9.3空間中的垂直關系一、選擇題1．設直線l為平面外的一條直線，則的充要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線都與l垂直 B．內(nèi)有兩條相交直線都與l垂直C．l，垂直于同一條直線 D．l，垂直于同一平面【答案】B【解析】由線面垂直的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與l垂直是的充分條件；由線面垂直的性質(zhì)定理可知：若，則內(nèi)任意一條直線都與l垂直，所以內(nèi)兩條相交直線都與l垂直是的必要條件，故選：B．2．已知平面、和直線m、l，要使“若，，，則”正確，則須添加條件（

）A． B．C．l與相交但不垂直 D．l與m為異面直線【答案】B【解析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知：，，，，則有，故選：B.3．如圖,在正方體，直線A1C與平面ABCD所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接,由正方體的性質(zhì)可知：A1A平面ABCD,由線面角的定義可知：是直線A1C與平面ABCD所成角,設正方體的棱長為1,底面是與正方形,故,在中，,，故選：D.4．在三棱錐中，平面，垂足為，且，則點一定是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】如圖所示，分別連接，因為平面，可得又因為，利用勾股定理，可得，所以點一定是的外心，故選:B.5．若一個圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得，設該圓錐的母線與底面所成角，則，所以，故選：C.6．如圖，將一張三角形紙片沿著BC邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知，所以平面，所以折痕AD所在直線與桌面所成的角等于，故選：C.7．如圖，在四面體中，平面，，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】因為，，所以，又平面，平面，所以；因此，故選：C.8．如圖，正方體的棱長為1，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．4【答案】C【解析】，利用等體積法，設題目所求高為，則有，由此解得，故選C.9．已知矩形的兩邊，，平面，且，則二面角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，在平面內(nèi)，過作的垂線，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，因為，，故平面，因為平面，故，所以為的平面角，在直角三角形中，，，故，故，故選B.10．已知二面角的平面角是銳角，平面上有一點C到的距離為3，點C到棱AB距離為4，那么（

）A．； B．； C．； D．.【答案】B【解析】如圖，作于點，平面于點，連接，因為平面，所以，又，且平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因此，，，所以，，故選：B.二、填空題11．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.【答案】兩條相交【解析】直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線都垂直，那么此直線與該平面垂直，故答案為：兩條相交．12．設，是兩個不同的平面，直線l⊥α且，可以推出“”.【答案】【解析】當直線，且時，可以推出“”，故答案為：．13．在正方體中，與平面所成的角的正切值為.【答案】【解析】如圖所示，連接，因為平面，所以即為在平面上的射影，所以即為所求，設正方體的棱長為，在中，，故答案為：．14．正方體的個頂點中任意選擇個點，記這個點確定的平面為，則垂直于直線的平面的個數(shù)為．【答案】2【解析】與直線垂直的平面有平面和平面，故與直線垂直的平面的個數(shù)為．15．如圖，在三棱錐內(nèi)，側(cè)面底面，且，則．【答案】【解析】∵側(cè)面底面，交線為，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴，故答案為：．16．如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有個．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．【答案】4【解析】因為SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確．因為AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確．因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正確．因為AB∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確，故答案為：4．17．如圖所示，在正方體中，是的中點，若，則點到平面的距離為.【答案】【解析】，，設點到平面的距離為，則，即，即，故答案為：．18．如圖，在直二面角中，和分別在平面和上，它們都垂直于，且，，，則．【答案】【解析】連接，在直二面角中，，，所以，又，則，又，所以，在△、△中，故答案為：．三、解答題19．如圖，已知在平面內(nèi)有平行四邊形，點是它的對角線的交點，點在外，且，.求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：因為四邊形是平行四邊形，點是它的對角線的交點，所以.，又因為，所以，同理，因為，所以，又因為，平面，平面，所以.20．如圖，正方形所在平面與以為直徑的半圓所在平面互相垂直，為半圓周上異于，兩點的任一點，求證：平面平面【答案】【解析】證明：∵是半圓直徑，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．21．如圖，是正方形，直線底面，，是的中點.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接，交于，連接四邊形為正方形，為中點，又為中點，，平面，平面，

平面.（2）平面，直線與平面所成角即為，，

設，則，．22．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）證：連接交于點，連接，∵底面是菱形，∴為的中點，∵點為的中點，∴，∵平面，且平面，∴平面（2）證：∵底面是菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，平面，∴．23．如圖，在矩形中，，，沿對角線把△折起，使點移到點，且在平面內(nèi)的射影恰好落在上．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：在平面內(nèi)的射影恰好落在上，即為在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，∴二面角的余弦值是．24.如圖，在正方體中，.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線和平面所成的角.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3