PAGE1-第15課時用樣本的數字特征估計總體的數字特征學問點一眾數、中位數、平均數的概念及簡潔應用1．下列關于平均數、中位數、眾數的說法中正確的一項是()A．中位數可以精確地反映出總體的狀況B．平均數可以精確地反映出總體的狀況C．眾數可以精確地反映出總體的狀況D．平均數、中位數、眾數都有局限性，都不能精確地反映出總體的狀況答案D解析依據平均數、中位數、眾數的定義可知平均數、中位數、眾數都有局限性，都不能精確地反映出總體的狀況．2．一個樣本的容量為60，分成5組，已知第一組、第三組的頻數分別是9、10，其次、五組的頻率都為eq\f(1,5)，則該樣本的中位數在()A．其次組B．第三組C．第四組D．第五組答案B解析其次組的頻數為60×eq\f(1,5)＝12，∵9＋12＝21<30，9＋12＋10＝31>30，∴中位數在第三組．學問點二標準差、方差的意義3．下列說法正確的是()A．在兩組數據中，平均值較大的一組方差較大B．平均數反映數據的集中趨勢，方差則反映數據波動的大小C．方差的求法是求出各個數據與平均值的差的平方后再求和D．在記錄兩個人射擊環數的兩組數據中，方差大說明射擊水平穩定答案B解析本題主要考查平均數、方差的性質，平均數表示樣本的集中趨勢，平均值的大小并不能說明該組數據的方差的大小，所以A錯誤；方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以C錯誤；方差大說明射擊水平不穩定，所以D錯誤，故選B．學問點三標準差、方差的應用4．在某項體育競賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為()A．92，2B．92，2．8C．93，2D．93，2．8答案B解析去掉一個最高分95與一個最低分89后，所得的5個數分別為90，90，93，94，93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝2．8，故選B．5．已知母雞產蛋的最佳溫度在10℃左右，下面是在甲、乙兩地六個時刻測得的溫度，你認為甲、乙兩地哪個地方更適合母雞產蛋？解①eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4．②極差：甲地溫度極差＝15－(－5)＝20；乙地溫度極差＝10－0＝10．③標準差：s甲＝eq\r(\f(1,6)×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42])≈8．4；s乙＝eq\r(\f(1,6)×[1－42＋…＋2－42＋0－42])≈3．5．明顯兩地的平均溫度相等，乙地溫度的極差、標準差較小，說明白乙地溫度波動較小．因此，乙地比甲地更適合母雞產蛋．易錯點一運用數字特征作評價時考慮不周6．一次數學學問競賽中，兩組學生成果如下：經計算，已知兩個組的平均分都是80分，請依據所學過的統計學問，進一步推斷這次競賽中哪個組更優秀，并說明理由．易錯分析對一組數據進行分析的時候，應從平均數、眾數、中位數等多個角度進行推斷．否則評價易出現偏差．正解(1)甲組成果的眾數為90分，乙組成果的眾數為70分，從成果的眾數這一角度看，甲組成果好些．(2)甲、乙兩組成果的中位數、平均數都是80分，其中甲組成果在80分以上(含80分)的有33人，乙組成果在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成果總體較好．(3)從成果統計表看，甲組成果大于或等于90分的有20人，乙組成果大于或等于90分的有24人，所以乙組成果在高分段的人數多．同時，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成果較好．易錯點二忽視方差的統計意義導致錯誤作答7．甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下(單位：t/km2)：品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8若某村要從中引進一種冬小麥大量種植，給出你的建議．易錯分析由于忽視了比較兩種小麥產量的穩定性而致誤．正解由題意得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9．8＋9．9＋10．1＋10＋10．2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9．4＋10．3＋10．8＋9．7＋9．8)＝10．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9．8－10)2＋(9．9－10)2＋(10．1－10)2＋(10－10)2＋(10．2－10)2]＝0．02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9．4－10)2＋(10．3－10)2＋(10．8－10)2＋(9．7－10)2＋(9．8－10)2]＝0．244，甲、乙兩種冬小麥的平均產量都等于10，且seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以產量比較穩定的為甲種冬小麥，舉薦引進甲種冬小麥大量種植．一、選擇題1．為主動提倡“學生每天熬煉一小時”的活動，某學校舉辦了一次以班級為單位的廣播操競賽，9位評委給高三(1)班打出的分數如莖葉圖所示，統計員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91；復核員在復核時，發覺有一個數字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計算無誤，則數字x應當是()A．2B．3C．4D．5答案A解析假設94分是最高分，由題意知記分員在去掉一個最高分94和一個最低分87后，余下的7個數字的平均數是91，即eq\f(89＋88＋92＋90＋x＋93＋92＋91,7)＝91，∴635＋x＝91×7＝637，∴x＝2．經檢驗符合題意．故選A．2．在某次測量中得到的A樣本數據如下：2，4，4，6，6，6，8，8，8，9．若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得數據，則A，B兩樣本的下列數字特征相同的是()A．眾數B．平均數C．中位數D．標準差答案D解析依據題意，B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得，則平均數、眾數、中位數都增加2，依據標準差公式可知，標準差也不變．故選D．3．甲、乙兩個數學愛好小組各有5名同學，在一次數學測試中，用如圖所示的莖葉圖統計出其成果．若甲、乙小組的平均成果分別是eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，則下列結論正確的是()A．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，甲比乙成果穩定B．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，乙比甲成果穩定C．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，甲比乙成果穩定D．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，乙比甲成果穩定答案A解析依據莖葉圖可知，甲組5名同學的成果分別是88，89，90，91，92，乙組5名同學的成果分別是88，83，84，89，91．故eq\x\to(x)甲＝90，eq\x\to(x)乙＝87，即eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙；seq\o\al(2,甲)＝2，seq\o\al(2,乙)＝9．2，即seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲比乙成果穩定．4．為了普及環保學問，增加環保意識，某高校隨機抽取30名學生參與環保學問測試，得分(非常制)如圖所示，假設得分值的中位數為me，眾數為m0，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝m0＝eq\x\to(x)B．me＝m0＜eq\x\to(x)C．me＜m0＜eq\x\to(x)D．m0＜me＜eq\x\to(x)答案D解析由題目所給的統計圖可知，30個數據按大小依次排列好后，中間兩個數為5，6，故中位數為me＝eq\f(5＋6,2)＝5．5．又眾數為m0＝5，平均值eq\x\to(x)＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)＝eq\f(179,30)≈5．97，∴m0＜me＜eq\x\to(x)．5．已知數據x1，x2，x3，…，x100是杭州市100個一般職工某月份的收入(均不超過2萬元)，設這100個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，假如再加上某人這個月份的收入x101(約100萬元)，則相對于x，y，z，這101個數據()A．平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變B．平均數變大，中位數可能不變，方差也不變C．平均數變大，中位數肯定變大，方差可能不變D．平均數變大，中位數可能不變，方差變大答案D解析因為數據x1，x2，x3，…，x100是杭州市100個一般職工2024年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100許多，所以這101個數據中，平均數變大，但中位數可能不變，也可能變大，由于數據的集中程度受到x101比較大的影響，變得更加離散，所以方差變大．故選D．二、填空題6．樣本a1，a2，a3，…，a10的平均數為12，樣本b1，b2，…，b8的平均數為5，則樣本a1，b1，a2，b2，…，a8，b8，a9，a10的平均數為________．答案eq\f(80,9)解析由題知eq\x\to(a)＝12，eq\x\to(b)＝5，則新樣本的平均數為eq\f(12×10＋5×8,10＋8)＝eq\f(80,9)．7．已知一組樣本x1，x2，…，xn的標準差s＝8．5，則另一組樣本3x1＋5，3x2＋5，…，3xn＋5的標準差s′＝________．答案25．5解析s′＝3s＝25．5．三、解答題8．某工廠有工人1000名，其中250名工人參與過短期培訓(稱為A類工人)，另外750名工人參與過長期培訓(稱為B類工人)．現用分層抽樣的方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中共抽查100名，調查他們的生產實力(此處生產實力指一天加工的零件數)．(1)A類工人和B類工人應分別抽查多少名？(2)A類工人的抽查結果和B類工人的抽查結果如下表所示：A類工人B類工人①先確定x，y，再畫出頻率分布直方圖．就生產實力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？(不用計算，可通過視察直方圖干脆回答結論)②分別估計A類工人和B類工人生產實力的平均數，并估計該工廠工人的生產實力的平均數．(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)解(1)由題意可知應從A類工人中抽查25名，B類工人中抽查75名．(2)①由(1)可知4＋8＋x＋5＋3＝25，6＋y＋36＋18＝75，得x＝5，y＝15．頻率分布直方圖如下圖所示．從直方圖可以推斷：B類工人中個體間的差異程度更小．②eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(4,25)×105＋eq\f(8,25)×115＋eq\f(5,25)×125＋eq\f(5,