保密★啟用前注意事項：

2024—2025學年高二上學期教學質量檢測數學試題2025.01本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答．超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知a(2,1,3)，b(4,2,x)，且ab，則x的值為（）A1 B.2 C.3 D.4已知直線l過點，且l的一個方向向量為(2,，則直線l的方程為（ ）A.2x3y50

B.3x2y10

C.3x2y10

D.3x2y50在公差不為0的等差數列{an}中，若S93(a2a6ak)，則k的值為（ ）A.5 B.6 C.7 D.8預測人口變化趨勢有多種方法，直接推算法使用PP(1k)n(kP為預測期人n 0 n口數，P0為初期人口數，k為預測期內人口增長率，n為預測期間隔年數，則下列說法不正確的為（ ）若在某一時期內1k0，則這期間人口數呈下降趨勢若在某一時期內k0，則這期間人口數呈上升趨勢若在某一時期內0k1，則這期間人口數呈擺動變化k0，則這期間人口數不變x 2x 2設曲線a2

，C:x2y22422

1的離心率分別為，若

，則a＝（ ）6A.6已知數列}

B.32an,n為奇數3

C.2，a16，則a（ 2

D.2n

a3n,為偶數 5 1nA7 B.12

C.1 D.2p如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長均為2，且二面角A-BC-D的大小為3，則ACBD為（ ）33A.2 B.2333C.2 3

231 1 2 ykx1kR與圓Ox2y24M(xyN(xy31 1 2 4123x24y212的最小值為（ ）23 23A. B.10 2

C.5

D.23二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．若數列{an}為等差數列，Sn為前n項和，S5S6，S6S7，S7S8，下列說法中正確的有（ ）d00S6和S7均為Sn的最大值

S9S52M與兩個定點O00A301MC，下列說法中正2確的有（ ）C的方程為(x1)2y24若過點A的直線l與曲線C相切，則l的斜率為 3315C與圓(x1)2y21的公共弦長為152B1|MA||MB|的最小值為22ABCABACABACMN分別為C1,C的中點，點P在直線11上，且1P110)，下列說法中正確的有（ ）MNAAπ1 4AMPNPNABC2點N到平面AMP距離的最大值為 3010三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．x2 2雙曲線 4

1的漸近線方程 ．1 113.在三棱錐PABC中，AB2,，AC，AP2,，則直線AP與平面ABC所成角的余弦值為 ．14.若項數有限的數列{an}0，且|||a2|L|an1012a2Lan0，則稱數列{an}為“n階上進數列”．①若等比數列{an}是“2024階上進數列”，則數列{an}通項公式為an；②若等差數列{an}是“2025階上進數列”，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.A,,3B,,C,,3D,,．ABAC為鄰邊的平行四邊形面積；A、B、C、Dλ的值．Opxyy，ABO的直徑，拋0 0物線的弦CD//AB，且直線CD與圓O相切．CD方程；求VBCD的面積．已知數列}d0，Snna2S2S30．求數列{an}的通項公式；記數列}nT，且b

2n1

，求T．n n

2an2a

2 nan3aABCDAD1所成角正切值為2，M，N，P分別為棱DD1，DA，DC上異于D點的動點．2PCD；定義：異面直線的距離指的是公垂線（與兩條異面直線都垂直相交的直線）的距離；MNPHHN2HPHM0MNPPBB1的夾角余弦值的取值范圍．極點與極線是射影幾何學研究中的重要理論，對于橢圓C:x2y21ab0Mxya2 b2 0 0（不是坐標原點）C的極線為

:x0xy0y1.已知F，F為橢圓C的左右焦點，點M為C上M a2 b2 1 2M

2MC的極線經過點(42

2)．C的方程；MC的極線lMxaABAB；保密★啟用前注意事項：

2024—2025學年高二上學期教學質量檢測數學試題2025.01本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，考生務必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答．超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.a2b42x，且ab，則x的值為（ ）A.1【答案】B【解析】B.2C.3D.4【分析】根據空間向量垂直的坐標表示求解.【詳解】因為ab，所以24123x0x2.故選：B已知直線l過點，且l的一個方向向量為(2,，則直線l的方程為（ ）A.2x3y50

B.3x2y10

C.3x2y10

D.3x2y50【答案】C【解析】【分析】根據方向向量寫出直線斜率，再由點斜式寫出直線方程.【詳解】由l的一個方向向量為(2,3)，則其斜率為3，2所以直線l的方程為y13(x1)，則3x2y10.2故選：C在公差不為0的等差數列{an}中，若S93(a2a6ak)，則k的值為（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的通項公式和前n項和公式化簡得到a7ak，即可得k的值.【詳解】因為S93(a2a6ak)，所以9a136d3(2a16dak)，所以a16dak，即a7ak，故k7.故選：C.PP(1k)n(kP為預測期人n 0 n口數，P0為初期人口數，k為預測期內人口增長率，n為預測期間隔年數，則下列說法不正確的為（ ）若某一時期內1k0，則這期間人口數呈下降趨勢若在某一時期內k0，則這期間人口數呈上升趨勢若在某一時期內0k1，則這期間人口數呈擺動變化k0，則這期間人口數不變【答案】C【解析】【分析】根據指數增長的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，1k0時，01k1，所以這期間人口數呈下降趨勢，A選項正確.BC選項，k0時，1k1，所以這期間人口數呈上升趨勢，B選項正確，C選項錯誤.Dk0時，1k1D選項正確.故選：Cx 2x 2設曲線a2

，C:x2y22422

1的離心率分別為，若

，則a＝（ ）632A. B. C. D.2632【答案】A【解析】【分析】由曲線方程求出離心率，結合e26e1求參數即可.a21a21

a ,

55 ，又551

6e1，a2156所以 且a1，則a2156a

5a .666故選：A已知數列}a

2an,n為奇數

，a16，則a（ ）n

a3n,為偶數 5 1nA.7 B.12【答案】D

C.1 D.2【解析】【分析】利用分段數列的特點，將a516代入，求出的項判斷奇偶后繼續代入即可求出a1.【詳解】數列{a}滿足：a

2an,n為奇數

，a16，n

a3n,為偶數 5na41a43416，所以a44a42a342，則a3a21a2322，所以a24，a2a112a14，所以a12.故選：D.pABCBCDE2A-BC-D3ACBD為（ ）33A.2 B.2333C.2 3

23【答案】A3【解析】

的中點

M，連接

,，則

A

,N

，得

p,N ，3取基底C,N,CDCA2CN進行求解．【詳解】如圖所示：CM，連接,，則A

,N

，

p得N為二面角ACD的平面角，即,N ，3 uu 取基底MC,MN,MA，33uup33則CN

CA

N 2cs ，3因為C

C,D

DB

CNC

C， ACBDMCMA2MCMN2MCMCMCMN2MAMCMAMN32 故選：A.31 1 2 ykx1kR與圓Ox2y24M(xyN(xy1 1 2 4123x24y212的最小值為（ ）23 23A. B.10 2

C.5

D.23【答案】D【解析】【分析】先求得弦MNExy的軌跡方程，則

3x14y1123x24y212的幾何意義為5 5PQx2y2兩點到直線3x4y120Exy到直線3x4y120距離的2倍，結合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題設知，直線lykx1yA0,1MNExy，連接OE，則OEMN，即OEAE，所以OEAE0，即xyxy1x2yy10，所以點E的軌跡方程為x2(y1)21，2 4即E的軌跡是以0,1為圓心，1為半徑的圓， 2 2 設直線l為3x4y120，則E到l的最小距離為212123，5 2 10M分別作直線lPRQMNQPR的中點，則ER是直角梯形的中位線，所以MPNQ2ER，即3x14y1123x24y212

2ER，5 5即3x14y1123x24y21210ER23，所以3x14y1123x24y212的最小值為23.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．若數列{an}為等差數列，Sn為前n項和，S5S6，S6S7，S7S8，下列說法中正確的有（ ）d00S6和S7均為Sn的最大值

S9S5【答案】AC【解析】【分析】運用等差數列單調性及下標和性質可解.S5S6a60S7S80d0，且0A正確，B錯誤；而且S6S7均為Sn的最大值，故C正確；S9S5a9a7a62(a8a72a80S9S5D錯誤.故選：AC2M與兩個定點O00A30的距離之比為1MC，下列說法中正2確的有（ ）C的方程為(x1)2y24若過點A的直線l與曲線C相切，則l的斜率為 3315C與圓(x1)2y21的公共弦長為152B1|MA||MB|的最小值為22【答案】ABD【解析】【分析】設點M(x,y)，由|MO|1列式，化簡整理可得曲線C的方程，即可判斷A；利用過已知點求圓|MA| 2的切線方程的方法求解即可判斷D；求出兩圓的公共弦所在直線的方程，再按求弦長的方法求解即可判斷C；1|MA||MB|即為|MO||MB|，當M、O、B三點共線時取得最小值，求解可判斷D.2AM(xy

|MO|

，所以

x2y2 12 2 ，x2yx2y2(x3)2y2即4x24y2(x3)2y2，所以(x1)2y24.故A正確；

(xy 4對于B，若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為：x3，此時圓心1,0到直線l的距離等于d42r，直線l與圓C不相切；若直線l的斜率存在，設直線l的方程為：ykx3，即kxy3k01k2則圓心C0)到直線ld|k3k|2，即1k2

，解得k3.故B正確；11k2C，將(x1)2y24與(x1)2y21x3，444472 圓心C0)到直線x 的距離等于 ，所以公共弦長為24 4

.C不正確；2對于D，1MAMBMOMBOB，當M、O、B三點共線時，等號成立，2221MAMB

OB

.故D成立.2 2 min故選：ABD.ABCABACABACMN分別為C1,C的中點，點P在直線11上，且1P110)，下列說法中正確的有（ ）MNAAπ1 4AMPNPNABC2點N到平面AMP距離的最大值為 3010【答案】BCD【解析】【分析】構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求線線、線面、點面距離，結合參數范圍求最值判斷A、C、D；坐標法求AM×PN的值判斷B.【詳解】由題設，構建如下圖示空間直角坐標系，則1 2 l1 1(,,0,A(,,,M(,,,N(, ,0,P(,,)，1 2 l22uuuur

111

1 1 10NMNMNM

, ,)，AM)，PN( ,，222 2 2 21cosNMAA

2

3，顯然直線MN與AA所成角不為π，A錯；341 3 3412uuuuruuur又

11l1

110AMPN，B對；AM

)( , ,02 2 2 2

PNPN11)252 4ABC0

cos,PN ，25所以l1時，PN與平面ABC所成最大角的正弦值為252

，則正切值為2，C對；1由AM(0,1,)，AP(l,0,1)，若m(x,y,z)為面AMP的一個法向量，2r1則mAMy2z0，令z2l，則m(2,l,2l)，rmPxz0uuur

mAN

21(, ,又AN11 ，則點N到平面AMP(, ,22

d245l22 24 245l22 24 2052)2 21224(t5)2512 6(,令t1224(t5)2512 6(,32

dmax

30，D對.10故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．x2 2雙曲線 4

1漸近線方程 ．【答案】y1x2【解析】【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線

x22y4y

1的a=2，b=1，焦點在x軸上2x2a2

y2 ba1的漸近線方程為y=± xab2x2 2 1x∴雙曲線 4

1的漸近線方程為y=±2故答案為y=±1x2【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時要注意先定位，再定量的解題思想

1

113.在三棱錐PABC中，AB2,，AC，AP2,，則直線AP與平面ABC所成角的余弦值為 ．【答案】 3##1 33 3【解析】

ruuurnAPrnAPrnAPrnAPr

求出直線AP與平面ABC所成角的正弦，進而求出直線AP與平面ABC所成角的余弦值.r【詳解】設平面ABC的一個法向量為nx,y,z,r1又AB(0,2,1)，AC(1,1,1)，r1則nAB2yz0

，令y2，則x1,z1，rnCxyz0r所以n1,2,1,r設直線AP與平面ABC所成的角0qπ，又 1 ， 2

AP ,2sin

nAPrnAPrnAPrnAPr114114則 q cosn,AP

3，所以cosq

1sin2q 3，3即直線AP與平面ABC所成角的余弦值為 3.3故答案為： 3.314.若項數有限的數列{an}0，且|||a2|L|an1012a2Lan0，則稱數列{an}為“n階上進數列”．①若等比數列{an}是“2024階上進數列”，則數列{an}通項公式為an；②若等差數列{an}是“2025階上進數列”，則．【答案】

()n12

1012②.1013【解析】【分析】根據數列新定義，結合等差、等比的通項公式求出對應的基本量，即可得答案.【詳解】由等比數列{an}是“2024階上進數列”2024q，所以aaqn1，又aaLa 0，則1qLq20230，且a0，n 1 1 2 2024 1所以q0

1q20241q

0

2024

1q1an

n1

a1，1 a(1)n1所以|||a2|L|a202410122，故n 2 ；若等差數列{an}是“2025階上進數列”，即數列共有2025項，若公差為d，a

La

2025(a1a2025)2025a

0，即a 0，1 2 2025 2

1013

1013a

a1012d0d

1013na，1013 1

1012

n 1012 1則|a1||a2|L|a2025|a1La1013a1014La20251012，所以LL1012L10121012，1012 1012 506即a1101210131012a

1012.506 2()n1故答案為：2

1012， .1013

1 1013四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15A,,3B,,C,,3D,,．ABAC為鄰邊的平行四邊形面積；A、B、C、Dλ的值．9【答案（1）12 （2）2【解析】【分析】（1）根據向量的夾角公式求出DBAC的余弦，再得出DBAC的正弦，利用面積公式得解；（2）根據共面向量基本定理的坐標運算求解.【小問1詳解】AB(2,4,4)，AC2,0)，2222(4)2(4)2

225又|AB| 6，|AC| ，5ABAC21(4)2(4)06

ABAC 65cosAB,AC5uu1cos2AB,ACsinAB,AC

65|B|C|65252552525∴四邊形ABCD的面積為S .|AB||AC|sinAB,ACABACABCD【小問2詳解】由題意，得AD(1,1,l3),∵A、B、C、D四點共面∴存在唯一一對實數x,y使得ADxAByAC12xy

56 125 3 1 9∴14x2y，解得：x，y，l34x∴l的值為9.2

8 4 2Opxyy，ABO的直徑，拋0 0物線的弦CD//AB，且直線CD與圓O相切．CD的方程；求VBCD的面積．【答案】（1）y2x5（2）5112【解析】【分析】（1）先列方程組得出拋物線方程，在根據點到直線距離求出參數即可；（2）直線和拋物線聯立方程組再應用弦長公式求出|CD|

55結合面積公式計算.【小問1詳解】∵圓O與拋物線交于點Ay25 y2 0 00y22p1 p20∴拋物線方程為：y24x∵2)，∴B(1,

∴直線AB的斜率k2，設直線CD的方程為：y2xm5∵直線CD與圓O相切5|m|22

，解得：m5（舍）或m5∴直線CD的方程為：y2x5【小問2詳解】y2x5由 2y

4x

得：4x224x250設C(xyD(xy

xx

6，xx251 11k1k2 (xx)24x1 212

2 2 1 2

12 414614624254555CD//AB，B到直線CD的距離為點O到直線CD則距離d55∴△BCD的面積S1|CD|d155 51152 2 2已知數列}d0，Snna2S2S30．求數列{an}的通項公式；a記數列}nT，且ba

2n1

，求T．n（1）an42n

n n 2n2

2 nan3a（2）

n(n2)16(n1)2【解析】【分析】（1）根據已知條件求得首項和公差，從而求得an.（2）利用裂項求和法來求得Tn.【小問1詳解】∵S3a23a2，∴a2，S2，3a2{0,2}，∴a20，S30，若S20，則a10，d0與已知d0矛盾；若S22，則a12，a32，d2，即a20，S22，S30符合題意.∴an42n.2詳解】由（1）知，an242(n2)2n，an342(n3)2n2，2n1 2n1 11 1 ∴

2n22n22

16n2n2

16

，n2 ∴L1(1116

1122

L1n2

1 (n1)21 1 n(n2)161n12

16(n1)2.ABCDAD1所成角的正切值為2，M，N，P分別為棱DD1，DA，DC上異于D點的動點．2PCD；定義：異面直線的距離指的是公垂線（與兩條異面直線都垂直相交的直線）的距離；MNPHHN2HPHM0MNPPBB1的夾角余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2） 33（3）[0,

15)15【解析】（1）建立空間直角系，由所成角可得CD2的判定定理證明；r由rBC0， BD0，先求出公垂線所在向量，再求距離；r1 1HB1DDHHHN2HPHM0，MNP的坐標，再利用空間向量法求夾角.【小問1詳解】連接B1C，因為CD平面BB1C1C，所以DB1C為直線B1D與平面BB1C1C所成角，21所以tanDBCCD ，又BC21

2，所以CD2，1DDADCxyz軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1).當P是CD的中點時，P(0,1,0)，PB1(1,1,1)，AP(1,1,0)，AD1(1,0,1)，∴AP0，0，APQAPIAAP，B1P平面APD1；【小問2詳解】uuur，2,，(0,，r r r設n0(x0,y0,z0)，由n0BC10，n0B1D0，

uuur 0

xz0 rn0BC1∴

，∴ 0 0

，令x1，取n(1,1,1)，r

x2yz0 0 001D0

0 0 0

與BD的距離為：d|n|1 ；331|n| 3331【小問3詳解】設M(0,0,m)，N(n,0,0)，P(0,p,0)，由點H在直線B1D上，則DHlDB1l(1,2,1)，∴H(l,2l,l)，∴HN(n，HMm，HPp，HN2HPHM00n2pm，∴npm（*）∴MN0,，MP(0,，rMNP的法向量為x1y1，rr0

0 rn1MN由

，得 1 1

x1

=(1,1,1)，r

0 1 11NP0 1 1r設平面PBB1的法向量為n2(x2,y2,z2)，uuurPB2p,0)，(0,，

uuurPB PB

x(2p)y0 r由r

，得

z0

，令y21得：n2(p2,1,0)，2 210 2 ，設平面MNP與平面PBB1的夾角為q，，cosq|n1n2|

|p1|3(p3(p2)21|n1||n2|∵M，N，PDCD由（*）0p1，p1cosq0，當0p1時，令t1p(0,1)，則1(1,)，t3t22t3t22t2∴

(0, )，13 213 221t2t15MNPPBB1所成夾角余弦值的取值范圍為

15).15極點與極線是射影幾何學研究中的重要理論，對于橢圓C:x2y21ab0Mxya2 b2 0 0（不是坐標原點）C的極線為

:x0xy0y1.已知F，F為橢圓C的左右焦點，點M為C上M a2 b2 1 2M

2MC的極線經過點(42

2)．C的方程；MC的極線lMxaABAB；若P(xy

2 2) x y 為曲線E: 上的動點，且點P對應橢圓C的極線 交橢圓C于Q，R) x y P P a2 b2 2 P判斷四邊形OQPR的面積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由．x2 2【答案（1） y122（2）證明見解析