1神秘的黃金分割與

曼妙的斐波納契數列2一個有趣的實驗：

這三個矩形，哪一個看上去更協調勻稱？甲乙丙3一個有趣的實驗：

這四個矩形，哪一個看上去更協調勻稱？4一個有趣的實驗：心理學家測量了大家選出來的矩形。55×88×1313×2121×34①②③④⑤⑥⑦⑧下列矩形中,哪些比較勻稱?65×88×1313×2121×34①②③④⑤⑥⑦⑧下列矩形中,哪些比較勻稱?5/8＝0.6258/13≈0.61513/21≈0.61921/34≈0.6187ABCD點B把線段AC分成兩部分,那么稱線段AC被點B黃金分割,點B為線段AC的黃金分割點,BC與AB的比叫做黃金比(約為0.618).如果,若矩形的寬與長的比約為0.618,這樣的矩形稱之為黃金矩形.公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯發現。畢達哥拉斯一天從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節奏的叮叮當當的打鐵聲所吸引，站在那里仔細聆聽，聲音中似乎隱匿著秘密。他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發現它們之間存在著一種十分和諧的關系。回到家里，畢達哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段。怎樣分才最好呢？經過反復比較，他最后確定1：0.618的比例截斷最優美。古希臘美學家柏拉圖將此稱為黃金分割德國美學家澤辛把此稱為黃金分割律。8黃金分割整體與較大部分的比等于較大部分與較小部分之比。黃金分割在未發現之前，在客觀世界中就存在；當人們根據黃金法則觀察自然界時，驚奇的發現在自然界許多優美的事物中的能看到它：如植物的葉片、花朵，雪花，五角星……許多動物、昆蟲的身體結構中；特別是人體中更是有著豐富的黃金比關系。無論什么物體、圖形，只要它各部分的關系都與這種分割法相符，這類物體、圖形就能給人最悅目、最美的印象。91011人體的黃金分割點12人體的黃金分割點13黃金分割點法用直尺和圓規找出黃金分割點

過B點作一條直線垂直AB，然后在這直線上取線段BD，使得BD的長是AB的一半，然后聯結AD。

再以D為圓心，DB的長為半徑畫一個弧，這弧交AD于E點，然后再以A為圓心，AE的長為半徑畫弧，這弧交AB于C點，這C點就是所要找的將AB黃金分割的點。（見圖一）思考題：一條線段有幾個黃金分割點？14如果讓你畫一個等腰三角形,你認為這個三角形符合什么樣的特征時可能會最美觀？要動腦筋喲!讓我們來嘗試一下吧!151.作頂角為36°的等腰△ABC;量出底BC與腰AB的長度,計算:

;2.作∠B的平分線,交AC于點D,量出CD的長度,再計算:

.(精確到0.001)黃金三角形DCABE嘗試0.6180.618☆頂角為36°的等腰三角形底邊與腰之比約為0.618;☆點D是線段AC的黃金分割點.☆再作∠C的平分線,交BD于E,△CDE也是黃金三角形,……D16新西蘭朝鮮新加坡中華人民共和國

上述的國旗中有共同圖案嗎？17活動一:探索身邊的”黃金分割”

五角星是我們常見的圖形。ACB

度量點C到點A、B的距離，我們可以發現：18四、深化提高，繼續探索應用黃金分割設計圖案由黃金分割畫出的正五角星形,有莊嚴雄健之美.DEFGHMN19如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果ACABACBC=那么稱線段AB被點C

黃金分割(goldensection),點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與

AB的比叫做黃金比.CAB:1√5–12≈0.618:1ACABACBC==ACABACBC=AC2=AB

?

BC20如圖,正五邊形ABCDE的5條邊相等,5個內角也相等.⑴找找看,圖中是否有黃金三角形?⑵點F是線段

,

的黃金分割點.CADEBFHGMN找一找AC、AN、BE、BG黃金矩形2122BC:AB=(√5-1)/2AB:BC=(√5-1)/223隨著數字的增大，兩數的比值越來越接近黃金分割率（神靈構架1.618…）自然界與太陽系的例子；羅馬帝國宮廷民間數學對抗賽公元1225年，羅馬國王腓德烈二世在宮廷和民間之間舉行數學對抗賽。求一數，它的平方加5或減5后仍然是平方數。代表作《算盤書》推動歐洲中世紀數學的發展；有一對小兔，出生后第二個月成年，第三個月就可以生小兔，一對兔子每一個月都生一對兔子。設所生的一對兔均為一雌一雄，并且都沒有死亡。問新生的一對兔子一年后可以繁殖成多少對兔子？答案1，1，2，3，5，8，13，21……

從第三位起)每位數都是前兩位數之和腓特烈二世與“斐波那契數列”斐波納契數列列奧納多又名斐波納契(1175-1250)中世紀意大利數學家；出生在意大利的比薩。后因伽里略落體實驗而著名的斜塔，現在那里還有他的一座雕像。25西方第一個研究斐波那契數，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲。代表作“算盤書”LiberAbaci1202年，推動歐洲中世紀數學的發展；數論方面：在丟番圖方程和同余方程方面有重要貢獻。有一雄一雌一對新出生的兔子，出生后第二個月成年，第三個月就可以生小兔，一對兔子每一個月都生一對兔子。設所生的一對兔均為一雌一雄，并且都沒有死亡。問新生的一對兔子一年后可以繁殖成多少對兔子？答案1，1，2，3，5，8，13，21……

從第三位起每位數都是前兩位數之和；隨著數字的增大，兩數的比值越來越接近黃金分割率又叫神靈構架1.6180339887498948482古希臘人稱“phi”值，與圓周率pi類似的無限不循環小數斐波那契數列黃金分割與斐波納契數列黃金數是方程的根整理方程有：

利用此關系構造一個數列這些數的和在1.618左右，且分子分母都是相鄰的斐波納契數。所以人們在談論“黃金分割”或“黃金數”時，往往還包含“斐波納契數列”或“斐波納契數”。27開普勒（1571-1630），德國著名的天體物理學家，提出了著名的行星運動三大定理。第二定理：對于任何一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間掃過相等的面積相等。科學家注意到自然界處處存在這樣的例子向日葵花盤和松果的螺線；植物莖干上的幼芽分布；種子發育成形和動物犄角的生長定式。人類從胚胎、嬰兒、孩童到成年的發育規律；太陽系本身就是一條斐波那契螺線，形成以太陽為中心的渦旋。世界中處處充滿黃金分割30黃金分割與藝術創作黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅。很多藝術品中都能找到它。希臘的巴特農神廟達·芬奇的《維特魯威人》《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》等3132通過下面兩幅圖片可以看出來，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中都處于完美的體現了黃金分割，使得這幅油畫看起來是那么的和諧和完美.觀察

欣賞33《最后的晚餐》中后墻和窗戶，還有前景的桌子和弟子的腳都存在著微妙的關系34繪畫藝術中的黃金分割35繪畫藝術中的黃金分割36巴特農神廟古希臘的一些神廟，在建筑時高和寬也是按黃金比0.618來建立，他們認為這樣的長方形看來是較美觀；其大理石柱廓，就是根據黃金分割律分割整個神廟的.37上海東方明珠電視塔高468m,上球體是塔身的黃金分割點,它到塔底部的距離大約是多少米(精確到0.1m)?468?實際應用468×0.618≈289.2m38建筑中的神秘數字39古埃及胡夫金字塔文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高這比都接近于0.618.40泰姬陵41一些有趣的現象：42哪張照片,小鹿母子擺放的位置最適中？（1）以下3張圖片，哪張構圖最美？（2）芭蕾舞演員做相同的動作，踮腳尖和不踮腳尖，哪個更美？BA圖1C46

你覺得哪張照片的構圖最合理？更能體現小松鼠若有所思的在凝視前方？觀察下列攝影作品并思考問題

攝影構圖通常運用的三分法就是黃金分割的演變，把長方形畫面的長、寬各分成三等分，整個畫面呈井字形分割，井字形分割的交叉點便是畫面主體（視覺中心）的最佳位置，是最容易誘導人們視覺興趣的視覺美點．49攝影構圖與黃金分割攝影中常用“黃金分割”來構圖.視力表中的E同樣具有黃金分割的美,兒童樂園的標志,賞心悅目的攝影作品,都凝聚著設計師對黃金分割的運用,中央電視臺的主持人均處在屏幕的黃金分割點位置.分為三組：系數法，頭高身長指數人體坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法把人體分成兩部分，腳到臍為大，臍到頭頂為小。標準面型，三庭五眼。5152音樂中的黃金分割弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。5354武器裝備與黃金分割

當發射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便于抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。55

當植物的枝干的夾角137°28′時,通風和采光能達到最好效果,你知道這是為什么嗎?≈0.61856植物葉子，千姿百態，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界．兩張相鄰葉柄的夾角是137°28‘，是圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。從頂端向下看，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角。57植物的神秘數字

大自然里一些花草長出的枝條也會出現斐波那契數，有一種叫著“噴嚏麥”（Sneezewort的直譯，可能會像魯迅指出的鬧“牛奶路”Mikyway的笑話，希望懂植物學的讀者賜以正確的中文名）的花草，新的一枝從葉腋長出，而另外的新枝又從舊枝長出來，老枝條和新枝條的數目的和就像那兔子問題一樣。58植物的神秘數字59植物的神秘數字花常見的花瓣數3枚，如鳶尾花、百合花；5枚，如梅、桃、李、櫻花、杏、蘋果、梨等。8枚，飛燕草；13枚，瓜葉菊；21枚，向日葵的花瓣有21枚或34枚等；34格，雛菊的花瓣有34、55或89枚等。要找到一朵4個或7個花瓣的花則很難。這是大自然物競天擇的結果，滿足裴波那契數列規律的生物，能使自身在嚴酷的大自然環境中保持最低的能量輸出狀態。"向日葵上面，斐波那契數列以螺旋狀從花盤中心開始體現出來。有兩條曲線向相反方向延展，從中心開始一直延伸到花瓣，每顆種子都和這兩條曲線形成特定的角度，放在一起就形成了螺旋形。60為使花盤中的葵花籽數量達到最多，大自然為向日葵選擇了最佳的黃金數字。花盤中央的螺旋角度是137.5度，只有0.1度的變化。兩組螺旋清晰可見（每個方向各有一個）葵花籽數量恰恰也符合黃金分割定律：2/3,3/5,5/8,8/13,13/21，等等。61計算機繪制的斐波納契螺旋62耐人尋味的0.618打開地圖，你就會發現那些好茶產地大多位于北緯30度左右。特別是紅茶中的極品“祁紅”，產地在安徽的祁門，也恰好在此緯度上。這不免讓人聯想起許多與北緯30度有關的地方。奇石異峰，名川秀水的黃山，廬山，九寨溝等等。銜遠山，吞長江的中國三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度上。節目主持人報幕，絕對不會站在舞臺的中央，而總是站在舞臺的1／3處，站在舞臺上側近于0.618的位置才是最佳的位置;生活中用的紙為黃金矩形，這樣的長方形讓人看起來舒服順眼，正規裁法得到的紙張，不管其大小，如對于、8開、16開、32開等，都仍然是近似的黃金矩形。630.618隨處可見!美麗的蝴蝶黃金分割與生活64生命的神秘數字65螺線中的秘密？螺線中的秘密66動物界的神秘數字671.618是0.618的倒數，太神奇了！螺線中的秘密68身邊的黃金分割

京劇演員經常選擇舞臺寬度的一個黃金分割點作為出場亮相的位置．70Applelogo蘋果中小葉子的高度和缺口的高度之比是0.6，而缺口的位置也和黃金分割有著千絲萬縷的關系。71如今寬屏顯示已經是主流趨勢，16：9，16：10這種比例都是比較接近黃金分割的，他們被充分應用的產品的設計上。經典的AppleMacbookpro也是使用了16:10這種及其接近黃金比的屏幕設計。7273ACBACBACB在禮品包裝中，也經常用到黃金分割．741．你身邊有黃金分割的實例嗎？如何驗證你的猜想呢？

用黃金分割的屬性進行判別，讓學生辨認肯定與否定例證，使新概念與已有認知結構中的相關概念分化．75

據有關測定,當氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時,人體感到最舒適。因此夏天使用空調時室內溫度調到什么溫度最適合?（人的正常體溫36.2℃～37.2℃）22.4℃～23.0℃實際應用76健康的黃金分割率23℃是人的身心最適度的溫度；醫學專家觀察到，人的腦電波頻率下限是8赫茲，上限是12.9赫茲。上下限的比率接近于0.618時，是身心最具快樂歡愉之感的時刻。正常人的心跳在心電圖上也顯示出T波出現的位置恰好大約是一次心跳節拍的“黃金分割”位置上。77人體的黃金分割點78面部的黃金分割79生命的黃金分割在人的生命程序DNA分子中，也包含著“黃金分割比”。每個雙螺旋結構中都是由長34個埃與寬21個埃之比組成的；34和21是斐波那契系列中的數字，它們的比率為1.6190476，非常接近黃金分割的1.6180339。承載DNA的雙螺旋結構——也遵循黃金分割律。這是否說明黃金分割律是比DNA中的遺傳密碼更基本的東西？黃金分割律也許是我們的宇宙的DNA中的遺傳密碼？

80黃金分割與優選法數學上最優化問題的解決方法大致分為兩類：間接最優化方法和直接最優化方法。間接最優化方法是把