2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)

檢測試題

本試題卷共4頁，分第I卷與第II卷兩部分，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.經(jīng)過'(°'網(wǎng)、'(T°)兩點的直線的傾斜角為()

717T2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【正確答案】B

【分析】求出直線48的斜率，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)果.

A/3—0r~71

【詳解】設(shè)直線48的傾斜角為則0<&<兀，且tana式=J3,故&=—.

0-(-1)3

故選：B.

2.在數(shù)列｛%｝中，S“為前〃項和，若%T+%+I=2a“(〃22,"eN*),%+%=4,a5=8,

則其公差"=()

A.3B.4C.-3D.-4

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)題意得到｛%｝為等差數(shù)列，再求出生=2,進而結(jié)合外=8即可求得其公差.

【詳解】由數(shù)列｛4｝滿足%_i+4+1=2%(〃22,〃eN*),

則an+l-an=an-an_x,所以｛%｝為等差數(shù)列,

又。2+。4=4,則2a3=。2+。4=4,即％=2,

又%=8,則其公差為1=%二2=3.

5-3

故選：A.

3.拋物線x=2/的焦點坐標為()

【正確答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的標準方程形式進行求解即可.

2

【詳解】由x=2y2=>y=,

因此該拋物線的焦點在橫軸的正半軸上，且

所以該拋物線的焦點坐標為

故選：C

4.如圖，四棱錐P—45co的底面是平行四邊形，若萬3=1,DC=b^DP=c>E是PC

的中點，則屁=()

B.-a--b+-c

22

D.

222

【正確答案】B

【分析】直接利用向量的運算法則計算得到答案.

【詳解】E是PC的中點,

BE=BA+AD+DP+PE=-DC-DA+DP+-(DC-DP}=--DC-DA+-DP

2、'22

=-a_——1b匚+—1c-.

22

故選：B.

5.若曲線，+工=1表示橢圓，則實數(shù)/的取值范圍是（）

t-24-t

A.（2,4）B.（2,3）u（3,4）c.2）u（4,+⑹D.（4,+。）

【正確答案】B

t-2>0

【分析】根據(jù)橢圓方程標準形式可得（4--〉0，從而得解.

22

【詳解】若曲線一二+工=1表示橢圓，

t-24-t

t-2>0

貝川4—/〉0，解得2<4且23,

t—2手A-t

所以實數(shù)/的取值范圍是（2,3）u（3,4）.

故選：B.

X

6.關(guān)于函數(shù)/（%）=京說法正確的是（）

A.沒有最小值，有最大值B.有最小值，沒有最大值

C.有最小值，有最大值D.沒有最小值，也沒有最大值

【正確答案】A

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可

【詳解】解：函數(shù)的定義域為R,

丫//\eX-xeX1-x

由/（x）=［得=

當x<l時，/（x）>0,當x>l時，/（x）<0,

所以/（X）在（-8,1）上單調(diào)遞增,在（1,+8）上單調(diào)遞減,

所以當X=1時，/⑴取得最大值，/（%）沒有最小值,

故選：A

7.廠=2是圓(x+2)2+(y—1)2=/上恰有兩個點到直線x+丁_1=0的距離等于72的

()

A充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】A

【分析】首先計算圓心到直線的距離，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，以及充分，必要條件的

定義，即可求解.

【詳解】若廠=2,則圓心(―2,1)到直線x+y—1=0的距離d=￡詈U=血,

則圓(x+2)2+3_=4上恰有兩個點到直線x+y-1^0的距離等于V2，

反過來，若圓(x+2)2+(y-Ip=戶上恰有兩個點到直線x+>—1=0的距離等于41，

則0<卜|<2^/2,即一2<0或0</<2^/2，不一定丫=2,

所以尸=2是圓(X+2)2+3—1)2=/上恰有兩個點到直線1+歹_1=0的距離等于行的充

分不必要條件.

故選：A

11221

8,若Q=—In—4=—In—,c=——，則()

4433e

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.b<a<c

【正確答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,xe(O,+e),利用導(dǎo)數(shù)判斷/(x)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析

判斷

【詳解】因為c=—‘='lnL,

eee

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,xe(0,+oo),則/'(x)=lnx+l,

令/'(x)>0,解得當時，令/'(x)<0,解得0<x<L

ee

可得/（X）在上單調(diào)遞減，在（：,+R]上單調(diào)遞增；

且所以0=/1K]<°=/1]]<6=/[§]，即c<a<6.

故選：C.

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意構(gòu)建/（x）=xlnx,xe（O,+8）,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，選對但不全對的得2分.

9.下列命題為真命題的是（）

A.若空間向量Q,b，c滿足=則a=c

B.若三個非零向量b,之不能構(gòu)成空間的一個基底，則3，3，之必定共面

C.若空間向量〃//萬,b/1c則a//c

D.對于任意空間向量b,必有?+4眼+國

【正確答案】BD

【分析】令B為零向量即可判斷A、C；由基底的概念判斷B；應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律、定

義判斷D.

【詳解】若B為零向量，有0力以二，但￡="不一定成立，A錯:

三個非零向量Z，b>"不能構(gòu)成空間的一個基底，則它們必共面，B對；

若B為零向量，a//B,2//c,但a//c不一定成立,C錯：

由[+.=|a|2+2|a||S|cos/a,S\+1S|2,（|a|+|S|）2=|a|2+21a||S|+1S|2,

而2|a||5|cos0⑻,所以卜+小卜|+網(wǎng)，D對.

故選：BD

10.為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行

測量.已知該藥物在人體血管中藥物濃度c隨時間f的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后,

血管中藥物濃度隨時間f變化的關(guān)系如圖所示.則下列結(jié)論正確的是（）

A.在。時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同

B.在％時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同

C.在國工］這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同

D.在和也1］兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同

【正確答案】AC

【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概

念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.

【詳解】選項A,在4時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A

正確；

選項B,在J時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的/'&）不相等，

說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；

選項C,由平均變化率公式知，甲、乙兩人在，2工］內(nèi)，

血管中藥物濃度的平均變化率均為'*即選項C正確；

一’2

選項D,在,當］和也片］兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為

3J和八顯然不相同，即選項D不正確.

12111312

故選：AC.

11.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為=〃2—9〃，則下列說法正確的是（）

A.%=—8B.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛Sj的最小項為品和國。D.滿足S”<0的最大正整數(shù)力=8

【正確答案】ABD

【分析】先根據(jù)S“=/-9〃求出4=2〃-10,即可判斷選項A、B；再利用二次函數(shù)性質(zhì)

可判斷選項C；最后根據(jù)Sn<0解不等式即可判斷選項D.

【詳解】S?=n2-9n

.,.當〃=］時，/=S］=r-9=-8；

當〃1時，4=S“-=2n-10；

,/2x1-10=%

/.%=2〃-10.

：%=2>0

數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，故選項A、B正確;

S=n2-9n=

n4

，當〃=4或〃=5時S“最小，即數(shù)列｛S“｝的最小項為S4和S5,故選項C錯誤,

令S“<0,得0<〃<9,〃eN*，即滿足S“<0的最大正整數(shù)〃=8,故選項D正確.

故選：ABD

12.已知拋物線C:/=2陟（,〉0）的焦點尸到準線的距離為4,過點尸的直線與拋物線交

于43兩點，M（5,2）,N為線段48的中點，。為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線。的方程為Y=8了B,若M切=12,則點N到無軸的距離為

6

C+的最小值為5D.若［4F|=7,則AAMF的面積為y

【正確答案】ACD

【分析】對于A：直接根據(jù)焦點尸到準線的距離可得。；對于B：利用拋物線的定義以及梯

形中位線的長度公式來求解；對于C：直接利用兩點之間線段最短來解答；對于D：利用焦半

徑公式求出A點坐標，進而可用面積公式求解.

【詳解】由焦點尸到準線的距離為4可得0=4,

即拋物線。的方程為f=8y,A正確；

過點4",5作準線》=-2的垂線，垂足分別為A',N',B',

由拋物線的定義得\AB|=\AF\+忸刁=\AA'\+\BB'\=12,

所以點N到x軸的距離為[—2=g（|44]+忸—2=4,B錯誤;

根據(jù)圖像點M的位置可得\AF\+\AM^\FM\=5,C正確；

設(shè)/（x（）Jo）,不妨取%>0,則|/尸|=|44'|=%+2=7,

得％=5，

所以S-=[x5x（5—2）=5,D正確

故選：ACD.

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線依->+2+左=0在兩坐標軸上的截距相等，則左=.

【正確答案】-2或-1

【分析】利用截距的概念分類討論計算即可.

【詳解】若該直線過原點，顯然符合題意，易得左=-2；

若該直線不過原點，顯然上=0時，直線y=2不符合題意，

2

當上wO,左w-2時，令x=0時>=2+左，令y=0時x=-l—，

k

依題意有：2+左=—1—2,解得：上=—1或無=—2（舍），

綜上：上=—1或左=—2,

故-2或-1.

14.已知函數(shù)/(x)=hw-ax在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為.

【正確答案】［1,+")

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到/'(x)=L-a<0在區(qū)間(1,3)上恒成立，求出Leg」］,從

而得到a>l.

【詳解】函數(shù)/(x)=hw-"在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，

/'(x)=1—aW0在區(qū)間(1,3)上恒成立，

X

即，Va,又一￡(彳,1］,

xxJ

故Q?l,即實數(shù)。的取值范圍為［1,+。).

故［1,+8)

22

15.已知大，鳥分別是雙曲線匕-土=1的上、下焦點，過鳥的直線交雙曲線于48兩點,

2516

若14sl=9,則|/片|+忸用的值為.

【正確答案】29

【分析】根據(jù)雙曲線方程及已知有43在雙曲線的下支上，應(yīng)用雙曲線定義及1481=9,即

可求目標式的值.

【詳解】由題設(shè)2。=10>9,故48在雙曲線的下支上，如下圖示，

根據(jù)雙曲線定義：|/公卜|2月卜忸「卜忸凡|=2a=10,

所以以國+忸周=4a+（/周+|%|）=20+|/a=29.

故29

16.如圖，正方體48CD—44G2的棱長為1,E、尸分別為CQ1與48的中點，則點名

到平面4PCE的距離為.

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到平面距離公式進行計算.

【詳解】以。為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

則4（l,O』）,E[l,；,o],C（O/,O）,￡1o,g,l],鳥（1,1,1）,CF=（l,-1,0

0,f，

--—y+z-0

2

設(shè)平面AXFCE的法向量為m=（x,y,z],

=x—-y=0

2

令x=l,則了=2,z=l,故平面4PCE的法向量為應(yīng)=（1,2,1）,

而同|(1,0,1卜(1,2,1)1娓

又西=（1,0,1）,則點與到平面Z/CE的距離為4=

\m\V1+4+13

釁

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在遞增的等比數(shù)列｛%｝中，aA-a6=32,?2+a5=18,其中〃eN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）記〃=%+log2%+i,求數(shù)列｛4｝的前〃項和卻

2

【正確答案】（1）a=T~\（2）

n2

【詳解】試題分析：（1）由。2,%=%q=32及4+%=18得%=2,%=16,進而的夕,

可得通項公式；

（2）%=21+〃利用分組求和即可，一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列.

試題解析：

（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為直

貝！J?%%?4=32,

又。2+%=18,

a2=2,%=16或%=16,%=2（舍）.

Q3—2—8,即q=2.

a2

故氏=%廣2=2〃T（neN*）.

(2)由(1)得，bn=T-'+n.

Tn=bl+b2+'"+bn

=(1+2+2?+.-+2"1)+(1+2+3+…+〃)

1-2"+

-1-2+-2-

2

=2?_1+?+?

2

18,已知圓心經(jīng)過點，(-1,2),3(6,3)且圓心在直線x+y—2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)已知直線/經(jīng)過點(-2,2),直線/與圓/相交所得的弦長為8,求直線/的方程.

【正確答案】(1)(x-3)2+(v+l)2=25

(2)y=2或15x+8y+14=0

【分析】(1)借助待定系數(shù)法設(shè)出方程，代入計算即可得；

(2)借助圓的弦長公式，設(shè)出直線方程計算即可得.

【小問1詳解】

設(shè)圓M的方程為/+必+瓜+4+歹=0,

因為圓M經(jīng)過點/(—1,2),5(6,3),且圓心在直線x+y—2=0上，

5-D+2E+F=0,

依題意有＜45+6D+3E+廠=0,

-生-2=0,

122

解得。=—6,E=2,尸=—15,

所以圓M的方程為(%-3)2+(y+1)2=25.

【小問2詳解】

設(shè)圓心到直線/的距離為d,

則弦長A=2飛戶—d°=8=>飛25-d。=4=>d=3，

當直線的斜率不存在時，d=5w3,所以直線的斜率存在,

設(shè)其方程為>—2=k(x+2),即Ax-y+2左+2=0,

\3k+l+2k+2\15

d='——一^L=3,解得左=0,k=-—,

VF7T8

所以所求直線I的方程為了=2或15x+8y+14=0.

19.如圖所示，在四棱錐P—/BCD中，平面平面48CD,底面48CD為矩形,

48=1,AD=2,尸2=尸。=百，點河在棱？。上且因/，？。.

(1)證明：P4〃平面；

(2)求平面P4D與平面MD6的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)2后

一11

【分析】(1)先證明M是PC的中點，連接/C,與交于點。，連接MO,從而證明

PA//MO,從而可證明.

(2)以。為坐標原點，以。4。。所在直線為X，歹軸建立如圖所示的空間直角坐標系.利用

向量法求解即可.

【小問1詳解】

因為平面PAD1平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

根據(jù)條件可知，4D,所以481平面PAD,

所以

所以尸5=IAB?+PA?=2，同理可得PC=2,

又BC=AD=2,所以APBC是等邊三角形，

因為因l/_LPC,所以M是PC的中點.

如圖，連接ZC,與5。交于點O,連接M0,則。是ZC的中點，所以尸/〃/0,

因為PNN平面平面MD8,所以PZ〃平面

【小問2詳解】

以D為坐標原點，以。4。。所在直線為X,〉軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

「11

則。(0,0,0),8(2,1,0),尸(1,0,虛),。(0,1,0),M.

(222J

由(1)知況=(0,1,0)是平面的一個法向量.

___>___>/11亞、

設(shè)〃=(x,yz)為平面〃D5的法向量.因為。5=(2,1,0),DM=—-

9(222

n-DB-2x+y-0

所｛一——?111r-

nDM=—+—y+—d2=2

I222

-

令x=l,可得〃=1?2,-^-.

I2J

設(shè)平面PAD與平面MDB的夾角為。，

則cos0=|cos(Z)C,n)\=.-■

'/\DC\-\n\

22722

1XJ^211

20.在數(shù)列｛4｝中，%=1,2%+1-a“=〃+2.

（1）證明：數(shù)列｛a“+i—a“T｝為常數(shù)列.

（2）若"=霜，求數(shù)列也｝的前"項和北，并證

【正確答案】（1）證明見解析

163/2+4

仁）北二石一證明見解析

yy,4

【分析】（1）根據(jù)條件得到2（a“+i—a“—l）=%—a“_i—l,又%-%T=0,即可證明結(jié)果;

（2）根據(jù)（1）得至ija.=n,從而有勿=力，利用錯位相減法，即可得到7；=§-雙木工,

3〃+4

再利用一77〉0,即可證明結(jié)果.

9.4

【小問1詳解】

令〃=1,得2a2—q=1+2,則出=2,

因為=〃+2①，所以2%-an_}=?+1(?>2)

①-②得2an+i-an-(2an-an_x)=1,即2(a?+1-an-1)=an-an_x-1.

又%-％T=0,得到%+「%T=0,所以數(shù)列｛%+「%—1｝為常數(shù)列.

【小問2詳解】

由（1）可得4+i-%-1=0,所以｛%｝是公差為1的等差數(shù)列,

所以%=n.

YI123Yl

因為“=不工，所以。=9+牙+歪+…+行③，

1123n

+不+不+■,,+干④，

③一④得三3方43〃+4

433?4"

所以北=片372+4

9?4"1

3〃+416

又因為KT〉°'所以北<5,得證.

y?H-y

21.在平面直角坐標系中，已知橢圓C：三+二=1(a>b>0)的左、右焦點分別

ab

為片，耳，且焦距為2百，橢圓C的上頂點為3，且西?甌=-2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/過點/(2,-1),且與橢圓。交于M,N兩點(不與2重合)，直線3M與直線

8N分別交直線x=4于尸，。兩點.判斷是否存在定點G,使得點P,。關(guān)于點G對稱，并說

明理由.

【正確答案】(1)—+v2=l;

4

(2)存在，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的坐標表示求出即可求解得結(jié)果.

(2)設(shè)出直線"N的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出點的坐標，求出點P,。縱坐標，結(jié)

合韋達定理計算即可得解.

【小問1詳解】

依題意，5(0,b),Fx(-V3,0),F2(V3,0),BFX=(-73,-b\BF\=(V3,-b),

則斯?麗=〃—3=—2,解得〃=i,而半焦距°=6,于是/=4，

2

所以橢圓。的方程為土+y=1.

4-

【小問2詳解】

顯然直線跖V的斜率存在，設(shè)直線上W的方程為y=k(x-2)-1,M(Xl,yi),N(x2,y2),

由《2,2,消去歹得(1+4左2)%2一8左(1+2左)x+16左2+16左=0，

x+4y=4

A=64左2。+2左y—64(1+4左2)(公+k)=-64k>0,即左<0,

用」8左(2左+1)16左2+16左

則中

y,—1y—I

直線BM的方程為J=--x+1,直線BN的方程為J=J7—x+1,

苞

.y,-1T.—

設(shè)RQ兩點的縱坐標分別為為皿，于是力=4?彳+1'坨=4.=+1'

4(9+%匚)+=4產(chǎn)…)-2+依/-2)-2]+?

顯然力+及？=2

2k+22k+2%,+

=4(2后---------------)+2=4[2k-(2k+2)-~4+2

8-(2-+1)

=4[2左-(2左+2).療在]+2=-2,因此匕j=_i

4k2+1

所以存在G(4,-l),使得點P,。關(guān)于點G對稱.

思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或舊建立一元二次

方程，然后借助根與系