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第8章線性熱彈性力學問題§8.1

熱傳導方程及其定解條件§8.2熱膨脹與熱應力§8.3熱彈性力學的基本方程§8.4位移解法§8.5圓球體的球對稱熱應力§8.6熱彈性應變勢§8.7圓筒的軸對稱熱應力§8.8應力解法§8.9熱應力函數§8.10簡單熱應力問題2

第8章熱應力由于溫度變化（以下簡稱變溫）在彈性體內所產生的應力，稱為熱應力。在各類機器（例如電動機的熱交換、鍋爐、化工機械中的高溫高壓容器）乃至像大型水利工程和土木工程的設計中，無不遇到熱應力問題。尤其隨著原子核動力技術的發展，高速宇宙飛行器的實現，非均勻變溫所產生的高溫強度問題，已成為工程學中的重大問題。對于這類問題，與材料壽命有關的熱應力分析，在設計中占據著重要的位置。需要指出的是：溫度的變化將引起變形，而變形將產生熱量，從而又引起溫度的變化，因此，變形和溫度是相互耦合的；對于耦合問題，方程的解耦，往往成為數學上的難題。不過，對于某些工程實際問題，當它們的體應變為零，或體應變的變化速度非常緩慢時，則變形對溫度的影響可以忽略不計，從而變為非耦合問題。3

第8章熱應力本章只討論非耦合問題，而且，除了我們已作過的均勻、各向同性、線彈性和小變形的假設外，這里還假設溫度變化不大。于是，所得的全部方程和定解條件都是線性的。在變形和溫度不耦合的情況下，要求出熱應力，須進行兩方面的計算：（1）由熱傳導方程和問題的初始條件及邊界條件，計算彈性體內各點在各瞬時的溫度，即所謂“決定溫度場”，而前后兩個瞬時溫度場之差，就是彈性體的變溫。（2）求解彈性力學的基本方程而得到熱應力，即所謂“決定熱應力場”。由于前者在數學物理方程中已作過詳細的論述，限于篇幅，下面擬重點介紹“決定熱應力場”的問題。4

§8.1熱傳導方程及其定解條件變形和溫度不耦合的熱傳導方程為：其中

為溫度，

為單位時間內每單位體積的熱源的發熱量，即熱源強度，

為導溫系數，

為比熱容，

為密度，

為導熱系數。對于均勻材料，

，

，

，

均為常量。為了能夠求解熱傳導方程，從而求得溫度場，必須給定物體在初始瞬時的溫度分布，即所謂初始條件；同時還必須給定初始瞬時以后物體邊界與周圍介質之間進行熱交換的規律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為定解條件。現分述如下。（8-1）5

§8.1熱傳導方程及其定解條件設在初始瞬時時的溫度為，則初始條件可表示為：在某些特殊情況下，初始瞬時的溫度分布為均勻的，則式（8-2）變為：其中為常量。邊界條件常見的有三種形式：（1）已知物體邊界處的溫度為，則邊界條件可表示為：其中表示溫度在物體邊界任一點的值。（2）已知物體邊界處的法向熱流密度為

，則邊界條件為:其中為法向熱流密度，而表示法向熱流密度在物體邊（8-2）（8-3）（8-4）6

§8.1熱傳導方程及其定解條件界任一點的值。由于熱流密度在任一方向的分量，等于導熱系數乘以溫度在該方向的遞減率，故上式又可表示為：其中

表示溫度沿物體邊界法向的方向導數在物體邊界上任一點的值。如果邊界是絕熱的，則由于熱流密度為零，于是式（8-5）變為：（3）對流換熱邊界條件。設彈性體邊界處的溫度為

，周圍介質的溫度為，則按熱交換定理，通過邊界的法向熱流密度，正比例與物體周圍介質的溫差，即：（8-5）（8-6）7

§8.1熱傳導方程及其定解條件其中

為散熱系數。安裝從式

化為式（8-5）同樣的理由，式

又可寫成：

散熱系數表示熱流通過邊界傳入周圍介質的能力，其值越小，散熱條件越差。當

時，由式（8-7）可知，

，這就是絕熱邊界條件（8-6）。當

時，由式（8-7）可得，即體邊界處的溫度和周圍介質的溫度相等，這就是邊界條件（8-4）。（8-7）8

§8.1熱傳導方程及其定解條件在熱應力分析中，需要的是溫度場相對于某一參考狀態溫度場的變化，即變溫：

如果參考狀態溫度場是均勻的，即：

則變溫應滿足與式（8-1）相同的熱傳導方程

求解方程（8-8）所需的定解條件可按與上面類似的方式給出。（8-8）9

§8.2熱膨脹與熱應力

（一）熱膨脹和由此產生的熱應力

彈性體內溫度的升降，會引起它體積的膨脹或收縮。先想象地從彈性體內取出一個棱邊長度分別為

，

，

的微分長方體，設其初始溫度為

，然后讓溫度增至

，變溫

。如果此微分單元體不受同一物體其他部分的約束，則由于材料的各向同性，三條棱邊將產生相同的正應變，而其切應變分量為零，即

（8-9）稱為線膨脹系數，由于假設溫度變化不大，故可以把它看作為常量。

10

§8.2熱膨脹與熱應力據上述的理由，可以想象：如果一個彈性體不受任何約束，也不受任何外力作用，其初始溫度

，然后讓其溫度均勻地增加（或減少）至

，則由于其內各部分具有相同的膨脹（或收縮）變形，且這種變形不受外界的任何限制，因此是不會產生熱應力的。但如果彈性體內變溫是不均勻的，則在體內各部分將產生不同的膨脹（或收縮）變形，為使變形后的物體仍保持為一個連續體，其各部分之間的變形一般會受到相互牽制。因此，彈性體的非均勻變溫，即使不受任何約束，也會產生熱應力。不失一般性，下面我們只研究無外力作用、無外界約束的彈性體，由于非均勻變溫而引起的熱應力問題。11

§8.2熱膨脹與熱應力

（二）熱應力的簡單問題簡單的熱應力問題能簡化為相當于邊界已知的情況來處理。作為第一個例子，我們考察一塊等厚度的矩形薄板，其變溫

僅僅是

的函數，而與和

無關（下圖所示）。

先作定性分析。我們假想將變溫前的板分割成無數個棱邊與坐標軸平行的平行六面體，并認為彼此之間是不相干的。顯然，當板內的溫度改變

時，各單元體的每條棱邊將產生數值為

的相對12

§8.2熱膨脹與熱應力伸長度。注意到板的變溫僅依賴于坐標

，而與和無關，故為使各自膨脹后的單元體能重新拼合成連續的整體，只有沿

方向的兩個相鄰的單元體之間在

方向的變形收到相互的牽制。這也等于說，板內只存在熱應力。為了求得

，先讓每一個單元體在縱方向的熱應變完全被阻止。為了實現這一點，要求在各單元體的縱向存在應力：顯然，由于板的側向是自由的，故應力式

的采用不會引起板的側向應力。另外，為了再整個板內保持以式

表示的應力狀態，在矩形板的兩端處必須施以

的面力。但因在矩形板的兩端是無面力作用的，為了消除兩端面上的壓力

，必須再在這兩個面上施以拉力。因此，板內的熱應力應等于由于兩端面上的拉力所產生的應力和式表示的應力的疊加。如果，則根據局部性原理，在兩端面上的邊界條件可以放松，我們可以用由拉力

的主矢量和主矩在板內所產生的應力來代替直接由拉力所產生的應力。13

§8.2熱膨脹與熱應力

的主矢量為：它在板內所引起的應力：拉力

的主矩為:由此產生的彎曲應力為:14

§8.2熱膨脹與熱應力疊加式

，

和

，得矩形板內的熱應力為:若變溫

是偶函數，則式（8-10）右邊的最后一項為零，于是得:例如，對于變溫為拋物線分布的情況，設代入式（8-11）得到:（8-12）（8-11）15

§8.2熱膨脹與熱應力

作為簡單熱應力問題的第二個例子，我們考察一個大的球體，設位移中心部位半徑為

的小球體內變溫

為常數。如該小球體完全不受約束，則其徑向膨脹為

。但是，由于小球是大球的一部分，且遠離邊界，所以它的熱膨脹受到外側部分的約束。結果在小球表面上受到等壓力

1的作用，而由此引起的徑向應變為

。因此，小球體內總的徑向應變為:而半徑的改變:我們再考察上述的壓力

對小球外側球體的作用。設大球半徑為

，則由式:16

§8.2熱膨脹與熱應力得應力:17

§8.2熱膨脹與熱應力當

時，在

處，有；如果注意到，則聯立式

和

，得代入式

，故最后得小球外側球體內的應力分量（8-13）18

§8.3熱彈性力學的基本方程

熱彈性力學的基本方程仍包括平衡方程、幾何方程和物理方程、平衡方程和幾何方程同等溫情況一樣。設不計體力，平衡方程為:（8-14）19

§8.3熱彈性力學的基本方程幾何方程為:物理方程和等溫情況有所不同。因為在變溫情況下，彈性體的應變分量應由兩部分疊加而成：其一，是由于自由膨脹引起的應變分量，如式（8-9）所示；其二，在熱膨脹時由于彈性體內各部分之間（8-15）20

§8.3熱彈性力學的基本方程的相互約束所引起的應變分量，它們和熱應力之間應服從胡克定律。因此，變溫情況下的物理方程為:（8-16）21

§8.3熱彈性力學的基本方程也可用應變分量來表示應力分量，即:如果將式（8-15）代入，則應力分量又可通過位移分量表示，有:

（8-17）22

§8.3熱彈性力學的基本方程這里（8-18）23

§8.3熱彈性力學的基本方程在物體的邊界處，還須滿足面力為零的應力邊界條件:和位移邊界條件:不難寫出熱彈性力學基本方程的柱坐標和球坐標形式。為考慮到下面舉例的需要，現只分別寫出它們軸對稱和球對稱的特殊形式。軸對稱的熱彈性力學基本方程：平衡微分方程（8-20）（8-19）（8-21）24

§8.3熱彈性力學的基本方程幾何方程物理方程（8-22）（8-23）25

§8.3熱彈性力學的基本方程球對稱的熱彈性力學基本方程：平衡微分方程幾何方程物理方程

解決熱彈性力學問題仍可采用兩種方法，即位移解法和應力解法。下面，我們將分別討論這兩種解法。（8-24）（8-25）（8-26）26

§8.4位移解法以位移作為基本未知函數。將式（8-18）代入方程（8-14），得到變溫情況下位移表示的平衡微分方程：

如果將式（8-18）代入應力邊界條件（8-19），得到變溫情況下以位移表示的應力邊界條件:（8-27）（8-28）27

§8.4位移解法將式（8-27）和（8-28）分別與式

和

比較28

§8.4位移解法可見代替了體力分量，而代替了面力分量

。因此，在一定的位移邊界條件下，彈性體內由于變溫而引起的位移，等于等溫情況下受假想體力

和假想的法向面力作用時的位移。在應力邊界條件（8-28）和位移邊界條件（8-20）下求得了方程（8-27）的解后，利用式（8-18）可求得應力分量。29

§8.5圓球體的球對稱熱應力設圓球體內的變溫對球心是對稱分布的，則此問題是球對稱問題。采用球對稱的熱彈性力學基本方程（8-24）至（8-26），并將式（8-25）代入式（8-26），然后將所得的結果代入式（8-24），得球對稱問題以位移表示的平衡微分方程:或寫成:其解是:這里，

和式積分常數，以后由邊界條件確定；

是積分下限，對空心球體，

為內半徑。將式

代入式（8-25），然后將所得的結果代入式30

§8.5圓球體的球對稱熱應力（8-26），得對應的熱應力分量為:下面考慮兩種特殊情況。（一）實心圓球體對于半徑為

的實心球體，取下限

為零。由于處，所以，從式中的可知，必為零。這樣，式給出的應力在球心給出有限值。

由邊界條件確定。由此得

31

§8.5圓球體的球對稱熱應力代入式

，得實心圓球體內的熱應力分量（二）空心圓球體本問題的邊界條件為將它用于式的第一式，有：（8-29）32

§8.5圓球體的球對稱熱應力解得和后代入式，得空心球體內的熱應力分量：例如，設變溫

為則由式（8-30）可求得熱應力分量為（8-30）33

§8.6熱彈性應變勢方程（8-27）是非齊次偏微分方程組，它的求解可分兩步進行：第一步先求出它的任意一組特解，這一組特解并不一定滿足問題的邊界條件；第二步，求出它的某一組齊次解，使這一組解與上述特解疊加以后能滿足邊界條件。為了求得方程（8-27）的特解，可引進一個函數

，使函數

稱為熱彈性應變勢。將式（8-31）代入式（8-27），并注意到：

（8-31）34

§8.6熱彈性應變勢有顯然，如果函數滿足微分方程則式

將成為恒等式。這等于說，只要

滿足方程（8-32），則由式（8-31）給出的位移分量就能滿足方程（8-27），因而能作為方程（8-27）的特解。將式（8-31）和由式（8-32）得來的

代入式（8-18），并注意到,,

（8-32）35

§8.6熱彈性應變勢得到與位移特解對應的應力分量:36

§8.6熱彈性應變勢若方程（8-27）的齊次解用

表示，利用幾何方程和無變溫時的物理方程，可得與此對應的應力分量:37

§8.6熱彈性應變勢這樣，總的位移分量為:要求它們滿足位移邊界條件（8-20）；總應力分量為要求它們滿足應力邊界條件（8-19）。下一節我們將介紹引用熱彈性應變勢解決問題的實例。38

§8.7圓筒的軸對稱熱應力

設有一個內徑為、外半徑為的長圓筒，其內的變溫

是軸對稱分布的，要求筒內的熱應力。這是軸對稱的平面應變問題。注意到

，

僅依賴于

，則方程（8-21），（8-22）和（8-23）簡化為39

§8.7圓筒的軸對稱熱應力將式

代入式

，然后將所得的結果代入式

，得顯然，如引入熱彈性應變勢，使:則當

滿足方程：時，由式

給出的位移

滿足方程

。很容易看出，方程

即為方程（8-32）在平面軸對稱情況下的特殊形式，40

§8.7圓筒的軸對稱熱應力這是可意料到的，現在考慮如下變溫：將式

代入式

，并注意到:于是有:這個方程的特解為:41

§8.7圓筒的軸對稱熱應力其中:

參照8.7節中的式，不難寫出平面軸對稱情況下應力分量與熱彈性應變勢的關系：

將式

代入，得到與方程

的特解對應的應力分量

這個解并不滿足圓筒內外壁面力為零的邊界條件，它們在內外壁處分別給42

§8.7圓筒的軸對稱熱應力出的面壓力?，F在，我們還有找一組與方程

的齊次解對應的應力分量，使與特解

疊加后，在圓筒內外壁處滿足面力為零的邊界條件。不難看出，這個齊次解正好是圓筒內外壁分別受均勻拉力

和

時的解，由式:43

§8.7圓筒的軸對稱熱應力得:將式

和式

相加，并把式

中的

和的值代入，即得要求的熱應力：（8-33）44

§8.8應力解法按應力求解熱彈性力學問題時，不僅要求熱應力分量滿足平衡微分方程（8-14）和應力邊界條件（8-19），而且還須滿足變溫情況下的應力協調方程。這方程通過將式（8-16）代入應變協調方程，并利用方程（8-14）簡化而得到，它們是:（8-34）45

§8.8應力解法其中：

為了簡化解法，將式（8-17）改寫成（8-35）46

§8.8應力解法其中：將式（8-35）分別代入式（8-14），（8-34）和（8-19），經整理，得變量滿足的微分方程和邊界條件：（8-36）47

§8.8應力解法其中:（8-37）48

§8.8應力解法

由式（8-36）至（8-38）可見，和位移解法一樣，按應力解法求熱應力的問題，可歸結為求在假想體力和假想面力作用下的等溫問題的解，求得了變量

代入式（8-35），即得要求的熱應力分量。（8-38）49

§8.9熱應力函數在平面問題中，不計體力的平衡微分方程為：應變協調方程為：

由式（8-16），平面應力狀態下的應力和應變關系為：50

§8.9熱應力函數若為平面應變，由：可得：

將式

代入式（8-16），得到平面應變狀態下應力與應變的關系為：51

§8.9熱應力函數比較式

和式可見，如果設：

則平面應變問題和平面應力問題具有相同形式的應力與應變的關系，即

現引入艾里應力函數

，使（8-39）52

§8.9熱應力函數

顯然，方程

式滿足的。將式（8-39）代入式

，再將所得的結果代入式

，經整理，得到艾里熱應力函數所必須滿足的方程為

對于平面應變問題，只要將方程（8-40）等號右邊的換成

即可?？紤]的是無外力作用、無邊界約束的情況，故邊界條件為（8-40）（8-41）53

§8.9熱應力函數這樣，就將求解平面熱彈性力學問題，歸結為在邊界條件（8-41）下，求解方程（8-40）的問題。對于等溫問題，

，方程（8-40）退化成方程：

這個結果是我們預料到的。如果用極坐標表示平面熱彈性力學問題，則與等溫問題一樣，應力分量

與熱應力函數

之間的關系為：（8-42）54

§8.9熱應力函數這里的

滿足方程（8-40），不過，現在

對于軸對稱的平面應變問題，由于應力函數和變溫與

無關，故方程（8-40）可寫成：

上式積分四次，得到：代入式（8-42），有：55

§8.9熱應力函數仍以內半徑為

、外半徑為的圓筒為例，其內存在變溫

，由于故由式

，有利用邊界條件

，求出常數和，代回后經整理，可得到以式（8-33）表示的應力分量。56

§8.10簡單熱應力問題

彈性體因所處環境的溫度變化會引起物體的膨脹和收縮，并相伴產生應力，這種應力稱為熱應力。對于某些在溫度變化環境中工作的結構和構筑物，其熱應力是不容忽視的，本節將以簡例扼要說明熱應力的分析思路。設有一個各向同性彈性立方體，三個坐標方向的尺寸相同，均為

，則在均勻溫度下受熱而發生膨脹，這時各方向伸長后的尺寸應均為

，此處稱為線膨脹系數。于是，對一直徑為，長為

的直桿當溫度變化為

時，則長度方向的應變

。同樣地。物體所處環境內的溫度往往是隨時間、空間位置變化的，其所處的空間稱為溫度場，在直角坐標系中，溫度場為

不隨時間變化的

稱定常溫度場

，即熱源強度

，57

§8.10簡單熱應力問題否則是非定常溫度場。溫度場是一種矢量場。熱量的傳遞引起溫度的變化。也就是溫度梯度的變化。若單位時間、單位面積上傳遞的熱量定義為熱流密度，顯然熱流密度與溫度梯度成正比，但方向相反，這一規律稱為傅里葉定律。下面給出平面熱應力問題的基本關系式：平面熱應力問題和等溫情況的平衡方程和幾何方程形式一樣，而平面應力本構關系為：（8-43）58

§8.10簡單熱應力問題平面應變問題的本構關系為下面給出受熱管道及壩體熱應力的分析例子。（一）、受熱管道的熱應力下面討論受熱厚管的應力分析。設管的半徑為，管內增溫為，管外增溫為零，管內無熱源時管內熱應力為零。由于管為定常溫度場，由熱傳導方程知（8-44）（8-