高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊課時過程性評價三十指數函數的圖象和性質(二)含答案三十指數函數的圖象和性質(二)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎全面練】1.(5分)函數y=2x-1x-1的定義域是A.R B.{x|x≠1}C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}【解析】選C.要使y=2x-1x-1有意義,只需x2.(5分)當x∈[-2,2)時,y=3-x-1的值域是()A.(-89,8] B.[-8C.(19,9) D.[1【解析】選A.y=3-x-1=(13)x-1,x∈[-2,2)是減函數,所以3-2-1<y≤32-1,即-89<y3.(5分)已知函數f(x)=3x-(13)x,則f(x) (A.是奇函數,且在R上是增函數B.是偶函數,且在R上是增函數C.是奇函數,且在R上是減函數D.是偶函數,且在R上是減函數【解析】選A.f(x)的定義域為R,f(-x)=3-x-3x=-f(x),則f(x)為奇函數.y=3x為增函數,y=(13)x為減函數,則f(x)=3x-(134.(5分)一種藥物在病人血液中的量低于80mg時病人就有危險,現給某病人靜脈注射這種藥物10000mg,如果藥物在血液中以每小時80%的比例衰減,那么應再向病人的血液中補充這種藥物不能超過的最長時間為 ()A.1.5個小時 B.2個小時C.2.5個小時 D.3個小時【解析】選D.設不能超過的最長時間為x個小時,有10000(1-0.8)x≥80,即0.2x≥0.008,解得x≤3,即不能超過的最長時間為3個小時.5.(5分)(多選)下列函數中,最小值為2的是 ()A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=ex+e-xC.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1【解析】選ABD.f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,當x=-1時,等號成立,故A正確;g(x)=ex+e-x=ex+1ex≥2,當且僅當h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C錯誤;m(x)=2|x|+1≥20+1=2,當且僅當x=0時,等號成立,故D正確.6.(5分)(多選)已知函數f(x)=1-23x+1A.函數f(x)的定義域為{x|x≠-1}B.函數f(x)是奇函數C.函數f(x)在其定義域上是增函數D.函數f(x)在其定義域上是減函數【解析】選BC.因為3x>0,3x+1≠0,函數f(x)的定義域為R,f(x)=1-23x+1=3所以f(-x)=3-x-13-x所以f(x)是定義在R上的奇函數.任取x1,x2∈R且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-23x1=23x2+1-23因為x1<x2,所以3x1-3f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函數f(x)在其定義域上是增函數.7.(5分)函數y=2x-1【解析】由題意得2x-1-8≥0,即2x-1≥8=23,所以x-1≥3,解得x≥4.答案:[4,+∞)8.(5分)若函數y=(12)x在[-2,-1]上的最大值為m,最小值為n,則m+n=【解析】由指數函數y=(12)x的圖象可知在x=-1處取最小值為2,在x=-2處取最大值為4,所以m+n=6答案:69.(5分)已知函數f(x)=ex-e-xex且為函數(填“增”或“減”).

【解析】函數f(x)=ex那么f(-x)=e-x-exex所以f(x)是奇函數.又f(x)=ex-e-xex+e因為函數y=2e所以函數f(x)=ex-答案:奇增10.(10分)某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態,經搶修排氣扇恢復正常.排氣后4分鐘測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,一個ppm表示百萬分之一),再過4分鐘又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分)存在函數關系y=c(12)mt(c,m為常數)(1)求c,m的值;【解析】(1)因為函數y=c(12)mt(c,m所以64=c·(12)

4(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,問至少排氣多少分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態?【解析】(2)由(1)得y=128(12)

14t,所以128(12)

1故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態.【補償訓練】某學校決定對教室用藥熏消毒法進行消毒,根據藥學原理,從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式為y=10t,0≤t≤0.【解析】當0≤t≤0.1時,y=10t=0.25時,t=0.025,但是隨著時間的增加,室內的含藥量也在增加,所以此時學生不能回到教室.當t>0.1時,(116)t-0.1≤14,所以t-0.1≥12,解得t≥0.6,所以至少需要經過0【綜合應用練】11.(5分)(多選)如圖,某湖泊藍藻的面積y(單位:m2)與時間t(單位:月)的關系滿足y=at,則下列說法正確的是 ()A.藍藻面積每個月的增長率為200%B.藍藻每個月增加的面積都相等C.第4個月時,藍藻面積就會超過80m2D.若藍藻面積蔓延到2m2,4m2,8m2所經過的時間分別是t1,t2,t3,則一定有2t2=t1+t3【解析】選ACD.由題圖可知,函數y=at的圖象經過(1,3),即a1=3,則a=3,所以y=3t,所以3t+1-3t=2·3t不是常數,則藍藻每個月的面積是上個月的3倍,則每個月的增長率為200%,A正確、B錯誤;當t=4時,y=3若藍藻面積蔓延到2m2,4m2,8m2所經過的時間分別是t1,t2,t3,則3t1=2,3t所以(3t2)2=3t1·3t3,則t1+t12.(5分)已知函數f(x)=(13)

ax2-4x+3,如果函數A.0.5 B.1 C.1.5 D.2【解析】選B.令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=(13)h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)應有最小值-1因此必有a>0,12即當f(x)有最大值3時,實數a的值為1.13.(5分)若函數f(x)=2x,x<0,-2【解析】由x<0,得0<2x<1;由x>0,所以-x<0,0<2-x<1,所以-1<-2-x<0.所以函數f(x)的值域為(-1,0)∪(0,1).答案:(-1,0)∪(0,1)14.(10分)求下列函數的定義域、值域:(1)y=3x【解析】(1)由題意得,函數的定義域為R.y=3x1+3x=因為3x>0,所以1+3x>1,所以0<11+3x所以0<1-11+3(2)y=4x-2x+1.【解析】(2)由題意得,函數的定義域為R.y=(2x)2-2x+1=(2x-12)2+34,因為2x>0,所以當2x=即x=-1時,y取得最小值34,所以函數的值域為[3415.(10分)已知定義域為R的函數f(x)=-2x(1)判斷并證明該函數在定義域R上的單調性;【解析】(1)由題意,得f(0)=-1+所以a=1,經檢驗符合題意,所以f(x)=1-該函數在定義域R上是減函數,證明如下:?x1,x2∈R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=1-2x21+因為x1<x2,所以0<2x1<所以2x1-2x2<0,(1+所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).所以該函數在定義域R上是減函數.(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.【解析】(2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k).易知f(x)是奇函數,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),由(1)知,f(x)是減函數,所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0對任意t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,得k<-13所以實數k的取值范圍是(-∞,-13)【創新拓展練】16.(5分)高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,用其名字命名的“高斯函數”為:設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函數f(x)=2ex1+ex+12,g(x)=[f(A.g(x)是偶函數B.f(x)在R上是增函數C.f(x)的值域是(-12D.g(x)的值域是{-1,0,1}【解析】選B.對于A,根據題意知,f(x)=2ex1+ex+1因為g(2)=[f(2)]=[52-2g(-2)=[f(-2)]=[2e-21+e-2所以g(2)≠g(-2),所以函數g(x)不是偶函數,故A錯誤;對于B,因為y=1+ex在R上是增函數,所以y=21+ex在R上是減函數,則f(x)=5對于C,因為ex>0,所以1+ex>1,0<21+ex<2,-2<-21+ex<0,所以12<f(x)<52,即對于D,因為f(x)的值域是(12,5所以g(x)的值域是{0,1,2},故D錯誤.17.(5分)設函數y=1+2x+a·【解析】設t=2x,因為x∈(-∞,1],所以0<t≤2.則原函數有意義等價于1+t+at2≥0在t∈(0,2]上恒成立,所以a≥-t+1t2,設f(t則f(t)=-1+tt2=-(1t+12因為0<t≤2,所以1t∈[1所以f(t)≤f(2)=-34,所以a≥-3答案:[-34三十八函數的零點與方程的解(時間:45分鐘分值:100分)【基礎全面練】1.(5分)函數f(x)=1-lg(3x+2)的零點為()A.log38 B.2 C.log37 D.log25【解析】選A.令f(x)=1-lg(3x+2)=0,得3x+2=10,則x=log38.2.(5分)(2024·河池高一檢測)不等式ax2-bx+c>0的解集為{x|-2<x<1},則函數y=ax2-bx+c的零點為()A.1,-2 B.-1,2C.(1,0),(-2,0) D.(-1,0),(2,0)【解析】選A.因為ax2-bx+c>0的解集為{x|-2<x<1},所以方程ax2-bx+c=0的兩根分別為-2和1,且a<0,則-2+1=b故函數y=ax2-bx+c=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),所以x軸的交點坐標為(1,0)和(-2,0),所以零點為1,-2.3.(5分)(2024·南京高一檢測)設x1,x2是函數y=6x2-x-2的兩個零點,則1x1+1xA.2 B.-2 C.12 D.-【解析】選D.因為x1,x2是函數6x2-x-2=0的根,由題意x1+x2=16x1x2=-13,1x1+1x24.(5分)若函數f(x)=2x-2x-a在(1,2)上存在1個零點,則a的取值范圍是(A.(0,3) B.(-3,3)C.[-3,3] D.(-3,0)【解析】選A.函數f(x)=2x-2x-a在(1,2)上存在1個零點,又f(x)=2x-2x-a單調遞增,根據零點存在定理,得f(1)=21-21-a<0,f(2)=22-22-a5.(5分)(多選)若直線y=2a與函數y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的可能取值為()A.13 B.14 C.12 【解析】選AB.①當a>1時,畫出兩個函數在同一坐標系下的圖象,若有兩個交點,則0<2a<1,所以0<a<12因為a>1,所以此種情況不存在;②當0<a<1時,畫出兩個函數在同一坐標系下的圖象,若有兩個交點,則0<2a<1,所以0<a<12因為0<a<1,所以0<a<12綜上,a的取值范圍是a0<a<6.(5分)(多選)已知函數f(x)=-(x+1)2+1,x<02x-2,xA.-1 B.-12 C.12 【解析】選ABD.如圖所示,根據二次函數及指數函數的圖象和性質可作出分段函數f(x)的圖象,可知y=-(x+1)2+1≤1(x<0),y=2x-2≥-1(x≥0),而g(x)=f(x)-a有兩個不同的零點等價于函數y=f(x)與函數y=a有兩個不同的交點,結合圖象可知a∈[-1,0]∪{1},所以A,B,D正確【補償訓練】(2024·淮北高一檢測)已知函數f(x)=3x-1+1,(x≤1)|ln(x-1)|,(A.(0,1] B.(0,1]∪[2,+∞)C.(0,1) D.(2,+∞)【解析】選B.由題知,函數f(x)=3x作出f(x)的圖象,利用數形結合思想可知:當a∈(0,1]∪(2,+∞)時,f(x)與y=a有兩個交點.7.(5分)(2024·株洲高一檢測)已知函數f(x)=loga(2x-1)-1的零點是2,則a=.

【解析】由題意得f(2)=loga3-1=0,解得a=3.答案:38.(5分)函數f(x)=x2-2【解析】令x2-2=0得,x=±2,因為x≤0,所以只有x=-2符合題意;令2x-6+lnx=0得,6-2x=lnx,在同一坐標系內,畫出y=6-2x,y=lnx的圖象,觀察知交點有1個,所以f(x)的零點個數是2.答案:29.(5分)已知函數f(x)=lnx+3x-7的零點位于區間(n,n+1)(n∈N)內,則n=.

【解析】由題意可知函數f(x)=lnx+3x-7在定義域(0,+∞)內單調遞增,易知f(2)=ln2+3×2-7=ln2-1<0,而f(3)=ln3+3×3-7=ln3+2>0,所以f(2)·f(3)<0,根據零點存在定理可知,函數f(x)在區間(2,3)內存在零點,所以可得n=2.答案:210.(10分)判斷下列函數是否存在零點,如果存在,請求出零點.(1)f(x)=-8x2+7x+1;【解析】(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-18或x=1所以函數的零點為-18,1(2)f(x)=1+log3x;【解析】(2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=13所以函數的零點為13(3)f(x)=4x-16;【解析】(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數的零點為2.(4)f(x)=x2【解析】(4)當x≤0時,x2+3x-4=0,即(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4.因為x≤0,所以x=-4;當x>0時,-1+lnx=0,解得x=e,滿足x>0.所以函數的零點為-4和e.【綜合應用練】11.(5分)(2024·上海高一檢測)方程x2+2ax-a=0在區間(0,1)和(1,2)上各有一個根的充要條件是()A.a∈(-∞,-1) B.a∈(-43C.a∈(-43,0) D.a∈【分析】令f(x)=x2+2ax-a,利用零點存在定理,建立參數a所滿足的不等式,解不等式即得參數的取值范圍.【解析】選B.因為一元二次方程x2+2ax-a=0在區間(0,1)和(1,2)上各有一個根,令f(x)=x2+2ax-a,則由題意可得f(0)解得-43<m則方程x2+2ax-a=0在區間(0,1)和(1,2)各有一個根的充要條件是a∈(-43,-1)12.(5分)(多選)若函數f(x)圖象是連續不斷的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,則下列命題不正確的是()A.函數f(x)在區間(0,1)內有零點B.函數f(x)在區間(1,2)內有零點C.函數f(x)在區間(0,2)內有零點D.函數f(x)在區間(0,4)內有零點【解析】選ABC.因為f(1)·f(2)·f(4)<0,則f(1),f(2),f(4)中有一個小于0,另兩個大于0,或三個都小于0.若f(1)<0,f(2)>0,f(4)>0,又因為f(0)>0,則f(0)·f(1)<0,所以函數f(x)在區間(0,1)內有零點;若f(1)>0,f(2)<0,f(4)>0,又因為f(0)>0,則f(1)·f(2)<0,f(2)·f(4)<0,所以函數f(x)在區間(1,2),(2,4)內有零點;若f(1)>0,f(2)>0,f(4)<0,又因為f(0)>0,則f(2)·f(4)<0,所以函數f(x)在區間(2,4)內有零點;若f(1)<0,f(2)<0,f(4)<0,又因為f(0)>0,則f(0)·f(1)<0,所以函數f(x)在區間(0,1)內有零點,綜上,函數f(x)在區間(0,4)內必有零點,因此ABC錯誤,D正確.13.(5分)(2024·嘉興高一檢測)已知函數f(x)=1x,x>3,-x2+4x-3,x≤3.若實數a,b,c滿足f(a)=f(b)=f(【解析】分析函數圖象,如圖所示,a,b關于x=2對稱,又因為a<b<c,所以a+b=4,c∈(3,+∞),所以a+b+c∈(7,+∞).答案:(7,+∞)14.(10分)(2024·南昌高一檢測)已知函數f(x)=|2x-2|.(1)在圖中的平面直角坐標系中畫出函數f(x)的圖象;【解析】(1)將y=2x的圖象向下平移2個單位長度,得到y=2x-2,再將y=2x-2位于x軸下方的部分對稱至x軸上方,得到f(x)=|2x-2|.所以函數f(x)的圖象如圖所示:(2)設g(x)=|2x-2|-b,討論g(x)的零點個數.【解析】(2)令g(x)=f(x)-b=0,可得f(x)=b,可得g(x)的零點個數即為y=f(x)與y=b兩圖象的交點個數.由(1)中圖可知:當b<0時,兩圖象無交點;當b=0或b≥2時,有一個交點;當0<b<2時,有兩個交點.綜上所述:當b<0時,g(x)無零點;當b=0或b≥2時,g(x)的零點個數為1;當0<b<2時,g(x)的零點個數為2.15.(10分)(2024·瀘州高一檢測)已知函數f(x)=log2(2-x)-log2(2+x).(1)用定義證明f(x)在定義域上是減函數;【解析】(1)根據題意,函數f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),則有2-x>0即函數的定義域為(-2,2),設-2<x1<x2<2,則f(x1)-f(x2)=log2(2-x1)-log2(2+x1)-log2(2-x2)+log2(2+x2)=log2(2因為-2<x1<x2<2,所以(2故f(x1)-f(x2)=log2(2即f(x1)>f(x2),則函數f(x)在定義域上是減函數;(2)若函數g(x)=f(x)-x+a在x∈0,23上有