類型七二次函數(shù)與直角三角形有關(guān)的問題(專題訓(xùn)練)

1.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線丁=依2+版+5與關(guān)軸交于4,8兩點，與y

軸交于點C，AB=4.拋物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點A的直線、=6-1交于點O,與天軸交

于點E.

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點使得是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出

所有點/的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點P為03上一個動點，請求出PC+gpA的最小值.

2.(2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-犬+3工+1交y軸

于點A,直線>=尤+2交拋物線于B,C兩點（點B在點C的左側(cè)），交》軸于點。，交x

軸于點E.

⑴求點D,瓦C的坐標(biāo)；

（2）歹是線段0E上一點（。/<?），連接AR。尸，Cr，且產(chǎn)=21.

①求證：是直角三角形；

②ZDFC的平分線FK交線段DC于點K,P是直線BC上方拋物線上一動點，當(dāng)

3tan/PFK=l時，求點P的坐標(biāo).

3.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+6x+c與x

軸交于3(4,0),C(-2,0)兩點.與y軸交于點4(0,-2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵若點尸是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K,過點尸

作v軸的平行線交x軸于點D,求與gpK+尸。的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得是以AB為一條直角邊的直角三角形:

若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

4.(2023?四川?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y="2+6x+4

的圖象與X軸交于點A(-2,0),3(4,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知E為拋物線上一點，產(chǎn)為拋物線對稱軸/上一點，以E,尸為頂點的三角形是等

腰直角三角形，且/3莊=90。，求出點尸的坐標(biāo)；

⑶如圖2,尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交y軸于點連接并延長交V軸

于點N,在點尸運動過程中，OM+[ON是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請

說明理由.

5.(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

乙：y=尤2一2犬-3的頂點為2.直線/過點M（0,嗎）（機(jī)2-3）,且平行于無軸，與拋物線乙交

于AI兩點（3在A的右側(cè)）.將拋物線匕沿直線/翻折得到拋物線L2,拋物線J交y軸于點

C,頂點為。.

（1）當(dāng)〃7=1時，求點。的坐標(biāo)；

（2）連接3C、CD、DB,若△BCD為直角三角形，求此時4所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑶在（2）的條件下，若△BCD的面積為3,E、尸兩點分別在邊3C、8上運動，且EF=CD,

以E尸為一邊作正方形加G8,連接CG,寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由.

6.（2022?山東濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=尤2-2彳-3與x軸相交于點A、

B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C,連接AC8C.

(1)求線段AC的長；(2)若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)P4=PC時，求點P的

坐標(biāo)；

(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)ABCW為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

7.(2021?四川中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩

點，與y軸交于點C(0,6),拋物線的頂點坐標(biāo)為E(2,8),連結(jié)BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷4BCE的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,以C為圓心，應(yīng)為半徑作。C,在。C上是否存在點P,使得BP+gEP的值

8.(2021?湖北中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=女2+"+。與％軸交于點A(-1,0)

和點6,與>軸交于點C,頂點。的坐標(biāo)為(1,T).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P在拋物線上且滿足NPCB=/CBD,求點尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,M是直線上一個動點，過點M作MNLx軸交拋物線于點N,。是直線AC

上一個動點，當(dāng)AQMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應(yīng)點。的坐標(biāo)

9.(2021?湖北中考真題)拋物線丁=以2-2"+6(。/0)與>軸相交于點。(0,-3),且

拋物線的對稱軸為x=3,。為對稱軸與無軸的交點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在無軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于石、尸兩點，若ADEF是

等腰直角三角形，求4。瓦的面積;

(3)若尸(3,。是對稱軸上一定點，Q是拋物線上的動點，求尸。的最小值(用含f的代數(shù)式

表示).

10.如圖，已知拋物線y=ax，bx+c經(jīng)過A(-2,0),B(4,0),C(0,4)三點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)經(jīng)過點B的直線交y軸于點D,交線段AC于點E,若BD=5DE.

①求直線BD的解析式；

②已知點Q在該拋物線的對稱軸1上，且縱坐標(biāo)為1,點P是該拋物線上位于第一象限的動

點，且在1右側(cè)，點R是直線BD上的動點，若4PQR是以點Q為直角頂點的等腰直角三角

形，求點P的坐標(biāo).

11.如圖，拋物線y=取？+6x-4經(jīng)過A(—3,6),B(5,—4)兩點，與y軸交于點C,

連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求證：AB平分NC40；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得是以AB為直角邊的直角三角形.若存在,

求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-爐+6x+c與x軸交于點,與y軸交于

點C,且直線y=X-6過點B,與y軸交于點D,點C與點D關(guān)于x軸對稱.點P是線段08

上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M