7.2平面向量的坐標表示【考點梳理】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．向量的夾角(1)已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角(如圖)．(2)向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°．a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.(3)如果向量a與b的夾角是90°，我們就說a與b垂直，記作a⊥b．3．平面向量的正交分解及坐標表示(1)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐標系內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.則實數對(x，y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，該式叫做向量的坐標表示．與a相等的向量的坐標也為(x，y)．顯然，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).4．平面向量的坐標運算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy).(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0．考點一平面向量的坐標及線性運算的坐標表示【例題】（1）已知點，則向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，故選：B.（2）設平面向量，點，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設B點坐標為，所以，解得，所以B的坐標為.故選：B.（3）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，向量，可得，故選：B.（4）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以，故選：D.（5）若向量，，則向量的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據題意得：，所以，故選：D.（6）已知向量、滿足，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，故答案為：.【變式】（1）已知向量，則（

）A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）【答案】A【解析】因為，所以，故選：A.（2）已知向量，，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，且，所以，所以，解得.故選：A.（3）已知向量，，若存在實數，使得，則和的值分別為（

）A．， B．， C．，2 D．，2【答案】A【解析】因為，且，所以，所以，解得，故選：A.（4）的三個頂點的坐標分別是，，，那么向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，所以，，所以，故選：B.（5）已知、，且，則點的坐標為（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】設點，因為，則，即，解得，即點，故選：C.（6）已知向量，，則向量的坐標是________．【答案】【解析】，故答案為：.考點二共線向量的坐標表示【例題】（1）已知且，則x等于（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，解得，故選：C.（2）與向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A選項，若，則，所以，A選項正確；B選項，若，而，所以不平行，B選項錯誤；C選項，若，而，所以不平行，C選項錯誤；D選項，若，而，所以不平行，D選項錯誤，故選：A.（3）已知平面向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，所以，即，所以，故選：C．（4）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，因為，則，解得，故選：D.（5）向量，，．若三點共線，則的值為（

）A． B．1 C．或11 D．2或【答案】C【解析】由題可得：，.因為三點共線，所以，所以，整理得，解得或，故選：C.【變式】（1）若，，且，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，解得：，故選：B.（2）已知，，，若存在實數，使成立，則實數的值是（

）A． B． C．5 D．【答案】C【解析】，由于，所以，所以，故選：C.（3）已知平面內的三點，若，，三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，因為，，三點共線，所以，得，故選：A.（4）設向量，，且與的方向相反，則實數m的值為（

）A．或1 B． C． D．或1【答案】C【解析】∵∥，則即或，當時，，，＝，與的方向相同，不成立；當時，，，＝－2，與的方向相反，成立；∴故選：C．（5）已知向量，，，若，則實數.【答案】【解析】由，，，則，又，則，解得，故答案為：.【方法總結】1．對平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據，也是向量坐標表示的基礎．(2)平面向量的一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組．(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R，e1，e2為同一平面內不共線的兩個向量)的形式，它是向量線性運算知識的延伸．(4)如果e1，e2是同一平面內的一組基底，且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0.2．對兩向量夾角的理解兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角．若起點不同，