2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第二十講-創(chuàng)新定義題型-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)創(chuàng)新定義的考查，是2024?新高考口卷，

解析幾何創(chuàng)新問(wèn)題

新高考改革出現(xiàn)的題型，一般11

難度較大。2024年九省聯(lián)考

出現(xiàn)了概率的新定義問(wèn)題，而2024?新高考□卷，

數(shù)列新定義

2025年新高考中出現(xiàn)了解析19

幾何、數(shù)列的新定義問(wèn)題。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷11題考查了解析幾何的創(chuàng)新題型，主要是曲線方程的求法

及性質(zhì)。口卷雖然未考查新定義類型，但是壓軸題將數(shù)列與雙曲線相結(jié)合，也是一次

獨(dú)特的創(chuàng)新。新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給

出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供

的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問(wèn)

題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分

析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決，難度較難，需重點(diǎn)特訓(xùn)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主

要考查數(shù)列、函數(shù)的新定義問(wèn)題。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考口卷T1）造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.

已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)F（2,0）的距離與到定直線

x=am<0）的距離之積為4,則（）

B.點(diǎn)(20,0)在C上

c.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)（%,為）在C上時(shí),

4

-Z

x0+2

二、解答題

2.（2024新高考□卷49）設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列4,出，…,％布是公差不為0的等差數(shù)

列，若從中刪去兩項(xiàng)為和后剩余的4根項(xiàng)可被平均分為機(jī)組，且每組的4個(gè)數(shù)

都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列％，/，…，6+2是。）-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的（"），l<i<j<6,使數(shù)列%”，…，4是（力）-可分?jǐn)?shù)歹U;

（2）當(dāng)機(jī)23時(shí)，證明：數(shù)列49,…，4M是（2,13）-可分?jǐn)?shù)列;

（3）從1,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和加</）,記數(shù)列4”,…,%,“+2是（力）-可分?jǐn)?shù)

列的概率為證明：匕二.

O

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、新定義問(wèn)題

“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于

對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)

“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

二、新定義問(wèn)題的方法和技巧

（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息

的理解；

（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息

理解的較為透徹；

（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及

什么情況下可以使用書上的概念.

名校模擬練

一、解答題

1.（2024?北京?三模）給定正整數(shù)”22,設(shè)數(shù)列6M2,…4是12的一個(gè)排列,對(duì)

ze{1,2,.玉表示以為為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度，%表示以為為首項(xiàng)的遞減子

列的最大長(zhǎng)度.

⑴若"=4,1=1,a2=4,a3=2,a4=3,求4和為I

22

（2）求證：Vze{l,2,...,n-1},（x;-y,.）+（x;+1-y;+l）0；

⑶求之上-刃的最小值.

1=1

2.（2024?河南?三模）已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“，若存在常數(shù)>0）,使得

4%>S用對(duì)任意?eN,都成立，則稱數(shù)歹U{%}具有性質(zhì)尸（㈤.

⑴若數(shù)列｛叫為等差數(shù)列，且53=-9同=-25,求證：數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)次3)；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且同｝具有性質(zhì)PW.

□若數(shù)列｛4｝是公比為q的等比數(shù)列，且2=4,求q的值；

□求義的最小值.

3.(2024?河北保定?三模)在初等數(shù)論中，對(duì)于大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，

不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)，對(duì)非零整數(shù)a和整數(shù)6,若存在整數(shù)上使得

b=ka,則稱。整除A已知Dq為不同的兩個(gè)素?cái)?shù)，數(shù)列伍“｝是公差為。的等差整數(shù)

數(shù)列，么為q除%所得的余數(shù)，S”為數(shù)列｛"｝的前"項(xiàng)和.

(1)若%=1,P=3,4=2,求$2024；

(2)若某素?cái)?shù)整除兩個(gè)整數(shù)的乘積，則該素?cái)?shù)至少能整除其中一個(gè)整數(shù)，證明：數(shù)列

｛"｝的前q項(xiàng)中任意兩項(xiàng)均不相同；

(3)證明：S^+l為完全平方數(shù).

4.(2024?海南?二模)設(shè)數(shù)列A:%,的,%…M"("23,〃eN*),如果/中各項(xiàng)按一定順序

進(jìn)行一個(gè)排列，就得到一個(gè)有序數(shù)組「3也也，…,勿).若有序數(shù)組「他也也，…,6“)

滿足標(biāo)-用＜血-%](米｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立，則稱「:(偽也也，…,￡)為〃階減距數(shù)

組；若有序數(shù)組「伯也&，…%)滿足以2-%|(m｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立,則稱

r：3也也，…抱,)為n階非減距數(shù)組.

(1)已知數(shù)列A：-L3,2,-3,請(qǐng)直接寫出該數(shù)列中的數(shù)組成的所有4階減距數(shù)組;

(2)設(shè)「3也也，…,々)是數(shù)列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一個(gè)有序數(shù)組，若

「:色也也，…也)為〃階非減距數(shù)組，且「：色也，…也t)為n-1階非減距數(shù)組，請(qǐng)直接

寫出4個(gè)滿足上述條件的有序數(shù)組「；

(3)已知等比數(shù)列A：。,%，生，(心3)的公比為q,證明：當(dāng)夕>。時(shí)，

「：(41，%,外,為〃階非減距數(shù)組.

5.(2024?江西九江?三模)已知數(shù)列｛%｝共有〃工22)項(xiàng)，且%wZ,若滿足

|a?+1-a?|<l(l<n<m-1),則稱｛%｝為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”｛〃“｝的所有項(xiàng)的和為

S.,.

(1)當(dāng)用=5時(shí)，寫出所有滿足q=%=1，$5=6的“約束數(shù)列”；

(2)當(dāng)加=2000,q=25時(shí)，設(shè)『:a2000=2024;q:“約束數(shù)歹〃｛??｝為等差數(shù)列.請(qǐng)判斷P是

的什么條件，并說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)4=1,心=。［〈心晟，丘N+］時(shí)，求|黑|的最大值.

6.(2024?山東青島?三模)在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的

頂點(diǎn)到直線/的距離之和相等，則稱/為多邊形的一條“等線”，已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙

22

曲線Ej-2=1("。力>。)的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，￡的離心率為2,點(diǎn)尸為E右支

上一動(dòng)點(diǎn)，直線加與曲線E相切于點(diǎn)尸，且與E的漸近線交于AB兩點(diǎn)，當(dāng)軸

時(shí)，直線丁=1為△尸內(nèi)耳的等線.

(1)求E的方程；

⑵若y=是四邊形AFtBF2的等線，求四邊形AF,BF2的面積;

⑶設(shè)OG=：OP,點(diǎn)G的軌跡為曲線「，證明:「在點(diǎn)G處的切線”為小耳工的等線

7.(2024?浙江?三模)在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)y=/(尤)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)必0<會(huì)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱“X)為旋轉(zhuǎn)函

數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)y=Qx是否為吟旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

0

⑵已知函數(shù)"X)=In(2x+1)(x>0)是“a旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求tan戊的最大值；

…丫2JT…

⑶若函數(shù)g(x)=Mx-l)eX-xlnx-彳是T旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求機(jī)的取值范圍.

8.(2024?上海三模)設(shè)f>0,函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽.若對(duì)滿足的任意

占、9,均有/小)-/(三)>?,則稱函數(shù)y=/(x)具有“PQ)性質(zhì)

(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)y=/(M是否具有尸⑵性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

3

□f(x)=—x；□/(x)=10sin2x；

(2)已知/(尤)=改3,且函數(shù)y=/(x)具有尸(1)性質(zhì)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)證明："函數(shù)y=/(x)-x為增函數(shù)”是“對(duì)任意”0,函數(shù)了=/(尤)均具有尸⑺性質(zhì)”的

充要條件.

9.(2024?新疆喀什?三模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的xeR,都有

/(x+2兀)=/⑺+〃2兀)，則稱函數(shù)〃x)具有性質(zhì)尸.

⑴判斷函數(shù)g")=x,//(x)=sinx是否具有性質(zhì)尸；(直接寫出結(jié)論)

35TT

(2)已知函數(shù)〃x)=sin(&x+e)i-<(p<-,|同<5),判斷是否存在。，夕，使函數(shù)

〃x)具有性質(zhì)尸？若存在，求出。，。的值；若不存在，說(shuō)明理由；

⑶設(shè)函數(shù)〃x)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2可上的值域?yàn)?M.函數(shù)

g(x)=sin(/(x)),滿足g(x+2?r)=g(x),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求

證：/(2兀)=2兀.

10.(2024?貴州六盤水?三模)若函數(shù)在國(guó)上有定義，且對(duì)于任意不同的

占,々e［a,6］,都有|〃士)-/'(無(wú)2)|<上|西-尤,則稱“X)為年,川上的“人類函數(shù)”

⑴若〃力=建,判斷是否為判2］上的“4類函數(shù)”;

71

⑵若〃x)=gln尤+(°+1)尤+(為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若“X)為。2］上的“2類函數(shù)"且『⑴"⑵，證明:%,馬?1,2］,

!/(%,)-/(%,)|<i.

11.(2024?江西南昌三模)給定數(shù)列MJ,若對(duì)任意加，〃eN*且〃件〃，4+4是

｛4｝中的項(xiàng)，則稱｛&｝為“〃數(shù)列設(shè)數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為

⑴若s.="+”,試判斷數(shù)列｛%｝是否為也數(shù)列”,并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)｛a.｝既是等差數(shù)列又是“〃數(shù)列”，且4=6,%eN*,%>6,求公差4的所有可

能值；

(3)設(shè)｛%｝是等差數(shù)列,且對(duì)任意“eN*,C是｛%｝中的項(xiàng),求證：｛七｝是“〃數(shù)列”.

12.(2024?黑龍江三模)如果〃項(xiàng)有窮數(shù)列｛%｝滿足%=%,%=-，...，%=%，

即。，=%如?=1,2,，叫,則稱有窮數(shù)列｛%｝為“對(duì)稱數(shù)列”.

(1)設(shè)數(shù)列色｝是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中仇也也也成等差數(shù)列，且么=3,&=5,

依次寫出數(shù)列也,｝的每一項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列匕｝是項(xiàng)數(shù)為2k-1(丘N*且％22)的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足除+i-c”|=2,記S.

為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.

□若“…,Q構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且紇=2023.當(dāng)％為何值時(shí)，邑一取得最大值？

匚若G=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

13.(2024?安徽?三模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若數(shù)列｛。“｝滿足：

匚數(shù)列｛為｝為有窮數(shù)列；

□數(shù)列｛?｝為遞增數(shù)列；

□\/k>2,左eN*,mp,qeN,，使得%=3+%；

則稱數(shù)列｛4｝具有“和性質(zhì)”.

(1)已知S.=?2+n(l<n<100),求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列｛4｝是否具有“和性

質(zhì)”；(判斷是否具有“和性質(zhì)”時(shí)不必說(shuō)明理由，直接給出結(jié)論)

(2)若首項(xiàng)為1的數(shù)列｛%｝具有“和性質(zhì)”.

qJ_I

(□)比較%與3產(chǎn)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(匚)若數(shù)列｛《,｝的末項(xiàng)為36,求S“的最小值.

14.（2024?湖北荊州?三模）對(duì)于數(shù)列｛%｝,如果存在一個(gè)正整數(shù)機(jī)，使得對(duì)任意

都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列｛七｝稱作周期為加的周期數(shù)

列，，"的最小值稱作數(shù)列｛玉｝的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.

2,〃=1

⑴判斷數(shù)列%=sinmr和％=，3,〃=2是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列

、％T-%.2+L/23

的周期，如果不是，說(shuō)明理由.

（2）設(shè)（1）中數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S",試問(wèn)是否存在。，4,使對(duì)任意“eN*,都有

p4（-!）".&<q成立，若存在，求出。，4的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.

n

—1,Z?2=a

（3）若數(shù)列｛叫和也｝滿足b?=an+l%,且二=媼（心L,eN），是否存在非零常數(shù)

b

。，使得｛。,｝是周期數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的常數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

15.（2024?安徽蕪湖?三模）若數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)

“T，%aM,都滿足<a；,則稱該數(shù)列為“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，若對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)

*%0M,都滿足%+aM<24則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.

⑴已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝是一個(gè)“凸數(shù)列"，且為=e。，，（其中e為自然常數(shù)，〃eN*）,證

明：數(shù)列｛如是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有的。4%%;

⑵若關(guān)于x的函數(shù)/（尤）=々+4%+叢2+》/有三個(gè)零點(diǎn)，其中々>0（i=l,2,3,4）.證明:

數(shù)列仿也也也是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”:

(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列旬,《，，%是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，求證:

16.(2024?湖南?二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x="+l表示

過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)

處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若圓Ci：尤?+丁=1是直線族mx+ny=1(/72,〃eR)的包絡(luò)曲線，求〃5滿足的關(guān)系式；

⑵若點(diǎn)P(M，%)不在直線族：Q(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求

%的取值范圍和直線族。的包絡(luò)曲線E;

⑶在(2)的條件下，過(guò)曲線E上AB兩點(diǎn)作曲線E的切線44,其交點(diǎn)為尸.已知點(diǎn)

C(0,l),若A,3,C三點(diǎn)不共線，探究/PC4=/PCB是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(2024?江蘇南通?二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓八

W+A=l(a>b>。)的離心率為亞，直線/與廣相切，與圓。：/+丁=3片相交于

a'b-3

A,8兩點(diǎn).當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，|A8|=2幾.

(1)求「的方程；

(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集N,若/中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小

距離的最大值存在，則記此最大值為或M,N).

(口)若X,N分別為線段與圓。上任意一點(diǎn)，尸為圓。上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e

最大時(shí)，求"(MN)；

(匚)若d(M,N),d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為"(MN).已知"(X』)，

H(y,z),〃(x,z)均存在，證明："(x,z)+H(y,z)'H(x,y).

18.（2024?新疆烏魯木齊?二模）在平面直角坐標(biāo)系X8中，重新定義兩點(diǎn)

A&，%），3區(qū)％）之間的"距離"為|明=Z-司+1%-%|，我們把到兩定點(diǎn)

耳（-c,O）,月（c,O）（c>0）的“距離”之和為常數(shù)2a（a>c）的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程；

（2）根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明理由；

⑶設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點(diǎn)為A,過(guò)

F?作直線交C于M,N兩點(diǎn)，AAW的外心為Q,求證：直線。。與MN的斜率之積為

定值.

19.（2024?江西新余?二模）通過(guò)研究，已知對(duì)任意平面向量AB=（x,y）,把鉆繞其起點(diǎn)

A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到向量AP=（xcos6-ysine,xsine+ycose）,叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P,

⑴已知平面內(nèi)點(diǎn)川-石,2宕），點(diǎn)8（括，-2宕），把點(diǎn)3繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3得到點(diǎn)

P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

⑵已知二次方程Y+V一孫=1的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓

5+/=i（〃>b>o）繞原點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn):所得的斜橢圓C,

（1）求斜橢圓C的離心率；

（口）過(guò)點(diǎn)。作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線4交斜橢圓c于點(diǎn)〃、N,過(guò)原點(diǎn)

V21

。作直線4與直線4垂直，直線4交斜橢圓C于點(diǎn)G、H,判斷阿+誦是否為定

值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)定義：若函數(shù)〃x)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)尸，。滿足

曲線y=在尸和Q處的切線重合，則稱尸，Q為曲線y=/(x)的“雙重切點(diǎn)”，直線

PQ為曲線y=/⑺的“雙重切線”.

⑴直線y=2x是否為曲線〃%)=三+工的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

X

e"—-xW0

(2)已知函數(shù)g⑴=彳e'_'求曲線y=g(x)的“雙重切線”的方程；

Inx,x>0,

(3)已知函數(shù)/i(x)=sinx,直線尸Q為曲線y=/i(x)的“雙重切線”，記直線尸。的斜率所有

匕15

可能的取值為K，k2,kn,若勺勺。=3,4,5,…,〃)，證明：/<—.

“2凸

21.(2024?上海長(zhǎng)寧?二模)設(shè)函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)椤＃舸嬖趯?shí)數(shù)左，使得對(duì)于任

意xeD,都有則稱函數(shù)y=/(x)有上界，實(shí)數(shù)上的最小值為函數(shù)y=/(x)的

上確界；記集合以={/(同y在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)};

2

⑴求函數(shù)y=——-(2<x<6)的上確界；

x-1

32

(2)^f(A:)=x—hx+2xlnxeMx,求/z的最大值；

⑶設(shè)函數(shù)y=/(x)一定義域?yàn)?o,+8)；若且y=/(x)有上界，求證:

〃力<0,且存在函數(shù)y=/(",它的上確界為0

參考答案與詳細(xì)解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)創(chuàng)新定義的考查，是2024?新高考口卷，

解析幾何創(chuàng)新問(wèn)題

新高考改革出現(xiàn)的題型，一般11

難度較大。2024年九省聯(lián)考

出現(xiàn)了概率的新定義問(wèn)題，而2024?新高考口卷，

數(shù)列新定義

2025年新高考中出現(xiàn)了解析19

幾何、數(shù)列的新定義問(wèn)題。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷11題考查了解析幾何的創(chuàng)新題型，主要是曲線方程的求法

及性質(zhì)。口卷雖然未考查新定義類型，但是壓軸題將數(shù)列與雙曲線相結(jié)合，也是一次

獨(dú)特的創(chuàng)新。新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給

出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供

的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問(wèn)

題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分

析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決，難度較難，需重點(diǎn)特訓(xùn)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主

要考查數(shù)列、函數(shù)的新定義問(wèn)題。

三：試題精講

一、多選題

1.(2024新高考口卷?“)造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.

已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)/(2,0)的距離與到定直線

尤=。(0<0)的距離之積為4,則()

A.a=—2B.點(diǎn)(20,0)在C上

c.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)(%,%)在C上時(shí)，

X。+2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題設(shè)將原點(diǎn)代入曲線方程后可求。，故可判斷A的正誤，結(jié)合曲線方程

可判斷B的正誤，利用特例法可判斷C的正誤，將曲線方程化簡(jiǎn)后結(jié)合不等式的性質(zhì)

可判斷D的正誤.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則x>-2且J(x-2)2+y2x|x-4=4,

因?yàn)榍€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故J(O-2)2+。2乂［0一4=4,解得。=-2,故A正確.

X

對(duì)于B：又曲線方程為J(-2)2+/x|x+2|=4,而x>—2,

故d(x-2)2+/x(1+2)=4.

當(dāng)x=2"y=0時(shí)，J(2a一2yx僅應(yīng)+2)=8-4=4,

故（20,0）在曲線上，故B正確.

216/3

對(duì)于c由曲線的方程可得y=而廣（）,取

641—641645256-245八

貝ntUIy2=--------9而-------1=—-=------------>0,故此時(shí)y2>i,

49449449449x4

故c在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1,故c錯(cuò)誤.

對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)（%,%）在曲線上時(shí)，由C的分析可得）=（尤一國(guó)一2）2M（尤；2）2，

44

故—7^74為-（;二7，故D正確.

人CI"乙人I乙

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程討論曲線的性質(zhì)，一般需要將曲線方程變形化簡(jiǎn)后

結(jié)合不等式的性質(zhì)等來(lái)處理.

二、解答題

2.（2024新高考□卷T9）設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列4,外，…，4M是公差不為0的等差數(shù)

列，若從中刪去兩項(xiàng)外和生?<，）后剩余的4"7項(xiàng)可被平均分為，〃組，且每組的4個(gè)數(shù)

都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列49,…ME是。）-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的（V）,1</<J<6,使數(shù)列出,是（V）-可分?jǐn)?shù)列;

⑵當(dāng)加23時(shí)，證明：數(shù)列％,4M是（2/3）-可分?jǐn)?shù)列；

（3）從1,2,...,4加+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和正<J）,記數(shù)列％小是（V）-可分?jǐn)?shù)

列的概率為證明：2>[

O

【答案】⑴（1,2）,（1,6）,（5,6）

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）直接根據(jù)（，,/）-可分?jǐn)?shù)列的定義即可；

（2）根據(jù)（〃）-可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；

（3）證明使得原數(shù)列是（。）-可分?jǐn)?shù)列的（盯）至少有（加+1）2-機(jī)個(gè)，再使用概率的定

義.

【詳解】（D首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列4,出，…，〃4m+2的公差為d,則dwO.

由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是

等差數(shù)列，

故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?仕=12…,4m+2）,

得到新數(shù)列4=左化=12…,4/九+2）,然后對(duì)4,列,…,4M進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.

換言之，我們可以不妨設(shè)劣=左（左=12…,4m+2）,此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.

回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從123,4,5,6中取出兩個(gè)數(shù)i和/?</）,使得剩下四個(gè)數(shù)是

等差數(shù)列.

那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是L2,3,4,或2,3,4,5,^3,4,5,6.

所以所有可能的J）就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于從數(shù)列L2,…,4相+2中取出2和13后，剩余的4機(jī)個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部

分，共機(jī)組，使得每組成等差數(shù)列：

I（1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3組；

□{15,16,17,18},{19,20,21,22),...,{4m-l,4m,4m+l,4m+2),共機(jī)一3組.

(如果利-3=0,則忽略.)

故數(shù)列1,2,…,4利+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列.

(3)定義集合A={4介+1%=0,1,2,...,;*={1,5,9,13,...,4〃?+1},

B+2|A;=0,1,2,..={2,6,10,14,4m+2}.

下面證明，對(duì)14i</44根+2,如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，

則數(shù)列1,2,...,4m+2一定是(i,力-可分?jǐn)?shù)列：

命題1:ieA,jeB或，A；

命題2：j—i^=3.

我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.

第一種情況：如果，eAjeB,且J-沒(méi)3.

此時(shí)設(shè)，=鈉+1,」=4履+2,匕e{0,1,2,

則由，</可知4%+1<4e+2,即期-%>-；,故%22匕.

此時(shí)，由于從數(shù)列12…,4根+2中取出；的+1和/=4%+2后，

剩余的4〃?個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共機(jī)組，使得每組成等差數(shù)列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},{鈉-3,鈉一2,然一1,4匕},共勺組；

□

{4%+2,4匕+3,4匕+4,4匕+5},{4(+6,4K+7,4匕+8,4K+9},…,{4修—2,4k2—1,4k4k?+1}

,共上2-K組；

□

{4左2+3,4左2+4,4&+5,4左2+6},{4左？+7,4k2+8,4左？+9,4質(zhì)+1。}，…,{4加一1,Arn,4m+1,4機(jī)+2}

,共利-七組.

（如果某一部分的組數(shù)為0,則忽略之）

故此時(shí)數(shù)列1，2,...,4加+2是（/,力-可分?jǐn)?shù)列.

第二種情況：如果ieBjeA,且

此時(shí)設(shè)i=4《+2,j=4k2+l,e{0,1,2,

則由》</可知4勺+2<4%+l,即網(wǎng)-《>：,故h>&.

由于故（4七+1）-（4匕+2）工3,從而右-左產(chǎn)1,這就意味著心-勺22.

此時(shí)，由于從數(shù)列12…,4機(jī)+2中取出，=4尤+2和j=4e+l后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以分

為以下四個(gè)部分，共加組，使得每組成等差數(shù)列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},.一{他-3,4?一2,4匕一1,4左},共/組;

]{4左+1,3匕+片+1,2匕+2網(wǎng)+1,1+3k2+1},

{3匕+%+2,2匕+2k2+2,%+3k+2,4左之+2},2.組；

I]全體{4《+°,3匕+&+夕,2匕+2e+p,匕+3七+p},其中p=3,4,左，共k2一k「2

組；

□

{4左2+3,4^+4,4匕+5,4匕+6},{4七+7,4七+8,4e+9,4e+101,[4m-1,4m,4m+1,4m+21

,共m—k]組.

（如果某一部分的組數(shù)為0,則忽略之）

這里對(duì)口和□進(jìn)行一下解釋：將口中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含履-尢-2個(gè)

行，4個(gè)列的數(shù)表以后，4個(gè)列分別是下面這些數(shù):

{4匕+3,4匕+4,…,3%]+&}，{3左]+&+3,3《+k,+4,…,2《+2A2},

{2匕+2b+3,2K+2b+3,…，匕+3k。},{匕+3幺+3,々+3k?+4,…,4人2}.

可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院螅瑢⑷”?/p>

{4匕+1,4匕+2,...,4左2+2}中除開五個(gè)集合{4匕+1,4々+2},{3匕+&+1,3尤+七+2},

{2々+2&+1,2匕+2&+2},悵+3&+1,《+3&+2},{4&+1,4&+2}中的十個(gè)元素以外

的所有數(shù).

而這十個(gè)數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的4勺+2和4%+1以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是口中出現(xiàn)

的八個(gè)數(shù).

這就說(shuō)明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列L2,…,4相+2是（1,/）-可分?jǐn)?shù)列.

至此，我們證明了：對(duì)加+2,如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列

1,2,…,4相+2一定是億力-可分?jǐn)?shù)列.

然后我們來(lái)考慮這樣的（丐）的個(gè)數(shù).

首先，由于AcZ?=0,A和B各有〃2+1個(gè)元素，故滿足命題1的億力總共有（加+行

個(gè)；

而如果J—=3,假設(shè)iwAJwB,則可設(shè)『=4左+1,j=4k2+2,代入得

（的+2）-（4匕+1）=3.

但這導(dǎo)致矛盾，所以

設(shè)力=4匕+2,j=4后+1,^,^6{0,1,2,貝！|（的+1）-（4勺+2）=3,即右一勺=1.

所以可能的化，切恰好就是（。/），（1，2）,…對(duì)應(yīng)的（盯）分別是

（2,5）,（6,9）,...,（4〃?-2,4帆+1）,總共加個(gè).

所以這（加+1）2個(gè)滿足命題1的8/）中，不滿足命題2的恰好有，"個(gè).

這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的（仃）的個(gè)數(shù)為（"7+1）27”.

當(dāng)我們從1,2,…,4帆+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i<J）時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于

①羋M=（2機(jī)+1）（4加+1）.

而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列4，〃2,…，〃4m+2是（旬）-可分?jǐn)?shù)列的（仃）至少有（加+1）2-m

個(gè).

所以數(shù)列％,42,…，44利+2是（V）-可分?jǐn)?shù)列的概率pm一定滿足

（m+l）2-mm2+m+lm2+m+^:1.

p2--------------=--------------->------------=----------------——

（2m+l）（4/?z+l）（2，〃+1）（4%+1）（2加+l）（4〃z+2）2（2/n+l）（2m+l）8

這就證明了結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、新定義問(wèn)題

“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于

對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)

“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

二、新定義問(wèn)題的方法和技巧

（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息

的理解；

（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息

理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及

什么情況下可以使用書上的概念.

名校模擬練

一、解答題

1.(2024?北京?三模)給定正整數(shù)九22,設(shè)數(shù)列是L2,的一個(gè)排列，對(duì)

ze{1,2,為表示以為為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度，%表示以為為首項(xiàng)的遞減子

列的最大長(zhǎng)度.

(1)若"=4,%=1,%=4,%=2,4=3,求￡］和為;

22

(2)求證：Vze{l,2,...,n-1},(x;-y;)+(x;+1-y;+.)0；

⑶求之上7』的最小值.

Z=1

【答案】(1)%=3,%=2

⑵證明見解析

⑶當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，￡上-%|的最小值是g當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，￡上-刃的最小值是一.

z=i2z=i2

【分析】(D直接根據(jù)定義求解；

(2)分情況討論證明尤，-X豐xM-yM,故可推知x,-％和xM-yM不能同時(shí)為零，進(jìn)

而得到結(jié)論；

(3)對(duì)"的奇偶性分情況討論，并利用小問(wèn)2得到的結(jié)果即可.

【詳解】(D以%為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是4,以外為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞減子列是

"2，"3"2，"4.

所以%=3,%=2.

(2)對(duì)…,〃-1},由于q,a?,…,a,,是1,2,…〃的'個(gè)排列，故%豐。升].

若4<4包,則每個(gè)以廂為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)生,

得到一個(gè)以4為首項(xiàng)的更長(zhǎng)的遞增子列，所以%>玉包；

而每個(gè)以。，為首項(xiàng)的遞減子列都不包含aM,且a,<aM,

故可將%替換為%,得到一個(gè)長(zhǎng)度相同的遞減子列，所以Y.

這意味著％->/4-％+1；

若q>《+i,同理有%>%+1，%4%,故%-y<玉+1-%+1.

總之有玉-%*玉+1-,從而玉-R和xM-yM不能同時(shí)為零，

故(%-%『+(%+—％+1)2片0.

(3)根據(jù)小問(wèn)2的證明過(guò)程知%-%和%+1-》+i不能同時(shí)為零，故

|%-刈+卜+1-％+1|21.

情況一：當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2左，則一方面有

E\xi-y.\=Z(L.i-%tI+L-%I”￡1=左=g；

i=\z=li=\'

另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列卬，電，…，。"：卜一二""I,i=

[a2i=k+i

則對(duì)i=l,2,…也有『二;J：,歸;J：L

[x2i=k-i+\[y2i=k-i+l

故此時(shí)自占-引=ELT-%.1|=2?=4=S.

i=li=li=l'

結(jié)合以上兩方面，知的最小值是g.

i=l2

情況二：當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，設(shè)〃=2m-1,則一方面有

_n、一|乎一!?_1

X、一引n￡|尤「y|=￡（民,_|-%）+層-￡1=加一1=—；

i=\z=lz=lz=lL

ax=m

另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列q,a2,...,an；<a2i=m+i,i=l,1.

a2i+l=m-i

xi=myx=m

則對(duì)，機(jī)-有｛，

=1,2,...,1,x2i=m-i<y2i=m-i+l.

x2i+i=m-i

_n坐一!.一!?_1

故此時(shí)￡歷-引=￡島-%|=￡1=加-1=1廠.

z=lz=lz=lL

結(jié)合以上兩方面，知力歸-％|的最小值是”.

i=i2

綜上，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，的最小值是M當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，的最小值是

i=l2Z=1

n-1

F，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求最小（或最大）值的本質(zhì)在于，先證明所求的表達(dá)式一定不

小于（或不大于）某個(gè)數(shù)M,再說(shuō)明該表達(dá)式在某種情況下能取到加，就得到了最小

（或最大）值是M,這便是“求最小（或最大）值”的本質(zhì).而在這個(gè)過(guò)程中，“想到

M的具體取值”這個(gè)過(guò)程并不存在絕對(duì)的邏輯性，可以窮盡各種手段，包括直覺(jué)、大

膽猜測(cè)、高觀點(diǎn)等，去猜出M的值，這些內(nèi)容也無(wú)需在證明過(guò)程中呈現(xiàn).只要證明合乎

邏輯，“如何想到M的取值”無(wú)需交代，不影響解答的正確性.換言之，所謂“求”，便

是“猜出結(jié)果，再證明結(jié)果正確”，與“算出”、“得出”本就是無(wú)關(guān)的.在高考范圍內(nèi)，

大多數(shù)最小值和最大值問(wèn)題都能夠直接化為某個(gè)顯而易見，容易刻畫的模型，然后“直

接算出“，但不可將此作為萬(wàn)能法寶，忘記了最小值最大值的原始定義和本質(zhì).

2.（2024?河南?三模）已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，若存在常數(shù)>0）,使得

>S用對(duì)任意“eN,都成立，則稱數(shù)歹U｛4｝具有性質(zhì)P(㈤.

(1)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且53=-9出=-25,求證：數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)產(chǎn)⑶；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且｛4｝具有性質(zhì)PW.

匚若數(shù)列｛“"｝是公比為4的等比數(shù)列，且九=4,求4的值；

匚求2的最小值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)口4=2；□%的最小值為4.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和，

再利用定義判斷即得.

(2)匚根據(jù)給定條件，可得也上5…再按4=1,q"探討，當(dāng)4W1時(shí)，

又按0<4<1，4=2,4>1且/2討論得解；□由定義皿心力?，消去

i-q

“用結(jié)合基本不等式得滬44紅，再迭代得(:尸〉/借助正項(xiàng)數(shù)列建立不等式

求解即可.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由53=-9,怎=-25,得

3%+3d——9,5〃]+10d——25,

解得6=-1,〃=一2,貝1!%=-1+(〃-1)(-2)=-2〃+1,5“=(11+D"=_"2,

于是3an-Sn+1=3(—2"+1)+(〃+=("一2尸20,即3*S?+i,

所以數(shù)列｛瑪｝具有性質(zhì)P(3).

(2)□由數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P(4),得4a“NS向，又等比數(shù)列｛%｝的公比為彘

若g=l,則4%2("+l)q,解得〃M3,與“為任意正整數(shù)相矛盾；

當(dāng)4Hl時(shí)，,而。“>0,整理得4/一匕?一,

i-q1-q

若0<q<l,貝！)4"一匕￡^,解得〃<l+logg—^,與”為任意正整數(shù)相矛盾；

若“1,則0i(q-2)2W1,當(dāng)q=2時(shí)，廣、-2)241恒成立，滿足題意；

當(dāng)0>1且/2時(shí)，”-七日號(hào)，解得〃<1+10與a號(hào)，與”為任意正整數(shù)相矛

盾；

所以4=2.

冊(cè)+

由Aan>S〃+1,得21之Sn+2,即之(S〃+i-S〃)之S〃+2,

S4s

因此礙》凋,+122河口，即受『十，

%+14

2ciC

由數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，得s“<Sw從而1<(1產(chǎn),，即(1尸>丈，

若0</<4,則“<1+1嗚支,與〃為任意正整數(shù)相矛盾，

4S2

因此當(dāng)X24時(shí)，。廣匕D區(qū)恒成立，符合題意，

4s2

所以彳的最小值為4.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：等比數(shù)列公比q不確定，其前n項(xiàng)和S“直接用公式

S”=叩心處理問(wèn)題，漏掉對(duì)4片1的討論.

1-q

3.(2024?河北保定?三模)在初等數(shù)論中，對(duì)于大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外,

不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)，對(duì)非零整數(shù)。和整數(shù)6,若存在整數(shù)上使得

b=ka,則稱。整除A已知°,q為不同的兩個(gè)素?cái)?shù)，數(shù)列｛““｝是公差為。的等差整數(shù)

數(shù)列，或?yàn)閝除。“所得的余數(shù)，S”為數(shù)列仍“｝的前"項(xiàng)和.

⑴若4=1,。=3,4=2,求$2024；

(2)若某素?cái)?shù)整除兩個(gè)整數(shù)的乘積，則該素?cái)?shù)至少能整除其中一個(gè)整數(shù)，證明：數(shù)列

｛勿｝的前q項(xiàng)中任意兩項(xiàng)均不相同；

(3)證明：Sgg+l為完全平方數(shù).

【答案】(1)1012；

(2)證明見解析；

⑶證明見解析.

【分析】(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求出也,｝的通項(xiàng)公式，再借助分組求和即得.

(2)利用反證法，結(jié)合整除及素?cái)?shù)的性質(zhì)導(dǎo)出矛盾即可得證.

(3)利用(2)的信息，求出邑，再利用或的定義可得我即可求和得證.

【詳解】(D依題意，an=3n-29當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。“為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，明為

偶數(shù)，

-°Lp,[1,“為奇數(shù)

而4=2,m因此2%“為偶數(shù)，

所以S2024=1012x1+1012x0=1012.

(2)假設(shè)存在々=bj9/,ye(l,2,,q},i^j9

依題意，at=kq+bt,%=切+勺，k,leZ,

^ai-aj=(i-j)p=(k-l)q,因此q整除(i-j)p,

因?yàn)閜,q為不同的素?cái)?shù)，故q不整除p,

又因?yàn)?N|」/區(qū)4-1<4,故q不整除(i-j),

與q整除0-力。矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，

所以數(shù)列{2}的前q項(xiàng)中任意兩項(xiàng)均不相同.

(3)由(2)得么e{0』,2,,q-l},且數(shù)列{么}的前q項(xiàng)中任意兩項(xiàng)均不相同，

所以邑=0+1+2+.,+q-1=吟』，

b

設(shè)4=%⑼+n(勺eZ),則an+q={kn+p)q+bn,故bn+q=bn,

所以5防+1=8邑+1=4q(q-1)+1=(2^-1)2為完全平方數(shù).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用反證法時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須

根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是

反證法.所謂矛盾主要指：□與已知條件矛盾；□與假設(shè)矛盾；口與定義、公理、定理

矛盾；□與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；□自相矛盾.

4.(2024?海南?二模)設(shè)數(shù)列4:%,外,阻，…，凡("23,〃eN*),如果/中各項(xiàng)按一定順序

進(jìn)行一個(gè)排列，就得到一個(gè)有序數(shù)組r：色也也，…，2).若有序數(shù)組r：色也也，…也)

滿足h-陰<血-Ge{1,2,3,，〃-2})恒成立，則稱r：(4也也，…也)為”階減距數(shù)

組；若有序數(shù)組「俗也也，…也)滿足|2-4用“-%|(*{1，2,3,，〃-2})恒成立,則稱

r：色也也，…，2)為"階非減距數(shù)組.

(1)已知數(shù)列4：-1,3,2,-3,請(qǐng)直接寫出該數(shù)列中的數(shù)組成的所有4階減距數(shù)組;

(2)設(shè)「3也也，…,々)是數(shù)列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一個(gè)有序數(shù)組，若

「:色也也，…也)為〃階非減距數(shù)組，且「：色也，…也t)為n-1階非減距數(shù)組，請(qǐng)直接

寫出4個(gè)滿足上述條件的有序數(shù)組「；

(3)已知等比數(shù)列A：%,%，生，…，。”(心3)的公比為q,證明：當(dāng)4>0時(shí),

a”)為n階非減距數(shù)組.

【答案】⑴[1：(-1,2,3,-3),口:(2,-1,-3,3),r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3-1).

(2)(2H-1,2?z-3,2n-5,,5,3,l),(2n-l,2n-3,2n-5,,5,1,3)

(1,3,5,,2M-5,2n-3,2n-l,),(l,3,5,,2n-5,2〃一1,2〃一3,).

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題中〃階減距數(shù)組的定義，寫出4階減距數(shù)組，只需要保證有序數(shù)

組r：伍也也也)中，肉-4<肉-可和肉-勾-勾恒成立即可,分別令4為數(shù)列A

中的每一個(gè)值即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)題干中〃階非減距數(shù)組的定義，只需要保證有序數(shù)組「屹也也，…抱,)中，

滿足性「引誹「%|(他{1,2,3,,〃-2})和有序數(shù)組r：色也也,)中，滿足

|%-4閆%-%|(矣{1,2,3,,〃-3})恒成立即可.

(3)利用分析法進(jìn)行逐步反向遞推，最后得證.

【詳解】⑴4階減距數(shù)組有：ri：(-l,2,3,-3),r2：(2,-1,-3,3),

r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3,-1).

(2)滿足條件的有序數(shù)組r：

(2n—l,2n—3,2n—5,,5,3,1),(2n-1,2n—3,2n—5,,5,1,3)

（1,3,5,,2n-5,2n-3,2n-l,）,（l,3,5,,2zz