第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市徐匯區位育中學高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列命題正確的是(

)A.如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

B.如果兩個平面垂直于同一個平面，那么這兩個平面平行

C.如果一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行

D.如果兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直2.在四棱錐S?ABCD中，若SA=xSB+ySC+zSDA.(1,?1,1) B.(1,0,?1) C.(1,?1,0) D.(1,?1,?1)3.一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子.經過重復摸球足夠多次試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在0.1左右，則據此估計盒子中紅球的個數約為(

)A.40個 B.45個 C.50個 D.55個4.M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直.以下判斷正確的是(

)A.①為真命題，②為真命題

B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題

D.①為假命題，②為假命題二、填空題：本題共12小題，共42分。5.用數學符號表示“直線a在平面β上”為______．6.“拋擲一枚骰子觀察點數”的樣本空間為______．7.若圓錐的母線為2，高為1，則圓錐的側面積為______．8.已知向量a=(2,5,1)，b=(4,m,5)，若a?b=39.半徑為3的球的體積等于______．10.若樣本數據x1，x2，?，x10的方差為16，則數據1?2x1，1?211.設A，B是一次隨機試驗中的兩個相互獨立事件，且P(A?)=13，P(B)=112.有7個同學要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有______種排法．13.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=3

14.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產生1到4之間取整數值的隨機數，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為______．15.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A116.正三棱錐S?ABC中，底面邊長AB=2，側棱AS=3，向量a，b滿足a?(a+AC)=a?三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若D1、D分別為B1C18.(本小題12分)

某工廠選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位：分鐘)繪制了如下莖葉圖：

(1)求40名工人完成生產任務所需時間的第75百分數；

(2)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重數據，發現全部介于45公斤到75公斤之間，現將100個體重數據分為6組：第一組[45,50)，第二組[50,55)，…，第六組[70,75)，得到如圖2所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求bc與a的值．

19.(本小題12分)

甲、乙兩人都是圍棋愛好者，某天兩人要進行一場比賽，甲每局比賽獲勝的概率是0.7(每局比賽僅有勝利或者失敗兩種可能)，最終勝者將贏得100元的獎金.比賽開始后不久，就因為有其他要事而中止了比賽．

(1)若是三局兩勝的比賽(誰先勝兩局比賽立即結束)，且甲已經獲勝一局后中止了比賽，則甲最終獲勝的概率為多少？

(2)若是五局三勝的比賽(誰先勝三局比賽立即結束)，在已知甲、乙各勝1局的情況下中止了比賽，如何分配獎金比較公平？20.(本小題12分)

如圖①，有一個圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為20cm，高為30cm，杯內有20cm深的溶液，現將水杯傾斜，且傾斜時點B始終在桌面上，設直徑AB所在直線與桌面所成的角為α(圖②)．

(1)求圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角(用α表示)；

(2)要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，求角α的最大值．21.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=3，BD=CD=1，另一個側面是正三角形

(1)求證：AD⊥BC

(2)求二面角B?AC?D

參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.a?β

6.{(1點朝上)，(2點朝上)，(3點朝上)，(4點朝上)，(5點朝上)，(6點朝上)}．

7.28.?2

9.36π

10.8

11.1612.720

13.2114.51815.616.4

17.證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，D1、D分別為B1C1、BC的中點，

連接A1C交AC1于點M，如圖，

∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點．連接MD．

∵D為BC的中點，∴A1B/?/DM．

∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM//平面A1BD1．

又由三棱柱的性質知，D1C1//BD，BD=D18.解：(1)因為40名工人完成生產任務所需時間按從小到大排列為：

61，61，62，63，63，65，65，67，68，69，70，70，71，72，72，72，72，74，75，77，

78，81，82，82，83，84，84，84，87，87，90，90，91，91，91，92，92，93，94，94，

又40×75%=30，所以第75百分數為87+902=88.5；

(2)根據題意可得(2a+2b+2c)×5=1，5a×100=2，5b×100=13，

解得a=0.004，b=0.026，c=0.07，

所以b19.解：(1)甲獲勝方法有：第2局勝利或者第2局失敗第3局勝利，

則甲獲勝的概率為0.7+0.3×0.7=0.91．

(2)甲獲勝方法有：第3和4局勝利；第3局勝利第4局失敗第5局勝利；第3局失敗第4，5局勝利，

則甲獲勝的概率為0.7×0.7+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7=0.784，

因此，甲應該分得獎金0.784×100=78.4元，則乙應該分得獎金21.6元．

20.解：(1)如圖，過點F作FQ⊥BC，交BC于Q，

過點C作CM⊥PB，交FQ延長線于點M，

過點M作MN/?/PB，交BC于N，

則∠CFQ=α，

∴圖②中圓錐的母線與液面所在平面所成的角為：∠DFC=∠FCQ=π2?α，

圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角為π2?α；

(2)根據題意，畫出圖形，如圖所示，

過C作CF//BP，交AD所在的直線于F，

在直角△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，

且點F在線段AD上，AF=30?20tanα，

此時容器內能容納的溶液量為：π×102×30?12π×102×20tanα=100π(30?10tanα)cm3，

而容器內原有溶液量為π×1021.證明：(1)在Rt△ABD與Rt△ACD中，∵AD是公共的斜邊，且AD=3，BD=CD=1，∴AB=AC=2

∵△ABC為等邊三角形，∴BC=2，

∴△BCD為等腰直角