試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（

）A． B．C． D．2．已知集合.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．4．圓與圓的位置關系是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．相離5．在中，點是的中點，點在上，若，則（

）A． B． C． D．6．的展開式中的一項是（

）A． B． C． D．7．已知，若對任意實數，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設數列的前項和為，且，則滿足時，的最小值為（

）A．49 B．50 C．99 D．100二、多選題9．甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績（單位：厘米）如下：甲組：，，，，，，，，，，，乙組：，，，，，，，，，則下列說法正確的是（

）A．甲組數據的第60百分位數是252B．乙組數據的中位數是246C．從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為D．甲組中存在這樣的成員，將他調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高10．圓柱的軸截面是正方形，分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個不同的點，是母線，若圓柱的側面積為，則（

）A．圓柱的體積是B．圓柱內切球的表面積是C．D．點到直線距離的最大值為11．將曲線經過旋轉可得到雙曲線，若直線與只有一個公共點，與交于兩點，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．設隨機變量，若，則.13．2025年春晚，劉謙表演了一個現場互動魔術，道具只有三個：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右隨便擺放這三個道具，分為三個位置：左位、中位和右位.假若按照魔術規則只進行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經在最左邊，那么就不需要移動；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經在最右邊，就不需要移動.完成這兩步后，在杯子出現在右位的條件下，筷子出現在中位的概率是.14．點在直線上，點在拋物線上，記兩點間的最小距離為，若，則.四、解答題15．已知分別為三個內角的對邊，且.(1)求；(2)若，求.16．已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數在上恰有兩個零點，求的取值范圍.17．《教育強國建設規劃綱要（年）》中指出深入實施素質教育，健全德智體美勞全面培養體系，加快補齊體育、美育、勞動教育短板，某中學為了解學生每天參加綜合體育活動的情況，隨機調查了100名男生和100名女生，統計他們周一到周五在校期間的運動步數，數據如下表所示：運動步數（萬步）合計人數（男）1294100人數（女）1472100表中數據成等差數列；成公比為正整數的等比數列.(1)若周一到周五在校期間的運動步數達到5萬步視為體育鍛煉達標，估計該中學男生體育鍛煉的達標率；(2)為進一步了解女生每天參加綜合體育活動的情況，在步數位于兩組內的女生中，采用等比例分層抽樣的方法抽取10人，現從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記步數在內的人數為，求的分布列和期望.18．在中，，如圖將沿翻折至.

(1)證明：平面平面；(2)若二面角大小為.（i）求與平面所成角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.19．已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，且，直線過點與交于兩點.(1)求的方程；(2)若，求的方程；(3)若直線過點與交于兩點，且的斜率乘積為分別是線段的中點，求面積的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數學試卷》參考答案題號12345678910答案ADBCBCCDBCDAC題號11答案BC1．A【分析】運算復數除法的運算法則進行求解即可.【詳解】，故選：A2．D【分析】由，可得，即可得解.【詳解】，因為，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：D.3．B【分析】把直線方程化為斜截式，根據直線方向公式進行判斷即可.【詳解】，所以該直線的一個方向向量為，因為，所以向量與向量是共線向量，其他選項的向量與向量不是共線向量，故選：B4．C【分析】根據給定條件，求出圓心距即可判斷.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即，圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：C.5．B【分析】由題意，，根據點在上，即可列方程求解.【詳解】由題意點是的中點，所以，又，所以，解得，又因為點在上，所以，解得或（舍去）.故選：B.6．C【分析】由二項式定理展開式通項即可驗算.【詳解】的展開式通項為，對比選項依次代入得對應項，的展開式中的項可以是.故選：C.7．C【分析】綜合利用正切函數的單調性和奇偶性分析判定.【詳解】因為是內的單調遞增函數，并且是奇函數，所以,所以“”是“”充分必要條件，故選：C.8．D【分析】根據的關系求出的表達式，進一步解不等式即可得解.【詳解】因為，所以，當時，，所以，即，此時，也滿足該式，故，若，解得，故所求為100.故選：D.9．BCD【分析】對于A直接利用百分位數計算公式即可；對于B根據公式計算中位數和平均數；對于C根據古典概率公式計算即可；對于D，求出兩者平均數判斷即可.【詳解】對于選項A，因為，所以甲組數據的第60百分位數是第8個數，即253，故A錯誤；對于選項B，因為，所以乙組數據的中位數是第5個數與第6個數的平均數，即，故B正確；對于選項C，甲組中跳遠成績在250厘米以上的有7人，乙組中跳遠成績在250厘米以上的有2人，所以從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在250厘米以上的概率為，故C正確；對于選項D，甲組的平均成績為厘米，乙組的平均成績為厘米，所以將甲組中跳遠成績為248厘米的成員調派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠平均成績都有提高，故D正確.故選：BCD.10．AC【分析】根據圓柱體積公式、側面積公式，結合空間向量數量積的坐標公式、點到線距離公式逐一判斷即可.【詳解】設圓柱的底面半徑為，所以母線為，因為圓柱的側面積為，所以.因為圓柱的體積是，所以選項A正確；因為圓柱的底面半徑為2，所以母線為4，所以圓柱內切球的半徑為，所以圓柱內切球的表面積是，因此選項B不正確；建立如圖所示的空間直角坐標系，，設，，，，所以選項C正確；設，直線的單位方向向量為，所以點到直線距離為，由題意，所以當時，，選項D不正確，故選：AC.【點睛】關鍵點睛：求點到直線距離的最大值的關鍵是利用點到直線距離的向量公式寫出表達式，根據正弦函數與二次函數的性質求出最值.11．BC【分析】由雙曲線定義、對勾函數性質以及旋轉的性質依次求得，進一步只需聯立與即可判斷D.【詳解】對于BC，由題意將曲線夾在中間的兩條漸近線方程為，所以這兩條漸近線所形成的那個銳角的一半為，曲線的兩條漸近線的中間那條直線為，聯立以及，解得或，由旋轉的性質可得，，，解得，故BC正確，對于A，若直線與只有一個公共點，由對勾函數性質可得，故A錯誤；對于D，要求，由雙曲線的對稱性可知，只需聯立與，解得或，即，故D錯誤.故選：BC.12．【分析】由正態分布的性質即可得解.【詳解】由題意，，所以，解得.故答案為：.13．【分析】由條件概率知識即可求解.【詳解】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個字的拼音的第一個小寫英文字母來代替這三個東西，例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，一開始的狀態有六種情況，我們用表示一次調換，那么根據題意有，第一種初始狀態下的變換過程為：，第二種初始狀態下的變換過程為：，第三種初始狀態下的變換過程為：，第四種初始狀態下的變換過程為：，第五種初始狀態下的變換過程為：，（本質上沒有調換），第六種初始狀態下的變換過程為：，從以上可以看出來，末狀態杯子在右邊對應的初始狀態有：第一、二、三、五、六種初始狀態共5種情況，在杯子出現在右位的條件下，筷子出現在中位的末狀態只能是（對應的初始狀態是第二種初始狀態），故所求概率為.故答案為：.14．【分析】本題可先求出、兩點橫坐標的關系，進而得出的表達式，然后求出，最后根據的表達式計算的值.【詳解】已知點在直線上，則將點代入直線方程可得

①.點在拋物線上，則將點代入拋物線方程可得

②.因為、兩點縱坐標相同，所以.由①可得，由②可得，則.令，則，將其轉化為頂點式：，因為，所以當時，取得最小值，.因為，所以，則.，可以發現上式中相鄰兩項的分子分母可以約分，約分后可得：.故答案為：【點睛】方法點睛：對于求平面直角坐標系中兩點間距離最值的問題，先根據點所在的曲線方程得到坐標之間的關系，再將距離表示為關于某一變量的函數，通過函數的性質（如二次函數的頂點式）來求解最值.在處理連乘形式的式子時，要善于觀察式子中各項的規律，通過約分等方法簡化計算.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得，即，所以，因為，所以，又，解得；（2）若，則，這里是三角形外接圓的半徑，解得，由余弦定理可得.16．(1)(2)【分析】（1）求導，再根據導數的幾何意義即可得解；（2）分離參數可得，構造函數，利用導數求出函數的單調區間，作出函數的大致圖象，結合圖象即可得解.【詳解】（1）由，得，則，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）令，則，令，則，令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，當時，，當時，，如圖，作出函數的大致圖象，因為函數在上恰有兩個零點，所以函數的圖象恰有兩個交點，所以的取值范圍為.17．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）需要根據等差數列的性質求出男生運動步數達到5萬步的人數，進而計算達標率；（2）先根據等比數列性質求出相關人數，再利用分層抽樣確定抽取人數，最后通過古典概型求出隨機變量的分布列和期望.【詳解】（1）已知成等差數列，設公差為，則.又因，即.由等差數列性質，可得.聯立方程組，解得，，.男生運動步數達到5萬步（即、、這三組）的人數為人.所以男生體育鍛煉的達標率為.（2）因為成公比為正整數的等比數列，設公比為（），且，即.所以，即.因為，當，舍去；當滿足題意；當，舍去.當，舍去.當，舍去.當，舍去.當，舍去.當，舍去.當，舍去.步數位于內的女生人數為人，步數位于內的女生人數為人.采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數位于內抽取人，從步數位于內抽取人.隨機變量表示步數在內的人數，的可能取值為，，.；；；所以的分布列為：期望.18．(1)證明見解析(2)（i）（ii）存在點，當或時滿足題意【分析】（1）只需證明平面，注意到，故只需證明平面，由即可證明；（2）（i）由題意得即二面角的平面角，結合解三角形知識求解即可；（ii）建立適當的空間直角坐標系，引入參數，將平面與平面的法向量表示出來，結合平面與平面所成角的余弦值為列出關于的方程，判斷該方程的解的情況即可得解.【詳解】（1）因為，所以，因為平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）（i）在四棱錐中，由（1）知即二面角的平面角，故，因為，所以，從而，過點作，交于點，又因為，可得平面，與平面所成角即為.在中，由余弦定理可得：，由等面積法，，所以與平面所成角的正弦值為；（ii）如圖，建立空間直角坐標系，

則，，設，可得，，設平面的法向量為，平面的法向量為，，即，令，可得，，即，令，可得，設平面與平面的夾角為，，解得或，所以存在點，當或時滿足題意.【點睛】結論點睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.19．(1)(2)，或；(3)【分析】（1）根據橢圓焦距公式。橢圓離心率公式，結合橢圓標準方程中的關系進行求解即可；（2）根據直線的斜率是否為零，結合橢圓弦長公式分類討論進行求解即可（3）根據一元二次方程根與系數關系，結合中點坐標公式、三角形的特點、基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以