2024~2025學年度第一學期期末教學質量檢測高二數學試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據直線的一般式得出斜率，再結合斜率與傾斜角的關系計算得出傾斜角.【詳解】直線的斜率為，設傾斜角為，，所以，所以.故選：A.2.在等差數列中，，則（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】根據等差中項性質直接求解,【詳解】根據題意，，所以.故選：C3.若拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】設，根據拋物線定義可知，，又點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則，解得.故選：B4.已知雙曲線經過點，離心率為，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得出，，即可求出雙曲線的標準方程.【詳解】因為雙曲線經過點，所以雙曲線經的焦點在軸上，且，又因為離心率為，即，解得：，又因為，所以雙曲線的標準方程為.故選：D.5.已知圓與圓交于、兩點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】兩圓方程作差得到公共弦方程，再利用垂徑定理及勾股定理計算可得.【詳解】圓即，圓心，半徑；圓即，圓心，半徑，因為，則，所以兩圓相交，則兩圓的公共弦方程為，則到的距離，所以.故選：A6.已知點，平面，其中向量，則點到平面的距離是（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由點到平面距離的向量公式求解即可.【詳解】由題意可得：，所以點到平面距離是：.故選：A.7.如圖，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記，根據空間向量的運算表示出，根據向量模的計算即可得答案；【詳解】記，則，所以，由于，故，故.故選：D.8.高階等差數列是數列逐項差數之差或高次差相等的數列，南宋數學家楊輝在《詳解九章算法·商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻蔓垛等的求和都與高階等差數列有關．如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，?，則第8層小球的個數為（）A.35 B.36 C.46 D.49【答案】B【解析】【分析】記第n層有個球，則根據題意可得，再根據累加法與等差數列的求和公式即可得解.【詳解】記第層有個球，則，，，，結合高階等差數列的概念知，，，……，，則第8層的小球個數為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設兩條不重合的直線，的方向向量分別為，，兩個不重合的平面，的法向量分別為，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，使得，則【答案】ACD【解析】【分析】根據給定條件，利用空間位置關系的向量證明逐項判斷即得.【詳解】對于A，若，則，，A正確；對于B，，則或，B錯誤；對于C，若，則，，C正確；對于D，，使得，則，而平面不重合，因此，D正確.故選：ACD10.設公比為的等比數列的前項和為，若數列滿足，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由可求得，結合可排除，知B正確；由等比數列通項公式知A錯誤；利用作差法可知C正確；根據等比數列求和公式可判斷D錯誤.【詳解】對于B，當時，，，又，，或；當時，，，與矛盾，，B正確；對于A，，A錯誤；對于C，，，，，即，C正確；對于D，，又，，D錯誤.故選：BC.11.雙曲線具有如下光學性質：如圖，分別為雙曲線的左，右焦點，從右焦點發出的光線交雙曲線右支于點，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，則（）A.B.雙曲線的右焦點到漸近線的距離為21C.當反射光線過點時，光線由所經過的路程為6D.設反射光線所在直線的斜率為，則【答案】ACD【解析】【分析】依據雙曲線的定義判斷選項A；利用點到直線的距離公式求右焦點到漸近線的距離判斷選項B；結合雙曲線定義求光線經過的路程判斷選項C；通過分析漸近線斜率與反射光線斜率的關系判斷選項D.【詳解】對于雙曲線，根據雙曲線的標準方程（，），其中為雙曲線的實半軸長，為雙曲線的虛半軸長.可得，則.由雙曲線的定義：對于雙曲線右支上的點，有，所以，選項A正確.

由雙曲線可得，，則，右焦點.雙曲線的漸近線方程為，即.右焦點到漸近線的距離，選項B錯誤.

由雙曲線定義知，即.光線由所經過的路程為.當，，三點共線時，取得最小值，，，根據兩點間距離公式，可得.所以光線由所經過的路程為，選項C正確.

設左、右頂點分別為A、B.如圖示：雙曲線的漸近線斜率為.當與同向共線時，的方向為，此時，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線斜率為.則斜率滿足，選項D正確.

故選：ACD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線，的方向向量分別是，，若，則________．【答案】18【解析】【分析】由題意可得出，所以，求出，即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，解得：，所以.故答案為：.13.設各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則________．【答案】21【解析】【分析】由成等比數列，可得，代入即可得出答案.【詳解】因為是各項均為正數的等比數列，所以成等比數列，所以，解得：.故答案為：.14.已知兩點，和圓，則直線與圓的位置關系為________.若點在圓上，且，則滿足條件的點共有________個.【答案】①.相交②.4【解析】【分析】先求出直線的方程，再利用圓心到直線的距離判斷直線與圓相交；先求出點到的距離，再結合圓心到直線的距離為和圓的半徑為判斷得解.【詳解】由題得，所以直線的方程為，所以直線的方程為，由可知，圓的圓心為，半徑為，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，又，設點到直線的距離為，則，解得，又圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以圓上有個滿足條件的點.故答案為：相交；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線和直線．（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求實數的值；（2）若，求直線與之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出在軸和軸的截距，利用截距相等構造方程求得結果；（2）由求出，再由兩平行線的距離求解即可.【小問1詳解】由題意可知，直線在軸的截距為，在軸的截距為，則，解得．【小問2詳解】若，則，得，此時直線，即，又直線，∴直線與之間的距離．16.已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點在圓上．（1）求圓的標準方程；（2）過點作圓的切線，求切線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據兩點距離公式可得，即可求解，（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，結合點到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】由題可設圓心的坐標為，，∵圓半徑為2，點在圓上，∴，解得（舍去），故圓的標準方程為．【小問2詳解】由題知，切線的斜率存在，設切線的方程為，即，由題意得，解得或，∴切線的方程為或．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱上的點，滿足.請先建立適當的空間直角坐標系，然后解答下列問題.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，由向量法證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，因為，所以，，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】設平面的法向量為，由（1）知，設平面的法向量為，由（1）可得，，，所以，設，得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的焦點為，為橢圓上一點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線交橢圓于，兩點，且線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意列方程可得，求出，即可得出答案；（2）直線的方程為，，，，聯立直線與橢圓的方程，由，求出點坐標，再由，求出，即可求出答案.【小問1詳解】∵橢圓的焦點為，，且的周長為，∴，解得，，∴橢圓的方程為．【小問2詳解】若直線的斜率不存在，此時線段的垂直平分線與軸重合，不符合題意；設直線的方程為，，，線段的中點為，聯立，消去并整理得，此時，由韋達定理得，，∴，，∵，即，解得，∴直線的方程為，即或．19已知數列滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求；（3）在（2）的條件下，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）應用已知構造數