2023-2024學年陽江市高二數學第一學期期末測試卷

2024.1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1設集合0={-2,-1,0,1,2},4={-1,2},3=則=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

2.已知x,y>0,-x+-y=4xy,則3x+2y的最小值為（）

23

A.-1B.1C.0D1

3.已知募函數y=/（x）圖象過點j等,;j,則/（3）的值為（）

D.1

A.9B.3C.73

3

4.若關于x一元二次方程/-2（xv+4=0有兩個實根，且一個實根小于1,另一個實根大于2,則實數。

的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）B.（2,+s）C.■，+D.（-?2,-2)U(2,+8)

廠sin2x

5.已知?0$X+$111%=^"，則CCJY兀）=（）

3cos}I

A7R7V2?77

D.——

16663

6.已知向量M=（cos%sina）,b=（-sincif,coscr）,fh=^J3a+b，H=d+后,則沅與萬的夾角為

（）

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

6432

7.某圓錐的母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形,過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當截面

面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B.2C.73D.V2

1

8.已知P,A3,C是表面積為16兀的球。表面上的四點，球心。為AABC的內心，且到平面

B45PBeB4c的距離之比為2:2:6，則四面體P—ABC的體積為()

A.3B.4C.5D.6

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在中，內角A3,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的有()

A.若。=6,A=巴，則AABC面積的最大值為2叵

32

B.若。=63+c=8,則AABC面積的最大值為

C.若角A的內角平分線交3c于點。，且器=；M=3,則AABC面積的最大值為3

Q

D.若=為3c的中點，且4以=2,則"RC面積的最大值為§

10.已知函數〃x)T<xr+l|一麻一l|(xeR),則()

A."%)是R上的奇函數

B.當a=l時，/(%)<1的解集為1一%!|

C.當時0時，/(%)在R上單調遞減

D.當"0時，丁=/(力值域為[-2,2]

11.己知函數/(%)=匚^—1,則下列正確的有()

X+1

A.函數/(元)在(0,+8)上為增函數B.存在xeR,使得/(-X)=-/(X)

C.函數/a)的值域為(f,-2]U[—l,+8)D.方程/(x)—V=0只有一個實數根

12.正方體ABC。—A4GR棱長為4,動點P、Q分別滿足可巨="2恁+〃題，其中〃eR

且〃w0,|居+畫]=4；R在用G上，點T在平面內，則()

A.對于任意me(0,1),〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4月。

2

B.當m+〃=l時，三棱錐3-APD的體積不為定值

C.若直線HT到平面AC，的距離為2百，則直線。A與直線HT所成角正弦值最小為丑.

3

D.A3@5的取值范圍為［-28,4］

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

..不、、3msin2a+2sin2a.底生

13.已知sm(一+。)=一，則--------------的值為_______.

451+tana

冗2_|_2%XCL

14.已知點(2,1)在函數〃x)="一的圖像上，且〃尤)有最小值，則常數。的一個取值為

［2-3,x>a

15.三棱錐A-6CD的四個頂點都在表面積為20兀的球。上,點A在平面BCD的射影是線段3c的中點，

AB=BC=20則平面BCD被球。截得的截面面積為.

16.在四面體A3CD中，AB=V,BC=2,CD=6且CDLBC,異面直線A3,CD

JT

所成的角為一，則該四面體外接球的表面積為.

6

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在AABC中，角A氏C所對應的邊分別為a,dc,且a+Z?=ll,c=7,cosA——.求：

7

(1)a的值；

(2)sinC和AABC的面積.

18.某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第

一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

3

(2)估計這100名候選者面試成績的平均數和第60百分位數(精確到0.1)；

兀71

19.如圖，在所有棱長都等于1三棱柱ABC—AbBiCi中，NABBi=-,/BiBC=—.

23

(1)證明：AiCiXBiC；

(2)求直線8c與平面ABBA所成角的大小.

20.已知直線4：2x+y—8=O,直線。：x—y+2=0,設直線乙與4的交點為A，點尸的坐標為(2,0).

(1)經過點P且與直線4垂直的直線方程；

(2)求以AP為直徑的圓的方程.

21已知直線m:3%+4、+12=0和圓。：/+/+2%-4y-4=0.

(1)求與直線用垂直且經過圓心C的直線的方程；

(2)求與直線機平行且與圓C相切的直線的方程.

22.已知函數=eR)

(1)當。=1時，求/(%)的單調遞增區間(只需判定單調區間，不需要證明)；

4

(2)設〃尤)在區間(0,2］上最大值為g⑷，求y=g(a)的解析式.

2023-2024學年陽江市高二數學第一學期期末測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1,設集合。={-2，一1，°」，2},A={-L2},5={-1,0,1}；則應町%=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】根據集合的運算，即可得到結果.

【詳解】令8={—2,2},(^B)oA={-2,-l,2}.

故選：B

2.已知x,y＞0,gx+；y=4孫，貝！J3x+2y的最小值為()

A.-1B.1C.0D.1

【答案】B

【解析】

11,

【分析】由題設丁+丁=4,且孫＞0,應用基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意取值條件.

3x2y

11,

【詳解】由題設丁+丁=4,且孫＞0,

3x2y

5

所以3x+2y=！（3九+2丁）（工+工）=工（2+2y3%、、1_2y3%x..

—+—)>-(2+2—?—)=1,

43x2y43x2y4V3x2y

當且僅當2y￡二3x斤即戶式1北時1等號成立，

所以3x+2y的最小值為1.

故選：B

3.已知幕函數y=/（x）的圖象過點，則〃3）的值為（）

1

A.9B.3C.6D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】設y=/（x）=x"，根據等［;求出1,即可求出函數解析式，再代入計算可得.

【詳解】設y=/（x）=x°,則/二=乂一=—,所以a=2,

\7\7

貝1/（尤）=/,所以/（3）=32=9.

故選：A

4.若關于尤的一元二次方程f一2辦+4=0有兩個實根，且一個實根小于1,另一個實根大于2,則實數。

的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據一元二次方程根的分布，結合已知作出對應二次函數圖象，列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】設/（x）=%2—2依+4,

根據已知結合二次函數性質，作圖

6

A=(-2tz)2-16=4(tz2-4)>0

則有《/(l)=5-2tz<0

y(2)=8-4tz<0

解得a>—.

2

故選：C.

sin2x

則屋

5.已知cosx+sinx=，

3

77

A.——B.述cD.

16~6~-43

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角公式和差角公式、平方關系求解即可.

(sinx+cosx)2-17

【詳解】

克x也3-

故選：D

6.已知向量。=(cosa,sina),B=(-sinc,cosa),而=百萬+B,為=萬+6石，則沅與萬的夾角為

)

兀兀71

D.

64J2

【答案】A

【解析】

【分析】根據向量的坐標運算及數量積的運算性質、夾角公式求解.

7

【詳解】...M=(cosa,sina),B=(—sina,cosa),

/.\a\=1，M=1.5=-sinacosi+cosisini=0,

...沆?為=(6訝+.)?(日+百6)=y/3a2+6方2+4@.6=26

.'.|m|=J^y/3a+b^=^/^=2,同="萬+=2,

故選：A

7.某圓錐母線長為4,軸截面是頂角為120。的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當截面

面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）

A.4B.2C.6D.血

【答案】D

【解析】

【分析】設該圓錐的頂點為S,底面圓心為O,連接SO,得到SBC=gsc義S3義sinNCS3,得到SB,SC

的夾角為90。時，ASBC的面積最大，結合匕.BOC=%-SBC，列出方程，即可求解.

【詳解】設該圓錐的頂點為S,底面圓心為。，AB為底面圓的直徑，連接SO,由圓錐的母線長為4,軸

截面是頂角為120。的等腰三角形可知圓錐的高50=2,底面圓半徑為2石，

設C為圓錐底面圓周上一點，連接8C,OC,則S^SBC=gsCxS3義sinNCS3,

所以當△S3。的面積最大時，即sin/CSB最大時，即SB,SC的夾角為90。時，

△S3C的面積最大，此時△S3C的面積為8,且3c=4&，

取3c中點。，連接OD,則OD±BC,

在直角△3QD中，可得OD=《OB?—BD?=2,

所以&BOC的面積為5B0C=-X4V2X2=4A/2,

2

設圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h,

則由^S-BOC—^O-SBC可得§XSOxSABOC=—xhxSASBC，

8

即gx2x40=；x/zx8,解得/z=0,

所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為J5.

故選：D.

8.已知p,AB,C是表面積為16兀的球。表面上的四點，球心。為的內心，且到平面

4c的距離之比為2:2:J7,則四面體P—ABC的體積為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意分析可知AABC是邊長為2G等邊三角形，點P在底面ABC的投影在直線8。上，

建系，設P(2cos8,0,2sine),sin6>0,利用空間向量結合點到面的距離可得sin。=岑，進而可求

體積.

【詳解】由題意可知：球心。既是AABC的內心，也是443C的外心，則“3。為等邊三角形，

設球。的半徑為R,貝14位2=16兀，解得R=2，

由正弦定理可得AB=2Rsin60°=26，即的邊長為26，

分別取AC,A8的中點2E,連接3。，

因為。到平面尸A5PBe的距離相等，由對稱可知：點P在底面A3C的投影在直線即上，

如圖，以。為坐標原點，8。為x軸所在直線，0￡為y軸所在直線，過。作底面A3C的垂線為z軸所

在直線，建立空間直角坐標系，

9

則3（2,0,0）,4-1,60），4-1,-"0）,

可得AB=（3,-AO）,CB=（3,y/3,0）,CA=（0,2后,0）,

不妨設平面PAB,PBC,PAC的法向量依次為?=（l,V3,?）,m=（l,-Ab）,p=（1,0,c）,

UUL/l\UUUULUU/L\

且。4=-1,6,0,O5=（2,0,0）,OC=-1,-后0,

221

則O到平面PAB,PBC,PAC的距離依次為"'a+/',1+02

21=2:2:77整理得了=廿

可得

14+/“+/"b1=3+7金

因為OP=2,設尸（2cos8,0,2sin。），sin8>0,

UUUUUL

則AP=（2cos0+1,0,2sin8）,BP=（2cos0-2,0,2sin8）,

ft-AP-2cos8+1+2〃sing=0

1-cos0

則《玩?AP=2cos8+l+2/?sine=0,解得〃=/7=--------------

_?sin。sin。

p-BP=2cos8-2+2。sin。=0

J2cos8+1丫__（1-cos^Y冷刀夕日a1

貝1TlI--------------=3+7-------------,解得cos6=不，

Isin。JIsin8J2

則sin0=Vl-cos2^=—，即點尸到底面ABC的距離為且,

22

所以四面體P—ABC的體積為工X』X3X2GX9=3.

322

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：

1.分析可知疑。是邊長為2的等邊三角形，點尸在底面ABC的投影在直線5。上;

2.巧妙設點或向量，方便分析計算.

10

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在中，內角的對邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的有（）

A.若a=6,A=二，則”RC面積的最大值為上叵

32

B.若。=63+c=8,則面積的最大值為3s

C.若角A內角平分線交于點D,且殷=’,。=3,則面積的最大值為3

DC2

Q

D.若=為3c的中點，且AM=2,則AABC面積的最大值為§

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據角平分線的性質及余弦定理,

結合二次函數求解最值判斷C,根據余弦定理結合二次函數求解最值判斷D.

jr

【詳解】對于A,由余弦定理可得3c2=AB?+AC2—2A3.ACCOS—,

3

即AB-+AC2-AB-AC=36，

由基本不等式可得36=AB?+AC?一AB.AC22AB?AC—AB?AC=AB?AC，

即AB-ACW36,當且僅當A3=AC=6時，等號成立，

所以S=-AB-ACsin-=—AB-AC<9^3，所以A錯誤；

△AOBC234

對于B,由余弦定理可得cosA=—=0+=64-36-2兒=14_1；

2bc2bc2bcbe

所以54ABe=；besinA=；bcy/l-cos2A=g^（Z?c）2-（14-Z?c）2=Ebe-49,

因為8=b+c22j^,所以人cK16,當且僅當Z?=c=4時，等號成立，

所以工^=Ebe-49W3a，即△ABC面積的最大值為3J7,故B正確；

對于C,設NE4Q=。，/BDA=（3,則NC4D=。，NCZM=180。—尸，

11

4Hsin/?AC'sin（180。-￡）

在和中，分別運用正弦定理，得——=—C和0=

BDsinaDCsina

AD74rABBD1…7-

因為sin（180。一分）=sin￡,所以絲二不即an==—,所以b=2c,

v7BDDCACDC2

IA—p/曰./?2+C2—6225c2—9匚Ui、j

由余弦JE理可得cosA=----------=------，所以

2bc4c2

i--------------------I（s2-QY3/------------

5=-bcsmA=c2yjzl-cos2A=Jc4---r----=-^-c4+10c2-9，

aABC2'I4J4

=j^-（c2-5）2+16<jx4=3,當且僅當°=百時，等號成立，

所以AABC面積的最大值為3,所以C正確；

對于D,設9=%,則B4=BC=2x,在△B4"中，由余弦定理得4爐+尤2一4尤2以^8=4,解得

9220

X--------

49i+M

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：本題以三角形中的邊角關系為背景設置了求三角形面積的最大值問題.求解時，先運

用余弦定理求得邊角關系，再建立三角形的面積函數，進而借助基本不等式或二次函數的圖象和性質，分

析探求出其最大值使得問題獲解.

10.已知函數/(%)=而+1|-|改一l|(xwR),則()

A./(%)是R上的奇函數

B.當a=l時，〃X)<1的解集為

C.當a<0時，〃X)在R上單調遞減

D.當"0時，y=/(x)值域為[-2,2]

【答案】ABD

12

【解析】

【分析】對于A,直接由奇函數的定義即可判斷；對于B,直接分類討論解絕對值不等式即可判斷；對于

C,舉出反例，推翻C選項；對于D,通過令f=axeR換元法，然后再分類討論求出y=/(力的值域即

可判斷.

【詳解】對于A,首先/(X)的定義域是R關于原點對稱，其次

f(一X)=|—CIX+1|一|一CIX一1|=|<2X一1|一|<2X+1|=-f(X)，

即7(x)是R上的奇函數，故A正確；

—2,x<—1

r2%<1

對于B,當a=l時，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,所以/(七)<101《一1或<]<

2,x>1

解得xW—l或—l<x<g,即當a=l時，/卜)<1的解集為]一叫!|,故B正確；

對于C,不妨取a=—l<0,此時/'(%)=忖一1|一次+1|,對為=2<々=3,有

/(X1)=1-3=-2=2-4=/(X2),故C錯誤；

對于D,當awO,xeR時，令f=此時〃無)=而+1|—尿一1|=卜+1]—=g?)/wR,

而g(7)=，+l卜|一1|=<2/,—1<Y1,當—1<*1時，-2<g(t)=2t<2,

2,t>l

從而當aw0時，y=g")即y=/(x)值域為[-2,2].

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：對于AC選項的判斷比較常規，直接由定義即可判斷，對于B,注意分類討論解決

速度最快了，對于D,通過換元令r=axeR,這樣就不要分a>0或進行討論了.

11.已知函數/(%)=匚^-1,則下列正確的有()

X+1

A.函數/(x)在(0,+8)上為增函數B.存在xeR,使得/(T)=-/(X)

C.函數/*)的值域為(H。,—2]U[T,+8)D.方程/(x)——=0只有一個實數根

【答案】ABD

【分析】首先去絕對值，依次判斷函數的單調性和值域，再求解了(-x)=-/(x)的方程，再利用數形結合

13

判斷D.

【詳解】A.當尤>0時，，（犬）=七—1=缶，函數在（0,+"）上為增函數，故A正確；

B.當x>0時，一％<0,f（-X）=-f（X）,則------1=----+1,

一龍+1x+1

即x2+x-l=0>其中A=5>0,所以方程存在實數根，故B正確；

C.當x?0時，/（'=七—1=三，函數在[0,+"）上為增函數，止匕時—l<y<0,

_y1

當x<0且xw—1時，/（%）=------1=-2+——，此時函數在（一8,-1）和（一1,0）單調遞減，此時

y<—2或y>—l,所以函數的值域是（-*—2）U[—l,+8），故C錯誤；

D.由以上求值域的過程可知，x20和％<—1時，當一1〈尤<0時，二—1=Y,即

x+1

如圖畫出y=-2d—匚和丁=》2,當一1<%<。的圖象,

x+1

兩函數圖象在區間（一1,0）只有1個交點，所以方程/（x）--=0只有一個實數根，故D正確.

故選：ABD

12.正方體48。—44。12棱長為4,動點「、。分別滿足經="次+〃市彳，其中加€（0,1）,〃€1<

且7ZW0,向豆+。"|=4；R在4G上，點T在平面內，則（）

A.對于任意的me（0,1）,〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4耳。

B.當m+〃=1時，三棱錐3-APD的體積不為定值

14

C.若直線HT到平面AC，的距離為26,則直線與直線HT所成角正弦值最小為1.

3

D.?加的取值范圍為[-28,4]

【答案】ACD

【分析】建空間直角坐標系，用向量知識求解四個選項.

對于A,以A為坐標原點，AB,AD,AA所在直線為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標系,

則4（0,0,0）,0（0,4,0）,C（4,4,0）,R（0,4,4）,A（°，°，4），4（4,0,4）,B（4,0,0）

設平面片修。的法向量為機=（百,,

4^=（4,0,0）,麗=（O,4T）

m-AiBl=4%=0

則＜，令％=1，則%=0,4=1,

m-AXD-4y1—4z1二0

貝！J根二（0,1,1）,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）,

AP=mAC+nAD1=m（4,4,0）+n（0,4,4）=（4m,4m+4n,4n）,

設平面ACP的法向量為3=（九2，%，Z2），

n-AC=4X+4%=0

則L—.9，令％=1，則%=-1，Z2=1,

n-AP=4mx2+（4m+4n）y2+4nz2=0

則7=（1,-1,1）,

又加?〃=（-l）xl+lxl=0,

所以而_LA，所以對于任意的相￡（。,1）,都有平面ACP_L平面4耳。，故A正確;

15

對于B,當加+n=1時，P（4m,4,4”）

設平面A3。的法向量為M=（七,y3,z3）

甌=（T,0,4）,彷=（T,4,0）,

u-BA,=-4x,+4z,=0

則〈一,，令退=1，則%=1，Z3=1,

u.BD--4X3+4%=0

所以a=(l,l,l),

又BP=(T”,4,4”),

\BP-U\44J3

點P到平面A}BD的距離為d==忑=：

又！—&PD=匕3-&B。，

又因為AAB。的面積為定值，所以三棱錐3-的體積為定值，故B錯誤;

對于C,設火（4,女4）,T（a,0,c）MRT^（a-4,-b,c-4）

因為直線RT到平面ACD,的距離為2陋，所以RT〃平面ACD,,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）

設面ACQ為G=（%4，y4，Z4），則

k-AC=4X+4y4=0

<_______4，令”=T，則％=1,Z4=1,

k-AD】=4y4+4Z4=0

所以云=（1,-M）

所以RT,左=a—4+b+c—4=0，即a+b+c=8，

一|赤閡\S-b\「

又礪=（4,反4）,則^^=々4=203,解得人=2或6=14,

若b=2,所以a+c=6,R（4,2,4）,

又聞=（0,0,4）,

設直線DDy與直線RT所成角為歷

16

2

RTDDl|4c-16|IC-8C+162c—4

氏72口4"4)2+4+(c—4)2V2C2-12C+242c2-12c+24

當cos0最大時，sin0最小，

人(、-2c—4，化)=_4c(")_

?g?-2c2T2c+24,Re?_12c+24)2，

g(c)在［0,4］單調遞增，

所以g(c)max=g(4)=；，g(c*=g(°)=J，

cose最大值為J1+g=(,所以sine最小為g,所以直線。與直線HT所成角正弦值最小為

同

3

若。=14,所以a+c=-6,尺(4,14,4),根據對稱性可得sin8最小為半，故C正確；

對于D,設。(x,y,z)因為1。3+匿"J=4,所以QB=(4-x,-y,-z),QC=(4-x,4-y,4-z),

QB+QQ=(8-2x,4-2y,4~2z),

所以|班+西|二J(8-2x『+(4-2y『+(4_2z,=4,

整理得V+V+z?—8x—4y-4z+20=0,

即(％_4)2+(,_2)2+(”2)2=4

所以點。的運動軌跡為一個以(4,2,2)為球心，半徑為2的球面上一點，所以2WxW6,

42=(x,y,z-4),QD=(-x,4-y,-z)

222

所以AlQQD=—x-y-z+4y+4z=20-8x,

當x=6時，麗?的最小為-28,當尤=2時，麗最大為4

所以碩?前的取值范圍為[-28,4],故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

17

cn號./兀、3misin2a+2sin2a

13.已知sm(一+。)=一，則-------------的值為

45l+tancr

7

【答案】——##-0.28

【分析】化簡所求值的式子，再利用誘導公式及二倍角的余弦公式計算即得.

sin2cif+2sin26Z2sinacosa+2sin2a2sinacosa(cosa+sinor).八

-------------；------------=----------------------------------=sm2。

【詳解】依題意，l+tan6zI?sin—cosa+sina

cosa

7

故答案為：----

%+2xxci

14.已知點(2,l)在函數〃x)=,'—的圖像上，且〃龍)有最小值，則常數。的一個取值為

2-3,%>a

【答案】I(不唯一)

【分析】分別畫出函數y=f+2x和y=2‘-3的圖像，再根據條件求解.

【詳解】設g(x)=d+2x/(x)=2X—3,分別繪制g(x),/z(x)函數的大致圖像如下圖:

其中g(x)=Y+2x有最小值，g1nin(%)=g(T)=T，入(％)=2*-3沒有最小值，產一3是它的漸近

線，

點(2,1)在人⑺上，a<2,h(l)=-L如上圖，當a<l時,/")不存在最小值,

,\l<a<2；

故答案為：a=l(不唯一).

15.三棱錐A-5CO的四個頂點都在表面積為20兀的球。上，點A在平面3CD的射影是線段3。的中點,

18

AB=BC=2A/3，則平面BCD被球O截得的截面面積為.

【答案】4兀

【解析】

【分析】求出球的半徑，由題目條件得到AABC為等邊三角形，作出輔助線，找到球心的位置，并得到

DP=Jo。2_(jp2=2,求出截面面積，

【詳解】設球。的半徑為則4兀尺2=2。兀，解得R=石,

因為點A在平面BCD的射影是線段3C的中點M,即A"，平面BCD,

因為平面BCD,所以

由三線合一可知，AB^AC,

因為43=3。=26，所以&43C為等邊三角形，

故BM=CM=6，AM=3,且球心。在平面ABC上的投影為"RC的中心N,

即?V=2,肱V=l,

過點。作OP，平面BCD于點P,連接。P,。。，故0D=E

則OP與AM平行，故OP=MN=T,

由勾股定理得DP=yJOD2-OP2=2，

平面BCD被球。截得的截面為圓，半徑為2,

故面積為Jr??=4兀.

故答案為：4兀

16.在四面體A3CD中，AB=1，BC=2,CD=g，且CDLBC,異面直線A3,CD

TT

所成的角為二，則該四面體外接球的表面積為.

6

19

【答案】8兀或32兀

【解析】

【分析】將四面體A3CD放到長方體中，則。在長方體的后側面所在的平面內，由異面直線A3,CD所

7T

成的角為一，即可大致確定。的位置，利用對稱性以。點在Z軸正方向時為例找出外接球球心位置并利用

6

半徑得出等量關系，求得半徑大小后便可得出四面體外接球的表面積.

【詳解】依題意，將四面體ABCD放到長方體中，則D在長方體的后側面所在的平面內，

兀

因為異面直線A5,所成的角為一，CEHAB,

6

所以可得NECD=C或生，所以。應為圖中2或如下圖所示:

66

由對稱性可知，當。點在Z軸負方向時，解法與2或。2位置相同;

可設AC的中點為四面體A3CD外接球的球心為。，球的半徑為R,

由題意可知，球心。在過點/且垂直于平面ABC的垂線上，且滿足R=OC=8,

建立如上圖所示的空間直角坐標系，因為A3=l,BC=2,CD=6,

、

設又c(o,o,o),q|3,0,

222J

T7\

2

由心"2=W，所以RJ91+產=1+1+}

可,或R2=：+I+/=4+I+1

2

7

解得"空或"受

所以尺2=2或尺2=8,

即可知四面體ABCD外接球的表面積為4成2=8兀或32K.

故答案為：8兀或32兀

20

【點睛】方法點睛：在考查幾何體外接球問題時，如果外接球球心的位置用幾何法不太容易確定，可采取

分割補形法或坐標法來確定其位置，進而求得半徑.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.