2024-2025學年北京十九中高二(上)期中數學試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知向量之=(2,-1,3),b=(4,x,y),且源/石，貝詠+y=()

A.-4B.-2C.4D.2

2.如圖，在平行六面體ABCD-Ai/CiDi中，若布

*=()

—>—>—>

A.a+b—c

B.a+b+c

―>—>—>

C.a-b-c

D.—CL+b+c

3.已知向量瓦？=(1,2,3),麗=(1,一2,1),點C為線段4B中點，則|瓦|=()

A.1B.A/2C.避D.平

4.已知直線小，直線九和平面a,則下列四個命題中正確的是()

A.若m//a,nccr,貝ijzn//nB.若m//a,n//af貝ijm//九

C.若m1a,n//af貝Um1nD.若m1n,n//af則m1a

5.已知正四棱錐的底面邊長為2,側棱長為根，則該正四棱錐的側面積和體積分別為()

42

A.16,B.16,1C.8,4^/3D.8,

3

6.已知直線/的方向向量為訪，平面a的法向量為匯則“訪?元=0”是ul//a,,的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知不重合的平面a與平面ABC,若平面a的法向量/=(—3,—1,2),屈=(1,0,—2),左=(1,1,1),則()

A.平面a〃平面718cB,平面a1平面4BC

C.平面a、平面4BC相交但不垂直D.以上均有可能

8.金剛石也被稱作鉆石，是天然存在的最硬的物質，可以用來切割玻璃，也用作鉆探機的鉆頭,金剛石經常

呈現如圖所示的“正八面體”外形.正八面體由八個全等的等邊三角形圍成，體現了數學的對稱美.下面給

出四個結論：

①4E〃平面CDF；

@AC1EB；

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E

③二面角E-BC-a的平面角余弦值為E；

④過點E至少存在一條直線與正八面體的各個面所成角均相等.y

其中所有正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4F

9.《九章算術》是中國古代的第一部自成體系的數學專著.其中卷五記載：“今有芻薨，下廣三丈，表四

丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊狀楔體PQ-4BCD,下底面

ABCD是矩形，假設屋脊沒有歪斜，即PQ中點R在底面48CD上的投影為矩形48CD的中心。，PQ//AB,

AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1（長度單位：丈）,則楔體PQ-4BCD的體積為（）（體積單位：立方丈）

A.10

B.8

C.6

D.5

10.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-刈8停1。1中，E為BBi的中點，F為線段B

G上的動點.給出下列結論錯誤的是（）

A.三棱錐尸-4。速體積為定值

B.存在唯一點F使EF1DiF

C.若則點F軌跡的長度為2

D.平面2DF截正方體表面得到的截面所有邊長之和為3潟+2根

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.若直線a的方向向量是五=（1,一1,2）,平面a的法向量是m=（-2,0,3）,則這

條直線a和這個平面a的位置關系是.（填寫“面內、相交、平行”中的一

種）

12.如果一個圓錐的底面半徑為3,側面積為18兀，那么圓錐的母線與底面所成

的夾角等于.（填寫具體的角度大小）

13.如圖，在正四面體。-ABC中，所有棱長均為2,若前=麗，ON=2NC,

OA=a,OB=b,~OC=c,則麗=；~NM-~OA=

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14.如圖,在正四棱柱486—4/忑1。1中，141=228=2BC=2.若M是BBi的中點,

則DM與BC所成角的余弦值為；正四棱柱的外接球表面積為.

15.如圖，在長方體ABCD-TliBiCiDi中，CCr=CrDr=2,C1B1

=1,點P為線段B為上一動點，則麗?麗的最小值為.

16.如圖，已知菱形4BCD中，AB=2,ABAD=120°,E為邊BC的中點，將△力BE沿4E翻折成△48+(

點當位于平面4BCD上方)，連接&C和&D,廣為治。的中點，尸在平面4ECD的射影為V,則在翻折過程

中，給出下列四個結論：

①CF〃平面ABm；

②4Bi與CF的夾角為定值,

③三棱錐以-力ED體積最大值為亨;

④點尸'的軌跡的長度為1.

其中所有正確結論的序號是

三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC-4道道1中，XXt=AC=4,AB=3,BC=5.

(1)求直線A/與直線C4所成角的余弦值；

(2)求直線A/與平面AiCB所成角的正弦值；

(3)求點名到平面41cB的距離.

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18.(本小題12分)

如圖，在四棱柱4BCD-4&的。1中，A%，平面A8CD,底面48CD是邊長為1的正方形，側棱44=2.

(I)求證：QD〃平面

(II)求證：AC15C1；

(IH)求二面角Ci-BD-%的余弦值.

19.(本小題12分)

如圖，在多面體力BCDEF中，梯形4DEF與平行四邊形A8CD所在平面互相垂直，AF//DE,DE1AD,

AD1BE,AF=AD=^DE=1,AB=”.

(1)求證：BF〃平面CDE；

(2)判斷線段BE上是否存在點Q,使得平面CDQ1平面BEF?若存在，求出瞿的值，若不存在，說明理

DC

由.

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參考答案

l.c

2.C

3.0

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.B

11.相交

12.J

1—>1—>9—>55

13.于+為一手；

33

14.乎67r

15.1

16.①②④

17.解：（1）在△ABC中，由48=3,AC=4,BC=5,可知AB1AC；

再由直三棱柱性質可知4B,AC,44i兩兩垂直，

以4為坐標原點，AC,AB,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示:

可知4(0,0,0),Bi(0,3,4),C(4,0,0),4式0,0,4),

所以福=(0,3,4),E=(-4,0,4),

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福.兩—16=2也

因止匕cosVA,B-y,C>=

\ABl\\CAl\-5X4^/25-

可得直線ABi與直線CAi所成角的余弦值為呼.

(2)又易知B(0,3,0),可得品=(4-3,0),

結合(1)中結論可設平面41CB的一個法向量為日=(x,y,z),

.(n1BC.(n-BC=4x-3y=0

則n自1兩，所以1?兩=—4x+4z=0,

令第=3,可得y=4,z=3,

即可得7=(3,4,3),

設直線//與平面AiCB所成的角為仇

|/8「三|_24=12群^

則sin。=|cos<ABn>\=

lf|函|同-5x73485-,

即直線AB】與平面41cB所成角的正弦值為器1

(3)易知函=(-4,3,4),又1=(3,4,3)可知,

點當到平面的距離為d=匹空獸=葛=噌.

\n\7”17

18.1?：(I)證明：因為B1C1//BC、B1C1=BC,AD//BC,

AD=BC,

所以BiCJ/AD、B1C1=AD,所以四邊形團的口力為平行四邊

形，

所以。山〃幽，岫＜=平面4BB遇0平面ABB遇口

所以的。〃平面483遇1；

(II)證明:連接BO,因為力Bi1平面4BCD,

由(I)知所以JO1平面ABC。，

又因為力Cu平面4BCD,所以AC1C1D,

因為四邊形ABC。是正方形，所以4c1BD,

又因為Ci。CBD=D,所以AC1平面CiBD,

因為CiBu平面CiBD,所以AC1BCi；

(HI)因為也1平面4BCD,所以ABr1AB,

又因為4BCD是正方形，所以4B1AD,

于是4D、AB.兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

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4(0,0,0),S(0,l,0),C(l,l,0),D(l,0,0),-1,?

可知平面CiBD的法向量為為=AC=(1,1,0),

5B=(-1,1,0),西=(0,-1,避)，

設平面BDDi的法向量為元=(x,y,z),

則［瑞^=-^+=0,令丫=3貝歷=(居居1)，

所以二面角Ci-B。-小的余弦值為照要=等"=埠.

|m|?\n\J2.177

19.解：(1)證明：???底面28CD為平行四邊形，AB//CD,

又ABC平面CDE,CDu平面CDE,

〃平面W,同理”〃平面CDE,又4BCiAF=4

二平面A8F〃平面CDE,又BFu平面ABF,

BF〃平面CDE；

(2)如圖,連接BD,

?.?平面4DEF1平面力BCD,平面4DEFCl平面力BCD=AD,

DE1AD,

DE1平面ABCD,???DE1DB,又DE1AD,AD1BE,DEClBE=E,

：.ADJ.平面8DE,AD1BD,

DA,DB,DE兩兩垂直，

??