廣西專升本（高等數(shù)學）模擬試卷2（共

9套）

（共198題）

廣西專升本（高等數(shù)學）模擬試卷第1

套

一、綜合題（本題共2題，每題分，共2分。）

1、求函數(shù)y=3x?.x3的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點.

標準答案：函數(shù)的定義域為（-8,+8）.先求單調(diào)區(qū)間和極值.令y，=6x-

3X2=3X（2-X）=0,得駐點X=0,X=2,用駐點將整個定義域分為三個區(qū)間（?QO,0）,

（0,2）,（2,+oo）.當xE（-oo,0）時，/<0,函數(shù)單調(diào)減少；當x?0,2）時，/>

0,函數(shù)單調(diào)增加；當x12,+8）時，/<0,函數(shù)單調(diào)減少.故函數(shù)的單調(diào)增加

區(qū)間為［0，2|,單調(diào)減少區(qū)間為（?8,0］和［2,+8）；極小值f（0）=0,極大值

f（2）=4.再求凹凸區(qū)間和拐點.令y"=6-6x=0,得x=l.當x￡（-oo,1）時，y">

0,函數(shù)為凹的；當x￡（l,+8）時，y〃V0,函數(shù)為凸的，且當x=l時，y=2,故函

數(shù)的凹區(qū)間為（?8,1］,凸區(qū)間為［1,+00）,拐點為（1,2）.

知識點解析：暫無解析

2、設f(x)的一個原函數(shù)為Inx,求Jf(x)?(x)dx.

1

標準答案：因Inx是f(x)的一個原函數(shù)，故f(x尸(111工丫=%,f(x)=x%2從而

f~"(-A)dx=-fXdx=上+C.

Jf(x)f(x)dx=Jx￡J%2x說明：此題也可用分部積分法

解之，步驟如下.Bff(x)f(x)dx=ff(x)df(x)=f2(x)-ff(x)f(x)dx故Jf(x)F(x)dx=

知識點解析：暫無解析

二、選擇題（本題共10題，每題1.0分，共10分。）

3、函數(shù)f(x)=|xI,在點x=0處f(x)()

A、可導

B、間斷

C、連續(xù)不可導

D、連續(xù)可導

標準答案：C

知識點解析：由f(x)=IxI的圖像可知，f(x)在點x=0處連續(xù)但不可導，選項［C)

正確.說明：f(x)=IxI的連續(xù)性和可導性，也可根據(jù)連續(xù)和導數(shù)的定義推得.

xsin1x).

4、設f(x尸x,則….等于()

A、0

B、不存在

C、co

D、1

標準答案：D

.1

sin一

ilim/'(x)=limxsin-=limX=1

XXLY1

知識點解析：X，故選(D).

5、函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間［1,2］上滿足拉格朗日公式中的匕等于()

A、In2

B、Ini

C、Ine

I

D、,n2

標準答案：D

知識點解析：對函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間［1,2］上應用拉格朗日中值定理，f(2)-

L9i

f(l)=f(^)(2-1),即ln2?0;故》ln2?選(D).

/(幻一/(麗)

(A)lim----------

FX-Xo

(B)hm---------------

(C)hm---------------

A?-?02AX

/(/")-/(與)

(D)hm----；——----

6、設f(x)在xo處可導，且？(xo)M，則？(xo)不等于()(-加)

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：根據(jù)導數(shù)的定義，選項(C)符合題意.

金

7、已知z=e*y,則加=()

A、yexy

B、xeXy

C、xyexy

D、eXy

標準答案：A

dzd

知識點解析：因世^(exy)=exyy=yexy,故選項(A］正確.

8、當x—*0時,3x2是sin2x的()

A、高階無窮小

B、同階無窮小，但不等價

C、低階無窮小

D、等價無窮小

標準答案：B

知識點解析；因L%1丁=3,故選(B).

9、過點(a,0,0)且垂直于x軸的平面方程為()

A、z=a

B、y=a

C、z=y

D、x=a

標準答案：D

知識點解析：垂直于x軸的平面方程可設為x=C,又平面過點（a,0,0）,故所求

的平面方程為x=0.選項（D）正確.

-_1_y_2_z+1

10、與直線口=2二二垂直的平面是（）

A、4x+y-z+10=0

B、x-2y+3z+5=0

C>2x-4y+4z-6=0

D、x+y+z-9=0

標準答案：C

知識點解析：直線與平面垂直，故直線的方向向量s=（-1，2,-2）與平面的法向

量〃平行，§的分量與〃的分量對應成比例.對比四個選項中的法向量，選項（C）

__]_2__2

的法向量〃=（2,-4.4）,且T=%=4一，故選項（C）正確.

11數(shù)項級數(shù)，sinn（a為常數(shù)）是（）級數(shù)

A、發(fā)散的

B、條件收斂

C、絕對收斂

D、斂散性由a確定

標準答案：C

W竽而級數(shù)￡號收斂，故原級數(shù)絕對收斂.選項?

知識點解析：因

正確.

12、設D：x2+y2<l,等于（）

B、%。

C、兀

D、2兀

標準答案：C

知識點解析：二重積分當被積函數(shù)為1時，其值就等于積分區(qū)域的面積，而積分區(qū)

JJckdy

域D為圓域”+丫231,故。=兀.]2=兀.選項（C）正確.

三、填空題（本題共5題，每題分，共5分。）

13、函數(shù)y=lnx+arcsinx的定義域為.

標準答案：（0,1]

x>0

知識點解析：由題意，-IWxWl,故原函數(shù)的定義域為（0,1].

14、設數(shù)列Xn有界，且，吧丫產(chǎn)0，則…。'四產(chǎn)'

標準答案：0

知識點解析：數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，因數(shù)列Xn有界，數(shù)列yn為無窮小，所以根

據(jù)無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小可得，…rnyjO.

15、函數(shù)）=：餐+1的反函數(shù)為.

標準答案：y=x3-1

知識點解析：由，二方訂可得，y3=x+l,x=y3-1,故反函數(shù)為y=x3?l.

16、曲線y=x?+l在點（1,2）的切線的斜率等于.

標準答案：2

知識點解析：由導數(shù)的幾何意義可知，切線斜率k=y，I（iz=2xI（I,2）=2.

17、由參數(shù)方程y=sinf確定的&二.

標準答案：-cott

dy（sinl）'_cos!

知識點解析：業(yè)—x'「（c皿）-?^=-cott.

四、解答題（本題共6題，每題分，共6分。）

..

I1fTls?in-Lx

凡求極限

..sin2x..2cos2x.

hm--------r=hm—7-：----r7―rr=-2.

K,在比金一郭os("-x),--8in(ir-x)?(-1)

標準答案：22

知識點解析：暫無解析

19、求二元函數(shù)z=x'y+xy3的全微分.

dz迎

標準答案：因&=3x?y+y3,^=x3+3xy2,故dz=(3x2y+y3)dx+(x3+3xy2)dy.

知識點解析：暫無解析

20、求定積分Jo訛xsinxdx.

標準答案：用分部積分法，fo712xsinxdx=f()712xd(-cosx)=[-xcosxlo712cosxdx

=O+[sinx]on/2=l

知識點解析：暫無解析

21、求微分方程ylnydx二xdy的通解.

曲_蟲

標準答案：此方程為可分離變量的方程，分離變量可得叮--方程兩邊分別積

fJr=件，

分，JylnyJx'得gIInyI=lnIxI+lnICI=lnICxI,即lny=Cx,

故原方程的通解為y=eCx.

知識點解析：暫無解析

22、求廣義積分Jo"比"山"

f二1加(-獷)-+；=；,

標準答案：卜出1。dxJ22Z22

知識點解析：暫無解析

f(x)=----j

23、將函數(shù)3-%展開成(x-2)的基級數(shù).

y=一!——=y

n

標準答案：因—1故f(x)=3rlix-2)rS(x-2).其中,

-l<x-2<1,即l<x<3.

知識點解析：暫無解析

廣西專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第2

套

一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)

a+——+?+????=U

1、設ao,a】，…，an為滿足式子23的實數(shù).試證：方程

ao+aix+a2x2+…+a1「=0在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.

21

.f(x)?aQx+zrx+等43+???+y**

標準答案：設23n+1,則「(x)=ao+a()+aix+

2n

a2x+...+a?x.顯然f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(l)=f(O)=O.故

由羅爾定理知，存在46(0,1),使得「0)=0,即，ao+ai&+ai$+…+a/n=

0.這就是說，方程ao+aix+a】x2+…+anxn=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根.

知識點解析：暫無解析

81

2、過原點的拋物線y=ax2及y=0,x=1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為亍”,

求此拋物線方程.

=IT［(ax2)dx=ira2小I=--ira2

標準答案：由題意知5Jo5'o5,即@2=81,a=

±9.所以所求拋物線的方程為y=-9x2或y=9x2.

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

3、當x-0時，tan(3x+x3)與x比較是().

A、高階無窮小

B、等價無窮小

C、同階無窮小，但不是等價無窮小

D、低階無窮小

標準答案：C

..tan(314-X2)..3x+x2-

知識點解析：刖？x=吧?-T"=故選c.

4、設f(x)是cosx的一個原函數(shù)，則Jdf(x)().

A、sinx+C

B、一sinx+C

C、—cosx+C

D、cosx-FC

標準答案：A

知識點解析：暫無解析

Ya/￡名

5、設級數(shù)2Iaj收斂，則1n().

A、絕對收斂

B、條件收斂

C、發(fā)散

D、斂散性要看具體的所

標準答案：A

知識點解析：因為￡即及￡M均收斂，故由級數(shù)的性質(zhì)知耳(%?/)收

0WI乂'=：?I。"這+；)，目j(aJ+4)

斂.又由“八2\n/收斂，故由正項

級數(shù)的比較判別法知W幾收斂.故應選A.

6、設f(x,y)在區(qū)域D：*2+丫292上連續(xù)，則。⑥，y)da=

A.4(cLxJ。/(x.y)dy

廣..eJi

B.2/出1Q/(“，y)d，

rcos^,rsin0)rdr

/>/(

D.rcoW,rsing)dr

().

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：對抽象函數(shù)，因為不知被積函數(shù)的奇偶性，故不可用對稱性，故A,

b都是錯的.利用極坐標下計算二重積分的定限方法，易知C正確.

7、方程y"-5y，+6y=x2e2x的一個特解可設為().

A、y*=(Ax2+Bx)e2x

B、y*=(Ax2+Bx+C)e2x

C、y*=(Ax2+C)xe2x

D、y*=(Ax2+Bx+C)xe2x

標準答案：D

知識點解析：微分方程y''一5y，+6y=x2e2x的齊次方程的特征方程為「2-51+6=

0,所以，特征根為：口=2,r2=3.這里右端項f(x)=x2e2x,因為入=2是單特征

根，故可設y*=x%2x(Ax2+Bx+C)=(Ax2+bx+C)xe2x.故選D.

三、填空題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

8、微分方程dy/dx=x2y滿足初始條件y(0)=2的特解是.

標準答案：y=2e+?

知識點解析：暫無解析

9、曲線y=arcsin(x+l)在x=-1處的切線方程是________.

標準答案：x-y+l=0

知識點解析：暫無解析

10、設函數(shù)f(u)=eU,u=g(x)=x3,則。8g)]在*=取得最大值.

標準答案：』

知識點解析：暫無解析

hm,)1、“

11、…(3-1)=.

二

標準答案：3"

知識點解析：暫無解析

_inLt.

12、設'vin]r,則y，=.

2

標準答案：二7

知識點解析：暫無解析

四、解答題(本題共8題，每題分，共8分。)

13、求過點Mo(3,0,-5)且平行于平面2x—8y+z—2=0的平面方程.

標準答案：因為已知平面2x—8y+z—2=0的法向量為元「=(2,—8,1),故可取

所求平面的法向量也為右34=(2,-8,1).由平面的點法式方程，所求平面即為

7t：2(x—3)—8(y—0)+(z+5)=0,即2x—8y+z—1=0.

知識點解析：暫無解析

14、驗證f(x)=arctanx在區(qū)間［0,1］上拉格朗日中值定理的正確性.

標準答案：①I.f(x)=arctanx為初等函數(shù)，其定義域是D=(—8,+oo).而［0,

1JCD,由基本結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)知f(x)=arctanx在［0,

f(\=_1__

1］上連續(xù).D.顯然f(x)=arctanx(0,1)內(nèi)可導，且x】?心因此f(x)在［0,

1|上滿足拉氏定理的條件.②由拉格朗日中值定理的結(jié)論：1)，使

3―01___

/⑺泮=H寸押出=字，算得出

知識點解析：暫無解析

15、求圖形的面積：由曲線y=2—x2及直線y=-x所圍成的圖形.

ry=2-x2rx=-If?=2

，得減.

標準答案：聯(lián)立方程組1r=11=-2故得拋物線y=2-x?與直

線y=-x的交點為(-1,1)或(2,-2).A=f-i2［(2-x2)-(-x)］dx=

(&-李聞|1=9/2

知識點解析：暫無解析

16、求函數(shù)y=/7口'的反函數(shù).

標準答案：由:r=方言得X=y3—1,互換變量X,y的記號，得y=x3=l.因

此，y-x3-l是￥=R7而的反函數(shù).

知識點解析：暫無解析

17、求不定積分

3=-arctanz4x+C.

標準答案:

知識點解析：暫無解析

18、求極限0

標準答案:

知識點解析：暫無解析

19、若z=xY,y=y(x),求dz/dx.

標準答案：z=eyInx,dz/dx=eylnx[ylnx]>=

1nz.y.-1-)=x*?(<lnx+y?-

知識點解析：暫無解析

20、解微分方程y"+6y，+l3y=0.

標準答案：微分方程y"+6y，+13y=0的特征方程為J+6r+13=0,即(r+3)?=

—4=(±2i)2.所以，特征根為：口，2=一3±2i,通解為y=e3x(C)cos2x+

C2sin2x).

知識點解析：暫無解析

廣西專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第3

套

一、綜合題(本題共2題，每題L0分，共2分。)

1、某工廠要造一個長方體形的庫房，其體積為1500000nA前墻和房頂?shù)脑靸r

分別是其他墻面造價的3倍和1.5倍，問庫房前墻長和高為多少時，庫房造價最

小?(墻厚薄不計)

標準答案：設長方體形的庫房的前墻長、寬、高分別為x,y,z(m),則長方體形

的庫房的體積為V=xyz(其中V=150000()3).并設長方體庫房的前墻、房頂及其

他各面的單位面積造價分別為3k,1.5k,k,則長方體庫房的總造價為u=3kxz+

1.5kxy+(kxz+2kyz)=4kxz+1.5kxy+2kyz.令L(z,y,z,1)=(4kxz+

1.5kx),+2kyz)+X(xyz—V),

L'a=4匕+1.Sky+=0(D

L\=1.5kx+2kz+Xx2=0

由

Vt=4H?20+kxy-0

L\=JON-V=0

注意上述方程(*)的解法：x(l),y(2)與z(3),可得y=2x,”=彳”，代入(4)式即可

解出x,y,z的值.

知識點解析：暫無解析

2,x=1

2、設函數(shù)以尸0-”，*<1在(-g,+oo)內(nèi)連續(xù)，則a,b應該如何取值？

標準答案:由f(x)在(-00,+8)連續(xù),知f(l-O)=f(l+O)=f(l),又f(l—0)=

limf(x)=lim(b-x)=b-l,f(l+O)=limf(x)=lim(a4-x2)=a+1.f(l)=2,所以a=

1,b=3.

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

3、以下各對函數(shù)是相同函數(shù)的有().

A、f(x)=IxI與g(x)=-x

B、f(X)=-sin%與g(x)=ICOSXI

C、f(x)=x/x與g(x)=l

rX-2,X>2

D、f(x)=Ix—2I與g(x)=2-x,x<2

標準答案：B

知識點解析：暫無解析

arcsin￡±2

4、設z=2則其定義域是().

A、{(x,y)I—1<X<1,—l<y<l}

B、{(x,y)I—l<x+y<l}

C、{(x,y)I—2<x+y<2}

D、{(x,y)IIx+yI>2}

標準答案：C

leuLzI

知識點解析：由?2I<1,解得Ix+yI&2,即-23x+yW2.所以選C.

?xdbcdy

5、二重積分亦，,可以表示成累次積分為

A.dbjr3cos2閑r

B./dr(cos訕4

C.dxIx2dyh.IdyIx2dx

().JTJ--/

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：暫無解析

dy

6、微分方程”出一y+q(x)=O的通解為().

A、y=-x(Jdx+C)

B、y=x(fdx+C)

C、y=ex(fdx+C)

D^y=—ex(fxq(x)dx+C)

標準答案：A

知識點解析：原式方程①可化為心X②②為一階線性微分方程.由

公式得其通解為

y。什1卜噌“f-c卜-diU*+q所以選

A.

.4-1_y_3_z+】

7、已知直線=-2=T,直線外一點P(3,3,3),則點P關(guān)于該直線L

對稱的點的坐標是().

A、(1,1,1)

B、(1,-1,-3)

C、(—3,—3,-3)

D、(-1,1,3)

標準答案：B

知識點解析：設點P關(guān)于直線L對稱的點是F(a,b,c),則P與F的中點N的坐

gt.?6±3c+3)

標為I2'2'21根據(jù)題意，知N在直線L上，故有

3+1

2221b-3c+5G

—f—=—2-==TT?—-?

a=-1+2，

6=3-4/.②

Ic=-5?2?

又沖=(a-3,6-3,c-3),顯然兩1；=(1,-2,1),

故有印?；=I?(a-3)-2(6-3>+(c-3>=0,

即a—2b+c=0.③將②代入③可解得t=l,將【=1再代入②可求得a=l,b=

1,c=3.故選B.

三、填空題(本題共5題，每題上0分，共5分。)

8、微分方程xdx+ydy=0的通解是.

標準答案：x2+y2=C

知識點解析：暫無解析

9、函數(shù)f(x)=(x—D%+2)的極大值點是.

標準答案：x=-l

知識點解析：暫無解析

10、右…x=ek,貝ijk=.

標準答案：一2

知識點解析：暫無解析

11、設f(x)在x=a處可導，且F(a)=l,則/

標準答案：一3

知識點解析：暫無解析

12、若Jf(x)dx=arcsinx+C,則Jcosf(sinx)dx=

標準答案：x+C

知識點解析：暫無解析

四、解答題(本題共8題，每題分，共8分。)

13、求微分方程cosxy+ysinx-cos2x=0滿足初始條件yIX=TC=O的特解.

標準答案：方程變?yōu)閥'+lanx?y=cosx.p(x)=tanx,q(x)=cosx,ftanxdx-incosx

,1(1.

=coax.)coo=fdx=x—ftamxdx=Incosx,故所求通解為：y=cosx(x+

C).

知識點解析：暫無解析

|z2tan/di

..九

Iim------7-----.

14、求極限…”

It2tantd/,

.Jo..x2tanxi

thm-------;-----=hm-----r-==

標準答案：—x41“4

知識點解析：暫無解析

-——dx.

15、求不定積分J4+1+3

?/*?I■

［y=^=—布二2/(rH-773)d/

標準答案：J4+］+3

知識點解析：暫無解析

sin-,x#0

x

16、求函數(shù)y=10,了二。的定義域與值域.

標準答案：由已知顯然有函數(shù)的定義域為(-8,+8),又當若0時，1/x可以是不

為零的任意實數(shù)，此時可以取遍［—1,1］上所有的值，所以函數(shù)的值域為［—

1,IJ.

知識點解析：暫無解析

fsinx?coax&

17、利用換元法求下列積分：(l)Jxcos(x2)dx；(2)4i.二CO"'(3

(4)Jcos?xd.

標準答案：⑴原式=杯2"二⑵原式=

J(sinx-cosx)(sinx-cosx)=?—?(sinx-cosx)T+C.

原式=-萬士)”=表必也一11-壺川岳-小。

(4)原式=J(1—

.0Mnx--T-swx+C.

sin-x)dsinx=3

知識點解析：暫無解析

18、求函數(shù)f(x)=x3+3x2—x—l的凹凸區(qū)間和拐點坐標.

標準答案：定義域(一8，4-co).f(x)=3x24-6x—1,f,(x)=6x+6.令P(x)=0,得

X=-l.當XE(—8,—1)時,，f(X)<0；當XW(—1,+8)時，f(X)>0.f(-l)=

(—l)'+3(—1)2—(―1)—1=2.故凹區(qū)間為(一1,+oo),凸區(qū)間為(一8,—1),拐

點為(一1，2).

知識點解析：暫無解析

19、將邊長為定值a的正方形鐵皮各角剪去大小相司的正方形小塊，做成無蓋的盒

子，問剪去的正方形小塊的邊長為何值時可使盒子的容積最大？

=0,由12x2—8川+”=0,得x=a/6,x=a/2(舍去).故當正方形小塊邊長為a/6

時小盒容積最大.

知識點解析：暫無解析

20、判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)性：(1)T=r77(2))y=x+lnx.

標準答案：(1)函數(shù)的定義域為(-8,+8),當爛0時，有1?/；當X>0時，

有1+/"五一爹.故Vx8-oo,+8)有yW/2,即函數(shù))，有上界.又

X

y=--------r

因為函數(shù)1+/為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱.由對稱性及函數(shù)有

X

V=-------y

上界知，函數(shù)必有下界.因而函數(shù)l+f有界.又由yi—y2=

祈勺(*|-*2)(?-*|X2)

1+巧I+x2(I+勺)(I+勺，)知，當xi>X2且xiX2〈l時，yi>y2；而當xi

X

y:--------<

>X2且xix2>l時，yi<y2.故函數(shù)?在定義域內(nèi)不單調(diào).(2)函數(shù)的定義

M

域為(0,+oo).因為VM>0且xi>M；3X1>e>0,使lnx2>M.取xo=

max{xi，X2),則有xo+lnxo>xi+lnx2>2M>M.所以函數(shù)y=x+lnx在定義域內(nèi)

是無界的.又當0<X]<X2時，有X]—X2<0,Inx]—lnx2<0,故丫1-y2=(xi+

Inxi)—(X2+lnx2)=(xi—X2)+(lnxi-lnx2)V0,即當OVx|Vx2時，恒有yi<y2，

所以函數(shù)y=x+lnx在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加.

知識點解析：暫無解析

廣西專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第4

套

一、綜合題(本題共2題，每題7.0分，共2分。)

1、設以向量日和成為邊做平行四邊形，求平行四邊形中垂直于近邊的高線向量.

TT

標準答案：設高線向量為八，則"產(chǎn)私產(chǎn)”應因為夕?垂直于江，所以

y

=pa-Aaa=0所以同

則

知識點解析：暫無解析

2、求y=sinx,y=cosx,x=0,XF/2所圍成的平面圖形的面積.

S=I：|sinx-cosx|d.v

?n

=Jj(cosx-sinx+J；(sinx-cosxXh

4

s?

=[sinx+cosx+[-cosx-sinx]|;

4

標準答案：如圖所示，所求面積=2(&-1)

知識點解析：暫無解析

二、證明題(本題共2題，每題7.0分，共2分。)

3、證明函數(shù)八”)=伍1+&+1)為奇函數(shù).

標準答案：設f(x)J("G^)'f(-x)二

In(-x+/(=()，+1j=InI-x4-&+1\=In-----J===-In(x+dlI

x+H=?f(x)所以函數(shù)f(x)

為奇函數(shù)

知識點解析：暫無解析

4、設f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且2Ji，2lf(x)dx=f(0).證明：存在

眄0,1),使F(9=0.

即

標準答案：因為f(x)在［0,1］上連續(xù)，由積分中值定理可知，存在上12」，使得

J|/21f(x)dx="“*"5)'即f(c)=2j］/21f(x)dx=f(0).因此，f(x)在［0,c］上連續(xù)，在(0,

c)內(nèi)可導,且f(c)=f(O),所以f(x)在［0,c］上滿足羅爾定理,因此存在廢(0,c)u

(0,1),使得f(，)=0.

知識點解析：暫無解析

三、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

5、函數(shù)f(x)=n+arcsin(x?1)的定義域為

A、(0,2］

B、［0,2］

C、(1,2］

D、［1,2］

標準答案：C

|x|-l>0

知識點解析：由已知函數(shù)，可得解不等式組可得其定義域為(］,

2］.故應選C.

.g=卜2+1U<0

6、若匕-2x,x20，要使f(x)在(-8,+co)連續(xù)，則a=

A、0

B、1

C>1/2

D、2

標準答案：B

知識點解析：若f(x)在(-00,+8)連續(xù)，則f(x)在x=0處連續(xù)，所以

lim(x'+1)=lim(<j+2x).

f即a=l.故應選B.

7、若函數(shù)f(x)在點xo有極大值，則在x()點的某充分小鄰域內(nèi)，函數(shù)f(x)在點xo的

左側(cè)和右側(cè)的變化情況是

A、左側(cè)上升右側(cè)下降

B、左側(cè)下降右側(cè)上升

C、左右側(cè)均先降后升

D、不能確定

標準答案：D

知識點解析：若xo處為函數(shù)的振蕩間斷點，則無法確定。如函數(shù)

2-x*2+sm-"0

/("=Ix■

2,x=0在x=0處取得極大值，但是在x=0處左側(cè)和右惻的

變化情況無法確定。

8、設f(x)是連續(xù)函數(shù)，則如卜一(。出=

A、f(2x)

B、2f(2x)

C>-f(2x)

D、-2f(2x)

標準答案：D

d

知識點解析：右h-UWl=?f(2x)(2x)'=-2f(2x),故應選D.

9、若ci和C2為兩個獨立的任意常數(shù)，則y=cicosx+C2sinx為下列哪個方程的通解

A、y"+y=0

B、y,,+y=x2

C、y〃_3y，+2y=0

D、y"+y'-2y=2x

標準答案：A

知識點解析：由通解公式可以看出，該微分方程對應的特征方程的兩個特征根是

r=±i,因此特征方程為J+l=0,從而原齊次微分方程為y〃+y=0.故應選A.

四、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

10、假設函數(shù)=Sin2+C嗚則f(x)的周期為().

標準答案：12兀.

.XX.XX

sin-cos-sin--f-cos-

知識點解析：因為2的周期為4兀，3的周期為6兀，所以f(x)=23取

兩個函數(shù)周期的最小公倍數(shù)，為1271.

lim9o

11、X78x，ln(x~+1)-21nx]=().

標準答案：1.

lim(ln(.t:+l)-21nx)=limx*ln(l-?--!r)=limln(i+-^)'=|nlim(l+4r)'

知識點解析：…'1iX，…L

=lne=l,故應填1.

12、設函數(shù)f(x),g(x)均可導,且同為F(x)的原函數(shù),且有f(0)=5,g(0)=2,則

f(x)-g(x)=().

標準答案：3.

知識點解析:因為？(x尸g，(x)=F(x),所以f(x)?g(x尸C,故C=f(0)?g(0)=5?2=3.故

應填3.

dz,

鼠4=1

13、若z=x'+6xy+y3,則xy=2=（

標準答案：15.

dzdz

知識點解析：^=3x2+6y,由I（i,2）=3x2+6yI（1,2）=3+12=15,故應填15.

1

「ysin-

14、當n-8時!%根據(jù)斂散性判定方法，可以判定級數(shù)Un

（）.

標準答案：發(fā)散.

.sin

1=lim心in-=lim—

知識點解析：〃由正項級數(shù)比較審斂法的極限形式知，

與尹ylfsinl

?T"7”有相同的斂散性，而調(diào)和級數(shù)y〃發(fā)散，所以3〃也發(fā)散，故應

填發(fā)散.

五、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)

x-sinx

15、求極限"吧sE」'

..x-sinxx-sinx..I-cosx..sinx八

hm：—=hm；——=hm--------=lim=0

標準答案：sin_x1*°x~I。2x1。2

知識點解析：暫無解析

16、若丫=尸+0‘加+%+。巧,求匕

/=(/)4[L-阿I+a?)r=(e?bl),+eMO,cosx+-^-[i+JT

l+if

=e'in*(2xbi.r+x)+cosx-eMn,+?嗎-"a

l+ar

=/“(21111+1)4€081廿—蛇.

標準答案：1+蘇

知識點解析：暫無解析

17、求八”)=去石的水平、垂直漸近線.

2x+l27

limf(x)=lim

標準答案：由…3"23’可得:3是f(x)的水平漸近線.由

2r+l

lim/(x)=lim-...=oo.2

T-；3-2可得”"F是f(x)的垂直漸近線.

知識點解析：暫無解析

島必

18、若JxRx)dx=arcsinx+c,求1=

J

標準答案：對Jxf(x)dx=arcsinx+C兩邊同時求導可得xf(x)=,'A上即

---故j--------------dx=\x41-x2dx=--(l-x*):+C

fW」/(x)J3

知識點解析：暫無解析

19、計算積分I=Ji/J2dy：ey'dx+fi^'dy,^yeyXdx.

標準答案：因為Jey\lx不能用初等函數(shù)表示，所以先交換積分順序再求

=[idxf.c,dj,

解.=fi/2Ix(e-ex)dx=

3

-c

8

知識點解析：暫無解析

20、求箱級數(shù)缶的收斂區(qū)間.

p=lim=lim-!—=0,

標準答案：|.?.R=+OO.收斂區(qū)間為(?8，+0O)

知識點解析：暫無解析

21、求微分方程(x2-y)dx-(x-y)dy=0的通解.

fJX/2>

d七-d3)+d—=0

標準答案：湊微分x%x-(xdy+ydx)+ydy=0,〔，1'?>，所以

xJy2

-----XT+-=C.

32

知識點解析：暫無解析

廣西專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第5

套

一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)

1、從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一漏斗(如圖)，問留下的扇形的

中心角(P取多大時，做成的漏斗的容積最大?

標準答案：斗的底周長1、底半徑八高h分別為l=R(pj,r=R(p/2兀,

?/求_/=2-.V=《A/N-爭

2”漏斗的容積為3(0?p<

2「盜,喋等’駐點"號.由問題的實際意義，v-定咋。

2兀)內(nèi)取得最大值，而V在(0,2兀)內(nèi)只有一個駐點，所以該駐點一定也是最大直

2歷

點.因此當少一『時漏斗的容積最大.

知識點解析：暫無解析

2、將一長方形硬紙裁去四個角后折成長方體無蓋盒，若紙面積一定，問其長、

寬、高為何值時可使盒的容積最大？

標準答案：紙的面積為A；設長方體的長、寬、高分別為z,y,z,則長方體無蓋

盒的容積為V=xyz.又據(jù)題意(x+2z)(y+2z)=A.今L(x,y,z,A)=xyz+”(x

+2z)(y+2z)一

A].

Vt=廣+A(y?2z)=0①

l/r=xz+A(x+2z)=0②

由(?)

Vt=xy+A(2x+2y+8x)=0③

L\=(x+2x)(z+Zx)-y=0④

解之，得y=,

X=

0

—22_二_入__5

注意：上述方程(*)的解法：由①，得＞+2工一'⑤由②，得一費?⑥比

較⑤、⑥式，得乂=丫.⑦由③，得2萬+2；+8z=-"⑧比較⑤、⑥、⑦式，

XZ________X2______AXX___________

得X+2z-2z+2,+8z-?⑨將x=y代入⑨式，得力+2「4-8/整理，得x2

—2xz—8Z2=0,即(X+2Z)(X—4Z)=0,故有x=—2z(舍去),或x=4z.將y=x,

"=1”代入④，可解出x,y,z的值.

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

3、當X-1時，下列變量中為無窮大量的是

~_1二

X?￥■1D.%+

().X-1

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：因為2,故當X-1時，**1不是無窮大量.因為

../.]__0_0/_]

叫1m"=5=，故當XT1時，”7「不是無窮大量.因為

岬x+1-0‘故岬8,故當x->l時，"I是無窮大量.因為

產(chǎn)/[-)]==e,故當x_]時,乃不是無窮大量.綜上分析,

選C.

4、微分方程尸一2y=x的特解y*的形式為().

A、ax

B、ax+6

C、ax2

D、ax2+bx

標準答案：D

知識點解析：微分方程y--2y，=x的齊次方程的特征方程為J—2r=0,所以，特

征根為：r(=0.門=2.這里右端項f(x)=x=e°Xx,因為人=0是單特征根，故可設

y*=x1eOx(ax+b)=ax2+bx.故選D.

5、I-二sinn2_

A.E-OTTT)B.y<-I)"：F

方In(lnn)

u￡—).武T(-1)'

D.Z

*N|2"

().

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

sinn2

u.=—；---rr

知識點解析：A錯.因為記Mn+1),n=(I,2,...),則

'*"(幾+l)1'1〃(〃+1)<〃2，且n,2收斂，故￡]幾⑴+「)絕對收

_]

斂.B對.其理由如下：一方面，此為交錯級數(shù).記'=ln(hm)(n=l,2,...),

顯然｛Un｝單調(diào)減少，且則從二°,故由萊布尼茨收斂法知，Z'-"而扁收

斂.另一方面，又因為

lim*=limr-r?一"r=limf7^r(塔必達)=lim■-r-=limxlnx=.8HY—發(fā)散故SI(-1V11=V5

_工_MIM)i?ln(lnz)'B卬-X.1一“'日4"4I''E(hv?)IAIn(lnn)

nInxx

y(-1)"—!—

發(fā)散.綜上分析，知Wm(lnn)條件收斂.c錯.因為

1加(-1)"」^射0,故￡(-1)--^

一八+1￡九+1發(fā)散.D錯.因為

(-1).?￡?)絕對收斂.

0?1T故應選B.

6、設f(x)=xlnx,則F(x)().

A、在(0,1/e)內(nèi)單調(diào)減少

B、在(1/e,+8)內(nèi)單調(diào)減少

C、在(0,+8)內(nèi)單調(diào)減少

D、在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加

標準答案：A

知識點解析：0D-(0,+00).②f(x)—1+lnx.③令「(x)—0=xi—1/e.定義域

內(nèi)無不可導點.④列表判