點落在直角坐標系y軸正半軸上的概率是．故選：C．【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：拋擲一枚質(zhì)地均勻的六個面上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6的正方體骰子，在第n關(guān)要拋擲骰子n次.如果第n次拋擲所得的點數(shù)之和大于n2就算過關(guān)，那么某人連過前兩關(guān)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)概率公式求出第一關(guān)通過的概率，再用列表法列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到出現(xiàn)的點數(shù)之和大于4的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求出第二關(guān)通過的概率，兩者相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：第一關(guān)通過時，擲出的點數(shù)必大于1，而1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中大于1的有5個，所以第一關(guān)通過的概率為：；再計算通過第二關(guān)的概率：列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中出現(xiàn)的點數(shù)之和大于4的結(jié)果數(shù)為30，∴某人連過前兩關(guān)的概率是，所以，兩關(guān)全通過的概率為：．故選：A．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）新高考“3+1+2”選科模式是指，除語文、數(shù)學、外語3門科目以外，學生應在歷史和物理2門首選科目中選擇1科，在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選擇2科．某同學從4門再選科目中隨機選擇2科，恰好選擇地理和化學的概率為．【答案】【分析】表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意列出表格如下：思想政治地理化學生物思想政治思想政治，地理思想政治，化學思想政治，生物地理地理，思想政治地理，化學地理，生物化學化學，思想政治化學，地理化學，生物生物生物，思想政治生物，地理生物，化學由表格可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中該同學恰好選擇地理和化學兩科的有2種結(jié)果，某同學從4門再選科目中隨機選擇2科，恰好選擇地理和化學的概率為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2023春·浙江嘉興·九年級校考開學考試）一個游戲轉(zhuǎn)盤如圖，游戲規(guī)則是：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，若指針落在灰色扇形內(nèi)則獲獎，落在白色扇形內(nèi)不獲獎．已知灰色扇形的圓心角為120°．

(1)若苗苗和竇竇準備各玩一次轉(zhuǎn)盤游戲，請用樹狀圖或列表法求出兩人都獲獎的概率．(2)圣誕節(jié)一天，參加該游戲的共有723人，估計當天獲獎的人數(shù)．【答案】(1)(2)241人．【分析】（1）列表法求概率即可；（2）利用概率公式進行求解即可．【詳解】（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下：ABAA，AA，BBB，AB，B共有4種等可能的結(jié)果，其中苗苗和竇竇都中獎的結(jié)果只有1種，∴；（2）由題意，玩一次轉(zhuǎn)盤游戲中獎的概率為：，∴估計當天獲獎的人數(shù)為人．【點睛】本題考查概率的應用．解題的關(guān)鍵是掌握概率的計算公式以及列表法求概率．【經(jīng)典例題五列樹狀圖法求概率】【例5】（2023春·安徽·九年級專題練習）班主任邀請甲、乙、丙三位同學參加圓桌會議．如圖，班主任坐在C座位，三位同學隨機坐在三個座位，則甲、乙兩位同學座位相鄰的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學座位相鄰的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學座位相鄰的結(jié)果有4種，即，∴甲、乙兩位同學座位相鄰的概率為，故選：C．【點睛】本題主要考查了樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓練】1．（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）某校舉行安全系列教育活動主題手抄報的評比活動，學校共設置了“交通安全”“消防安全”“飲食安全”“校園安全”四個主題內(nèi)容．一班推薦李明與張穎參加手抄報評比，他們兩人選取同一個主題的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中李明與張穎他們兩人選取同一個主題的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“交通安全”“消防安全”“飲食安全”“校園安全”四個主題內(nèi)容分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中李明與張穎兩人選取同一個主題的結(jié)果有4種，∴李明與張穎兩人選取同一個主題的概率是，故選：B．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學校考期末）一個質(zhì)地均勻的正方形骰子的六個面上分別有到的點數(shù)，將骰子拋擲兩次，拋第一次，將朝上一面的點數(shù)記為，拋第二次，將朝上一面的點數(shù)記為，則點落在直線上的概率為．【答案】【分析】由題意畫樹狀圖，可得共有36種等可能的結(jié)果，然后求出在直線上的點的坐標，最后計算求解即可．【詳解】解：由題意畫樹狀圖如下：共有36種等可能的結(jié)果，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，∴在直線上的點的坐標為，，共個，∴點、落在直線上的概率．故答案為：．【點睛】本題考查了列舉法求概率，一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于列舉所有可能存在的情況．3．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預測）黨的二十大報告再次將勞動教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強新時代大中小學勞動教育的重要性為落實勞動教育，某校在寒假期間組織學生進行“為家獻愛心”活動活動設置了四個愛心項目：A．為家人做早飯，B．洗碗，C．打掃家，D．洗衣服．要求每個學生必須且只能選擇一項參加，并且要堅持整個寒假，為了了解全校參加各項目的學生人數(shù)，學校隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)所給信息，解答下列問題：

(1)本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人；(2)請將上述兩個統(tǒng)計圖中缺失的部分補充完整；(3)該校參加活動的學生共2600人，請估計該校參加A項目的學生有人；(4)小雯同學在整個寒假中每天都能堅持洗碗，養(yǎng)成了很好的勞動習慣，媽媽獎勵帶她去看兩場電影，小雯聽說春節(jié)期間新上映的四部電影《流浪地球2》《滿江紅》《無名》《熊出沒之伴我熊芯》（依次記為a，b，c，d）都深受大家喜愛，很難做出決定，于是將寫有這四個編號的卡片（除序號和內(nèi)容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗勻放好，從中隨機抽取兩張卡片．請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的概率．【答案】(1)120(2)見解析(3)390(4)【分析】（1）用B組或D組的人數(shù)除以它們所占的百分比即可；（2）先求出C組人數(shù)和A組所占百分比，再補全統(tǒng)計圖即可；（3）將A組所占百分比乘以參加活動的學生總數(shù)即可；（4）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的結(jié)果數(shù)，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【詳解】（1）∵B組45人，占百分比為37.5%，∴接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：（人），故答案為：120；（2）C組人數(shù)為：（人），A組人數(shù)所占百分比為：，補全統(tǒng)計圖如下：

（3）∵（人），∴估計該校參加A項目的學生有390人，故答案為：390；（4）畫樹狀圖如下：

一共有12種等可能的結(jié)果，抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”的有2種可能的結(jié)果，∴P（兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿江紅》”）．【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，掌握相關(guān)統(tǒng)計圖的意義和列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六用頻率估計概率】【例6】（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），開元同學想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個面積為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題分兩部分求解，首先設不規(guī)則圖案面積為x，根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大小；繼而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．【詳解】解：假設不規(guī)則圖案面積為由已知得：長方形面積為，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為，綜上有：，解得：．故選：D．【點睛】本題考查幾何概率以及用頻率估計概率；本題考查了幾何概率和用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率約為．【變式訓練】1．（2023春·九年級單元測試）甲，乙兩位同學在一次用頻率估計概率的試驗中，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示．則符合這一結(jié)果的試驗可能是（

）A．從一個裝有2個白球和1個紅球的不透明袋子中任取一個球，取到紅球的概率B．在內(nèi)任意寫出一個整數(shù)，能被2整除的概率C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率D．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率【答案】A【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，試驗結(jié)果在附近波動，即其概率，計算四個選項的概率，約為者即為正確答案．【詳解】解：A、從一裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：，故該選項符合題意；B、任在內(nèi)任意寫出一個整數(shù)，能被2整除的概率為，故該選項不符合題意；C、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故該選項不符合題意；D、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為，故該選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，正確計算出各自的概率是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果記錄如下表：投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率先將表中數(shù)據(jù)補全（精確到）；根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計，這名球員投籃一次．投中的概率約是（精確到）．【答案】【分析】用投中的次數(shù)除以投籃的次數(shù)即可補全表中數(shù)據(jù)；根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，隨著投籃次數(shù)越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0．50附近，【詳解】解：，由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)附近，∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為．故答案為：．【點睛】此題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是理解這種概率的得出是在大量實驗的基礎上得出的，不能單純的依靠幾次決定．3．（2023春·陜西西安·七年級高新一中校考期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896b295480601摸到白球的頻率a0.640.590.590.600.601(1)上表中的_________，_________；(2)“摸到白球”的概率的估計值是_______(精確到)；(3)如果袋中有15個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球．【答案】(1)0.58，118(2)0.6(3)10個【分析】（1）利用頻率=頻數(shù)÷樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.6，然后利用概率公式計算其它顏色的球的個數(shù)．【詳解】（1），，故答案為：0.58，118；（2）由表格的數(shù)據(jù)可得，“摸到白球的”的概率的估計值是0.6．故答案為：0.6；（3）(個)，答：除白球外，還有大約10個其它顏色的小球．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【經(jīng)典例題七用頻率估計概率的綜合應用】【例7】（2023春·全國·七年級期末）在一個不透明的罐子里裝有若干個白色的圍棋，現(xiàn)要估計白棋的個數(shù)，從裝黑棋的罐子里取出10個黑棋放入白棋的罐子里．這些棋子除?色外其他完全相同．將罐子里的棋子攪勻，從中隨機摸出一個棋子，記下顏色后再放回袋中，不斷地重復這個過程，摸了200次后，發(fā)現(xiàn)有25次摸到黑棋子，估計這個罐子里的白棋有（

）A．80個 B．75個 C．70個 D．60個【答案】C【分析】首先根據(jù)重復試驗確定取到黑棋子的頻率，然后估計白棋子的個數(shù)即可．【詳解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子，∴摸到黑色棋子的概率約為，∴摸到白色棋子的概率約為，∵共有10可黑色棋子，∴設有個白色棋子，則，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解，故選：C．【點睛】考查了用樣本估計總體的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)重復試驗確定摸到各種棋子的概率，難度不大．【變式訓練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖是用計算機模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗的結(jié)果，下面有四個推斷，其中最合理的（）A．當投擲次數(shù)是時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為時，“凸面向上”的頻率一定是C．隨著試驗次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“凸面向上”的概率是D．當投擲次數(shù)是次以上時，“凸面向上”的頻率一定是．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：A、當投擲次數(shù)是時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的頻率是，概率不一定是，故A選項不符合題意；B、若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為時，“凸面向上”的頻率不一定是，故B選項不符合題意；C、隨著試驗次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“凸面向上”的概率是，故C選項符合題意；D、當投擲次數(shù)是次以上時，“凸面向上”的頻率不一定是，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習）十八世紀法國的博物學家C·布豐做過一個有趣的投針試驗．如圖，在一個平面上畫一組相距為d的平行線，用一根長度為l（）的針任意投擲在這個平面上，針與直線相交的概率為，可以通過這一試驗來估計的近似值，某數(shù)學興趣小組利用計算機模擬布豐投針試驗，取，得到試驗數(shù)據(jù)如下表：試驗次數(shù)15002000250030003500400045005000相交頻數(shù)4956237999541123126914341590相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180可以估計出針與直線相交的概率為（精確到0.001），由此估計的近似值為（精確到0.001）．【答案】【分析】根據(jù)頻率估計概率即可；然后將其代入公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得：當試驗次數(shù)逐漸增大時，相交頻率接近與0.318，∴相交的概率為0.318；∵，∴，∴，解得：故答案為：①；②【點睛】題目主要考查利用頻率估計概率及近似數(shù)的計算，理解題意是解題關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）一個口袋中裝有個白球、個紅球，這些球除顏色外完全相同，將口袋中的球攪拌均勻，求：(1)隨機摸出一球，發(fā)現(xiàn)是白球．如果將這個白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______；如果這個白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______；(2)如果將口袋中加入若干個白球，并取出相同數(shù)量的紅球，然后再從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了次球，發(fā)現(xiàn)有次摸到紅球，請你估計加入______個白球．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①摸出一個白球放回對第二次摸到白球沒有影響，直接利用概率公式求解即可；②確定摸出一個白球不放回的白球和紅球的個數(shù)，直接利用概率公式求解即可；（2）估計利用頻率估計概率可估計摸到紅球的概率為，然后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】（1）解：（1）①如果將這個白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；②如果這個白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；故答案為：①；②（2）解：設加入個白球，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，估計加入個白球．故答案為：．【點睛】本題考查了概率的公式和利用頻率估計概率，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．【經(jīng)典例題八概率的簡單應用】【例8】（2023秋·九年級單元測試）有2個信封，第一個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個游戲，規(guī)則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，得到兩個數(shù)．為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規(guī)則不正確的是（

）A．第一個信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標，第二個信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標，所確定的點在直線上甲獲勝，所確定的點在直線上乙獲勝B．取出的兩個數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個數(shù)乘積小于20時甲得3分，否則乙得6分，游戲結(jié)束后，累計得分高的人獲勝D．取出的兩個數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【分析】利用列表法分別求出各選項中各自情況情況數(shù)即可得出答案．【詳解】解：在上的點有，，，四點；在上的點有，，三點，因此該游戲不公平，故A符合題意；取出兩個數(shù)的乘積不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8種情況，取出兩個數(shù)的乘積大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8種情況，因此該游戲公平，故B項不符合題意；取出的兩個數(shù)乘積小于20的情況數(shù)為10種，可得分，取出的兩個數(shù)乘積不小于小于20的情況數(shù)為6種，可得分，因此該游戲公平，故C項不符合題意；取出的兩個數(shù)相加和為奇數(shù)有8種，和不為奇數(shù)的有8種，因此該游戲公平，故D項不符合題意故答案為：A．【點睛】本題主要考查了游戲的公平性，求出各選項中對應情況數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·九年級單元測試）如圖的四個轉(zhuǎn)盤中，轉(zhuǎn)盤3，4被分成8等分，若讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動一次停止后，指針落在陰影區(qū)域內(nèi)可能性從大到小排列為（）A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①【答案】A【詳解】解：圖1陰影部分為270°，圖2陰影部分為240°，圖3每份為45°，陰影部分共4份為180°，圖4每份為45°陰影部分共5份為225°，所以①②④③，故選A．2．（2023秋·新疆烏魯木齊·九年級烏市一中校聯(lián)考期末）如圖，有8張標記數(shù)字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是．（只填一種方案即可）【答案】甲取走標記5，6，7的卡片（答案不唯一）【分析】由游戲規(guī)則分析判斷即可作出結(jié)論．【詳解】解：若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，則剩余的卡片為1，6或1，4，然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；若甲首次取走標記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：乙取走5，6，7，則甲再取走4和8中的一個，最后乙取走剩下的一個，則乙一定獲勝，故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．【點睛】本題考查游戲公平性，理解游戲規(guī)則是解答的關(guān)鍵．3．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）材料一：甲、乙兩個人做游戲：在一個不透明的口袋中裝有張紙牌除數(shù)字外完全相同，它們分別標有數(shù)字，，，，，，，，從中隨機摸出一張紙牌，若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則甲勝；若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則乙勝，請比較甲和乙誰獲勝的概率大？_________填，或材料二：如圖，某商場為吸引顧客，設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)盤被等分成個扇形，并規(guī)定：顧客每購買元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，若轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅、綠或黃色區(qū)域，顧客就可以分別獲得元、元、元的購物券，則顧客轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得元購物券的概率是_________．材料三：圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，停止后指針落在區(qū)域的概是_________．

【答案】材料一：；材料二：；材料三：【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，分別求得摸到的倍數(shù)與摸到的倍數(shù)的概率；即可得答案；材料二：根據(jù)轉(zhuǎn)盤被等分成份，轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準每分的可能性相同，可得顧客轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得元購物券的概率是，材料三：用扇形區(qū)域的圓心角除以即可得到答案．【詳解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，摸出每張紙牌的可能性相同，摸到的倍數(shù)，摸到的倍數(shù)；出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則甲勝；若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則乙勝，，故答案為：；材料二：轉(zhuǎn)盤被等分成份，轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準每分的可能性相同，轉(zhuǎn)盤停止后，指針對準綠色區(qū)域，顧客就可以獲得元的購物券，顧客轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得元購物券的概率是；故答案為：．材料三：由圖形可知，扇形區(qū)域的圓心角為，轉(zhuǎn)盤停止后指針落在區(qū)域的概率是故答案為：．【點睛】本題考查概率的應用，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式求概率．【重難點訓練】1．（2023春·山東濟南·七年級校聯(lián)考期中）“三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角”這一事件是（）A．隨機事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角，以及必然事件、不可能事件、隨機事件的概念解答．【詳解】解：三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內(nèi)角是必然事件，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理、必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）一個不透明的口袋里有四個完全相同的小球，分別寫有數(shù)字3，4，5，6，口袋外有兩個小球，分別寫有數(shù)字3，6，現(xiàn)隨機從口袋里取出一個小球，以這個小球與口袋外的兩個小球上的數(shù)為邊能構(gòu)成等腰三角形的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由題意可知共有4種等可能的結(jié)果，再由三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的判定得出能構(gòu)成等腰三角形的有1種情況，然后由概率公式求解即可．【詳解】解：∵一個不透明的口袋里有四個完全相同的小球，分別寫有數(shù)字3，4，5，6,∴共有4種等可能的結(jié)果，∴這個小球與口袋外的兩個小球上的數(shù)為邊能構(gòu)成等腰三角形的有：3，6，6，共1種情況，∴能構(gòu)成等腰三角形的概率是，故選：A．【點睛】此題考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三邊關(guān)系，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，小球停在陰影區(qū)域的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算整個圖形的面積和陰影部分面積，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：整個圖形面積，陰影部分面積，∴小球停在陰影區(qū)域的概率，故選：B．【點睛】本題主要考查了幾何概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握幾何概率公式：一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．4．（2023秋·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考開學考試）一天晩上，小偉幫助媽媽清洗四個綠、白、藍、紅顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉隨機將其中一個杯蓋和一個茶杯搭配在一起．則這個茶杯顏色搭配恰好正確的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將四個綠、白、藍、紅顏色不同的有蓋茶杯分別記作；；；，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將四個綠、白、藍、紅顏色不同的有蓋茶杯分別記作；；；，列表如下：共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這個茶杯顏色搭配恰好正確的有4種結(jié)果，這個茶杯顏色搭配恰好正確的概率為：，故選：B．【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2023春·山東淄博·九年級校考期中）如圖1所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法:用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（小球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了圖2所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖知，當實驗的次數(shù)逐漸增加時，樣本的頻率穩(wěn)定在0.35，因此用頻率估計概率，再根據(jù)幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面積的比為0.35，即可求得不規(guī)則圖案的面積．【詳解】p由折線統(tǒng)計圖知，隨著實驗次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.35，于是把0.35作為概率．設不規(guī)則圖案的面積為xcm2，則有解得：x=14即不規(guī)則圖案的面積為14cm2．故選：B．【點睛】本題考查了幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創(chuàng)新，關(guān)鍵在于讀懂折線統(tǒng)計圖的含義，隨著實驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于0.35附近，由此得實驗的頻率，并把它作為概率．這對學生知識的靈活應用提出了更高的要求．6．（2023春·吉林松原·八年級校考階段練習）一個口袋中有15個黑球和若干個白球，從口袋中一次摸出10個球，求出黑球數(shù)與10的比值，不斷重復上述過程，總共摸了10次，黑球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為，因此可估計口袋中大約有個白球.【答案】60【分析】把作為黑球與總數(shù)的比，用15除以求出總數(shù)，減去黑球數(shù)即為所求．【詳解】解：由題意知，黑球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為，則說明黑球占總球數(shù)的，所以總球數(shù)為個，則白球數(shù)為個．故答案為：【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，關(guān)鍵是根據(jù)黑球的頻率得到相應的等量關(guān)系求得球的總個數(shù)．7．（2023·遼寧遼陽·校聯(lián)考三模）如圖，三角形紙板，點M，N分別是中點，點D，E在上，連接、，，小明隨機向紙板內(nèi)投擲飛鏢一次，飛鏢落在陰影部分的概率是．

【答案】【分析】求出飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影部分的面積與三角形的面積之比即可．【詳解】解：連接，設與交于點O．

設，中邊上的高為h，則，∵點M、N分別是，中點，∴，中邊上的高為，梯形的高為,∴．在與中，，∴，∴，中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，∴飛鏢落在陰影部分的概率是，故答案為：．【點睛】此題考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．也考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積．8．（2023春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）八年級（1）班有40位同學，他們的學號是，隨機抽取一名學生參加座談會，下列事件：①抽到的學號為奇數(shù)；②抽到的學號是個位數(shù)；③抽到的學號不小于35．其中，發(fā)生可能性最小的事件為（填序號）．【答案】③【分析】分別求出三個事件的概率，再比較大小即可得到答案．【詳解】解：①抽到的學號是奇數(shù)的可能性為；②抽到的學號是個位數(shù)的可能性為；③抽到的學號不小于35的可能性為，，發(fā)生可能性最小的事件為為③，故答案為：③．【點睛】本題主要考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國古代勞動人民的一項發(fā)明，被譽為“東方模板”它山五塊等腰直角三角形、一塊正方形、一塊平行四邊形組成．如圖，某同學利用七巧板拼成的正方形玩“滾小球游戲”，小球可以在該正方形上自山滾動，并隨機地停留在某塊板上，則小球停留在陰影部分的概率是．

【答案】【分析】設大正方形的邊長為，先求出陰影部分的面積，然后根據(jù)概率公式即可得到答案．【詳解】解：設大正方形的邊長為，，大正方形的面積，小球停留在陰影部分的概率．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·貴州·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)學小組用某種油菜籽在相同條件下進行了10次獨立的發(fā)芽試驗，結(jié)果如表：每次粒數(shù)n251070130310700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)m24960116282639133918062715發(fā)芽的頻率1則估計該種油菜籽發(fā)芽的概率約為．（精確到）【答案】【分析】求各頻率的平均數(shù)，后精確到即可．【詳解】根據(jù)題意，得，故答案為：．【點睛】本題考查了了用頻率估計概率，熟練掌握頻率的平均數(shù)估計概率是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·陜西西安·九年級校考開學考試）一個不透明的口袋中有4個大小相同的小球，球面上分別寫有數(shù)字1、2、3、3，從袋中隨機地摸出一個小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機地摸出一個小球．(1)求第一次摸出一個球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是______；(2)請利用畫樹狀圖或列表法的方法，求兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列出表格，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）∵4個球上的數(shù)有1個偶數(shù)，∴第一次摸出一個球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是，故答案為：；（2）列表如下：123312344234553456634566由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，∴兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預測）某校九年級名學生參加“信息素養(yǎng)提升”培訓，在培訓前、后各參加了一次水平相同的測試，并將成績記為“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五種等級為了解培訓效果，隨機抽取了名學生的兩次測試成績，并制成如下統(tǒng)計表格：訓前成績分

劃記正正正正人數(shù)人

培訓后成績分

劃記一正正正正人數(shù)人

若被抽取的學生培訓前測試成績的中位數(shù)是，培訓后測試成績的中位數(shù)是，則(1)______；填“”、“”或“”(2)這名學生在培訓后仍有四名學生的測試成績?yōu)椤胺帧保渲袃扇耸切×趾托⊥酰F(xiàn)要從這四名學生的試卷里任選兩份出來點評，求恰好同時選到小林和小王的概率是多少？(3)請你估計九年級名學生經(jīng)過培訓后，測試成績?yōu)椤胺帧钡膶W生能增加多少人？【答案】(1)(2)(3)測試成績?yōu)椤胺帧钡膶W生增加了人【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中同時選到小林和小王的概率的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．（3）根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】（1）解：培訓前測試成績的中位數(shù)，培訓后測試成績的中位數(shù)，；故答案為：；（2）解：設小林和小王分別為，，其他兩同學為，，畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中恰好同時選到小林和小王的結(jié)果有種，恰好同時選到小林和小王的概率為．（3）解：培訓前：，培訓后：，，答：測試成績?yōu)椤胺帧钡膶W生增加了人．【點睛】本題考查了用樣本估計總體，中位數(shù)，求概率，熟練掌握中位數(shù)的定義