第2節(jié)概率回歸教材·過基礎(chǔ)【知識體系】【考點清單】知識點1事件的分類輪考事件類型定義概率必然事件在一定條件下,①P=1不可能事件在一定條件下,有些事件必然不會發(fā)生P=0隨機事件在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件②知識點2概率的計算常考1.古典概型古典概型的定義:一次試驗中,出現(xiàn)的結(jié)果有有限個;每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等.古典概型的概率:一次試驗中,有n種結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=③.2.列表法求概率列表法:當一次試驗要涉及兩個因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,用列表法不重不漏地列出所有可能的結(jié)果.列表法表示形式:ABCD(A,D)(B,D)(C,D)E(A,E)(B,E)(C,E)F(A,F)(B,F)(C,F)3.樹狀圖法求概率樹狀圖法的表示形式:注:一個試驗要涉及三個或更多的因素時,列表法不方便,通常采用樹狀圖法.4.幾何概型:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域面積(長度)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積(長度)5.利用頻率估計概率:在同樣條件下,做大量的重復試驗,如果事件A發(fā)生的頻率mn【基礎(chǔ)演練】1.有7張撲克牌如圖所示,將其打亂順序后,背面朝上放在桌面上,若從中隨機抽取一張,則抽到的花色可能性最大的是() ABCD.2.兩人做游戲:每人在紙上隨便寫一個-2到2之間的整數(shù)(包括-2和2),將兩人所寫的整數(shù)相加,那么和的絕對值是2的概率是()A.225 B.25 C.6253.垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用,減少了對環(huán)境的危害.隨機將一節(jié)廢舊的電池(有害垃圾)和礦泉水空瓶(可回收垃圾)分別放入不同的垃圾桶,則投放正確的概率為()A.16 B.19 C.1124.一天晚上,小偉幫助媽媽清洗四個綠、白、藍、紅只有顏色不同的有蓋茶杯,突然停電了,小偉只好隨機將其中一個杯蓋和一個茶杯搭配在一起.則顏色搭配恰好正確的概率為()A.16 B.C.12 D.真題精粹·重變式考向1事件的分類熱點訓練1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù),則下列事件為隨機事件的是()A.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1B.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1C.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12D.兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于122.下列事件中,屬于必然事件的是()A.任意購買一張電影票,座位號是偶數(shù)B.夢到醒來會下雨,醒來后發(fā)現(xiàn)窗外在下雨C.解鎖手機,提示微信收到了新消息D.五個人分成四組,且每組都有人,則這四組中有一組必有兩人考向2事件概率的計算3.(2024·福建)哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想,我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在質(zhì)數(shù)2,3,5中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和是偶數(shù)的概率是()A.14 B.C.12 D.4.(2022·福建)一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別.現(xiàn)隨機從袋中摸出一個球,這個球是紅球的概率是.5.(2020·福建)若從甲、乙、丙3位“愛心輔學”志愿者中隨機選1位為學生在線輔導功課,則甲被選到的概率為.6.(2023·福建)為促進消費,助力經(jīng)濟發(fā)展,某商場決定“讓利酬賓”,于五一期間舉辦了抽獎促銷活動.活動規(guī)定:凡在商場消費一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下:從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中,隨機摸出1個球,若摸得紅球,則中獎,可獲得獎品;若摸得黃球,則不中獎.同時,還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個紅球或黃球(它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同),然后從中隨機摸出1個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出1個球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.(1)求該顧客首次摸球中獎的概率.(2)假如該顧客首次摸球未中獎,為了有更大機會獲得精美禮品,他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球?說明你的理由.7.(2021·福建)“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是:齊王有上、中、下三匹馬A1,B1,C1,田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示為:A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A馬與B馬比賽,A馬獲勝).一天,齊王找田忌賽馬,約定:每匹馬都出場比賽一局,共賽三局,勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢,田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬,并采用孫臏的策略,分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽,即借助對陣(C2A1,A2B1,B2C1)獲得了整場比賽的勝利,創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例.假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況,試回答以下問題.(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”,他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利?并求其獲勝的概率.(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況,他是否必敗無疑?若是,請說明理由;若不是,請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況,并求其獲勝的概率.熱點訓練8.甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下:甲公司為“基本工資+攬件提成”,其中基本工資為70元/日,每攬收一件提成2元;乙公司無基本工資,僅以攬件提成計算工資.若當日攬件數(shù)不超過40,每件提成4元;若當日攬件數(shù)超過40,超過部分每件多提成2元.如圖所示的是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攬件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計圖.(1)現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機抽取1天,求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40(不含40)的概率.(2)根據(jù)以上信息,以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù),并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的攬件數(shù),解決以下問題.①估計甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù);②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員,如果僅從工資收入的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計知識幫他選擇,并說明理由.9.(2019·福建)某種機器使用期為三年,買方在購進機器時,可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費為2000元.每臺機器在使用期間,如果維修次數(shù)未超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù),那么每次實際維修時還需向維修人員支付工時費500元;如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù),那么超出部分每次維修時需支付維修服務(wù)費5000元,但無需支付工時費.某公司計劃購買1臺該種機器,為決策在購買機器時應(yīng)同時一次性額外購買幾次維修服務(wù),搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),整理得下表:維修次數(shù)89101112頻數(shù)/臺數(shù)1020303010(1)以這100臺機器為樣本,估計“1臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概率.(2)試以這100臺機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù),說明購買1臺該機器的同時應(yīng)一次性額外購10次還是11次維修服務(wù).真題變式10.[跨學科]物理變化和化學變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)的生成.某學習小組在延時課上制作了A,B,C,D四張卡片,四張卡片除圖片內(nèi)容不同外,其他沒有區(qū)別,放置于暗箱中搖勻.A.鐵釘生銹B.滴水成冰C.礦石粉碎D.牛奶變質(zhì)(1)小臨從四張卡片中隨機抽取一張,抽中C卡片的概率是.(2)小夏從四張卡片中隨機抽取兩張,用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學變化的概率.11.(2024·廈門二模)【問題提出】共享單車不僅極大地方便人們的短途出行,而且低碳環(huán)保,受到用戶的喜愛.某社區(qū)周邊有5個共享單車停車區(qū),總計投放180輛的共享單車,某數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)每天早高峰期間經(jīng)常會出現(xiàn)有些停車區(qū)的單車不夠用,而有些停車區(qū)的單車使用率低的現(xiàn)象,為探究早高峰期間共享單車的合理投放方案,同學們展開了研究.【開展研究】該數(shù)學興趣小組分工合作在早高峰期間到每個停車區(qū)對行人使用共享單車的情況、人流量進行數(shù)據(jù)收集,結(jié)果如下表.表一:經(jīng)過停車區(qū)的行人使用單車情況的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù).停車區(qū)經(jīng)過停車區(qū)的人數(shù)使用共享單車的人數(shù)1號區(qū)6032號區(qū)10043號區(qū)9094號區(qū)120185號區(qū)707表二:每日早高峰期間的平均人流量.停車區(qū)1號區(qū)2號區(qū)3號區(qū)4號區(qū)5號區(qū)人流量/人240300160400200【問題解決】(1)記事件A為經(jīng)過1號區(qū)的行人使用共享單車,估計事件A的概率.(2)為應(yīng)對早高峰期間共享單車的使用需求,請你為該社區(qū)設(shè)計一個合理的共享單車投放方案,并說明理由.參考答案回歸教材·過基礎(chǔ)考點清單①有些事件必然發(fā)生②0<P<1③m基礎(chǔ)演練1.B2.C3.C4.B真題精粹·重變式1.D2.D3.B4.355.6.解析:(1)顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅,黃①,黃②,黃③,共4種等可能的結(jié)果,記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種,∴P(A)=14,∴顧客首次摸球中獎的概率為1(2)他應(yīng)往袋中加入黃球.理由:記往袋中加入的球為“新”,摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如下:紅黃①黃②黃③新紅紅,黃①紅,黃②紅,黃③紅,新黃①黃①,紅黃①,黃②黃①,黃③黃①,新黃②黃②,紅黃②,黃①黃②,黃③黃②,新黃③黃③,紅黃③,黃①黃③,黃②黃③,新新新,紅新,黃①新,黃②新,黃③共有20種等可能的結(jié)果,①若往袋中加入的是紅球,兩球顏色相同的結(jié)果共有8種,此時該顧客獲得精美禮品的概率P1=820=2②若往袋中加入的是黃球,兩球顏色相同的結(jié)果共有12種,此時該顧客獲得精美禮品的概率P2=1220=3∵25<35,∴P1<P∴他應(yīng)往袋中加入黃球.7.解析:(1)田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能獲勝,此時比賽所有可能的對陣為(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1B2,C1A2),(A1C2,B1B2,C1A2),共四種,其中獲勝的有兩場,故此田忌獲勝的概率P=12(2)不是.當齊王的出馬順序為A1,B1,C1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,B1A2,C1B2),當齊王的出馬順序為A1,C1,B1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,C1B2,B1A2),當齊王的出馬順序為B1,A1,C1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,A1C2,C1B2),當齊王的出馬順序為B1,C1,A1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,C1B2,A1C2),當齊王的出馬順序為C1,A1,B1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,A1C2,B1A2),當齊王的出馬順序為C1,B1,A1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,B1A2,A1C2).綜上所述,田忌獲勝的對陣有6種,不論齊王的出馬順序如何,也都有相應(yīng)的6種可能對陣,所以田忌獲勝的概率P=636=18.解析:(1)因為今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40的有4天,所以甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40(不含40)的概率為430=2(2)①甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù)為38×13+39×9+40×4+41×3+42×130②甲公司攬件員的日平均工資為70+39×2=148(元),乙公司攬件員的日平均工資為[38×7+39×7+40×(8+5+3)]×4+(1×5+2×3)×630因為159.4>148,所以僅從工資收入的角度考慮,小明應(yīng)到乙公司應(yīng)聘.9.解析:(1)0.6.(2)購買10次時,某臺機器使用期內(nèi)維修次數(shù)89101112該臺機器維修費用/元2400024500250003000035000此時這100臺機器維修費用的平均數(shù)y1=1100購買11次時,某臺機器使用期內(nèi)維修次數(shù)89101112該臺機器維修費用/元2600026500270002750032500此時這100臺機器維修費用的平均數(shù)y2=1100所以購買1臺該機器的同時應(yīng)選擇購買10次維修服務(wù).10.解析:(1)14(2)根據(jù)題意可列表格如下,ABCDAA,BA,CA,DBB,AB,CB,DCC,AC,BC,DDD,AD,BD,C根據(jù)表格可知共有12種等可能的結(jié)果,其中抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學變化的結(jié)果有2種,∴抽取兩張卡片內(nèi)容均為化學變化的概率為212=111.解析:(1)由表格數(shù)據(jù)知