2024-2025學年江西省南昌三中教育集團九年級（上）第一次摸底數學試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列選項中，能使關于x的一元二次方程一定有實數根的是(

)A. B. C. D.2.把拋物線向左平移2個單位、向下平移1個單位后得到的拋物線是(

)A. B. C. D.3.已知一個二次函數圖象經過，，，，其中，則，，中最值情況是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.無法判斷4.若函數的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(

)A. B.

C. D.6.拋物線的對稱軸為直線，其部分圖象交x軸負半軸交于點A，交y軸正半軸于點B，如圖所示，則下列結論：

①；

②；

③為任意實數；

④點是該拋物線上的點，且

其中正確的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.用配方法解方程，經過配方，得到______.8.若方程有兩個相等的實數根，則______.9.若一元二次方程的兩根為，，則的值為______.10.若m，n是方程的兩個實數根，則的值為______.11.二次函數的部分圖象如圖，圖象過點，對稱軸為直線，若拋物線與y軸交于點A，則拋物線與x軸正半軸上的交點坐標為______.

12.定義為函數的“特征數”．如函數的特征數為，函數的特征數為，若特征數為的函數圖象與x軸只有一個交點，則a的值為______.三、計算題：本大題共2小題，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題6分

已知關于x的一元二次方程

若是方程的一個根，求實數m的值；

求證：方程總有兩個不相等的實數根.16.本小題6分

新能源汽車節能、環保，越來越受消費者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺.

求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？

按照這個增長速度，預計2023年我國新能源汽車出口量為多少？17.本小題6分

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點C，A分別在x軸，y軸上，經過A，C兩點的拋物線交x軸于另一點D，連接請僅用無刻度的直尺完成以下作圖．保留作圖痕跡

在圖1中的拋物線上找出點E，使；

在圖2中的拋物線上作出該拋物線的頂點

18.本小題8分

已知：二次函數中的x和y滿足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值為______；

求出這個二次函數的解析式；

當時，則y的取值范圍為______.19.本小題8分

某商家銷售一種成本為20元的商品，銷售一段時間后發現，每天的銷量件與當天的銷售單價元/件滿足一次函數關系，并且當時，；當時物價部門規定，該商品的銷售單價不能超過52元/件．

求出y與x的函數關系式；

問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是8000元？

當銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤．20.本小題8分

如圖，已知拋物線與x軸交于點

求m的值和頂點M的坐標；

求直線AM的解析式；

根據圖象，直接寫出當時x的取值范圍．

21.本小題9分

閱讀下列材料并解決問題

【問題】解方程：；

【提示】可以用“換元法”解方程．

解：設，則原方程為，解得，舍去

所以，，

【解決問題】

解方程

關于x的方程恰好有3個不相等的實數根滿足此方程，求m的值．22.本小題9分

如圖，已知拋物線的頂點為，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，點D、E在x軸上，CF交y軸于點，且矩形的面積為

此拋物線的解析式.

點P是x軸上一點，若為等腰三角形，請直接寫出P點坐標.23.本小題12分

如圖所示，已知拋物線與一次函數的圖象相交于，兩點，點P是拋物線上不與A，B重合的一個動點，點Q是y軸上的一個動點.

求拋物線和一次函數的解析式；

當點P在直線AB上方時，求出面積最大時點P的坐標；

是否存在以P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.D

6.A

7.

8.

9.

10.2043

11.

12.0或

13.解：方程移項得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，；

方程移項得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，

14.解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

15.解：將代入原式，得；

解得；

證明：，

原方程總有兩個不相等的實數根；

16.解：設年平均增長率為x，

根據題意可列方程：，

解得：，不合題意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是；

由得，萬，

答：預計2023年我國新能源汽車出口量為萬輛．

17.解：如圖，點E即為所求．

如圖，點F即為所求．

18.解：根據題意得：，

解得：，

則函數的解析式是：，

當時，；

函數的頂點坐標是：，

當時，則y的取值范圍為：

故答案是：3；

19.解：設，

根據題意可得，

解得，

則；

根據題意，得，

整理，得，

解得，，

銷售單價最高不能超過52元/件，

，

答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元；

利潤

，

當時，w取最大值為：9000，

故當銷售單價定為50元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，其最大利潤為9000元．

20.解：拋物線與x軸交于點，

，解得：，

拋物線解析式為，

，；

設直線AM的解析式，

過點和點，

，解得：，

直線AM的解析式；

由圖象可知，當時，或

21.解：，

設，則原方程為，

解得：，舍去，

當時，，

，

，

，

所以，

解得：，，

經檢驗：，是原方程的解．

設，，

因為原方程有三個實數解，

所以與的圖象有三個交點，

由圖知，

22.解：拋物線的頂點為，

拋物線的對稱軸為y軸，

四邊形CDEF為矩形，

、F點為拋物線上的對稱點，

矩形其面積為32，，

，

點的坐標為，

設拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為；

設

①當時，點P在線段CF的垂直平分線上，此時點P與點O重合，其坐標是；

②當時，，解得，所以此時點P的坐標是或；

③當時，，解得，所以此時點P的坐標是或；

綜上所述，符合條件的點P的坐標是：或或或