2024-2025學年海南省海口市高三上學期第二次階段考數學

檢測試題

、單選題

1.集合/=次舊＜3”Z},8={-1,0,2,3},則圖中陰影部分所表示的集合為（

)

A.{T一2,1}B{-2,1,3}

C.{-1,0,2}D.{T，023}

5+3i

2.復數i在復平面內所對應的點為（）

A.（一3，一5）B.（-3,5）c.GN）D.G，5）

3.已知命題）：角。與角力的終邊關于直線y=x對稱，命題"?"十一5,則0是4的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知/（x）=（x+a）cosx為奇函數，則曲線P=/（x）在點（兀，/（無））處的切線方程為（）

Ax+7iy-Ti=0Bx-7iy+7t=0Qx+y+Ti=0px+y=0

5.已知角1的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點尸（2°，°一2）,且

4

cosa=—

5,則實數。的值是（）

44

A.-4和3B.5C.-4D.1

6.已知函數/（x）=x（x+"）-在工=1處有極小值，則實數。=（）

A.3B.-3C.1D.-1

7,已知函數"x）在R上滿足/（一%）=一"尤）,且當龍€（-8,0］時，"x）+^（x）＜0成立,

若a=2叫/（2"）6=ln2-7（ln2）,。—"嚏2』，則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.c>b>ac.a>c>bpc>a>b

ew--lnVx>0

8.對于x>0,彳恒成立，則正數彳的范圍是（）

A>-2>—

A.eB.2eC.D.尤2

二、多選題

9.下面命題中是假命題的有（）

A.V/3C中，若sin4>sinB,則/>5

B.若sin6>0,則°是第一象限角或第二象限角

C.若一個扇形所在圓的半徑為2,其圓心角為2弧度，則扇形的周長為8

D.函數）sinx的最小值為4

￡

10.先將函數/（x）=sinx圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的2,縱坐標不變，再把圖象向

71

右平移正個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則

關于函數g（x）,下列說法正確的是（）

A.最小正周期為兀

；72小

B.若L2,則13人kEZ

x器$g(，)e,2+6J

、2T

C.142)時

A,對稱

D.其圖象關于點(12

,四,x<0

"x)=X

主,MO

,關于X的方程尸（X）一叩（x）=°（"eR）,則下列正確的是

11.函數〔砂

()

A./(/(-9)=0

B.函數"元）的單調減區間為（一%°）,必+8）

1

Jtl——

c.當2時，則方程有4個不相等的實數根

-,+00

D.若方程有3個不相等的實數根，則機的取值范圍是

三、填空題

12.已知向量￡=(sina，l),\(2,cosa),且￡1否，則tana=.

13.請寫出一個同時滿足下列三個性質的函數,G)=.

①/(中)=/(x)，3)；

②/'(x)為偶函數；

③當x>o時，/(x)>。.

f(x)=2cosf|—,71^1

14.已知刃>0,函數'I6J在12J上單調遞減，則0的取值范圍是

，若。為正整數，當"€@2兀］時，曲線y=cosx與“3x)交點的個數為.

四、解答題

f(x)=sinxcosx+^3cos2x+機-

15.已知函數2的最小值為T.

-，求/(X)的單調增區間:

(1)求加的值，若

C:￡+4=l(a>b>0)廠也

16.已知橢圓。b2的焦距為2J2,離心率為2.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)橢圓的左、右焦點分別為片、%若斜率為1的直線/過橢圓的右焦點且交橢圓C于A、

8兩點，求的面積.

17.如圖，圓柱的軸截面488為正方形，點E在底面圓周上，且=為NE上的一

點，且3,/GN為線段ZC上一動點（不與4。重合）

D

C

（1）若AN=2NC,設平面引四c面BEC=/,求證：MN//I.

71

（2）當平面NW與平面DEC夾角為3,試確定N點的位置.

18.為提高我國公民整體健康水平，2022年1月，由國家衛生健康委疾控局指導、中國疾病

預防控制中心和國家體育總局體育科學研究所牽頭組織編制的《中國人群身體活動指南（

2021）》（以下簡稱《指南》）正式發布，《指南》建議18?64歲的成年人每周進行

150?300分鐘中等強度或75?150分鐘高強度的有氧運動（以下簡稱為“達標成年人，，），經過

兩年的宣傳，某體育健康機構為制作一期《達標成年人》的紀錄片，采取街頭采訪的方式進

行拍攝，當采訪到第二位“達標成年人”時，停止當天采訪，記采訪的18?64歲的市民數為隨

機變量”（*22）,且該市隨機抽取的18?64歲的市民是達標成年人的概率為I,抽查結果

相互獨立.

（1）求某天采訪剛好到第五位可停止當天采訪的概率；

⑵若抽取的18?64歲的市民數X為離散型隨機變量，求X的分布列，并求X不超過〃的概

率.

19.函數

（1）。=3時，討論/（X）的單調性；

⑵若函數/（、）有兩個極值點為、苫2,曲線>=/（》）上兩點&，/（%））連線斜率

72—a

k>----

記為k,求證.

⑶盒子中有編號為1?1°°的100個小球（除編號外無區別），有放回的隨機抽取20個小球，

1

p<—r

記抽取的20個小球編號各不相同的概率為P，求證.e-

答案:

題號12345678910

答案BCBDBDCBBDAB

題號11

答案ABD

1.B

【分析】分析圖中陰影部分表示的集合是JUBNCB,再由集合的運算，分別算出對應集合

即可得出答案.

［詳解］集合/={-2,-1,0,1,2}

={-2,-1,0,1,2,3}/cB={-l,0,2}

???圖中陰影部分表示的集合為：“（AcB）=卜2,1，3}

故選：B

2.C

5+3i

【分析】利用復數的除法化簡復數1,再由復數的幾何意義可得出結果.

4=江=3f5+3i

，因此，復數i在復平面內對應的點的坐標為?「A

【詳解】因為ii

故選：C.

3.B

【分析】根據角終邊的對稱性，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

兀

°a+BH—,k.GZ

【詳解】若角a與角〃的終邊關于直線N=x對稱，則2

c兀

a+B々

而當2時，角a與角方的終邊關于直線〉=工對稱，

所以?是4的必要不充分條件.

故選：B

4.D

【分析】利用奇函數的性質求解出參數，再利用導數的幾何意義求解切線方程即可.

【詳解】因為〃X）=3+。）。。$X為奇函數，且在x=°處有定義,

所以/（。）=0,因為/（°）=。，所以a=0,故/（x）=xcosx,

而/(兀)=兀COS7t=-7t,得到切點為(匹-71),又/''(x)=cosx-xsinx,

設切線斜率為左，由斜率的幾何意義得后=/'(?=T,

故切線方程為>+兀=-(》-兀)，化簡得x+V=°,故D正確.

故選：D

5.B

【分析】分析可知，。>°,由三角函數的定義可得出關于。的方程，即可解出。的值.

2a2a4

cosoc=/==一，=—

【詳解】由三角函數的定義可得加24+("2)2，5/-4a+45,則

4

整理可得5/+16°_16=0,因為a>0,解得

故選：B.

6.D

【分析】利用導數建立方程求解參數，再結合題意進行檢驗即可.

［詳解］因為/(x)=x(x+°)2,jjfj：^/(^)=x(x2+2ax+a2)=x3+lax1+a2x

所以/'(x)=3/+4辦+/,而函數/(x)=x(x+a?在％=i處有極小值，

所以/'0)=°,故3+4a+/=o,解得％=T或%=-3,

當出=—3時3x2—12x+9

令/'(%)V0,X￡(l,3),令/'(%)>o,x￡(—oo,l)U(3,+8),

故此時f(x)在(一°°，1)，(3，+8)上單調遞增，在(1，3)上單調遞減，

此時/(X)在x=l處有極大值，不符合題意，排除，

當q=-l時f'(x)=3x2-4x+l

人乙、/cxe(］l)人^e(-oo,1)u(l,+oo)

令/'(x)<0,3,令/(x)>0,3,

故此時/(X)在SP"'+8)上單調遞增，在(爐上單調遞減，

此時/(X)在x=l處有極小值，符合題意，故D正確.

故選：D

7.C

【分析】構造函數〃（x）=M（x）,根據已知條件，判斷〃（X）的奇偶性和單調性，根據函數性質

比較函數值即可.

【詳解】令"（x）=M（x）,貝”（-工）=-獷（-：0=-*><[-/00]=貨3）=〃（尤），故〃（x）為偶函數.

當xe（-8,0]時，出）=f（x）+小尤）<0,所以g）在（-co,0]上為減函數，

由〃（X）為偶函數得以X）在（0,+°0）上增函數.

06066

a=2./（2）=4（2°）/>=ln2./（ln2）=/7（ln2）

c=-/（logz'=（T>"T）="T）="1）

因為2°,>l>ln2,所以〃（2"'）>，（l）>，（ln2）,^a>c>b

故選：C.

8.B

【分析】原不等式恒成立轉化為2加加Nin無，兩邊同乘以x后可同構函數〃x）=xe-

InxInx

2/0L2----

由其單調性可化為X恒成立，利用導數求出X的最大值即可得解.

ew--lnV^>0e22x>-lnV^

【詳解】由X恒成立可得4，即2加2〃21nx恒成立，

由x>0,可得2辦春〃Nxlnx=eExinx恒成立，

令/(x)=xe,則八x)=&l+x).

由x>0知/"）>0,函數〃x）單調遞增,

所以〃2彳xR/（Inx）恒成立，

一2人9

貝I]22x2Inx恒成立，即x恒成立，

/、Inx，/、1-lnx

人g（x）=—芳（工）=——

令X,貝）|X,

當0<x<e時，g'（x）>0,g（x）單調遞增,

當x>e時，g'（x）<0,g（x）單調遞減,

所以當1時，g（We）1,

2A>-2>—

所以只需e,即2e.

故選：B

關鍵點點睛：本題的關鍵在于轉化為2加加2Inx后，能夠兩邊同乘以x,同構出函數

=xe',再由單調性化簡為2/lx2InX恒成立.

9.BD

【分析】利用正弦定理結合大邊對大角可判斷A選項；利用三角函數值的符號與角的終邊的

關系可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；取sinx<°可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，中，若sin/>sin8,則。>b,所以，A>B,A對；

對于B選項，若sin8>0,則夕是第一象限角或第二象限角或夕角的終邊在y軸的非負半軸，

B錯；

對于C選項，若一個扇形所在圓的半徑為2,其圓心角為2弧度，則扇形的周長為

2x2+2x2=8,c對；

(r、=cinx-I----vCv4

對于D選項，若sinx<0,則sinx,D錯.

故選：BD.

10.AB

【分析】利用三角函數圖象變換求出函數gG)的解析式，利用正弦型函數的基本性質逐項判

斷即可.

￡

【詳解】將函數/6)=sinx圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的5,縱坐標不變，得到函數

3=sin2x的圖象,

71

再把圖象向右平移五個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數

g(x)的圖象，

g(x)=sin2(工一5)+1=sin^2x-^+l

則L」，

7=2兀=兀

對于A選項，函數8卜)的最小正周期為一2一兀，A對；

g(x)=sinf2x--+1>—sinf

對于B選項，」I2,則I2,

7L_7_7177L_rzyxj^-+kK（keZ）

----F2ATI<2x---<----F2nJl\KGZiIKU<X<

7

可得666,解得B對;

7171兀c571

XG71sin2x--e

；—<2x——<—I6

對于c選項，當42時，366,則

^g(x)=sin^2x--^-j+le^-,2

C錯;

gf—LsinO+l=l/、f—,1^

對于D選項，因為U2J,故函數gVJ的圖象關于點（12J對稱，口錯.

故選：AB.

11.ABD

【分析】代入函數解析式求函數值可得選項A正確；分段分析，利用函數圖象的平移及求導

可分析函數的單調性，選項B正確；根據函數圖象的變換，作出>二匕（、）的圖象，直線

，。、2與V6個交點，選項C錯誤；要使條件成立，直線，=%與

>有1個交點，結合圖象可得選項D正確.

【詳解】當x<0時，'“）一丁一十1，/（*）在（一叱°）上是減函數，且漸近線為歹軸和直

線y=l,/（X）<1

當X"時，/W=I*

當0cx<1時，/'（x）>0,/（x）在（。，1）上增函數，當X>1時，/'（x）<。，/（X）在（1,+8）上

是減函數,

3

/（x）￡/（1）=-

所以e,函數圖象如圖所示:

,選項A正確.

B.函數,（X）的單調減區間為（一叱°）,L+°°）,選項B正確.

C.當T時，，（x）-叩（訃。可化為/Gl=°或相眉,

函數了二/。》的圖象如圖所示：

由圖可知，直線＞=。與、=〃（到有兩個交點，直線'一，與'=〃（到有4個交點，故方程有

6個不相等的實數根，選項C錯誤.

D,若方程有3個不相等的實數根，即與/（"）=加共有3個不相等的實數根.

因為|/61=°有兩個不相等實數根所以/（-"）="有且僅有一根，且不為°，T,

3

所以直線歹="與了=/6”有1個交點，由圖象可知”＞看時滿足題意，選項D正確.

故選：ABD.

思路點睛：本題考查函數與方程綜合問題，具體思路如下：

（1）利用函數的平移及求導分析函數單調性，作出了=/（尤）的圖象，根據圖象變換作出

y=/（x）的圖象.

（2）解方程尸。）-叩（尤）=°可得|/（小°或|匹卜"，方程根個數問題轉化為

＞=V（x）的圖象與直線N=°和V=%的交點個數問題.

12.2/-0.5

【分析】根據平面向量垂直的坐標表示可得出關于sina、cosa的齊次等式，即可解出

tana的值.

【詳解】因為向量口=（smaJ）,5=（2,cosa）,且￡力，

1

—ftana=—

貝°=2sina+cosa=0,即2sina=-cosa,可得2.

故答案為.2

13.丁（答案不唯一）

【分析】逐項驗證/（口=13滿足條件即可得解.

【詳解】當時，由（xy）3=x》3可知①成立，由/'6）=3/可知②，③成立.

故〃X）=Y（答案不唯一）.

17

14.366

71

CDX----

【分析】由條件確定6的取值范圍，根據單調性得到關于。的不等式，解不等式即可得

到結果.根據。為正整數得。=1,作出函數圖象即可得到交點個數.

「兀）兀/兀兀兀）

xe—,ita）x----e—a>-----,ita）----

【詳解】由0J得61266J

/（x）=2cosf]巴，無]

???函數I6J在（2J上單調遞減，

兀兀

—co——>2也

V26

兀…17

兀口一二4兀+2左兀一+4左40（一+2左,左￡2

6,解得36

T

-W—=—

220，...0<口《2,

—1<,CD<,7—

...當人=0時，36.

os]x-jf（3x）=2cos

于（x）=2c

若。為正整數，則0=1,.

）ri

f（3x）=2cos|3x--

作出丁=cosx與I6J在xe[0,2町時的函數圖象，

交點的個數為6.

17

故36；6.

15.（1）機=0,增區間為L

24

⑵25

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數）（*）的解析式，利用/（x）min=7可求得加的值,

在1叼上的增區間;

由正弦型函數的單調性可求得函數/（“）

sinlx0+1

（2）由已知條件求出,利用同角三角函數和二倍角的正弦公式求出

sinCOS

的值，再利用誘導公式可求得的值.

f(x)=sinxcosx+G1)+m

【詳解】(1)因為222

1._V3,.(c兀71、

=—sin2x+——cos2x+m=sm\2x+—\+m

223

11/(%)=sin12x+y

/(x)〃解得則

所以,，\/mm=I=T,7"=0,

問時,71兀4兀兀兀’兀

X￡-<2x+-<——-<2x+-<-

當333,由332可得

xw0,—0,—

所以,當L2」時，函數/㈤的增區間為L12

%=sinlx+|j=3兀兀,兀

/0----<XH----<一

75%￡」，則o

（2）因為,且633,

714

cosx1-sin2x0+§

所以，I05

=2x"至

sin2sinx0+1cosx0+1

則5525

71兀24

sinsin+—+—

所以，6225

16.（1）42

8

⑵3

【分析】（1）由已知條件可得出關于。、6、c的方程組，解出這三個量，即可得出橢圓C的

標準方程;

（2）將直線/的方程與橢圓°的方程聯立,求出交點A、B的坐標，利用三角形的面積公式

可求得的面積.

2c=2A/2

cV2a=2

a2b=V2

2*22

b=a-cc=夜，所以，橢圓C的標準方程為

【詳解】（1）由題意可得,解得

22

土+匕=1

42

⑵易知點80'°）,直線/的方程為了=＞應，設點省叼,力）、肝2，乃）,

4a

y=x-413

再

=0V2

工+J]可得3/_45怎=0,解得1%=-應

聯立〔42%=5

4夜后）

即點…）、"

33

4V28

X---------=—

S\FAB

所以，'X33

17.(1)證明見解析；

(2)N為/C中點.

【分析】(1)由線面垂直、圓的性質有48,EC、ECLBE,再由線面垂直的判定及性質得

ECIBM,進而有面/EC,最后由線面垂直的性質、射影定理及線面平行的判定和

性質證結論；

(2)構建空間直角坐標系求8M，C4BC的坐標，設CN="C/"e(O,l),可得

'N=0一''T+Z收再分別求出面8MN、面EAC的法向量，結合已知面面角的大小求

參數力,即可確定"點的位置.

［詳解］(1)由題知48上面BECECu面BEC,則48LEC,

由3c為底面圓的直徑，則EC,BE,

由4B=B,BE,ABu面ABE,

/.EC，面ABE,

又EMu面ABE,EC_LBM,

又BM^\_AC,ACcEC=CAC,EC<z-gAEC

:.BML-^AECf

又?.?4￡u面4￡C,故

ME_MEEA_BE^__\_NC

由AB=BC=4^BE,在中，由射影定理：AMAM-EAAB22AN,

故MN//EC,ECcz面BEC,MNcZ面BEC

...MN//面BEC,又面BECn面BMN=I,MNu面BMN,

,??MNHl.

(2)由(1)知，以E為原點EC的為xj軸正方向，過￡的母線為z軸正方向建立空間直

角坐標系，不妨設EC=1,

5M=fo,-1,^lc3=^l,+l,V2)5C=(l,-l,O)

則I”,

設函=ACA=6九,彳,后九)九e(0,1)

W=SC+GV=(1,-1,0)+^2,A,V22)=^-2,-1+2,V2^)

用7-2四八

BM-n=——yH-----z=0

33

設面8兒W的法向量為則麗?萬=(1一秘+(-l+2)y+仞z=0

I,

令日,則7H仔」詞,

又平面EOC的一個法向量v=（°1°）

設平面BMN與平面DEC的夾角為0,

2=-

解得2=0或2,

其中2=0時N,C重合，不合題意，

71

故當平面引IW與平面DEC夾角為§時“一2,此時N為/C中點.

32

18.（1）243

9-（2n+4）xf->|

（2）分布列答案見解析，概率為

【分析】（1）分析可知，采訪的前四位中有一位是達標成年人，第五位必是達標成年人，利

用獨立重復試驗的概率公式以及獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）由題意，列出隨機變量”（*22）的分布列，則得

通xrc；xQ）41）+…+。小口x1「

Bl3V3JUJUJ,利用錯位相減法求和可求出所

求事件的概率.

【詳解】（1）根據題意，某天采訪剛好到第五位可停止當天采訪，

即采訪的前四位中有一位是達標成年人，第五位必是達標成年人，

C；X..]3XL衛

所以某天采訪剛好到第五位可停止當天采訪的概率為33243.

（2）由題意可知，若采訪的人數為"，則意味著采訪前“T個人中，有一個是達標成年人，

第”個人為達標成年人，

所以，采訪的人數為"（"22）的概率為。”“匕]{Jn-1

1+2Xt+3X[t}+???+(1)x0

9

S=l+2xg+3x[g]

記

+3x”.+("l)x0"②,

2

15=1+-+2

由①-②，可得333

n-2

9-（2n+4）xf|

即3,解得

9-（2w+4）xf->|

所以，X不超過”的概率為.

19.⑴增區間為（°'2一6）、（2+血+°°）,減區間為（2-技2+灼

（2）證明見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）當。=3時，利用函數的單調性與導數的關系可求出函數,（X）的增區間和減區

間；

In玉一In%>2

（2）借助斜率公式表示出左后化簡，可轉化為證明占一工2占+尤2,借助換元法令

%,構造函數t+\,結合（1）問中所的即可得解；

p<—In—>2

（3）借助概率公式可得。，借助放縮法可得U⑺，結合（2）中所得可得

即可得證.

【詳解】（1）當。=3時，x+1，該函數的定義域為（。，+8）,

,（x）,一6=（尤+1）2-6x=i-4x+l

x（x+l）2x（x+l）2x（x+l）2

由f'（x）<0可得2><x<2+#>；由f\x）>0可得0Vx<2—6或x>2+石，

所以，函數"