專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸

題七種模型全攻略

..【考點導航】

目錄

尸;I

寫【典型例題】.............................................................................1

【類型一二角形中，利用面積求斜邊上的高】.................................................1

【考點二結合乘法公式巧求面積或長度】.....................................................3

【考點三巧妙割補求面積1...................................................................................................3

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積1.............................................................................5

【考點五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】............................8

【考點六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）1...........................................9

【考點七實際問題中的方程思想】..........................................................10

尸Q

LA【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

例題：（2023春,新疆阿克蘇?八年級校聯考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

則斜邊上的高為多少（）

【變式訓練】

1.（2023春?內蒙古鄂爾多斯?八年級統考期末）如圖，在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、C

都在格點上，則AC邊上的高為（）

A.75B.—A/2

2

2.（2023春?遼寧朝陽?八年級校考期中）如果一個等腰三角形的腰長為13,底邊長為24,那么它底邊上的

高為（）

A.12B.24D.5

3.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1.點A、B,C都在格點上,

若BD是0A2C的高，則BD的長為.

4.（2023春?安徽合肥?八年級校考期末）如圖所示，在邊長為單位1的網格中，ABC是格點圖形，求ABC

中4B邊上的高.

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在△ABE中，OE是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60.

I￡>\/

CB

⑴求BC的長.

⑵求斜邊AB邊上的高.

6.(2023秋?全國?八年級專題練習)在一ABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,CD是斜邊A3上高.

(1)求..ABC的面積；

⑵求斜邊AB；

(3)求高CD.

【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】

例題：己知在放ABC中，NC=9(F,ZA,/B,NC所對的邊分別為a",c,若a+b=10cm,c=8cm,則如ABC

的面積為()

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【變式訓練】

1.在4ABe中,是BC邊上的高,AD=4,AB=4y/10,AC=5,貝l|_ABC的面積為()

4.18B.24C.18或24D.18或30

3.直角ABC三邊長分別是x,x+1和5,貝IABC的面積為.

【類型三巧妙割補求面積】

例題：(2023春?河南許昌?八年級校考期中)如圖，在四邊形ABCD中，已知？390?,ZACB=3O°,AB=6,

AD=13,CD=5.

⑴求證：ACQ是直角三角形;

⑵求四邊形A3CD的面積.

【變式訓練】

1.（2023春?內蒙古呼倫貝爾?八年級校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，8=3米,

AB=13米，3C=12米，ZADC=9O°,求這塊地的面積.

2.（2023春?安徽馬鞍山?八年級校考期末）已知。，b,c是ABC的三邊，且”=2有，b=3屈,c=麻.

⑴試判斷J1BC的形狀，并說明理由；

⑵求“1BC的面積.

3.（2023春?山東荷澤?八年級校考階段練習）四邊形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

⑵如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢?

4.（2022春?重慶泰江?八年級校考階段練習）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求線段。與的長；

⑵求四邊形ABCD的面積;

⑶求證：48=90。.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

例題：（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是（）

A.20B.26C.30D.52

【變式訓練】

1.（2023?廣西柳州?校考一模）如圖，NBDE=90。，正方形3EGC和正方形AFE。的面積分別是289和225,

則以3。為直徑的半圓的面積是（）

2.（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，以Rt..ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為H，邑，邑且

H=4應=8,則$3=；以RtABC的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為岳益,S3,則立邑

3.（2023春?八年級課時練習）已知：在RtABC中，ZC=90°,/A、/B、/C所對的邊分別記作a、b、

c.如圖1,分別以一ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作耳、邑、S3,

貝I］有5|+邑=$3,

圖4

（1）如圖2,分別以ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分片、邑、S3,請問4+S2與

S3有怎樣的數量關系，并證明你的結論;

⑵分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作SI、S2sd根據（2）

中的探索，直接回答耳+邑與S3有怎樣的數量關系;

（3）若RtABC中，AC=6,BC=8,求出圖4中陰影部分的面積.

4.（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學校考期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方

國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五"的記載，我國漢代數

圖5圖6圖7

⑴①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分

別為岳，邑，S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足S+S?=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為加,

S〉直角三角形面積為$3,也滿足H+邑=$3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出豆，邑，邑的數量

關系.

⑵如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形〃的邊

長為定值機，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,貝U〃+/十筋=.

【類型五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】

例題：（2023春?河南許昌?八年級統考期中）已知直角三角形紙片A3C的兩直角邊長分別為6,8,現將ABC

按如圖所示的方式折疊，使點A與點3重合，則CE的長是（）

【變式訓練】

1.（2023春?湖北咸寧?八年級校考階段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC=4,BC=3,

將斜邊A3翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD,則3。的長為（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

2.（2023春?山東荷澤?八年級統考期中）如圖，RtZkABC中，2B90?,AB=4,BC=6,將-ABC折疊,

使點C與AB的中點。重合，折痕交AC于點M,交BC于點、N,則線段CN的長為.

3.（2023?遼寧葫蘆島?統考二模）如圖，在Rt^ABC中，NC=90o,NA=3（）o,BC=2,點。是AC的中點，

點E是斜邊上一動點，沿DE所在直線把翻折到的位置，A7）交A3于點廠.若△BAF為

直角三角形，則AE的長為.

4.（2022秋?河北張家口?八年級統考期中）在1aAsc中，NC=9O。，點。、E分別在AC、AB邊上（不與端

點重合）.將VADE沿DE折疊，點A落在A，的位置.

（1汝口圖①，當A與點8重合且BC=3,43=5.

①直接寫出AC的長；

②求△BCD的面積.

（2）當/A=37。.

①A與點E在直線AC的異側時.如圖②，直接寫出NA'￡B-NA'DC的大小；

②A與點E在直線AC的同側時，且..4OE的一邊與BC平行，直接寫出NADE的度數.

【類型六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）】

例題：如圖，在0ABe中，AB=1Q,BC=9,AC=17,則BC邊上的高為

【變式訓練】

1.己知：如圖，在ABC中，ZC=90°,AD是,ABC的角平分線，CD=3,BD=5,則AC=

A

2.如圖，在和Rt^ADE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延長BC,DE交于點M.

M

⑴求證：點A在NM的平分線上；

⑵若AC〃DM,AB=12,BM=18,求BC的長.

【類型七實際問題中的方程思想】

例題：（2022.全國.八年級）明朝數學家程大位在他的著作《算法統宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞

《西江月》："平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地….”翻譯成現代文為：如圖,

秋千繩索OA懸掛于。點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC=1尺）.將它往

前推進兩步（EBI3OC于點E,且EB=10尺），踏板升高到點B位置，此時踏板離地五尺（B￡>=CE=5尺），

則秋千繩索（OA或08）長______尺.

【變式訓練】

1.（2022?全國?八年級課時練習）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙的距離

為2寸，點C和點。距離門檻A8都為1尺（1尺=10寸），則A8的長是（）

圖1圖2

A.50.5寸B.52寸C.101寸