高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.3誘導公式(二)含答案5.3誘導公式(二)【學習目標】1.在誘導公式二~四的基礎上,掌握誘導公式五~六的推導過程.2.能夠運用誘導公式一~六解決與三角函數有關的求值、化簡、證明問題.【素養達成】直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數學運算誘導公式五~六1.公式五sin(π2-α)=cosαcos(π2-α)=sin2.公式六sin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=-sin教材挖掘(P195)借助單位圓,還可以建立角的終邊之間的哪些特殊位置關系?由此還能得到三角函數值之間的哪些恒等關系?提示:設角α和3π2-α的終邊與單位圓分別交于點P,QP(cosα,sinα),Q(cos(3π2-α),sin(3π2-α)),而射線OP,OQ關于直線y=-x對稱,因此有sin(3π2-α)=-cosα,cos(3π2-α【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)誘導公式五、六中的角α只能是銳角. (×)提示:誘導公式五、六中的角α是任意角,故錯誤.(2)sin(α-π2)=cosα. 提示:sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-cosα(3)若α為第二象限角,則sin(π2+α)=cosα. (4)對任意角α,sin(π2-α)=sinα都不成立. 提示:當α=π4時,sin(π2-α)=sinα類型一求值問題(數學運算)【典例1】(1)(2024·無錫高一檢測)(教材提升例5)已知sin(θ-π3)=-13,則cos(θ+A.13 B.-13 C.223 【解析】選B.cos(θ+76π)=cos(θ-π3+=cos(θ-π3+π2+π)=sin(θ-π3(2)(2024·遵義高一檢測)若cos(π4+α)=13,則sin(π4A.223 B.-223 C.13 【解析】選C.由題意可得:sin(π4-α)=sin[π2-(π4+α)]=cos(π4+【總結升華】利用誘導公式解決求值問題(1)定關系:確定已知角與所求角之間的關系;(2)定公式:選擇相應的誘導公式;(3)得結論:根據選擇的誘導公式,將所求角的三角函數轉化為已知角的三角函數值,從而得到結果.【即學即練】1.(2024·綿陽高一檢測)已知sin(θ+π6)=12,則cos(θ+A.-32 B.32 C.12 D【解析】選D.由題意可得:cos(θ+2π3)=cos[(θ+π6)+π2]=-sin(θ+π2.已知cos(x-π6)=210,則sin(x+π3【解析】由題意得sin(x+π3)=sin[π2+(x-π6)]=cos(x-π答案:2【補償訓練】(2024·達州高一檢測)已知sin(α-π6)=55,則cos(α+A.255 B.-255 C.55 【解析】選C.因為α+π3-(α-π6)=所以α+π3=π2+(α-所以cos(α+π3)=cos[π2+(α-π6)]=-sin(α-π所以cos(α+4π3)=cos[π+(α+π3)]=-cos(α+π3類型二證明恒等式(邏輯推理)【典例2】求證:sin(2π【證明】左邊=-sinα·(-cos【總結升華】利用誘導公式證明恒等式(1)方法:從左向右推導或左右歸一;(2)注意:化簡要遵循一定的原則,如先負化正,再大化小,先不變名稱變形,再變名稱變形等.【即學即練】求證:sin(α-【證明】因為左邊=sin=sin(π+=(cosα-右邊=-sinα·cos【補償訓練】求證:cos(【證明】左邊=cosθsin(-θ)tan所以原等式成立.類型三綜合應用(數學運算)【典例3】(1)已知sin(θ-π2)=35,θ∈(0,π),則tan(π-A.34 B.-34 C.43 D【解析】選C.sin(θ-π2)=-sin(π2-θ)=-cosθ=35,則cosθ=-35所以sinθ=1-(-所以tanθ=sinθcosθ所以tan(π-θ)=-tanθ=43(2)(2024·蘇州高一檢測)已知f(θ)=cos①若f(θ)=13,求tanθ②若f(π6-θ)=13,求f(5π6+【解析】①f(θ)=cos(θ-3π由f(θ)=13,得sinθ=±1-cos所以tanθ=±22;②由f(π6-θ)=13,得cos(π6-θ則f(5π6+θ)=cos(5π6+θ)=cos[π-(π6-θ)]=-cos(π6-【總結升華】利用誘導公式解決綜合類問題(1)綜合應用誘導公式一~六,結合同角三角函數的基本關系解題;(2)解題的過程中注意運用弦切互化、“1”的代換、公式變形等方法解題.【即學即練】1.(2024·六盤水高一檢測)設α∈(π6,π2),β∈(π6,π2),且sin(α+A.α+β=π3 B.α-β=π3 C.α+β=π6 D.α-【解析】選D.依題意cosβ=sin(α+π3)=cos[π2-(α+π3)]=cos(π6-α)=cos(α∈(π6,π2),α-π6∈(0,π3),而β∈(所以α-π6=β,α-β=π2.(2024·佛山高一檢測)已知f(α)=sin((1)若f(α)=-12,且α∈(0,π),求α【解析】(1)f(α)=sin(2π-α)因為f(α)=-12,所以cosα=-1又α∈(0,π),所以α=2π3(2)若f(α+π3)=14,求sin2(2π3-α)+sin(π6【解析】(2)由(1)知f(α+π3)=cos(α+π因為f(α+π3)=14,所以cos(α+π3令x=α+π3,則cosx=14,α=x-所以sin2(2π3-α)+sin(π6-=sin2(π-x)+sin(π2-x=sin2x+cosx=1-cos2x+cosx=1916教材深一度誘導公式在三角形中的應用(1)sinA+B=sinC,sinA+C=sinB,sin(B+(2)cosA+B=-cosC,cosA+C=-cosB,cos(B+(3)tanA+B=-tanC,tanA+C=-tanB,tan(B+(4)sinA+B2=cosC2;sinA+C2(5)cosA+B2=sinC2,cosA+C2【典例4】已知A,B,C為△ABC的內角.(1)求證:cos2A+B2+cos【證明】(1)因為在△ABC中,A+B=π-C,所以A+B2=π所以cosA+B2=cos(π2-所以cos2A+B2+cos2C2=sin2C2(2)若cos(π2+A)sin(3π2+B)tan(求證:△ABC為鈍角三角形.【證明】(2)因為cos(π2+A)sin(3π2+B)tan(所以-sinA·(-cosB)·tanC<0,即sinAcosBtanC<0.又A,B,C∈(0,π),所以sinA>0,所以cosBtanC<0,即cosB<0,tanC>0或tanC<0,cosB>0,所以B為鈍角或C為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.5.3誘導公式(一)【學習目標】1.借助單位圓的對稱性理解誘導公式二、三、四的推導過程.2.能夠運用誘導公式一~四進行化簡與求值.【素養達成】直觀想象、數學抽象邏輯推理、數學運算誘導公式二~四1.公式二sin(π+α)=-sinα,

cos(π+α)=-cosα,

tan(π+α)=tanα.

2.公式三sin(-α)=-sinα,

cos(-α)=cosα,

tan(-α)=-tanα.

3.公式四sin(π-α)=sinα,

cos(π-α)=-cosα,

tan(π-α)=-tanα.

版本交融(北師大版P21思考交流)在學習上述公式時,如何體會軸對稱、中心對稱的作用?提示:上述公式是圓對稱性的“代數表示”.因此,用數形結合的思想從單位圓關于坐標軸、原點的對稱性出發研究公式,可以發現終邊關于坐標軸或原點對稱的角的正弦函數值、余弦函數值之間的關系,使得公式(數)與單位圓(形)緊密結合,成為一個整體,不僅大大簡化了公式的推導過程,而且還有利于對公式的記憶.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)誘導公式三可以將任意負角的三角函數值轉化為正角的三角函數值.(√)(2)誘導公式中的角α一定是銳角.(×)提示:sin(-2π3)=-sin2π3,此時α(3)由誘導公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β).(×)提示:由誘導公式三知cos[-(α-β)]=cos(α-β),故錯誤.(4)在△ABC中,sin(A+B)=sinC.(√)提示:在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故正確.類型一給角求值(數學運算)【典例1】(教材提升例1)求下列各三角函數值:(1)cos476【解析】(1)cos476π=cos(8π-π6)=cosπ6(2)sin(-7π3【解析】(2)sin(-7π3)=-sin7π3=-sin(2π+π3)=-sinπ(3)tan(-855°).【解析】(3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.【總結升華】利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟(1)“負化正”——用公式一或三來轉化.(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角.(4)“銳求值”——得到銳角三角函數后求值.【即學即練】求下列各式的值.(1)tan(-11π6【解析】(1)tan(-11π6)=tan(-2π+π6)=tanπ6(2)sin(-43π6【解析】(2)sin(-43π6)=-sin(6π+7π6)=-sin7π6=-sin(π+π6)=sin(3)cos(-120°)sin(-150°)+tan855°.【解析】(3)原式=-cos(180°-60°)·sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)=-(-cos60°)sin30°+tan135°=cos60°sin30°+tan(180°-45°)=cos60°sin30°-tan45°=12×12-1=-類型二給值求值(數學運算)【典例2】(1)(2024·六盤水高一檢測)已知cosα=35,0<α<π2,則sin(3π+α)的值為(A.-45 B.-35 C.35 【解析】選A.由cosα=35,0<α<π2,得sinα=1-cos2所以sin(3π+α)=-sinα=-45(2)(2024·沈陽高一檢測)已知0<α<π2,cos(α+π6)=-25,則tan(5π6-A.52 B.-212 C.212 D【解析】選C.因為0<α<π2,所以π6<α+π6則sin(α+π6)=1-cos2(所以tan(α+π6)=sin(所以tan(5π6-α)=tan[π-(α+π6)]=-tan(α+π6【總結升華】關于給值求值問題(1)能直接利用誘導公式的,直接利用誘導公式化簡,再觀察已知與要求的式子的關系,結合同角三角函數的基本關系求值.(2)不能直接利用誘導公式的,觀察已知角與所求的角的關系,兩角和、差是否為特殊角,是否具有互補等關系,再進一步利用誘導公式求值.【即學即練】1.已知tan(3π+α)=-2,則tan(α-π)的值為()A.-12 B.12 C.-2 D【解析】選C.因為tan(3π+α)=tanα=-2,所以tan(α-π)=tanα=-2.2.已知cos(π6+α)=33,求cos(5π6-α)-sin2(α+【解析】因為cos(π6+α)=3可得cos(5π6-α)=cos[π-(π6+α)]=-cos(π6+α)=-33,sin2(α+π6)=1-cos2(α+π所以cos(5π6-α)-sin2(α+π6)=-33-2【補償訓練】已知cos(75°+α)=13,且-180°<α<-90°,則sin(255°+α)=【解析】因為-180°<α<-90°,所以-105°<75°+α<-15°,又cos(75°+α)=13所以sin(75°+α)=-1-13所以sin(255°+α)=sin(180°+75°+α)=-sin(75°+α)=22答案:2類型三化簡求值(數學運算)【典例3】(1)(教材提升例2)化簡:sin(π-α)【解析】原式=sinαtanα·-tan(2)已知sin(α+π)=45,且sinαcosα<0,則2sin(π【解析】因為sin(α+π)=45,所以sinα=-45又sinαcosα<0,所以cosα>0,所以cosα=1-sin2